Gráfok és algoritmusok 2022. tavasz

Gráfok és algoritmusok 2022. tavasz

7. gyakorlat

Tudnivalók

Def: AGgráf csúcsainakv₁, v₂, . . . , v_nsorrendjefolytonos, haGkomponensei intervallumokat alkotnak a sorrendben, és a komponensek első csúcsainak kivételével minden csúcsnak van a sorrendben korábbi szomszédja.

Megfigyelés: Irányítatlan gráf maxvissza sorrendje folytonos.

Tfh v₁, v₂, . . . , v_n a G gráf csúcsainak folytonos sorrendje, és legyen i < j-re v_iv_j a G egy éle. Ennek az élnek a címkéje azt mutatja meg, hogy a v_i hányadik a folytonos sorrendben v_j szomszédai között. F_k jelöli a k címkét kapó élek halmazát, G_k pedig a (k −1)-nél nagyobb címkéjű élek gráfja a G csúcshalmazán.

Megfigyelés: Ha v₁, v₂, . . . , v_n a G gráf csúcsainak maxvissza sorrendje, akkor egyúttal a G₁, G₂, . . . gráfoknak is maxvissza sorrendje lesz.

Megfigyelés: Minden i-re F_i a G_i egy feszítő erdeje.

Élcímkézési lemma: Hav_iésv_j azF_k-nak ugyazon komponensébe esnek, akkorλ(v_i, v_j)≥k.

Köv.: Ha G k-szorosan élösszefüggő, n csúcsú gráf, akkor G-nek van legfeljebb k(n−1) élt tartalmazók-szorosan élösszefüggő feszítő részgráfja. (EzG k-élöf tulajdonságának ritka tanúja.) Biz: Tekintsük egy maxvissza sorrendhez tartozóF₁, F₂, . . . , F_k erdőket. Ezek jók lesznek. Az élszámkorlát világos. Ha pedig ezen erdők G⁰ uniójának lenne k-nál kisebb (A, B) vágása, akkor F_k egyetlen komponensének sincs csúcsa a vágás mindkét oldalán. Tehát a G-beli (A, B) vágás minden éle benne van már az F₁, F₂, . . . , Fk−1 fák uniójában is, így G k-szoros élösszefüggősége miatt legalább k élt tartalmazna, ami ellentmondás. (Az előadásban máshogy bizonyítottunk.)

Tétel: (Az élcímkézési lemma erős változata) Ha a fenti jelölések mellettG egyszerű és v_i és v_j az F_k ugyanazon komponenséhez tartoznak, akkorκ_G(v_i, v_j)≥k .

Megjegyzés: κ_G(u, v) az u és v csúcs között futó páronként belsőleg pontdiszjunkt G-beli utak maximális száma. Menger tétele miatt κ_G(u, v) megegyezik az u-t és v-t szeparáló vegyes vágás minimális méretével, ahol A, B ⊆ V(G) akkor határoz meg u-t és v-t szeparáló vegyes vágást, ha A∩B = ∅ és mindkét halmaz pontosan egyet tartalmaz u és v közül. Az (A, B) pár által meghatározott vegyes vágás mérete |V(G)\(A∪B)|+|E(A, B)|, azaz azA-n ésB-n kívüli csúcsok az A ésB között futó élek számának összege.

Köv.: (1) Ha G egyszerű ésv₁, v₂, . . . , v_n maxvissza sorrend, akkor κ(v_n, v_n−1) =d(v_n).

(2) Tetsz. n csúcsú, k-öf G = (V, E) gráfnak van legfeljebb kn− ^k+1₂

élt tartalmazó, k-öf feszítő részgráfja. (Ezt a k-öf tulajdonság ritka tanújának nevezik.)

Def: A G = (V, E) gráf intervallumgráf, ha csúcsai I₁, I₂, . . . , I_n ⊂ R intervallumok, és I_iI_j ∈E ⇐⇒ I_i∩I_j 6=∅. A Ggráf splitgráf, ha G = (U ∪V, E), ahol U független ponthalmaz, V pedig klikk. A G gráfmerevkörű, ha G nem tartalmaz 3-nál hosszabb feszített kört.

Megfigyelés: (1) Ha G intervallumgráf vagy splitgráf, akkorG merevkörű.

(2) Merevkörű gráf csúcstörlés, ill. élösszehúzás után is merevkörű marad.

Def: A G gráfv csúcsa szimpliciális, ha v szomszédai klikket alkotnak G-ben.

Def: AGgráf csúcsainakszimpliciális sorrendjeolyanv₁, v₂, . . . , v_nsorrend, amelyrev_i szimp- liciális csúcsa a v_i, v_i+1, . . . , v_n csúcsok által feszített gráfnak minden i= 1,2, . . . , nesetén.

Megfigyelés: Ha egy csúcsból kiindulva, szimpliciális csúcsok egyenkénti hozzávételével ké- pezzük a Ggráfot, akkor G merevkörű. Más szóval, ha G csúcsainak van szimpliciális sorrendje, akkor Gmerevkörű.

