Gráfok és algoritmusok 2022. tavasz

Gráfok és algoritmusok 2022. tavasz

6. gyakorlat

Tudnivalók

Def: Egy G = (V, E) gráf u, v ∈ V csúcsaira λ(u, v) az u és v között vezető, páronként éldiszjunkt G-beli utak maximális száma, λ(G) := min

λ(u, v) : u, v ∈ V pedig a G gráf élösszefüggősége.

Megjegyzés: Menger tétele miatt λ(G) = min

|F|:F ⊆E, G−F nem összefüggő . Cél: AdottG= (V, E)gráfraλ(G)meghatározása, ésGegy minimális vágásának megtalálása.

A minimális vágás alatt egy olyan minimális méretű F ⊆E élhalmazt értünk, amireG−F nem összefüggő. Minden ilyenF minimális vágást indukál egy X ⊂V ponthalmaz: F =E(X, V \X), azaz F azX és a kompementere között vezető élek halmaza.

Megfigyelés: : (1)λ(u, v)és egyu-t ésv-t szeparáló minimális vágás meghatározható egyet- len folyamalgoritmussal: minden élt helyettesítünk két, oda-vissza megirányított éllel, minden irányított élnek 1kapacitást adunk, és maximális folyamot keresünk u-ból v-be.

(2) Tetsz. n-csúcsú G gráfra elég ⁿ₂

folyamalgoritmus egy minimális vágás meghatározásához.

(3) Ha X minimális vágást indukál, akkor tetszőlegesu∈X ésv ∈V \X eseténλ(u, v) = λ(G).

Ezértλ(G)meghatározásához elegendőn−1folyamalgoritmus: egy rögzítettucsúcsra számítjuk ki λ(u, v)-t minden u6=v ∈V esetén.

Legyen G = (V, E) és c : E → N egy súlyfüggvény, ami azt írja le, hogy hány párhuzamos élt jelent egy-egy él. (Egyszerű gráfra c ≡ 1.) Az e = uv él összehúzása alatt azt értjük, hogy azonosítjük azuésvcsúcsokat, töröljük a keletkezőc(uv)darab hurokélt, ésc(xw) = c(ux)+c(vx) lesz, ahol w az azonosítással keletkező új csúcs.

Állítás: Legyen F ⊆ E a fenti jelölések szerinti G gráf egy minimális vágása. Válasszunk c szerinti eloszlással egy véletlen e⁰ élt, azaz P(e-t választjuk) = _˜c(E)^c(e). Legyen G⁰ az e⁰ él összehú- zásával kapott gráf. Ekkor (1) λ(G⁰)≥λ(G), (2) G⁰ minden vágása megfelelG egy vágásának, továbbá (3) az F vágásP(e⁰ 6∈F)≥(n−2)/n, valószínűséggel túléli a random összehúzást.

Karger algorimusa: G-ben egymás után n−2 élt húzunk össze, az élt mindig az aktuális c eloszlás szerint választva. A végén kapott kétpontú gráf által meghatározott vágás megfelelője lesz a jelölt Gminimális vágására.

Állítás: HaF a Gegy minvágása, akkor P(Karger algoritmusa F-et találja meg)≥ _n(n−1)² . Köv.: P(Karger algoritmusátk·n²-szer végrehajtva sosem F az output)≤e^−2k .

Def: AGmultigráfmaxvissza sorrendje aGcsúcsainak olyanv₁, v₂, . . . , v_nsorrendje, amelyre minden 1 ≤ i < j ≤ n esetén d(V_i, v_i+1) ≥ d(V_i, v_j) teljesül, ahol V_i = {v₁, v₂, . . . , v_i}, azaz a soron következő csúcs mindig a korábbi csúcsokkal leginkább összekötött csúcsok egyike.

Tétel: Ha v₁, v₂, . . . , v_n a G maxvissza sorrendje, akkor λ(v_n, vn−1) =d(v_n), azaz a v_n-et és vn−1-et szeparáló vágások között az egypontú {v_n} minimális.

