A valószínűségszámítás a matematika egy része, amely a véletlen tömegjelenségek, események bekövetkezésének matematikai formában történő leírásával foglakozik (pl.
kockadobás, kártyajáték).
13.1. Példa. Egy vállalatot 3 telefonvonal köt össze a központtal. Jelöljük Ai-vel azt az eseményt, hogy az i-edik vonal foglalt. Írjuk fel az eseményalgebrában érvényes műveletekkel a következő eseményeket:
(1) a harmadik vonal szabad:A3 ,
(2) legalább az egyik vonal szabad: A1 A2 A3 , (3) mindhárom vonal szabad: A1 A2 A3 ,
(4) az első és a második vonal foglalt: A1A2 ,
(5) az első és a harmadik vonal foglalt, a második szabad: A1 A3 A2 , (6) csak egy vonal szabad:
A1A2 A3
A1A2 A3
A1 A2 A3
,(7) legfeljebb egy vonal foglalt:
A1A2 A3
A1 A2 A3
A1A2 A3
A1A2 A3
. 13.2. Példa. Egy házban két lift működik. Jelöljük A-val azt az eseményt, amikor az első lift rossz, B-vel azt az eseményt, amikor a második lift rossz. Írjuk le szavakkal, hogy mit jelentenek a következő kifejezések:(1) A + B, (2) A · B, (3) A , (4) A + B , (5) A · B , (6) A − B, (7) A B . Megoldás:
(1) legalább az egyik lift rossz, (2) mindkét lift rossz,
(3) az első lift jó,
(4) az első lift rossz, vagy egyik sem az, (5) egyik lift sem rossz,
(6) az első rossz, a második nem (7) legalább az egyik lift jó.
104
13.3. Példa. Egy követségi fogadásra 5 amerikai, 8 német és 3 orosz diplomata hivatalos.
Egyenként érkeznek, véletlenszerű időpontokban. Mi annak a valószínűsége, hogy közülük elsőnek orosz, másodiknak német, harmadiknak pedig amerikai diplomata érkezik a fogadásra?
Megoldás:
Jelölje A1 azt az eseményt, hogy először orosz, A2 azt, hogy másodiknak német, A3 pedig azt, hogy harmadiknak amerikai diplomata érkezik. Ekkor a három esemény együttes bekövetkezését az alábbiak szerint számolhatjuk ki:
14 5 15
8 16 ) 3 A A
| A ( P ) A
| A ( P ) A ( P ) A A A (
P 1 2 3 1 2 1 3 2 1 .
A P(A2|A1) feltételes valószínűség esetében az összes eset 16-ról azért csökken 15-re, mert azt feltételezzük, hogy egy orosz diplomata már elsőként megérkezett, így csak 15 diplomata közül érkezhet a következő. Az P(A3|A2·A1) esetén ugyanezen gondolatmenet alapján 14-re változik az összes esetek száma, mert feltesszük, hogy megérkezett az orosz és a német diplomata is.
13.4. Példa. Egy gépsor egy munkanap alatt 100 terméket gyárt, melyből 5 selejtes, 95 ép.
Találomra kiveszünk 10 terméket visszatevés nélkül. Mi a valószínűsége annak, hogy nem lesz köztük selejtes?
Megoldás:
Az összes esetek számát az adja, hogy hányféleképpen tudunk kiválasztani 100 elemből 10 darabot. Ez nem más, mint 100 elem 10-ed osztályú ismétlés nélküli kombinációja, azaz
10
100 -féleképpen. Kedvező eset az, ha mind a tíz kiválasztott termék jó, azaz ha nem választunk selejteset. Ezt úgy érhetjük el, ha a 95 jó termékből választunk, ez pedig nem más, mint a 95 elem 10-ed osztályú ismétlés nélküli kombinációja, így a keresett valószínűség:
10 100 10 95
.
13.5. Példa. Egy dobozban 25 darab 60 wattos és 75 darab 100 wattos égő van.
Visszatevés nélkül találomra kiveszünk 2 égőt. Mi a valószínűsége annak, hogy (1) mindkét égő 100 wattos,
(2) pontosan az egyik égő 100 wattos, (3) legalább az egyik égő 60 wattos?
105 Megoldás:
Az összes esetek számának meghatározásával kezdjük, hiszen ez mindhárom esetben ugyanaz, azaz hányféleképpen tudunk 100 elemből kettőt kiválasztani, ez nem más, mint a 100 elem másodosztályú ismétlés nélküli kombinációinak száma, azaz:
2 100 .
Az (1) esetben a kedvező eset az, ha mindkét égő 100 wattos, azaz ha a 75 darab 100 wattos égőből vesszük ki a 2 égőt, ez a 75 elem másodosztályú ismétlés nélküli kombinációjának számával egyezik meg, azaz
2
75 . így a keresett valószínűség:
66 37
2 100 2 75
.
A (2) esetben a kedvező eset az, ha az egyik égő 100 wattos, a másik 60 wattos. Azaz a 25 darab 60 wattos égőből kell egyet választanunk, ezt 25-féleképpen tehetjük meg, és a 75 darab 100 wattos égőből is egyet kell választanunk, ezt 75-féleképpen tehetjük meg.
