Gráfok és algoritmusok 2022. tavasz
3. gyakorlat
2022. március 4.Tudnivalók
Def: Ha M1, M2 stabil párosítások a G páros gráfban, akkor M1 ∨M2 az a stabil párosítás, amelyben a fiú színosztály minden csúcsa a két párosítás közül a jobbik, a lány színosztály minden csúcsa pedig a rosszabbik partnert kapja, M1∧M2 pedig az a stabil párosítás, amelyben a lány csúcsok kapják a jobbik partnert, a fiú csúcsok pedig a rosszabbikat.
Megfigyelés: Ha M1, . . . , M` stabil párosítások a G páros gráfban, akkor W`
i=1Mi jelöli azt a stabil párosítás, amelyben a fiú színosztály minden csúcsa az `párosítás közül a legjobb, a lány színosztály minden csúcsa pedig a legrosszabb partnert kapja, V`
i=1M`pedig az a stabil párosítás, amelyben a lány csúcsok kapják a legjobb partnert, a fiú csúcsok pedig a legrosszabbat.
Tétel: Ha M1, . . . , Mk stabil párosítások a G = (A, B;E) páros gráfban és i ∈ {1, . . . , k}, akkor ha a fiú színosztály minden csúcsa a k párosítás közül multiplicitással számolva az i-edik legjobb élt választja, akkor olyan stabil párosítást kapunk, amelyben a lány színosztály minden csúcsa multiplicitással számolva a (k−i+ 1)-edik legjobb partnert kapja.
Pym tétele: EgyD= (V, A)digráfban adottak a páronként pontdiszjunkt irányított utakból álló P és Q halmazok. Ekkor létezik olyan R páronként pontdiszjunkt irányított utakból álló halmaz, amelyre (1) start(P)⊆ start(R)⊆start(P)∪start(Q), (2) ter(Q)⊆ter(R)⊆ter(P)∪ ter(Q), valamint (3) minden R-beli út egy P-beli út (esetleg üres) kezdőszeletének és egyQ-beli út (esetleg üres) végszeletének egymásutánja (ahol start(X) és ter(X) azX úthalmaz kezdő- ill.
végpontjainak halmazát jelöli).
Def: Legyen G = (V, E) gráf és Le ⊆ N egy színlista minden e ∈ E élhez. A G gráf L- élszínezhető, ha található minden e élhez egy l(e) ∈ Le szín, amelyek G egy helyes élszínezését adják. AGgráfk-él-listaszínezhető, haG L-élszínezhető minden olyan esetben, amikor|L(e)| ≥k teljesül minden e élre. A G gráf él-listaszínezési száma χ0l(G) = k, ha G k-él-listaszínezhető, de G nem (k−1)-él-listaszínezhető. Megfigyelés: χ0(G)≤χ0l(G).
Listaszínezési sejtés (LCC): tetszőleges Gvéges gráf esetén χ0(G) =χ0l(G).
Galvin tétele: Páros gráfokra igaz az LCC. Avagy: ha G páros gráf, akkor χ0l(G) = ∆(G).
Tétel: Legyen G = (V, E) egy k-élszínezhető gráf, és legyen minden e ∈ E élhez adott egy L(e) ⊆ N színlista, ahol |L(e)| ≥ k. Tegyük fel, hogy azi-színezhető élek Ei :=L−1(i) halmaza nem tartalmaz páratlan kört egyetlen i∈N színre sem. Ekkor aG gráf L-élszínezhető.
Gyakorlatok
1. Tekintsük az alábbi irányított utakat. Jelölje P a szaggatott vonallal jelölt utak, Q pedig a folytonos vonallal jelölt utak halmazát. Keressük meg a Pym- tételben szereplő R halmazt a tétel bizonyítása alap- ján.
2. Tegyük fel, hogy aD irányított gráf páronként pont- diszjunkt irányított útjai alkotják a P és Qúthalma- zokat. Igazoljuk, hogy található D csúcsainak olyan U részhalmaza, amelyre igaz, hogyP ∪Qegyetlen útja sem tartalmaz két U-beli csúcsot, továbbá D minden U-n kívüli v csúcsához létezik olyan u ∈ U csúcs és P ∪ Q-beliP út, amelyenu megelőzi v-t.