Megfigyelés: Ha v1, v2, . . . , vn a G maxvissza sorrendje és G-nek van olyan X minimális vágása, ami szeparálja v_n-et és vn−1-et, akkor X = {v_n} a G egy minimális vágása. Különben G minimális vágásai megegyeznek a G-ből a v_n és vn−1 csúcsok összeragasztásával kapható G⁰ gráf minimális vágásaival. (A vn és vn−1 összeragasztása alatt egy újonnan bevett vn−1vn él összehúzását értjük.)

Nagamochi–Ibaraki-algoritmus Input: G= (V, E) multigráf, Output: F minimális vágás.

I. Meghatározzuk G egy v1, v2, . . . , vn maxvissza sorrendjét.

II. Rekurzív hívással meghatározzuk a vn−1 és v_n csúcsok összeragasztásával kapott G⁰ gráf egy minimális F⁰ vágását, ami G-ben F-nek felel meg.

III. Ha |F| ≤d(vn), akkor az output F. Különben pedig E(vn), av-re illeszkedő élek halmaza.

A cél most a fenti tétel bizonyítása.

Def: AGgráf csúcsainakv₁, v₂, . . . , v_nsorrendjefolytonos, haGkomponensei intervallumokat alkotnak a sorrendben, ésGminden csúcsának (a komponensek legelső csúcsainak kivételével) van a sorrendben korábbi szomszédja. AGgráf csúcsainakv₁, v₂, . . . , v_nsorrendjéhez tartozó élhalmaz azon v_iv_j élekből áll, amelyekre j < i ésv_i-nekv_j a maxvissza sorrendbeli legelső szomszédja.

Megfigyelés: (1) Irányítatlan gráf maxvissza sorrendje folytonos. (2) Folytonos sorrendhez tartozó élhalmaz aGfeszítő erdeje. (3) Hav_i aGegy komponensének legelső eleme egy folytonos

sorrendben, akkor F minden v_i-ből induló útján a csúcsok indexei monoton növekednek.

Megfigyelés: Ha aGgráfv₁, v₂, . . . , v_nmaxvissza sorrendjéhez az F élhalmaz tartozik, akkor v₁, v₂, . . . , v_n a G−F gráfnak is maxvissza sorrendje.

Legyenv₁, v₂, . . . , v_n aG=G₁ irányítatlan gráf maxvissza sorrendje,F_{`</sub> pedig az e sorrendhez tartozó élhalmaz a G<sub>`} gráfban, ahol G_i+1 =G_i−F_i (i= 1,2, . . .). Ekkor F_{`</sub> a G<sub>`} feszítő erdeje.

Megfigyelés: Ha v_i és v_j az F_k ugyanazon komponenséhez tartoznak, akkor λ_G(v_i, v_j)≥k . Biz: : ` = 1,2, . . . , k esetén v<sub>i</sub> és v<sub>j</sub> az F<sub>`</sub> azonos komponensében vannak, így vezet köztük út F_`-ben. Ígyk db páronként éldiszjunktv_iv_j-utat kapunk G-ben.

Köv.: λ(v_n, vn−1) = d(v_n)

Biz: Ha d(v_n) =k, akkorv_n minden éle azF₁, F₂, . . . , F_k fák egyikéhez tartozik, így a maxvissza sorrend folytonossága miatt v_n ésvn−1 az F_k ugyanazon komponensében van.

Gyakorlatok

1. Futassuk a Karger-algoritmust az alábbi gráfra; az élekhez rendelt pozitív egész számok azt jelentik, hogy az adott él hány párhuzamos élt reprezentál.

a b

c d

e f

3 1

1 3

1

1 1 1

2. Határozzuk meg az alábbi multigráf egy maxvissza sorrendjét és az ahhoz tartozóF1, F2, . . . erdőket.

a b

c d

e f

3. Határozzunk meg a Nagamochi–Ibaraki-algoritmussal az alábbi gráfokban egy-egy minimális vágást.

a b

c d

e f

a b c

d e f

4. Legyen G= (V, E)tetszőleges véges (legalább 2-csúcsú) multigráf. Igazoljuk, hogy találha- tók u₁, w₁ és u₂, w₂ csúcsok úgy, hogy u₁ 6=u₂ ésd(u_i) = λ(u_i, w_i) mindeni∈ {1,2}-re.

