Kombinatorikus optimalizálás 2022. tavasz
2. gyakorlat
2022. március 11.Tudnivalók
Megfigyelés: Tetszőleges lineáris egyenlőtlenségrendszerAx≤bkanonikus alakba írható: a változókat azx= (x1, x2, . . . , xn)|, a jobboldalon álló konstansokat a b= (b1, b2, . . . , bk)| vektorok írják le, A pedig az együtthatómátrix. (Az egyenlőségeket két egyenlőtlenségként írjuk fel, a fordított (≥) egyenlőtlenségek helyett pedig a(−1)-szeresük szerepel≤relációval.)
Fourier-Motzkin-eliminációA Gauss-eliminációhoz hasonló elemi sorekvivalens átalakításokat vég- zünk (sorcsere, sorλ-val végigszorzása, egy sornak a másikhoz hozzáadása), de itt csakλ >0 lehet, ezért egy-egy változó elminációja bonyolultabb, mint a Gauss-elimináció esetén. Itt is egymás után elmináljuk azx1, x2, . . . , xn változókat, azaz olyan egyenlőtlenségrendszerre térünk át, amelyikben az éppen eliminált változó már nem szerepel. Azxi eliminációját az alábbiak szerint végezzük.
Az kibővített együtthatómátrix sorait alkalmas pozitív konstansokkal szorozva elérjük, hogy azxi osz- lopában minden elem ±1 vagy 0 legyen. Sorcserékkel a mátrixot A =
A+
A−
A0
b+
b−
b0
!
alakba írjuk ahol azxi oszlopában A+, A− ill.A0 tartalmazza rendre az 1, −1, ill.0 elemeket. Az elimináció után az A0 = A∗
A0
b∗ b0
mátrixot kapjuk, ahol A∗-ba gyűjtjük az összes lehetséges A+ ill. A−-beli sorpár összegét. b∗ pedig ab+ és b− megfelelő koordinátáinak összege. Az elimináció utáni mátrixban tehát xi
oszopában csak0együtthatók állnak.
I. esetAz összes változó eliminálása után tilos sor keletkezik, azaz olyan csupa0soraA-nak, amelyhez ab konstans negatív. Ekkor nincs megoldása a lineáris egyenlőtlenségrendszernek.
II. esetNem keletkezik tilos sor. Ekkorxn, xn−1, . . . , x1sorrendben értéket adunk az egyes változóknak.
Azxi-nek történő értékadáskor csak azxi eliminációjakor elhagyott soroknak megfelelő egyenlőtlenségekre kell figyelni: ezek adnak azxi-re egymásnak nem ellentmondó alsó és felső korlátokat. Ilyenkor tehát van megoldás, és konstráltunk is egyet.
Megfigyelés:A Fourier-Motzkin-elimináció során kapott minden egyes egyenlőtlenség az eredetiAx≤b rendszer egyenlőtlenségeinek alkalmas nemnegatív többszöröseinek összege.
Köv.: Farkas-lemma Az Ax ≤ b lineáris egyenlőtlenségrendszerre az alábbiak közül pontosan egy teljesül (1)∃x:Ax≤bill. (2) ∃y≥0 :yA= 0,yb <0 .
A Farkas-lemma néhány alakja: (1)∃x: Ax≤b ⇐⇒ @y≥0 :yA= 0, yb <0
(2)∃x: Ax≥b ⇐⇒ @y≥0 :yA= 0, yb >0 (3)∃x≥0 : Ax≤b ⇐⇒ @y≥0 :yA≥0, yb <0 (4)∃x≥0 : Ax=b ⇐⇒ @y:yA≥0, yb <0
Def: Lineáris programalatt egy lineáris célfüggvény maximalizálását vagy minimalizálását értjük line- áris feltételek (egyenlőségek vagy nem szigorú egyenlőtlenségek) és a változókra vonatkozó esetleges további nemnegativitási feltételek fennállása mellett. Az LP feladat sztenderd alakú, ha minimalizálás esetén min- den egyenlőtlenség≥, maximalizáláskor pedig≤alakú. Példák:
(1)max{cx: Ax≤b}, (2)max{cx: x≥0Ax≤b} (3)max{cx: x≥0, Ax=b}
(4)min{cx: Ax≥b} (5)min{yb: yA≥c} (6)min{yb: y≥0 yA=c}
Def: Az LP-vel jelöltmax{cx: Ax≤b}primál feladatduálisa a DLP-vel jelölt
min{yb : y ≥ 0 yA = c} lineáris programozási feladat. Dualitástétel Tetszőleges maxcx típusú LP feladatra ésminyb típusú DLP duálisára az alábbi lehetőségek közül pontosan egy teljesül.
