Gráfok és algoritmusok 2022. tavasz
2. gyakorlat
2022. február 25.Tudnivalók
Def: HaG= (V, E)gráf minden csúcsára adott av lineáris rendezés av-re illeszkedő csúcsok E(v) halmazán, azM élhalmaz dominálja aze élt, ha van olyan m∈M él ésv ∈V csúcs, amire m ≺v eteljesül. AzM élhalmazstabil párosítás, haM pontosan az (E−M)-beli éleket dominálja.
Az M párosítást aze él blokkolja, ha e 6∈M és M nem domináljae-t.
Megfigyelés: Egy M élhalmaz pontosan akkor párosítás, ha nem dominál M-beli élt. Egy M párosítás pontosan akkor stabil, ha egyetlen él sem blokkolja.
Def: Hab :V →Nfokszámkorlát, akkorb-párosítás az olyanM élhalmaz, amiredM(v)≤b(v) teljesül minden v ∈ V csúcsra. Az M élhalmaz akkor b-dominálja az e ∈ E(G) élt, ha létezik olyan v csúcs és F-ben vannak olyan különböző m1, m2, . . . , mb(v) élek, amire f(i) ≺v e teljesül minden1≤i≤b(v)-re. AzM b-párosításstabil, haM pontosan az (E−M)-beli éleket dominálja.
Megjegyzés: (1) Az egyetemi felvételik vonalhúzási eljárásának célja egy stabil b-párosítás keresése. A csúcsok az egyetemi szakok ill. a jelentkezők, az élek az egyes jelentkezések, a prefe- renciák a jelentkezők részéről adottak, a szakok pedig pontszám alapján határozzák meg. Ha egy stabil felvételi sémában minden szakhoz az oda bejutó legalacsonyabb pontszámú hallgató pont- számát rendeljük, akkor egy helyes vonalhúzást kapunk. (Valójában nem pontosan ez történik, de ez itt mellékes.) A helyes vonalhúzás által definiált felvételi séma pedig stabil.
(2) Gale és Shapley alábbi lánykérő algoritmusának egy előnye, hogy úgy talál stabil párosítást, hogy ehhez a modellben szereplő játékosoknak nem kell stratégiai döntéseket hozniuk. Amint rögzítjük az algoritmust, minden szereplő akkor jár a legjobban, ha az igazi preferenciáit adja meg. A stabil párosítás közzététele után pedig senki sem járhat jobban azzal, ha megpróbál ettől eltérni.
(3) A stabil párosításokról tanultak jó része értelemszerűen kiterjeszthető stabil b-párosításokra.
A lánykérő (GS) algoritmus. Input: G= (V, E) páros gráf,v lineáris csúcspreferenciák minden v ∈V csúcsra. Output: AG egy M stabil párosítása.
Működés: A fiú színosztály minden csúcsa kijelöli a legjobb rá illeszkedő élt. Ha egy lány szín- osztálybeli csúcsba egynél több kijelölt él fut, akkor töröljük a legjobb kijelölt éltől kölönböző kijelölt éleket, és iterálunk. Ha nincs törlés, akkor a kimenet a kijelölt élek M halmaza.
Turbó GS-algoritmus: Minden lány töröl minden olyan élt, aminél van neki jobb kijelölt éle.
Éltörlési lemma. Ha e = uv a u szerinti legjobb él, és e ≺v f teljesül valamely f élre, akkor Gstabil párosításainak halmaza megegyezik G−f stabil párosításainak halmazával.
Megfigyelés: Ha az éltörlési lemmát iteratív módon alkalmazva addig törlünk éleket, míg lehet, akkor a kapott gráfban igaz, hogy ha e = uv u-minimális (azaz u legjobb éle), akkor e v-maximális (azaz v legrosszabb éle).
Köv.: (1) A lánykérő algoritmus helyessége. (2) A lánykérő algoritmus M kimenete fiú- optimális, azaz M tartalmazza minden u fiú csúcsra a lehető legjobb, stabil párosításban u-ra illeszkedő élt, és minden v lány csúcsra a lehető legrosszabb, stabil párosításban v-re illeszkedő élt. (3) Ha M1 és M2 stabil párosítások a G páros gráfban, akkor az M14M2 szimmetrikus különbség minden komponense alternáló preferenciakör.
(4) Ha M1 ésM2 stabil párosítások aGpáros gráfban, akkor V(M1) =V(M2), azaz bármely két stabil párosítás ugyanazokat a csúcsokat fedi.
(5) Ha M1 ésM2 stabil párosítások aGpáros gráfban, és minden fiú csúcs azM1∪M2 halmazból a számára jobb élt választja, akkor olyan M1 ∨M2 stabil párosítást kapunk, amelyben minden lány csúcs azM1∪M2 halmazból a számára rosszabb élt kapja. Ha a lányok választják a számukra jobb élt, akkor az M1∧M2 stabil párosítás adódik.
Kiterjesztett éltörlési lemma. Ha minden i∈ {1, . . . , b(v)} esetén ei =uiv a ui szerinti első b(u)legjobb él valamelyike és ei ≺v f teljesül valamely f élre, akkor G stabil párosításainak halmaza megegyezik G−f stabil párosításainak halmazával.
