Hogyan adjunk össze Hogyan adjunk össze végtelen sok számot? végtelen sok számot?

Hogyan adjunk össze Hogyan adjunk össze

végtelen sok számot?

végtelen sok számot?

Németh Zoltán, SZTE Bolyai Intézet 

www.math.u­szeged.hu/~nemeth

2006, 2007. 

Akhilleusz, a görög hős és a teknősbéka  versenyt futnak. Akhilleusz tízszer olyan  gyorsan fut, ezért lovagiasságból ad 1  sztadion előnyt.

Utoléri­e Akhilleusz a teknősbékát, és ha  igen, hol?

Akhilleusz, a görög hős és a teknősbéka  versenyt futnak. Akhilleusz tízszer olyan  gyorsan fut, ezért lovagiasságból ad 1  sztadion előnyt.

Utoléri­e Akhilleusz a teknősbékát, és ha  igen, hol?

Utoléri, hiszen ha Akhilleusz megtesz mondjuk  2 sztadion utat,  ezalatt a teknősbéka az előnyével együtt is csak 1,2 sztadion  messzire jut, tehát lemaradt. 

Akhilleusz, a görög hős és a teknősbéka  versenyt futnak. Akhilleusz tízszer olyan  gyorsan fut, ezért lovagiasságból ad 1  sztadion előnyt.

Utoléri­e Akhilleusz a teknősbékát, és ha  igen, hol?

1₁₀¹ ₁₀₀¹ ₁₀₀₀¹ ⋯ ¹

10^k ⋯

Utoléri, hiszen ha Akhilleusz megtesz mondjuk  2 sztadion utat,  ezalatt a teknősbéka az előnyével együtt is csak 1,2 sztadion  messzire jut, tehát lemaradt. 

Ahhoz, hogy a teknőst utolérje, Akhilleusznak 

sztadion utat kell megtennie.

Gombóc Artúr nagyon szereti a csokoládét. 

Kedvenc csokija csomagjában van egy  szelvény, és 10 szelvényért egy újabb  csokit lehet kapni a boltban (persze  becsomagolva).

Mennyit ér valójában egy csomag csoki? 

Gombóc Artúr nagyon szereti a csokoládét. 

Kedvenc csokija csomagjában van egy  szelvény, és 10 szelvényért egy újabb  csokit lehet kapni a boltban (persze  becsomagolva).

Mennyit ér valójában egy csomag csoki? 

1





⋯

10^k

⋯

Világos, hogy egy tábla csokit és egy szelvényt. 

De ha 10 szelvény = 1 csomag, akkor 1 szelvény =  0,1 csomag,  és a tized csomaghoz is tartozik egy tized szelvény . . . 

Tehát a becsomagolt csoki mindösszesen  

tábla (meztelen) csokit ér. 

Másrészt, ha 10 szelvény = 1 csomag, akkor     10 szelvény = 1 tábla csoki + 1 szelvény, azaz      9 szelvény = 1 tábla csoki, 

     1 szelvény =    tábla csoki, ¹₉

1 1

10  1

100  1

1000 ⋯ 1

10

⋯= 1 1 9

Másrészt, ha 10 szelvény = 1 csomag, akkor     10 szelvény = 1 tábla csoki + 1 szelvény, azaz      9 szelvény = 1 tábla csoki, 

     1 szelvény =    tábla csoki,  tehát 

1 9

1 1

10  1

100  1

1000 ⋯ 1

10

⋯= 1 1 9

Másrészt, ha 10 szelvény = 1 csomag, akkor     10 szelvény = 1 tábla csoki + 1 szelvény, azaz      9 szelvény = 1 tábla csoki, 

     1 szelvény =    tábla csoki,  tehát 

Azaz a becsomagolt csoki 1    tábla csokit ér; Akhilleusz 1    

sztadion után éri utol a teknőst; és úgy adhatunk össze végtelen  sok számot, hogy az elsőt 1, a másodikat 0,1, a harmadikat 

0,01másodperc alatt adjuk a többihez és így tovább – ekkor 1     másodperc alatt végzünk. ☺

1 9

1 9 1

9 1

9

Nézzük általánosan: Ha 

1  x  x

 x

 x

⋯= 1

1 − x .

