A harm adik esetben a kivonandó 162 egyes. Ennek a kivonása az e lő b b ie k alapján az alábbi lejegyzésből könnyen érthető.
9 6 +20 3 1 : 27 = 3 5 6 -6 +2 (21)
1 5 3 +40
-1 0 +4 (35)
1 8 1+50
_____ g i L m
1 9
C sak az ilyen lejegyzéssel való, kellő ideig tartó szem léltetéssel képesek a ta n u ló k m egérteni és kö n nyebben elsajátítani a szokásos a lgoritm ust úgy, h o gy nem szü ksé ge s leírniuk a kivonandókat.
Rem élem , ho gy lesznek olyan kollégák m ind az alsó, m ind a fe lső ta g o za to n, akik d o lg o za to m n a k valam ilyen hasznát veszik.
KÖVES LÁSZLÓ
Ötletes gráfok
Gráfon általában egy véges ponthalm azt (csú cso k) értünk, a m e ly e k e t szakaszok (élek) kö tn e k össze. E bben a cikkb e n nem a gráfokkal, és tu la jd o n s á g a ik k a l foglalkozunk, hanem bizonyos típusú szöveges fela da tok m e g o ld á sá ra ha szno sítju k a m űveletek s o rre n d jé t ábrázoló g rá f adta ötletet.
Képzeljünk el egy közlekedési hálózatot ábrázoló gráfot (egy vasúti térképet, ahol a csú c s o k a t a vasúti cso m ó p o n to k , míg az éleket a k ü lö n b ö ző helységeket ö s s z e k ö tő va sú tszakaszok jelentik). Ez azzal a fo n to s tu la jd o n ság g a l rendelkezik, h o g y valam ely útján haladva, m inden csú c s b ó l el lehet jutni m inden csú csb a. Az ilyen g ráfot ö ssze fü g gő n e k nevezünk. Az össze fü g gő gráfok között sajátos helyet fo g la ln a k el az úgynevezett „fá k". Példaként adjuk m eg a következő kifejezést helyettesítő gráfot:
32 [4 + 2 .(5 3+ 3 2)] = K
A kifejezés értékének a kiszám ítása esetén, alulról kell indulni addig, am íg eljutunk a „fa" törzséhez.
P róbáljuk m eg alkalm azni ezt az eljá
rást m ás hason ló kifejezés értékének a kiszám ítása esetén is!
A gráffal való helyettesítés ötlete alkal
m azható a következő típusú szöveges feladatok esetén is:
Egy anya n é há n y alm á t ra ko tt az asztalra és azt m ondta három fiának, ho gy a m ik o r hazajönnek az iskolá b ól, osszák e l e g y e n lő e n egym ás közt azo
kat. E lőször István érkezett haza, elvette az a lm ák egy h a rm a d á t és elm ent. Utána P éter jö tt m eg, elvette az asztalon m a rad t a lm ák e g yh a rm a d á t és elm ent.
Végül m e g é rke ze tt Já nos ö is, a m e g
m a ra d t a lm ák e g yha rm a d át vette m agá- 1. ábra
hoz. S zám ítsuk ki, hány a lm á t h a g yo tt az anya az asztalon, ha J á n o s 4 a lm á t vett e l!
M e g o ld á s gráffal
az alm ák eredeti m ennyisége
István három részre osztotta és az ő részét elvitte
Péter a m aradékot osztotta három részre és ő is elvitte a részét
végül Já nos is ugyanezt cselekedte
Tudom , h o gy a „ 0 ” jelnek 4 alm a felel meg, tehát a három összesen 12 alma, ami nem m ás m int a két „< )" jelnek m egfelelő m ennyiség egy Q = 6 alma, ezért három Q
= 18 alm a = két □ = > e g y O = 9 alma és végül 3-0= 27 alma volt eredetileg az asztalon.
H asonló eljárást alkalm azva, oldjuk m eg a következő feladatot: Egy tanuló az első nap e lk ö lti a p é n zé n e k felét, a m á so dik nap a m aradék p é nz egyharm adát, a h a rm a d ik nap m e g m a ra d t p é n zé n e k a felét, a n e gye d ik nap p e d ig a m aradék egyharm adát. Ezek után 12 leje m aradt. M e n nyi pénze volt ere de tile g?