Gyakorlatok
1. Határozzunk meg az alábbi páros gráfokban egy-egy stabil párosítást a Gale–Shapley-al- goritmus segítségével. A táblázatok sorai a fiúknak, az oszlopai a lányoknak felelnek meg, és a mezőkben szereplő első számok a fiúk preferenciáit, a második számok pedig a lányok preferenciáit jelentik.
l1 l2 l3 l4 f1 2./2. 3./2. 1./4. –
f2 – 1./3. – –
f3 3./4. 2./1. – 1./1.
f4 – 1./4. 2./2. 3./3.
f5 2./1. – 1./3. – f6 2./3. – 3./1. 1./2.
l1 l2 l3 l4 l5
f1 2./3. 1./2. – – 3./1.
f2 – 3./1. – 1./3. 2./2.
f3 – 1./3. 2./2. 3./1. –
f4 2./2. – – 1./2. –
f5 3./1. – 2./1. – 1./3.
2. Adjunk gyors módszert annak eldöntésére, hogy egy páros gráfban van-e két különböző stabil párosítás, és ha van, akkor a módszer találjon is meg két különbözőt.
3. Négy munkára összesen tízen jelentkeztek. Mind a négy munkára legfeljebb három embert vesznek fel. A munkáltatók és a jelentkezők preferenciáit az alábbi táblázat tartalmazza.
Határozzunk meg a Gale–Shapley-algoritmus megfelelő változataival egy-egy stabil párosí- tást.
j1 j2 j3 j4 j5 j6 j7 j8 j9 j10 A 7./3. 5./4. 2./3. – 8./3. 6./1. 1./3. – 4./1. 3./3.
B – 3./3. 5./2. – 1./1. 4./2. 2./2. – 6./3. – C 4./1. 6./1. – 8./2. 2./2. 3./3. 7./1. 5./1. – 1./2.
D 6./2. 1./2. 4./1. 7./1. – 3./4. – 5./2. 2./2. 8./1.
4. LegyenGtetszőleges, nem feltétlenül páros gráf tetszőlegesv csúcspreferenciákkal. Igaz-e, hogy ha G-nek nincs999-nél rövidebb köre, akkorG-nek bizonyosan van stabil párosítása?
5. Változik-e attól a stabil párosítások száma, ha az ábrán látható gráfból töröljük (a) az e, illetve
(b) az f élt?
1 2 3 e 1
3 1
2 1 2 2
f 1 2
2 1
1 3
2 3
2 1
6. Tegyük fel, hogy a G páros gráfnak A= {a1, a2, . . . , an} az egyik színosztálya, továbbá ha tetszőleges b ∈ B csúcsra bai ≺b baj teljesül, akkor i < j. Bizonyítsuk be, hogy G-nek pontosan egy stabil párosítása van.
7. Tegyük fel, hogy a G (nem feltétlenül páros) gráf minden csúcsához (lényegében) ugyanaz a preferenciasorrend tartozik, azaz G csúcsai sorba rendezhetők V(G) = {v1, v2, . . . , vn} módon úgy, hogy tetszőleges v csúcs és i < j esetén vi ≺v vj teljesül. Igaz-e, hogy G-nek bizonyosan van stabil párosítása? Ha igen, akkor lehet-e több is? Hogyan lehet gyorsan találni egyet, ha van?
8. Tegyük fel, hogy aG(nem feltétlenül páros) gráfnakv egy olyan csúcsa, hogyGmindenuv élére az uv él az u csúcs legrosszabb választása. Bizonyítsuk be, hogy ha uv egy M stabil párosítás éle, akkor az uv él a Gminden stabil párosításában szerepel.
9. Jelölje a véges (de nem feltétlenül páros)G gráf mindene=uv éle esetén v(e)azt, hogy az e él hányadik a ≺v preferenciarendezésben, és legyen r(e) = u(e) +v(e). Tegyük fel, hogy r(e) = 42teljesül G bármely e élére.
(a) Határozzuk megG csúcsainak fokszámát.
(b) Bizonyítsuk be, hogy G-nek van stabil párosítása.
(c) Bizonyítsuk be, hogy haG egy páros gráf, akkorGminden élét tartalmazza egy stabil párosítás.
10. Tegyük fel, hogy a G (nem feltétlenül páros) gráf minden élét tartalmazza G egy stabil párosítása. Bizonyítsuk be, hogy ekkor ha M a G egy stabil párosítása, akkor M stabil marad akkor is, ha minden csúcs megfordítja preferenciarendezését: minél jobbnak gondolt egy élt korábban, annál rosszabbnak tekinti eztán.
11. Tegyük fel, hogy a G páros gráf osztályait fiúk és lányok alkotják, továbbá, hogy G egy M párosításnakk-val több éle van, mint aGegyM0 stabil párosításának. Mutassuk meg, hogy ha a fiúk és lányok azM párosítás mentén összeházasodnak, akkor legalábbk olyan férj lesz, aki talál olyan házas asszonyt akivel egymást kölcsönösen jobban kedvelik a házastársuknál.
12. Tegyük fel, hogy M a Gegy stabil párosítása. Igazoljuk, hogy 2· |M| ≥ν(G)teljesül.
13. Tegyük fel, hogy aG(nem feltétlenül páros) gráfból az éltörlési lemma szerint éleket törölve az e él is előbb-utóbb törlésre kerül. Igaz-e, hogy a G gráf stabil párosításainak halmaza megegyezik a G−e gráf stabil párosításainak halmazával?
14. Tegyük fel, hogy M1, M2 és M3 a G (nem feltétlenül páros) gráf három stabil párosítása.
Minden, a párosítások által fedett v csúcsra jelöljee(v)a v-re illeszkedő három párosításél közül a középsőt. (Ha egy v-re illeszkedő e él két párosításban is szerepel, akkor e(v) =e.) Mutassuk meg, hogy az így definiált e(v) élek halmaza stabil párosítást alkot aG gráfban.