5. Legyenek aGgráf csúcsaiu₁, u₂, . . . , u_nésv₁, v₂, . . . , v_n, élei pedig u₁v₁, u₂v₂, . . ., un−1vn−1

valamint minden 1 ≤ i < j ≤ n esetén fusson él u_i és u_j, illetve v_i és v_j között. Lehet-e u₁ ésv₁ (valamilyen sorrendben) aGcsúcsainak alkalmas maxvissza sorrendjében az utolsó két csúcs?

6. Tegyük fel, hogy haλ(u, v) =d(v)teljesül a Gegyszerű gráf két különbözőuésv csúcsára, akkor avcsúcs bizonyosan av₁vagyv₂csúcs valamelyike. Bizonyítsuk be, hogy ha|V(G)|>

2, akkor v₁ és v₂ nem szomszédosak G-ben.

7. Tegyük fel, hogy amikor a Nagamochi–Ibaraki-algoritmus segítségével határozzuk meg a G multigráf élösszefüggőségi számát, akkor a max-vissza sorrendekben az utolsó csúcsok fokszáma rendre 7,9,6,4,7,5,4,8,4,7,9.

(a) Határozzuk megG élösszefüggőségi számát, λ(G)-t.

(b) Igaz-e, hogy G-nek bizonyosan van olyan legfeljebb 4-elemű X ponthalmaza, hogy X és a komplementere között futó élek száma megegyezikλ(G)-vel?

8. Tegyük fel, hogy amikor a Nagamochi–Ibaraki-algoritmus segítségével határozzuk meg a G multigráf élösszefüggőségi számát, akkor a max-vissza sorrendekben az utolsó csúcsok fokszáma rendre 7,9,4,6,7,7,6,8,6,7,9.

(a) Határozzuk megG élösszefüggőségi számát, λ(G)-t.

(b) Legkevesebb hány élt kell behúzniG-be ahhoz, hogy a kapott gráf 6-szorosan élössze- függő legyen?

9. Van az alábbi gráfnak olyan maxvissza sorrendje, amelyikben az utolsó két csúcs j és k?

a b c d

e

f g

h

i j k l

10. Tegyük fel, hogyu1, u2, . . . , unésv1, v2, . . . , vnaGgráf két olyan maxvissza sorrendje, amire un−1 = v_n és u_n =vn−1 teljesül, azaz a két utolsó csúcs ugyanaz, de fordított sorrendben.

Bizonyítsuk be, hogy d(un−1) =d(u_n).

11. Tegyük fel, hogy az n-pontú G gráf egy maxvissza sorrendjéhez tartozó élcímkézés szerint G-nek pontosan4n−4olyan éle van, ami legfeljebb 4-es címkét kap. Bizonyítsuk be, hogy G 4-élösszefüggő.

12. Tegyük fel, hogy az n-pontú G gráf nem 4-élösszefüggő, és egy maxvissza sorrendjéhez tartozó élcímkézés szerint G-nek pontosan 4n−5 olyan éle van, ami legfeljebb 4-es címkét kap. Bizonyítsuk be, hogy G-nek egyetlen egy háromélű vágása van.

13. Tegyük fel, hogy G összefüggő gráf és G bármely v csúcsához van G-nek v-re végződő maxvissza sorrendje. Igaz-e, hogy G biztosan reguláris?

14. Tegyük fel, hogy a G = (V, E) gráfon lefuttattuk a Nagamochi–Ibaraki-algoritmust, és a maxvissza sorrendekben az utolsó csúcsok fokszáma mindig 42 volt. Bizonyítsuk be, hogy található egy olyan F = (V, E⁰) fa, aminek bármelye élére F −e két komponense a G gráf egy minimális vágását határozza meg.

15. Tegyük fel hogy aGgráfnak legalább 2 csúcsa van,k-élösszefüggő, de bármely élét elhagyva már nem k-élösszefüggő. Bizonyítsuk be hogy G-nek van k-adfokú csúcsa.

16. Mutassuk meg, hogy ha v1, v2, . . . , vn a G gráf maxvissza sorrendje egy tetszőleges nem- negatív (de nem feltétlenül egész) c élsúlyozás mellett, akkor λ_c(vn−1, v_n) = d_c(v_n), azaz a vn−1-et és v_n-t szeparáló vágások között {v_n} minimális.