3. Tekintsük az alábbi irányított utakat. Jelölje P a szaggatott vonallal jelölt utak, Q pedig a folytonos vonallal jelölt utak halmazát. Keressük meg az előző feladatban szereplő U halmazt a feladat megoldása alapján.
4. Határozzuk meg az alábbi páros gráf egyL-élszínezését a Galvin-tétel bizonyítása alapján.
(A listákban szereplő színek: piros, kék, zöld, sárga, lila, narancssárga, barna.)
l1 l2 l3 l4 l5
f1 – – {P,K,Z,B} – {P,K,Z,N}
f2 {P,K,Z,N} – {Z,S,L,B} {P,S,N,B} – f3 – {K,S,L,N} {P,L,N,B} – {K,Z,S,B}
f4 {P,K,L,N} – {P,S,L,B} – –
f5 – {P,S,N,B} – {K,S,L,B} –
5. Határozzuk meg az alábbi gráf egyL-élszínezését a Galvin-tétel általánosításának bizonyí- tása alapján. (A gráf csúcsaiv1, v2, . . . , v6, a listákban szereplő színek pedig piros, kék, zöld, sárga, lila, narancssárga.)
él színlista v1v3 {P,K,L}
v1v4 {K,Z,S}
v1v5 {P,S,L}
v2v4 {P,Z,S}
v2v5 {K,Z,L}
v2v6 {P,Z,L}
v3v5 {Z,S,N}
v3v6 {P,K,Z}
v4v6 {K,S,N}
6. Tegyük fel, hogy adott a K100 teljes gráfnak 1002
db feszítőfája azzal a tulajdonsággal, hogy a gráf bármely élét pontosan 99 feszítőfa tartalmazza. Igazoljuk, hogy kiválasztható minden feszítőfának egy-egy (esetleg üres) párosítása úgy, hogyK100 minden éle szerepeljen valamelyik kiválasztott párosításban.
7. Tegyük fel, hogy aG páros gráf minden egyes e éléhez adott egy legalább k·∆(G) színből álló Le színlista. Igazoljuk, hogy minden e élhez választható k db szín az Le színlistából úgy, hogy a közös csúccsal rendelkező élekhez csupa különböző színt válasszunk.
8. Tegyük fel, hogy a Gpáros gráf minden egyese éléhez adott egyk(e)pozitív egész érték és egy legalább K színből álló Le színlista, aholK = maxv∈V(G)
P
e∈E(v)k(e). Igazoljuk, hogy minden e élhez választható k(e) darab szín az Le színlistából úgy, hogy a közös csúccsal rendelkező élekhez csupa különböző színt válasszunk.
9. A G páros gráf minden e éléhez tartozik egy Le színlista. Tegyük fel, hogy minden e élre
|Le| = ∆(G), kivéve |Le1| = 1 és|Le2| = 2·∆(G)−1, ahol e1 és e2 ugyanarra a csúcsra illeszkedő két éle G-nek. Igazoljuk, hogy G L-élszínezhető.
10. Tegyük fel, hogy M1, M2, . . . , M2k+1 a G (nem feltétlenül páros) gráf stabil párosításai.
Minden, a párosítások által fedett v csúcsra jelölje e(v) a v-re illeszkedő (multiplicitással) 2k+ 1 párosításél közül a (k+ 1)-dik legjobbat. Mutassuk meg, hogy az így definiálte(v) élek halmaza stabil párosítást alkot a Ggráfban.
11. (*) Tegyük fel, hogy aGpáros gráf éleinek valamelyF részhalmazára teljesül, hogy bármely két F-beli e, f élhez van olyan M(e, f) stabil párosítás, ami e két élt tartalmazza, azaz e, f ∈M(e, f). Bizonyítsuk be, hogy van olyan M stabil párosítás, amire F ⊆M teljesül.
Igaz-e hasonló állítás akkor, ha G nem feltétlenül páros gráf?
12. (*) Bizonyítandó, hogy a sík rácspontjainak tetszőleges véges H halmazából kiválasztható olyan K részhalmaz, melyre teljesülnek az alábbi tulajdonságok:
(a) a sík bármely tengelypárhuzamos (azaz függőleges vagy vízszintes) egyenese K-t leg- feljebb2 pontban metszi,
(b) H\K bármely pontja rajta van egyK-beli végpontokkal rendelkező, tengelypárhuza- mos szakaszon.
