Kombinatorikus optimalizálás 2022. tavasz
5. gyakorlat
2022. április 22.Gyakorlatok
1. Azt mondjuk, hogy az ∅ 6=X (V(G) halmaz a G gráf egy minimális vágását határozza meg, ha azX-ből kilépő élek száma a minimális aV(G) valódi részhalmazai körében, azaz bármely
∅ 6=Y (V(G)esetén Y ésV(G)\Y között legalább annyi él fut, mintX ésV(G)\X között.
Bizonyítsuk be, hogy haX ésY a V(G) keresztező részhalmazai (azazX∩Y, X\Y, Y \X és V(G)\(X∪Y)egyike sem üreshalmaz), akkorX∩Y, X∪Y ésX\Y is aGgráf egy minimális vágását határozza meg.
2. Tegyük fel, hogy G olyan 4-élösszefüggő gráf, aminek v egy 8-fokú csúcsa. Igazoljuk, hogy a G−v gráfhoz hozzáadható egy-egy negyedfokú v1 és egy v2 csúcs úgy, hogy a kapott gráf 4-élösszefüggő legyen, és a G gráf v-től különböző csúcsainak fokszáma ne változzon. (Tkp a v csúcsot kell szétszedni két negyedfokú csúcsra a 4-szeres élösszefüggőség megőrzésével.) A v csúcs teljes leemelése után a kapott4 élből két párt összecsípünk. Mind a leemelés, mind az élösszecsípés megőrzi a 4-élöf tulajdonságot. Az így kapott gráf úgy is tekinthető, mintha a nyolcadfokúv csúcsot egy-egy negyedfokú v1 ésv2 csúcsra vágtuk volna szét.
3. Tegyük fel, hogy a 4-szeresen élösszefüggő G gráfnak u és v szomszédos, hatodfokú csúcsai.
Bizonyítsuk be, hogy G-nek van olyan ux és vy éle, amelyre az említett élek és uv törlésé- vel, valamint egy xy él behúzásával létrejövő G−uv −ux−vy+xy gráf szintén 4-szeresen élösszefüggő.
Lovász órán tanult leemelési tétele szerint ha aGgráf legalább2-szeresen élösszefüggő ésd(v) páros, akkor bármelyvx élhez van olyan vy él, hogy avx, vy élpár leemelése után kapott gráf bármely két v-től különböző csúcsa között a lokális élösszefüggőség legalább λ(G)marad. (3 pont)
Ezért (miveld(u) páros) az u csúcsból azuv élt leemelhetjük valamely ux éllel, majd a kelet- kezettxv élt (a szintén páros fokszámú) v-ből leemelhetjük egy másik vy éllel. (2 pont) E két leemelés után megkapjuk a feladatban leírtG0 =G−ux−vy+xygráfot, és Lovász tétele miatt bámely kétu-tól ésv-től különböző csúcs között legalább 4marad az élösszefüggőség.(2 pont)
Nekünk azonban a teljes G0 gráf 4-szeres élösszefüggőségét kell igazolnunk. Ehhez az immár 4-edfokúvá váltuésvcsúcsokat kell teljesen leemelni. Az így kapott gráf továbbra is4-szeresen élösszeefüggő marad. Ezután a két élpár összecsípésével kaphatjuk vissza a G0 gráfot. A 2k- szorosan élösszefüggő gráfok előállítása kapcsán azt tanították, hogyk él összecsípése megőrzi a k-szoros élösszefüggőséget. Ezt a k = 2 esetre alkalmazva adódik, hogy a G0 gráf valóban 4-szeresen élösszefüggő, amint azt a feladat állítja. (3 pont) A fenti megoldásban ügyelni kell arra, hogy Lovász leemelési tételében a lokális összefüggőség csak a leemelési ponttól különböző pontok között marad meg. Ezért van szükség az utolsó 3 pontos részre. Egyszerűbb leírni azt a megoldást, amelyik eleve teljes leemelésekkel operál.
Mivel a λ(G) ≥ 2 és d(u) ill. d(v) párosak, ezért az órán tanultak miatt az u és v csúcsok teljesen leemelhetők, és az így keletkezőG∗ gráf 4-szeresen élössefüggő marad. (5 pont) A leemelési konstrukció miattG∗ úgy áll elő, hogy abbanxés yszomszédosak lesznek, és ezen kívül G-be még behúzunk 4élt, mégpedig u és v szomszédai közöttt 2−2-t. (2 pont) Ha aG∗ gráfban összecsípjük ezt a2−2 élt, akkor éppen egy megfelelő G0 gráfot kapunk, (1 pont)
és ez az összecsípés operció az órán tanultak miatt megőrzi a4-szeres élösszefüggőséget. Ezzel
a feladat allítását igazoltuk. (2 pont)
4. Tegyük fel, hogy a 4-szeresen élösszefüggő G gráfnak u és v nem szomszédos, negyeddfokú csúcsai. Bizonyítsuk be, hogyu-nak vannak olyana ésbszomszédai, valamintv-nek olyancés dszomszédai, hogy aG0 =G−ua−ub−vc−vd+uc+ud+va+vbgráf4-szeresen összefüggő.
