Gráfok és algoritmusok 2022. tavasz
5. gyakorlat
2022. március 18.Tudnivalók
Ford–Fulkerson-tétel. Tetszőleges(G, s, t, c)hálózatban a megengedett st-folyam maximá- lis nagysága megegyezik az st-vágások kapacitásának minimumával.
Kőnig tétele. Tetszőleges G páros gráfban a maximális párosítás mérete megegyezik a mi- nimális lefogó ponthalmaz méretével, azaz ν(G) =τ(G).
Hall tétele. Egy G= (A, B;E) páros gráfban akkor és csak akkor van A-t lefedő párosítás, ha minden X ⊆A részhalmazra|X| ≤ |N(X)| teljesül.
Frobenius tétele. EgyG= (A, B;E)páros gráfban akkor és csak akkor van teljes párosítás, ha |A|=|B|és minden X ⊆A részhalmazra |X| ≤ |N(X)| teljesül.
Tutte tétele. Egy G gráfnak pontosan akkor van teljes párosítása, ha o(G−X) ≤ |X|
teljesül minden X ⊆V(G)ponthalmazra, ahol o(H)aH gráf páratlan számú csúcsot tartalmazó komponenseinek számát jelöli.
Gyakorlatok
1. Növeljük a megadott st-folyamot, ha ez lehetséges!
s t
a
b 1(1)
0(1) 1(1)
0(1)
1(1)
2. Keressünk az alábbi gráfban maximális párosítást a vastag vonalakkal jelölt párosításból kiindulva
(a) a magyar módszer segítségével;
(b) a maximális folyam keresésére szolgáló javítóutas algoritmus segítségével.
a1
b1 a2
b2 a3
b3 a4
b4 a5
b5
3. Keressünk a 2. feladatbeli Gpáros gráfban egy maximális b-párosítást, ahol b:V(G)→N v 7→2.
4. Használjuk Tutte tételét annak igazolására, hogy az alábbi gráfokban nincs teljes párosítás.
a b c
d e
f g
h i j
a b
c d
e
5. Mutassuk meg a Tutte- és Forbenius-tétel felhasználása nélkül, hogy egy G = (A, B;E) páros gráf esetén az alábbi állítások egymással ekvivalensek.
(i) TetszőlegesX ⊆A esetén |X| ≤ |N(X)|, valamint |A|=|B|.
(ii) TetszőlegesY ⊆B esetén |Y| ≤ |N(Y)|, valamint |A|=|B|.
(iii) TetszőlegesZ ⊆V(G) esetén o(G−Z)≤ |Z|.