(Biz: az előállítás során egyetlen csúcs hozzávátelekor sem keletkezik3-nál hosszabb feszített kör.) Tétel: Ha G merevkörű, akkor G csúcsainak van szimpliciális sorrendje: ilyen pl. G csúcsai tetszőleges maxvissza sorrendjének megfordítása.

Köv.: Ha G merevkörű, akkorχ_`(G) =ω(G). Ezért χ(G) =ω(G) és Gperfekt.

Tétel: Legyenek azF faF₁, F₂, . . . , F_n részfái aG gráf csúcsai, és akkor legyenF_iF_j ∈E(G), ha V(F_i)∩V(F_j) 6= ∅. Ekkor G merevkörű, sőt, minden merevkörű gráf előáll a fenti módon alkalmas F fa alkalmasF_i részfáinak metszetgráfjaként.

Gyakorlatok

1. Határozzuk meg az alábbi gráf egy ritka tanúját.

a b

c d

e f

2. Mutassuk meg, hogy azn-csúcsú gráfokk-szoros élösszefüggőségének ritka tanújának élszá- mára bizonyított felső korlát éles, azaz létezik olyan k-szorosan élösszefüggő gráf, melynek minden ritka tanúja legalább k(n−1)élű.

3. Határozzunk meg az alábbi gráfban egy, az a és d csúcsokat szeparáló minimális vegyes vágást.

a b c

d e f

4. Tegyük fel, hogy aG= (V, E)gráf csúcsainak egy maxvissza sorrendjev1, v2, . . . , vn. Legyen tetszőleges i ∈ N esetén F_i az i címkéjű élek, I ⊂ N esetén pedig F_I = S

i∈IF_i az I-beli címkékkel rendelkező élek halmaza. Igaz-e, hogy tetszőleges I ⊂ N esetén v₁, v₂, . . . , v_n a GI = (V, FI) gráf egy maxvissza sorrendje?

5. Egy G gráf minimálisan k-élösszefüggő, ha G k-élösszefüggő, de G bármely élét törölve a kapott gráf már nem az.

(a) Igaz-e, hogy ha G minimálisan k-élösszefüggő, akkor λ(u, v) = k teljesül G bármely u, v csúcsára?

(b) Igaz-e, hogy ha G bármely u, v csúcsára λ(u, v) = k teljesül, akkor G minimálisan k-élösszefüggő?

6. Bizonyítsuk be, hogy ha aG gráf splitgráf vagy intervallumgráf, akkor G merevkörű.

7. Döntsük el, hogy az alábbi gráfok merevkörűek, splitgráfok vagy intervallumgráfok-e!

a

b c

d

e f g

a

b c

d e

a b c

d e f

8. A 7. feladatbeli merevkörű gráfoknak adjuk meg egy szimpliciális sorrendjét!

9. A 7. feladatbeli merevkörű gráfoknak adjuk meg egy optimális színezését!

10. A 7. feladatbeli merevkörű gráfoknak adjuk meg egy helyes listaszínezését az alábbi szín- listákra nézve! (A listákban szereplő színek: piros, kék, zöld, sárga, lila, narancssárga, barna.)

1. gráf a {P,Z,S,N}

b {P,K,L,B}

c {P,K,Z,B}

d {K,Z,S,L}

e {K,S,L,B}

f {K,Z,S,L}

g {Z,L,N,B}

2. gráf a {K,S,L}

b {P,N,B}

c {Z,S,N}

d {K,Z,L}

e {P,Z,L}

3. gráf a {S,L,B}

b {K,Z,N}

c {L,N,B}

d {K,S,L}

e {K,Z,L}

f {Z,L,B}

11. A 7. feladatbeli merevkörű gráfoknak adjuk meg egy fareprezentációját!

12. Tegyük fel, hogyGegy összefüggő, merevkörű, nem teljes gráf, ésX ⊂V(G)egy legszűkebb elvágó ponthalmaz, azaz G−X nem összefüggő, de X⁰ (X esetén G−X⁰ még összefüggő.

Bizonyítsuk be, hogy X klikket feszít G-ben.

13. Tegyük fel, hogy G merevkörű, de nem intervallumgráf. Igazoljuk, hogy G-nek legalább 3 szimpliciális csúcsa van.

14. LegyenGegy merevkörű gráf, és válasszuk ki mohón aGcsúcsainak egy fordított maxvissza sorrendje szerint a Gegy I független ponthalmazát. Mutassuk meg, hogy |I|=α(G), azaz I egy maximális méretű ftn ponthalmaz G-ben.

15. Igazoljuk, hogy tetszőleges G irányítatlan gráf esetén a G^k = (V, F1∪ · · · ∪Fk) gráf olyan, hogy minden x, y pontpárjára λ_Gk(x, y)≥min{k, λ_G(x, y)} teljesül.

16. Legyen Gegy egyszerű, összefüggő, merevkörű, 99-reguláris gráf. Határozzuk meg Gélkro- matikus számát.