azaz

x x

 x

 x

⋯= x⋅ S ,

1 00  0 0 ⋯=1 − x ⋅ S ,

1 x  x

 x

 x

⋯=S ,

Nézzük általánosan: Ha 

1  x  x

 x

 x

⋯= 1

1 − x .

azaz

x =

Ha       , akkor  1 1

☺

10 1

100 1

1000⋯ 1

10^k ⋯= 1 1− 1

10

=11 9

x x

 x

 x

⋯= x⋅ S ,

1 00  0 0 ⋯=1 − x ⋅ S ,

1 x  x

 x

 x

⋯=S ,

Ha      , akkor 

1 1

4  1

4

 1

4

⋯ 1

4

⋯= 1 1− 1

4

=1  1 3

x =1 4

1  x  x

 x

 x

⋯= 1

1 − x

Ha      , akkor 

1 1

4  1

4

 1

4

⋯ 1

4

⋯= 1 1− 1

4

=1  1 3

x =1 4

1  x  x

 x

 x

⋯= 1

1 − x

1

8 1

16 1

32 1

64⋯=1

8⋅





= 1

8⋅





1

8 1

16 1

32 1

64⋯=1

8⋅





= 1

8⋅





1 x x

 x

 x

⋯= 1

1 − x

1 x x

 x

 x

⋯= 1 1 − x

Ha       , akkor 

Egész számok összege tört?  

☹

−11−11−11−⋯= 1

1−−1=1 2 x =−1

1 x x

 x

 x

⋯= 1 1 − x

Ha         , akkor  Ha       , akkor 

Egész számok összege tört?  

☹

Pozitív számok összege negatív?  

☹

124816⋯= 1

1−2=−1

−11−11−11−⋯= 1

1−−1=1 2 x =−1

x =2

Ideje pontos definíciót adni. Az 

formális összegnek (végtelen sornak, numerikus sornak)  képezzük a részletösszegeit a következő módon:

a

 a

 a

 a

⋯ a

⋯= ∑

k=1

∞

a

s

= a

, s

=a

 a

, s

=a

 a

a

,

s

= a

 a

 a

 a

,  s

= a

 a

 a

⋯ a

, 

Ideje pontos definíciót adni. Az 

formális összegnek (végtelen sornak, numerikus sornak)  képezzük a részletösszegeit a következő módon:

a

 a

 a

 a

⋯ a

⋯= ∑

k=1

∞

a

s

= a

, s

=a

 a

, s

=a

 a

a

,

s

= a

 a

 a

 a

,  s

= a

 a

 a

⋯ a

, 

Ha van olyan s szám, amit a részletösszegek “minden  határon túl” megközelítenek, azt mondjuk, hogy a sor  konvergens és összege s. 

Ha nincs ilyen szám, az összeget nem értelmezzük, a sor  divergens.  

Számoljuk ki az 

sor részletösszegeit:

1 x  x

 x

⋯ x

⋯

s

= 1 x  x

⋯ x

= 1− x

1− x  x ≠1 

Számoljuk ki az 

sor részletösszegeit:

1 x  x

 x

⋯ x

⋯

s

= 1 x  x

⋯ x

= 1− x

1− x  x ≠1 

Legyen |x| < 1. Ha n elég nagy,  

x

≈ 0, s

≈ 1

1−x , s

 1

1−x

Számoljuk ki az 

sor részletösszegeit:

1 x  x

 x

⋯ x

⋯

s

= 1 x  x

⋯ x

= 1− x

1− x  x ≠1 

Legyen |x| < 1. Ha n elég nagy,  

x

≈ 0, s

≈ 1

1−x , s

 1 1−x

Tehát fenti sorunk összege       .

Ha         , a részletösszegek minden határon túl növekszenek 

(abszolút értékben); ha      , a 0 és az 1 között ugrálnak; a sor  összege definíciónk szerint ekkor nem értelmezett. 

1 1−x

∣

∣

x=−1

Ha a sor tagjai mind pozitívak, a részletösszegek monoton  növekszenek. A helyzet egyszerű:

Ha a részletösszegek minden  határon túl növekszenek, a sor  divergens.