Így a kedvező esetek száma 25 · 75, azaz a keresett valószínűség:
66 25
2 100
75
25
.
A (3) esetben a kedvező eset az, ha legalább az egyik égő 60 wattos, ez azt jelenti, hogy vagy az egyik 60 wattos, vagy mindkettő 60 wattos. Ebben az esetben célszerűbb az ellentett esemény valószínűségét számolni. Az ellentett esemény az, ha egyik égő sem 60 wattos, azaz mindkettő 100 wattos. Ezt már meghatároztuk az (1) részben
66
37 , így a keresett valószínűség
66 29 66 37
1
. Amennyiben nem számoljuk ki az ellentett esemény bekövetkezési valószínűségét, úgy az alábbiak szerint is számolhatunk:
66 29 4950 2175 4950
1 300 75 25
2 100
0 75 2 25 1
75 1 25
13.6. Példa. Egy raktárba egy óra hossza alatt két teherautó érkezik (az érkezési időpontok eloszlása egyenletes). Egy-egy autó rakodási ideje 30 perc. A rakodás befejezése után a gépkocsi azonnal elmegy. Mekkora a valószínűsége annak, hogy a két tehergépkocsi találkozzon egymással?
Megoldás:
Az 1 órás időtartamot a számegyenes [0,1] intervallumával ábrázolhatjuk. Így a két tehergépkocsi érkezési idejét a koordinátarendszer [0,1] × [0,1] részhalmazán (26. ábra) ábrázolhatjuk. Az x koordináta jelölje az egyik, az y koordináta a másik teherautó érkezésének idejét.
106
26. ábra: A két tehergépkocsi érkezési idejének koordinátarendszeres ábrázolása
Forrás: Bíró és Vincze (2000)
A kedvező eseteket azon (x,y) pontok alkotják, amelyekre teljesül, hogy |x − y| ≤
2
1 , azaz
−
2
1 ≤ x − y ≤
2
1 , vagyis y ≤ x +
2
1 és y ≥ x −
2
1 , azaz a 27. ábrán a bevonalkázott rész.
27. ábra: A kedvező esetek geometriai szemléltetése
Forrás: Bíró és Vincze (2000)
A kis háromszögek területe egyenként
2 5 , 0 2
, így a bevonalkázott terület
4 3 -ed területegység. Az egész négyzet területe 1 területegység, így a keresett valószínűség:
75 , 0 1 4 3
.
13.7. Példa. Jelöljük a kockadobás kísérletében A-val azt az eseményt, hogy hatosnál kisebbet dobunk, azaz A = {1,2,3,4,5}. Jelöljük B-vel azt az eseményt, hogy páros számot dobunk, B = {2,4,6}. Mekkora a valószínűsége annak, hogy páros számot dobva az 6-nál kisebb lesz?
Megoldás:
Természetesen a P(A|B) feltételes valószínűséget kell meghatároznunk. Azt tudjuk, hogy P(B) =
2
1 . A hatnál kisebb páros számok közül a 2,4 a kedvező, tehát P(A · B) =
6 2 , így
107 P(A|B) =
3 2 6 4
2 1 6 2
.
Ezzel szemben az A feltétel nélküli valószínűsége
6 5 .
13.8. Példa. Jelölje A annak az eseménynek a bekövetkeztét, hogy egy adott napon esik az eső, B pedig, hogy fúj a szél. Ismerjük P(A) = 0,7; P(B) = 0,35 és P(A|B)=0,2 valószínűségeket. Ez utóbbi valószínűség azt jelenti, hogy feltéve, hogy a szél fúj, aznap esik az eső is. Határozzuk meg a P(B|A) értékét, azaz annak a valószínűségét, hogy ha az eső esni fog, akkor a szél is fog fújni az adott nap.
Megoldás:
) B ( P
) B A ( ) P B
| A (
P
P(A |B)P(B) P(A B) P(A · B) = 0,2 · 0,35 = 0,07.
Így 0,1
7 , 0
07 , 0 ) A ( P
) B A ( P ) A ( P
) A B ( ) P A
| B (
P
.
13.9. Példa. 100 darab tojás közül, amelyek között 10 darab csíra nélküli van, egymás után veszünk ki kettőt
(1) visszatevés nélkül (2) visszatevéssel.
Mi a valószínűsége annak, hogy elsőre csíra nélkülit, másodikra csírás tojást húzunk ki?
Megoldás:
(1) Vegyük a következő két eseményt:
A: elsőre csíra nélkülit húzunk ki;
B: másodikra csírásat húzunk ki.
A két esemény egymástól nem független, így a kiszámolandó P(A·B) valószínűséget a következőképpen adhatjuk meg: P(A · B) = P(B|A) · P(A).