(4élt törlünk és 4 élt hozzáveszünkG-hez.)
Lovász órán tanult leemelési tétele szerint ha aGgráf legalább4-szeresen élösszefüggő ésd(v) páros, akkor av csúcs teljesen leemelhető úgy, hogy a kapott gráf 4-szeresen élösszefüggő ma-
radjon. (3 pont)
Ezért az u és a v csúcsra is elvégezhető a teljes leemelés a 4-szeres élösszefüggőség megtartá-
sával. (2 pont)
Az így kapott gráfba a leemelés során be kell húzni egy ab és egy xy élt az u 4 szomszédja között, ill. acd észt élt a v 4 szomszédja között. (2 pont) Ha most összecsípjük az ab és zt ill. a cd és xy éleket, akkor egyrészt a feladatban leírt G0
gráfot kapjuk, (2 pont)
másrészt ez az operáció az órán tanultak szerint megőrzi a 4-szeres élösszefüggőséget. A G0 gráf tehát csakugyan 4-szeresen élösszefüggő, ahogyan azt a feladat állítja. (1 pont) 5. Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges k ≥1 egész szám esetén minden 2k-reguláris és 2k-szorosan élösszefüggő gráf megkapható egy k hurokélt tartalmazó egycsúcsú gráfból él-k-asok egymás utáni összecsípésével.
Az órán azt tanultuk, hogy minden 2k-reguláris gráf előáll egy csúcsból úgy, hogy minden lépésben vagy egy élt húzunk be a gráfba, vagy k élt csípünk össze. (4 pont) A felépítés biztosan úgy kezdődik, hogy behúzunkk hurokélt, hisz amíg nem áll rendelkezésre
k él, addig nem tudunk élt összecsípni. (1 pont)
Ha behúztuk a k élt, akkor minden (mind az egy) csúcs fokszáma 2k lesz, és az összecsípések során a csúcsok fokszámai megmaradnak, az összecsípett csúcs fokszáma pedig2k lesz. (2 pont)
Ezért ha a kezdetben behúzott k él után valaha is további élt húzunk be, akkor keletkezik 2k-nál nagyobb fokszámú csúcs, és ez a csúcs a további lépések során is 2k-nál nagyobb fokú
marad. (2 pont)
Azt kaptuk, hogy a fenti előállításban a k hurokél behúzása után már csak él-k-asokat tudunk összecsípni. Ezzel pedig pontosan a feladat állítását igazoltuk. (1 pont) Avagy.
Legyen G a feladatban leírt tulajdonságú gráf. Lovász leemelési tétele szerint G tetszőleges csúcsára elvégezhető a teljes leemelés úgy, hogy egy 2k-reguláris, 2k-élösszefüggő gráfot ka-
punk. (4 pont)
A kapott gráfra a teljes leemelést megismételhetjük mindaddig, míg egy egycsúcsú (2k-reguláris
és2k-élösszefüggő) gráfot nem kapunk. (3 pont)
Ez a gráf egy csúcsot ésk párhuzamos hurokélt tartalmaz. Ha tehát az elvégzett teljes leeme- léseket „visszacsináljuk”, akkor a gráfunkat ebből a gráfból építjük fel él-k-asok összecsípésével.
Ezzel igazoltuk a feladat állítását. (3 pont)
6. Bizonyítsuk be, hogy ha a 100-csúcsú G gráf minden egyes élét úgy lehet a piros, fehér vagy zöld színek valamelyikére kiszínezni, hogy a piros élek egy100-csúcsú kört, a fehér élek egy100- csúcsú fát a zöld élek pedig egy 100-csúcsú összefüggő gráfot alkotnak, akkor G megkapható egy csúcsból kiindulva élhozzáadások és élpárösszecsípések alkalmas egymásutánjával.
Az órán azt tanultuk, hogy minden 4-reguláris gráf előáll egy csúcsból úgy, hogy minden lépésben vagy egy élt húzunk be a gráfba, vagy 2 élt csípünk össze. (4 pont) Ezért azt kell igazolnunk, hogy G 4-élösszefüggő, azaz G bármely két csúcsa között vezet 4
páronként éldiszjunkt út. (2 pont)
Ha u és v a G két teszőleges csúcsa, akkor a piros körön vezet köztük két éldiszjunkt piros út, a fehér fában egy további, ezektől éldiszjunkt fehér út, valamint a zöld összefüggő gráfban egy ezektől éldiszjunkt zöld út. Van tehát bármely u, v pontpár esetén G-ben 4 páronként éldiszjunkt uv-út, vagyis G4-élösszefüggő, így a bizonyítást befejeztük. (4 pont) Az utolsó6 pont másképp is megszerezhető.
Azt kell igazolnunk, hogy Gbármely vágása legalább 4-élű, azaz G csúcsainak bármely valódi
részhalmazából legalább4 él lép ki. (2 pont)
Ha X ( V(G), akkor X-ből ki kell lépnie legalább két piros, legalább egy fehér és legalább egy zöld élnek, ez pedig a fentiek fényében igazolja a feladat állítását. (4 pont)