Ha a sor tagjai mind pozitívak, a részletösszegek monoton  növekszenek. A helyzet egyszerű:

Ha a részletösszegek minden  határon túl növekszenek, a sor  divergens.

Ha a részletösszegek korlátosak,  a sor konvergens. 

Példa:

11

21

31

41

51

6⋯ 1

k ⋯

Példa:

11

21

31

41

51

6⋯ 1

k ⋯

s_2n=11

21

31

41

5⋯1

8 1

9⋯ 1

16⋯ 1 2ⁿ

Példa:

11

21

31

41

51

6⋯ 1

k ⋯

s_2n=11

21

31

41

5⋯1

8 1

9⋯ 1

16⋯ 1 2ⁿ

≥11

21

4 1

41

8⋯1

8 1

16⋯ 1

16⋯ 1 2ⁿ

≥11 2⋅n

A részletösszegek nem korlátosak, ezért a fenti, 

ún. harmonikus sor  divergens, azaz nincs összege. 

Példa:

1 1

2² 1

3² 1

4² 1

5²⋯ 1

k²⋯

Példa:

1 1

2² 1

3² 1

4² 1

5²⋯ 1

k²⋯

s_n=1 1

2² 1

3² 1

4² 1

5²⋯ 1 n²

≤1 1

1⋅2 1

2⋅3 1

3⋅4 1

4⋅5⋯ 1

n−1⋅n

Példa:

tudjuk, hogy 1 1

2² 1

3² 1

4² 1

5²⋯ 1

k²⋯

s_n=1 1

2² 1

3² 1

4² 1

5²⋯ 1 n²

≤1 1

1⋅2 1

2⋅3 1

3⋅4 1

4⋅5⋯ 1

n−1⋅n

1

k−1k = 1

k−1−1 k

≤11

1−1

21

2−1

31

3−1

41

4−1

5−⋯ 1

n−1−1 n

Példa:

tudjuk, hogy 1 1

2² 1

3² 1

4² 1

5²⋯ 1

k²⋯

s_n=1 1

2² 1

3² 1

4² 1

5²⋯ 1 n²

≤1 1

1⋅2 1

2⋅3 1

3⋅4 1

4⋅5⋯ 1

n−1⋅n

1

k−1k = 1

k−1−1 k

≤11

1−1

21

2−1

31

3−1

41

4−1

5−⋯ 1

n−1−1 n

≤ 2− 1

n ≤2

Mivel a részletösszegek (növekedőek és) korlátosak, a 

sornak van összege, nem tudjuk, mennyi, de legfeljebb 2. 

Belátható, hogy

1 1

2² 1

3² 1

4² 1

5²⋯ 1

k²⋯

1 1

2² 1

3² 1

4²  1

5²⋯ 1

k ²⋯=² 6

Példa: ₁₋¹

21

3−1

41

5−1

6−⋯−1^k−1 1

k ⋯

Példa:

A sor tagjai egyre kisebbek és váltakozó előjelűek. Az ilyen sorok  mindig konvergensek, mert a részletösszegek egy számra 

húzódnak rá. 

Tehát a fenti sornak van összege. 

1−1

21

3−1

41

5−1

6−⋯−1^k−1 1

k ⋯

Egy háromszög minden oldalára tegyünk egy harmadakkora  háromszöget, majd ezt folytassuk. A “határalakzat” az ún. 

Koch­féle hópehely.

Az eredeti háromszög oldala legyen 1. 

Minden lépésben 

az oldalak száma megnégyszereződik,  hosszuk pedig harmadolódik. 

Az eredeti háromszög oldala legyen 1. 

Minden lépésben 

az oldalak száma megnégyszereződik,  hosszuk pedig harmadolódik. 

Az n­edik alakzat kerülete tehát      . 3





Az eredeti háromszög oldala legyen 1. 

Minden lépésben 

az oldalak száma megnégyszereződik,  hosszuk pedig harmadolódik. 

Az n­edik alakzat kerülete tehát      .  Ez a sorozat minden határon túl nő, tehát a Koch­hópehely  kerülete végtelen nagy!