(1) Sem az LP, sem a DLP nem megoldható.
(2) Az LP nem megoldható, a DLP megoldásain pedig azybcélfüggvényérték alulról nem korlátos.
(3) A DLP nem megoldható az LP megoldásain pedig acxcélfüggvényérték felülről nem korlátos.
(4) Az LP és a DLP is megoldható, és az optimumértékek azonosak:
max{cx:xaz LP megoldása}= min{yb:y a DLP megoldása}.
Megjegyzés: Tetsz LP feladatnak képezhető a duálisa az alábbi ökölszabályok segítségével.
(0) Ne szégyelljünk szamárvezetőt használni. (1) A feladatot sztenderd alakban írjuk fel.
(2) Az LP ill. DLP egyikében maximalizálunk, a másikban minimalizálunk.
(3) Duális változó primál feltételnek ill. duális feltétel primál változónak felel meg.
(4) Nemneg változóhoz egyenlőtlenség, előjelkötetlen változóhoz egyenlőség tartozik.
(5) A primál célfv együtthatói a duál konstansok, a primál konstansok pedig a duál célfv együtthatói.
(6) Az ezen szabályok szerint kapott primál/duál feladat is sztenderd alakban lesz felírva.
Gyakorlatok
1. Döntsük el, hogy igazak-e az alábbi állítások! uésv oszlopvektorokat jelölnek,asorvektort a0 pedig a nullvektort (is). Mindegyik vektor dimenziója azonos. (u < vjelentése: u≤v ésu6=v.)
(a) Ha u≤v ésu6=v akkoru < v.
(b) Hau≤v ésu≥v akkoru=v.
(c) Hau≥0ésa·u >0akkora≥0.
(d) Hau≤v ésa≥0akkora·u≤a·v.
2. Oldjuk meg Fourier-Motzkin elimináció segítségével az alábbi egyenlőtlenség-rendszereket, ill. hatá- rozzuk meg mindazonpértékeket, amelyre megoldható a rendszer.
2x+y+z≤5 x+ 2y−z≤4 z≤1 x−2y−2z≥ −5
x+y+z≥3
2x+y+z≤5 x+ 2y−z≤4 z≤1 x−2y−2z≥ −5
x+y+z≥4
2x+y+z≤5 x+ 2y−z≤4 z≤1 x−2y−2z≥ −5
x+y+z≥5
2x1+x2+x3+x4≤10 x1+ 3x2+x3+x4≤12 x1+x2+ 4x3+x4≤14 x1+x2+x3+ 5x4≤16 x1+x2+x3+x4≥p 3. Írjuk fel az alábbi lineáris egyenlőtlenségrendszertAx≤b alakban, majd döntsük el a Farkas-lemma
segítségével, hogy megoldhatóak-e. (Azaz, ha nem megoldható, akkor adjunk meg egy y vektort és mutassuk meg róla, hogy ez a Farkas-lemma értelmében bizonyítja azAx≤brendszer megoldhatat- lanságát.)