H asonló eljárás alkalm azható a következő, valam ivel nehezebb feladatnál is: Egy e d é n yb ő l kivesszük a tartalm ának 1/4-ed részét, m a jd a m aradék 2 /9 -e d részét és m é g
10 litert. Végül a m aradék 1/3-ad részét vesszük el, így 40 lite r m a rad az e dényben.
H ány lite r fo lya dé k volt b e n n e ? "
M egoldás: a feladat gráfja a következő:
az eredeti fo lya dé km e n nyisé g
kivesszük az 1/4-ed részét, m ajd a m ara
dékot 9 részre osztjuk és két I részt és m ég 10 l-t kiveszünk; ezt nem tu d juk p o n to sa n jelölni az ábrán, m ivel nem tu d juk m ennyi az értéke a jelnek. Ezért beiktatunk m ég egy segédlépést: kivesszük a 10 l-et és kapjuk a - M jelölt m ennyiséget, am elyet 3 részre osztunk és egyharm adát elvesszük.
A m aradék két □ = 40 I = > egy □ = 20 I, vagyis a ■ § = 60 I, ehhez hozzáadva a
10 l-t = > a 7 darab 0 összesen 70 l-t tesz
ki, tehát a h á ro m0 = 90 I = > e g y O = 30 I és végül az eredeti m ennyiség 4x30 = 120 I volt.
F eladatok
A „S a s ” c s o p o rt első nap az egész út 2/3- a d részét a m á so d ik nap a m e g m a ra d t távolság 1/3-ad részét, a harm adik nap p e d ig a m aradék távolság fe lé t és m é g 2 k m -t tett m eg, a n e g y e d ik nstp további 13 km-t. M ekkora volt az egész távolság?
Egy lépéssel m enjünk to vá b b ! Egy tolvaj, m iután zsá kjá t teletöm te, k ife lé is z k o lt a n a ra n cslig e tb ő l. S zerencsétlenségére találkozott az őrrel. H osszú a lku d o zá sok után az ő r elengedte, de e lő b b a zsákm ány fe lé t és m ég egy n a ra n c s o t m e g ta rto tt m agának.
Szegény tolvajtól u g yan csa k elp á rto lt a szerencse, m ert m é g három szor találkozott őrrel, a k i ugyanazt a b ü n te té st szabta ki rá. Végül, a m iko r m ár m essze já rt a lig e ttől, m egnézte m e n n yi narancsa m aradt és keserűen állapította m eg, h o g y e g y sem . Határozzuk m eg, h o gy hány narancs volt a tolvaj zsákjában e re d e tile g ?
M egoldás:
30 narancsot.
A következő feladatot P. D irac angol N obel-díjas fizikus tűzte ki: H árom halász - befejezvén a halászatot - nyugovóra tért, de a zsákm ányt e lfe le jte tté k elosztani. N éh á n y órai alvás után az e gyik halász felébredt, és elhatározta, h o g y hazam egy. Társait nem akarta felzavarni álm ukból, ezért e g ye d ü l oldotta m eg a zsákm ány felosztását. A m int a halakat m egszám olta, rájött, ho gy a három részre való osztás cs a k ú g y sikerü l, ha egy h a la t visszadob a folyóba. Ezt m e g is tette, m a jd a m e g m a ra d t hala k h a rm a d ré szé vel eltávozott. R övid id ő m úlva fe lé b re d t a m á so dik halász is, aki szintén hazakívánkozott.
Fogalm a sem volt arról, h o g y az első halász kivette a részét a zsákm ányból. Ő is rá jö tt arra, h o g y a zsákm ányt csa k úgy le h e t három egyen lő részre osztani, ha e g y h a la t a folyóba dob. M iután ezt m egtette, a visszam aradt halak 1/3-ad részével eltávozott;
ugyanígy já rt e l a h a rm a d ik halász is, m ivel a m e g m a ra d t zsákm ány iga zsá g o s szétosztásához egy h a la t m o s t is vissza k e lle tt d o b o n i a folyóba. D irac azt kérdezte, h o g y m inim á lisa n hány h a lb ó l á llt a zsákm ány?