Akkor igencsak kanyargós lehet . . . 

3





Az n­edik lépésben a 

hozzáragasztott kis háromszögek 

területe: _3⋅4ⁿ⁻¹





^

^





Az n­edik lépésben a 

hozzáragasztott kis háromszögek  területe:

tehát a hópehely területe

3⋅4ⁿ⁻¹





^

^







4 



4 1

3



^

^

^

^

^

^



^

^

9

=8

5



4

Az n­edik lépésben a 

hozzáragasztott kis háromszögek  területe:

tehát a hópehely területe

tehát a végtelen hosszú görbe véges területet határol!  

☺

(Azért a kerület és terület fogalma igazából tisztázandó.) 3⋅4ⁿ⁻¹





^

^







4 



4 1

3



^

^

^

^

^

^



^

^

9

=8

5



4

Egy apa elhatározza, hogy gyermekének  minden születésnapjára annyiszor 1000  Ft­ot ajándékoz, ahány éves (a gyerek). 

Mennyi pénzt tegyen a bankba évi 6 %­os  kamatra, hogy ezt akármeddig 

folytathassa?

Ahhoz, hogy n év múlva       forintunk legyen, most 

Ft­ot kell a bankba rakni (ahol      ). A keresett összeg tehát

n⋅1000 ^n⋅1000

qⁿ

q=1,06

1000⋅





1

q  1

q² 1

q³ 1

q⁴ 1

q⁵⋯

1

q² 1

q³ 1

q⁴ 1

q⁵⋯

1

q³ 1

q⁴ 1

q⁵⋯

1

q⁴ 1

q⁵ ⋯

⋱

1

q  2

q² 3

q³ 4

q⁴ 5

q⁵⋯

1

q  1

q² 1

q³ 1

q⁴ 1

q⁵⋯

1

q² 1

q³ 1

q⁴ 1

q⁵⋯

1

q³ 1

q⁴ 1

q⁵⋯

1

q⁴ 1

q⁵ ⋯

⋱

1

q  2

q² 3

q³ 4

q⁴ 5

q⁵⋯=_q¹

−1





1

q  1

q² 1

q³ 1

q⁴ 1

q⁵⋯=¹

q⋅ 1 1−1

q

= 1 q−1

1

q² 1

q³ 1

q⁴ 1

q⁵⋯= ¹

q⋅ 1 q−1

1

q³ 1

q⁴ 1

q⁵⋯= ¹

q²⋅ 1 q−1

1

q⁴ 1

q⁵ ⋯= ¹

q³⋅ 1 q−1

⋱

1

q  2

q² 3

q³ 4

q⁴ 5

q⁵⋯= ¹

q−1





^

^

1

q  1

q² 1

q³ 1

q⁴ 1

q⁵⋯=¹

q⋅ 1 1−1

q

= 1 q−1

1

q² 1

q³ 1

q⁴ 1

q⁵⋯= ¹

q⋅ 1 q−1

1

q³ 1

q⁴ 1

q⁵⋯= ¹

q²⋅ 1 q−1

1

q⁴ 1

q⁵ ⋯= ¹

q³⋅ 1 q−1

⋱

A feladat számaival ez kb. 277 ezer Ft. 

Egy 10 m hosszú gumikötél egyik vége 

rögzített, a másik végétől egy csiga mászik a  fal felé, 1 cm/s sebességgel. 

Igen ám, de a kötelet egy gonosz manó  közben nyújtja, 10 m/s sebességgel. 

Eléri­e a csiga a falat?

1 s múlva a csiga megtett legalább 1 cm­t, a kötél 2000 cm. 

2 s múlva a csiga megtett legalább 1,5 + 1 cm­t, a kötél 3000 cm. 

Ez nem hangzik valami jól . . . 

Egy 10 m hosszú gumikötél egyik vége 

rögzített, a másik végétől egy csiga mászik a  fal felé, 1 cm/s sebességgel. 

Igen ám, de a kötelet egy gonosz manó  közben nyújtja, 10 m/s sebességgel. 

Eléri­e a csiga a falat?

1 s múlva a csiga megtett legalább 1 cm­t, a kötél 2000 cm, tehát megtette az út legalább      részét.  