7x1+ 5x2+ 3x3≤2 2x1+ 5x2−6x4≥ −3
3x1+x3≥4 2x1−3x4≤3
8x1+ 5x2+ 3x3≤2 2x1+ 5x2−6x4≥ −3
3x1+x3≥4 2x1−3x4≤3
x1−5x2−3x3+ 2x4≥ −2 x1+ 2x3−8x4= 5 x1−2x2−4x4≤2 4. Kisvakond azon gondolkozik, hogy barátaival nadrágüzletet nyit az erdőben. Terveik szerint vakondok
és nyulak részére fognak nadrágot árulni. A vakondok részére készülő nadrágot 6 perc alatt lehet kiszabni, 8 perc alatt összevarrni és 1 perc a gombok felvarrása. A nyulak részére készülőt pedig 12 perc alatt lehet kiszabni, 4 perc alatt összevarrni és 1 perc a gombok felvarrása. A rák, aki az anyagot szabja, hetente 1800 percet tud dolgozni, a nádirigó, aki a nadrágokat varrja össze, heti 1400 percet, míg a felesége, aki a gombfelvarrást vállalja, csak 200 percet hetente. Terveik szerint a vakondoknak való nadrágot 10 erdei petákért a nyulaknak valót 12 petákért adják. Melyik nadrágból hány darabot készítsenek, ha a bevételüket akarják maximalizálni?
5. Kisvakondék azon töprengenek, hogy megváltoztatják a nyulak részére készülő nadrág árát.
(a) Mennyi a nyulak részére készülő nadrág minimális- illetve maximális ára, amely mellett az 4.
feladatnál kapott értékek mellett maximális bevételt kapunk?
(b) Lehetséges-e úgy megváltoztatni a nyulaknak készülő nadrág árát, hogy akkor érjenek el maxi- mális bevételt, ha 175 vakondnadrágot és0nyúlnadrágot gyártanak?
(c) Lehetséges-e úgy megváltoztatni a nyulaknak készülő nadrág árát, hogy akkor érjenek el maxi- mális bevételt, ha 110 vakondoknak való nadrágot gyártanak és 80 nyulaknak valót?
(d) Lehetséges-e úgy megváltoztatni a nyulaknak készülő nadrág árát, hogy akkor érjenek el maxi- mális bevételt, ha 130 vakondoknak való nadrágot gyártanak és 70 nyulaknak valót?
(e) Lehetséges-e úgy megváltoztatni mindkét típusú nadrág árát, hogy akkor érjenek el maximális bevételt, ha 110 vakondoknak való nadrágot gyártanak és 80 nyulaknak valót?
6. Tegyük fel, hogy azxésyváltozókkal megadott kétváltozós lineáris egyenlőtlenségrendszer megoldásai az xy-síkon egy P konvex sokszöget alkotnak. Határozuk meg, hogy melyek azok a megoldások, amelyek alkalmasan választott c1, c2 értékekkel maximalizálják a c1x+c2y célfüggvényértéket. Ha ismerjük a P sokszög csúcsainak koordinátáit, akkor adott a c1 és c2, akkor hogyan lehet gyorsan megtalálni egy optimális megoldást?
7. (a) Mi a duálisa az alábbi lineáris prog- ramozási feladatnak?
(b) Igaz-e, hogy a primál feladat cél- függvénye korlátos a megoldások halmazán?
max{2x1+ 3x2+ 4x3+ 5x4} ha
x1+ 2x2+x3≤5 x2+ 2x4≤6 x1+x3+x4≤7 2x2+ 3x4≤8
8. (a) Mi a duálisa az alábbi lineáris programozási feladatnak?
(b) Mutassuk meg, hogy azx1= 3,x2=−1,x3= 0a primál feladat egy optimális megoldása, míg azy1= 4,y2= 2,y3= 3,y4= 0a duál feladat egy optimális megoldása!
max{17x1+ 17x2+ 17x3} ha
x1+ 2x2+ 3x3≤1 2x1+ 3x2+x3≤3 3x1+x2+x3≤8 2x1+ 5x2≤2
9. (a) Írjuk fel az alábbi (nváltozós) lineáris programozási feladat duálisát! (A felírás hasonló alakú legyen, mint a primál feladat felírása, vagyis ne mátrixos alakot használjunk.)
(b) Igaz-e, hogy azx1=x2=· · ·=xn = 1választással a primál feladat optimális megoldását adtuk meg?
max{nx1+ (n−1)x2+· · ·+ 2xn−1+xn} ha
x1≤1 x1+x2≤2 x1+x2+x3≤3 ...
x1+x2+· · ·+xn≤n x1, x2, . . . , xn ≥0