M egoldás:
Tehát le lehet olvasni a következő összefüggéseket: 3 0 + 1 = 2 Q ; 3 0 + 1 = 2 0 és 3 o + 1 = □ , ahol a , o , Q és Q m és term észetes szám okat jelentenek. Ahhoz, hogy m eghatározzuk a m inim ális m ennyiségű halzsákm ányt, elkészítjük a követke ző táblázatot:
próbálkozások megjegyzés
□
4
O0 1/2 - nem jó
1 2 7/2 nem jó
2 7/2 - nem jó
3 5 8 ez jó
Tehát a zsákm ány 8x3 + 1 = 25 halból állt.
M egjegyzés: Dirac szerint az eredm ény -2 hal! Ha eb bő l elveszünk 1 halat (-2-1 = -3 ) a m egm aradt -3 hal három egyenlő részre osztható. Ha az elvett -1 hal után m e gm arad -2 hal, az eljárás a végtele n sé g ig folytatható. C am bridge-ben m esélik azt az anekdotát, m iszerint Dirac g o nd o lata it éppen ez a játékos feladat vezette a lyukelm élet m e g a lk o tásához.
Feladat:
H árom m unkás a m unkájukért kapott pénzt a következőképpen osztotta el az első összeg 1/2-ed részét és m ég 21 lejt, a m ásodik az első összegének 1/2-ed részét és m ég 21 lejt, míg a harm adik a m ásodik pénzének az 1/2-ed részét és m ég 21 lejt kapott.
Hány lejt kapott külön-kü lö n m indegyik?
M egoldás-
1 lépesben tehát
w
az eredeti pénzösszeg
két részre osztjuk és az első részből fizetjük ki sorra a m á so dik és harm adik m unkást, illetve az első m unkás 21 lejes pótlékát. Jelöljük ezt a pótléko t M - a l és legyen az értéke 4xb.
ez az első m unkás fizetése, am elyet elosztunk újból két részre.
ebből ism ét elveszünk egy 21 lejes m eny- nyiséget és ehhez adjuk
ez a m ásodik m unkás fizetése, am elyet újra két részre osztunk.
ebből elveszünk 21 lejt és ide p ó to lju k
ez a harm adik m unkás fizetése és ezzel az első „ré s z ” elfogyott.
A to v á b b ia kb a n jelöljük -t a-val; ekkor a gráf a következő lesz:
8a
4 a + 4 b 4 a -4 b
2 a + 2 b + 4 b 2 a + 2 b
a + b + 2 b + 4 b a + b + 2 b Tehát felírható a következő egyenlet:
8a = (4 a + 4 b ) + (2 a + 2 b + 4 b ) + (a + b + 2 b + 4 b ) ahol: 1*) 4 a + 4 b - > az első m unkás fizetése
2 *) 2 a + 2 b + 4 b - > a m ásodik m unkás fizetése 3 *) a + b + 2 b + 4 b - > a harm adik m unkás fizetése va g yis 8a = 7 a + 1 7 b = > 8a-7a = 1 7b+ 7a-7a = > a = 17b;
de 4b = 21 = > b = 21/4, így a = 21-17/4 E kkor 1*) 4 a + 4 b = 1 7 -21 + 2 1 = 3 7 8 lej
2 *) 2 a + 6 b = 2 -1 7 -2 1 /4 + 6 -2 1 /4 = 210 lej 3 *) a + 7 b = 2 1 -17/4 + 7 -2 1 /4 = 1 2 6 lej
Ilyen m ó d o n alkalm azva a gráfelm életet, bizo n yo s gyakorlatok, fela da tok a te rm é szetüknél fo g va új m egvilágításba kerülnek. A feladat is, a m e g o ld á s is é rth e tő b bé válik. Remélem, hogy a cikk áttanulm ányozása után, a tanulók k ü lö n b ö z ő fe la d a tm e gold á si m ódszerek közötti „ro kon sá g o t", analógiát is felfedezik m ajd!
PALHEGYI-FARKAS LÁSZLÓ