2 s múlva a csiga megtett legalább 1,5 +1 cm­t, a kötél 3000 cm,  tehát megtette az út legalább       részét. 

Ez az! 

1 2000

1

2000 1 3000

Tehát n s múlva a csiga megtette az út legalább 

részét. Mivel a zárójelben levő összeg minden határon túl nő. 

eléri az 1000 értéket is, és akkor a csiga célba ért. 

(A feladat adatait komolyan véve, mintegy 10⁴²⁷ év alatt, a Föld  kora mintegy 10⁹ év ☺ )

1

1000





Az ábrán látható négyzetrácsban hány  pont látszik a bal alsó sarokból?

Az ábrán például a zöld pontok  látszanak, a pirosak nem.

Bebizonyítható, hogy N növelésével a  látható és az összes pontok számának  aránya egy állandó K értékhez közelít. 

Mekkora ez a K állandó? 

(Úgy is fogalmazhattuk volna a kérdést, hogy milyen gyakoriak a  relatív prím számpárok.)

A nem látható pontokat (mint a és b ),  nyilván látható pontok takarják el (mint  A és B ). Az a  pontot feleúton takarja  el  a A pont, az ilyen takarópontok 

láthatóak az N/2 oldalú négyzetben. A  b  pontot harmadúton takarja el  a B,  az ilyen takarópontok láthatóak az N/3  oldalú négyzetben . . . 

A nem látható pontokat (mint a és b ),  nyilván látható pontok takarják el (mint  A és B ). Az a  pontot feleúton takarja  el  a A pont, az ilyen takarópontok 

láthatóak az N/2 oldalú négyzetben. A  b  pontot harmadúton takarja el  a B,  az ilyen takarópontok láthatóak az N/3  oldalú négyzetben . . . 

A látható pontok száma

K⋅N²=N²−K













A nem látható pontokat (mint a és b ),  nyilván látható pontok takarják el (mint  A és B ). Az a  pontot feleúton takarja  el  a A pont, az ilyen takarópontok 

láthatóak az N/2 oldalú négyzetben. A  b  pontot harmadúton takarja el  a B,  az ilyen takarópontok láthatóak az N/3  oldalú négyzetben . . . 

A látható pontok száma

K⋅N²=N²−K













K =





Egy igazi alkalmazás: a tizedes törtek 0,123123= 123

1000 123

1000² 123

1000³⋯

Egy igazi alkalmazás: a tizedes törtek 0,123123= 123

1000 123

1000² 123

1000³⋯

= 123

1000





=123 999 , hiszen a mértani sort már ismerjük. 

Egy igazi alkalmazás: a tizedes törtek 0,123123= 123

1000 123

1000² 123

1000³⋯

= 123

1000





=123 999 , hiszen a mértani sort már ismerjük. 

Hasonlóan 

0,9999= 9

10 9

10² 9

10³⋯= 9

10





Egy igazi alkalmazás: a tizedes törtek 0,123123= 123

1000 123

1000² 123

1000³⋯

= 123

1000





=123 999 , hiszen a mértani sort már ismerjük. 

Hasonlóan 

0,9999= 9

10 9

10² 9

10³⋯= 9

10





= 9 10

1 1− 1

10

=9

9=1

☺

0,9999=1

Ez elég meglepő, nézzük más úton is!

1− 1

10 ≤0,9 ≤1

0,9999=1

Ez elég meglepő, nézzük más úton is!

1− 1

10 ≤0,9 ≤1 1− 1

100 ≤0,99 ≤1 1− 1

1000≤0,999≤1

0,9999=1

Ez elég meglepő, nézzük más úton is!

1− 1

10 ≤0,9 ≤1 1− 1

100 ≤0,99 ≤1 1− 1

1000≤0,999≤1

 

1 1

Ez az úgynevezett rendőr­elv. 

Belátjuk, hogy minden tizedes törtnek van értelme. 

egy végtelen összeg. 

1 0,abcdef = a

10 b

10² c

10³ d

10⁴⋯

Belátjuk, hogy minden tizedes törtnek van értelme. 

egy végtelen összeg. 

Részletösszegei monoton nőnek,  tehát elég a korlátosságot igazolni. 

