Gráfok és algoritmusok 2022. tavasz
10. gyakorlat
2022. április 29.Tudnivalók
Állítás: (1) AGgráf pontosan akkor2-élösszefüggő, haGmegkapható egy csúcsból kiindulva fülek egymás utáni felragasztásával úgy, hogy a fül két végpontja megegyezhet. Fül alatt olyan utat értünk két eddig felépített csúcs között, aminek a belső pontjaik eddig nem szerepeltek a felépítésben.
(2) AGgráf pontosan akkor2-összefüggő, haGmegkapható egy körből kiindulva fülek egymás utáni felragasztásával úgy, hogy a fül két végpontja nem egyezhet meg. Fül alatt olyan utat értünk két eddig felépített csúcs között, aminek a belső pontjaik eddig nem szerepeltek a felépítésben.
Def: Legyenek e = uz, f = vz a G gráf két éle. Az e, f leemelésével keletkezik a Gef = G−e−f +uv gráf.
Def: X ⊆V esetén d(X) :=|E(X)|azX ésV \X között futó élek száma,X, Y ⊆V esetén pedig d(X, Y) :=|E(X, Y)| az X\Y ésY \X között futó élek száma.
Állítás: Tetszőleges irányítatlan G= (V, E) gráf és A, B, C ⊆V esetén (1) d(X) +d(Y) =d(X\Y) +d(X\Y) + 2d(X∩Y, V \(X∪Y))ill.
(2) d(A) +d(B) +d(C)≥d(A∩B∩C) +d(A−(B∪C)) +d(B−(A∪C)) +d(C−(B∪A)) + 2d(A∩B∩C, V −A∪B∪C) teljesül.
Tétel: (Lovász) Tfh d(z) páros és λG(x, y) ≥ k ≥ 2 teljesül minden x, y ∈ V csúcsra a G= (V +z, E)gráfban. Ekkor mindene=ztélhez létezik olyanf =vz él, melyreλGef(x.y)≥k minden x, y ∈V csúcsra.
Biz: Az X (V halmaz veszélyes, ha t∈X ésd(X)≤k+ 1. Azef leemelés pontosan akkor hajtható végre, ha nincs olyan veszélyes X halmaz, amelyre v ∈X, ahol e=zt, f =zv.
I. eset Ha van olyanf =zv él, amirev-t nem tartalmazza veszélyes halmaz, akkoref leemelhető.
II. eset Ha z minden szomszédját tartalmazza veszélyes halmaz, akkor legyenek X1, X2, . . . X` olyan veszélyes halmazok, amelyekre N(z) ⊆ S
1≤i≤`Xi, azaz fedik z minden szomszédját és ` minimális.
a Ha `= 1, akkor k+ 1 ≥d(X1) = d(V −X1) +d(z)≥k+ 2, ellentmondás.
b Ha` = 2, akkor2(k+1)≥d(X1)+d(X2) =d(X1\X2)+d(X2\X1)+2d(X1∩X2, V\(X1∪X2))≥ k+k+ 2. Végig egyenlőség áll, ígyE(X1∩X2, V \(X1∪X2)) ={zt}ésd(X1) =d(X2) = k+ 1.
Mivel d(z) páros, ezért feltehető, hogy d(z, X1 \X2) > d(z, X2 \ X1), ahonnan d(V \X1) = d(X1)−d(z, X1) +d(z, X2\X1)≤k+ 1−d(z, X1\X2)−1 +d(z, X2\X1)< k, ellentmondás.
c Ha pedig`≥3, akkor3(k+1)≥d(X1)+d(X2)+d(X3)≥d(X1∩X2∩X3)+d(X1−(X2∪X3))+
d(X2−(X1∪X3)) +d(X3−(X1∪X2)) + 2d(X1∩X2∩X3, V \(X1∪X2∪X3)≥4k+ 2, ahonnan k ≤ 1 adódik, ami ellentmondás. Ezek szerint mindenképp az I. eset valósul meg, lehetséges a
leemelés.
Tétel: Legyen aG= (V +z, E)gráfband(z)páros és tfh. λG(x, y)≥k ≥2mindenx, y ∈V csúcspárra. Ekkor a z-re illeszkedő élek párba állíthatók úgy, hogy az élpárok leemelése után kapott gráf k-élösszefüggő.
Biz: Amíg indulz-ből él, leemeljük egy másikz-ből induló éllelV-n belül megőrizve a lokális k-élösszefüggőséget. Ha z izolálttá vált, aV ponthalmazon egy k-élöf gráf marad.
Tétel: Tetsz.Girányítatlan gráf pontosan akkor 2k-élösszefüggő, haGelőállítható egy pont- ból az alábbi műveletek alkalmazásával: (i) él hozzáadása, (ii) k db él összecsípése.