1 0,abcdef = a

10 b

10² c

10³ d

10⁴⋯

Belátjuk, hogy minden tizedes törtnek van értelme. 

egy végtelen összeg. 

Részletösszegei monoton nőnek,  tehát elég a korlátosságot igazolni. 

1 0,abcdef = a

10 b

10² c

10³ d

10⁴⋯

a

10 b

10² c

10³ d

10⁴⋯≤ 9

10 9

10² 9

10³ 9

10⁴⋯=1.

Még egy igazi alkalmazás: a      közelítése Definíció.  −

2 arctanx 

2 , tanarctan x=x



arctan 1





6 , arctan1= 4

Még egy igazi alkalmazás: a      közelítése Definíció.  −

2 arctanx 

2 , tanarctan x=x



arctan 1





6 , arctan1= 4 Belátható, hogy 

arctanx =x −x³

3  x⁵

5 −x⁷

7 −⋯ −1x≤1

Még egy igazi alkalmazás: a      közelítése Definíció.  −

2 arctanx 

2 , tanarctan x=x



arctan 1





6 , arctan1= 4 Belátható, hogy 

arctanx =x −x³

3  x⁵

5 −x⁷

7 −⋯ −1x≤1

ebből

1−1

31

5−1

7−⋯=  4

Igen ám, de milyen gyors a közelítés? 

A hiba az utolsó hozzáadott  taggal becsülhető

Igen ám, de milyen gyors a közelítés? 

A hiba az utolsó hozzáadott  taggal becsülhető

Ha 100 tagot adunk össze:

hiba≤ 1

199≈ 1 200

Gyorsabban is közelíthetünk:

az ábra szerint



4 =arctan 1

2arctan 1 3

Gyorsabban is közelíthetünk:

az ábra szerint



4 =arctan 1

2arctan 1 3 ezt használva



4 =1

2− 1

2³⋅3 1

2⁵⋅5− 1

2⁷⋅7−⋯ 1

3− 1

3³⋅3 1

3⁵⋅5− 1

3⁷⋅7−⋯

Gyorsabban is közelíthetünk:

az ábra szerint



4 =arctan 1

2arctan 1 3

most a hiba (ismét 100 tagot adva össze)  ezt használva



4 =1

2− 1

2³⋅3 1

2⁵⋅5− 1

2⁷⋅7−⋯1

3− 1

3³⋅3 1

3⁵⋅5− 1

3⁷⋅7−⋯

hiba≈ 1

2⁹⁹⋅99 1

3⁹⁹⋅99≈10⁻³⁰, ez 30 pontos tizedesjegy!

Tudjuk, hogy az alábbi összeg létezik:

1 1−1

21

3−1

41

5−1

61

7−1

8⋯=s.

Tudjuk, hogy az alábbi összeg létezik:

1 1−1

21

3−1

41

5−1

61

7−1

8⋯=s.

01 0 −1

20 1

30−1

4⋯=s

Tudjuk, hogy az alábbi összeg létezik:

1 1−1

21

3−1

41

5−1

61

7−1

8⋯=s.

01 0 −1

20 1

30−1

4⋯=s

2 01

20−1

40 1

60 −1

8⋯=1 2⋅s

Tudjuk, hogy az alábbi összeg létezik:

1 1−1

21

3−1

41

5−1

61

7−1

8⋯=s.

01 0 −1

20 1

30−1

4⋯=s

2 01

20−1

40 1

60 −1

8⋯=1 2⋅s

12 101

3−1

21

501

7−1

4⋯=3 2⋅s

Tudjuk, hogy az alábbi összeg létezik:

Ezek szerint az (1) összeg megváltozhat, 

ha a tagokat más sorrendben adjuk össze ! ? 

1 1−1

21

3−1

41

5−1

61

7−1

8⋯=s.

01 0 −1

20 1

30−1

4⋯=s

2 01

20−1

40 1

60 −1

8⋯=1 2⋅s

12 101

3−1

21

501

7−1

4⋯=3 2⋅s 11

3−1

21

51

7−1

4⋯= 3 2⋅s

A végtelen összegek  érdekesek!

☺