(Élösszecsípés: az adott éleket 1-1 ponttal felosztjuk, majd ezeket az osztópontokat azonosítjuk.) Biz: Elégségesség: az így felépített gráf csúcsainak bármely valódi részhalmazából legalább 2k él indul, így a kapott gráf 2k-élöf. Szükségesség: ha G 2k-élöf, akkor a felépítés helyett egy csúcsra redukáljuk az alábbi lépésekkel: él törlése és 2k-adfokú csúcs teljes leemelése. Élt akkor törlünk, ha utána megmarad a 2k-szoros élösszefüggőség. Ha él így már nem törölhető, akkor G megegyezik a saját2k-élöf tulajdonságát igazoló ritka tanúval, amit egy maxvissza sorrendhez tartozó F1, F2, . . . , F2k erdők alkotnak. Ebben a tanúban a maxvissza sorrend utolsó csúcsa 2k- adfokú, és ennek a csúcsnak a 2k-élöf tulajdonságot megőrző teljes leemelésével folytathatjuk a redukciót. Ez az eljárás csak az egypontú, 0 élű gráfnál akadhat el.
Lemma: Minden élelhagyásra nézve minimális k-élösszefüggő gráfnak van k-adfokú pontja.
Tétel: (Nash-Williams) A G irányítatlan gráfnak pontosan akkor van k-élösszefüggő irá- nyítása, ha G 2k-élösszefüggő.
Biz: HaG-t az előző tétel szerint építjük fel, de minden él hozzáadásakor irányított élt adunk hozzá, akkor olyan irányított gráfot kapunk, amelyiknek a csúcsai bármely valódi X részhalma- zából legalább k él vezet (V −X)-be. Ezért ez az irányításk-élöf.
Gyakorlatok
1. Tegyük fel, hogy a 4-szeresen élösszefüggőGgráfbanuésv két nemszomszédos, negyedfokú csúcs. Bizonyítsuk be, hogy található u-nak két szomszédja u1 és u2, valamint v-nek két szomszédja v1 és v2 úgy, hogy a G gráfból az uu1, uu2, vv1, vv2 élek törlésével és az uv1, uv2,vu1,vu2 élek behúzásával létrejövő gráf 4-szeresen élösszefüggő lesz.
2. Tegyük fel, hogy G olyan 4-élösszefüggő gráf, aminek v egy 8-fokú csúcsa. Igazoljuk, hogy aG−v gráfhoz hozzáadható egy-egy negyedfokú v1 és egy v2 csúcs úgy, hogy a kapott gráf 4-élösszefüggő legyen, és a G gráfv-től különböző csúcsainak fokszáma ne változzon. (Tkp a v csúcsot kell szétszedni két negyedfokú csúcsra a4-szeres élösszefüggőség megőrzésével.) 3. Tegyük fel, hogy a 4-szeresen élösszefüggő Ggráfnak u ésv nemszomszédos, ötödfokú csú- csai. Bizonyítsuk be, hogy G-nek van olyan ux ésvy éle, amelyre az ezen élek törlésével és egy xy él behúzásával létrejövőG−ux−vy+xy gráf 4-szeresen élösszefüggő.
4. Tegyük fel, hogy a 2k-szorosan élösszefüggő G gráf ` darab él hozzáadásával és m darab él-k-as összecsípésével állítható elő egy pontból kiindulva. Igazoljuk, hogy G bármely ilyen előállításakor pontosan ` darab élhozzáadásra és m darab k-élösszecsípésre van szükség.
5. Tegyük fel, hogy aG 42-szeresen élösszefüggő gráfban egy 2d-edfokú csúcs kivételével min- den csúcs fokszáma42. Igazoljuk, hogyGmegkapható egydhurokéllel rendelkező egypontú gráfból alkalmas él-21-esek összecsípéseinek egymásutánjával.
6. Tegyük fel, hogy u és v a 4-szeresen élösszefüggő G gráf negyedfokú csúcsai. Bizonyítsuk be, hogyuésv kicserélhetnek két szomszédot a 4-szeres élösszefüggőség megtartásával, azaz található u-nak két szomszédja (mondjuk a és b), illetve v-nek két szomszédja (mondjuk c ésd) úgy, hogy aG−ua−ub−vc−vd+uc+ud+va+vd gráf is 4-szeresen élösszefüggő.
7. Az alábbi ábra mutatja aG gráf Gomory–Hu-fáját. Határozzuk meg, legkevesebb hány élt kell G-ből törölni ahhoz, hogy az így kapott gráfnak ne legyen semmiféle fülfelbontása.
a b c d
e
f g
h
i j k l
22 17
17 42
11 42 6
17 7
4 7