100 ) 10 A (
P , míg
99 ) 90 A
| B (
P , így
11 1 100
10 99 ) 90 B A (
P
(2) Ebben az esetben ha a P(A · B) valószínűséget az előbbihez hasonló módon írjuk fel, akkor: P(A · B) = P(B|A) · P(A).
100 ) 10 A (
P , míg
100 ) 90 A
| B (
P , így
100 9 100
10 100 ) 90 B A (
P .
Látható, hogy a visszatevéses esetben a P(B|A) = P(B), azaz a P(A·B) = P(A) · P(B) módon is számolhatunk. Ez azért van így, mert visszatettük az először kihúzottat, és így újból 100 közül választhattunk, és benne 90 a kedvező esetek száma. A két húzás egymástól független.
108
13.10. Példa. Egy üzemben négy különböző típusú gép gyártja ugyanazt a terméket. Az első a termelés 20%-át, a második a 25%-át, a harmadik ugyancsak a 25%-át adja, míg a negyedik a 30%-át. Az első gép selejtszázaléka 2, a másodiké 1,5, a harmadiké 2,5, a negyediké 1.
(1) Mekkora a valószínűsége annak, hogy a napi termelésből találomra kivett termék selejtes legyen?
(2) Mekkora a valószínűsége annak, hogy a kiemelt selejtes terméket a negyedik gép gyártotta?
Jelöljük Bi-vel az i-edik gépen a termelés eseményét (i = 1,2,3,4) és jelöljük A-val azt az eseményt, hogy selejteset gyártunk. Így
P(B1) = 0,2 P(B2) = 0,25 P(B3) = 0,25 P(B4) = 0,3 és
P(A|B1) = 0,02 P(A|B2) = 0,015 P(A|B3) = 0,025 P(A|B4) = 0,01.
Megoldás:
(1) A teljes valószínűség tételét kell alkalmazni a megoldáshoz, így
.
Vagyis annak a valószínűsége, hogy selejtest választunk 1,7 %.
(2) A megoldáshoz a Bayes-tételt kell használnunk, így:
176 gyártotta, közel 17,6%.
13.11. Példa. Bizonyos vetőmag fajta összetételének vizsgálata során megállapították, hogy az háromféle magot tartalmaz. 95%-a A fajtájú, 3%-a B fajtájú és 2%-a C fajtájú.
Annak a valószínűsége, hogy az A fajta magból legalább 40 szemet tartalmazó kalász fejlődik 0,6. A B és C fajtára vonatkozóan ugyanez a valószínűség 0,2 és 0,3. Mekkora a valószínűsége annak, hogy egy véletlenszerűen kiválasztott magból legalább 40 szemet tartalmazó kalász fejlődik?
Megoldás:
Jelölje B1 azt az eseményt, hogy a mag A fajtájú, B2 azt az eseményt, hogy B fajtájú, B3
azt az eseményt, hogy C fajtájú, A pedig legyen az az esemény, hogy a magból legalább 40 szemet tartalmazó kalász fejlődik. Így a következő valószínűségeket ismerjük:
P(B1) = 0,95 P(B2) = 0,03 P(B3) = 0,02 P(A|B1) = 0,6 P(A|B2) = 0,2 P(A|B3) = 0,3
Feladatunk az A esemény valószínűségének meghatározása, amit a teljes valószínűség tétele alapján kaphatunk.
.
109
Teát annak a valószínűsége, hogy egy tetszőlegesen kiválasztott magból legalább 40 szemet tartalmazó kalász fejlődik 58,2%.
Kitűzött feladatok
1) Egy építőanyag raktárba vasúton és teherautón szállítanak árut. Legyen az A esemény az, amikor egy napon vasúti szállítás van, B esemény jelentse azt, hogy teherautón van szállítás. Vizsgáljuk meg, hogy ekkor mit jelentenek a következő események:
A B , A B , B A, A, ,A B , A B , A B , A B , A B A B , A B A B
2) Két helység között 3 távbeszélőn folyhat beszélgetés. Jelentse A esemény azt, hogy az első vonal hibás; a B, hogy a második; a C pedig, hogy a harmadik hibás. Fejezzük ki az A, B, C segítségével a következő eseményeket!
a) csak az első vonal hibás,
b) az első kettő hibás, a harmadik nem, c) legalább az egyik hibás,
d) legalább 2 vonal hibás, e) pontosan egy vonal hibás, f) pontosan két vonal hibás, g) egyik vonal sem hibás,
3) Tíz telefonvezeték közül négy beázás miatt használhatatlanná válik. Ezután 4 vonalon hívást kísérelnek meg. Számítsuk ki annak a valószínűségét, hogy a hívások fele a beázások miatt nem lesz sikeres.
4) Egy 12 tagú diákcsoportban 10 fiú és 2 lány van. Két színházjegyet sorsolnak ki egymás között. A sorsolást úgy végzik, hogy az összes nevet tartalmazó dobozból két nevet kihúznak. Mi a valószínűsége annak, hogy a két lány kapja a jegyeket?
5) Nyolc azonos lapra egyenként felírjuk a következő számokat: 2, 4, 6, 7, 10, 11 12, 13.
Közülük két lapot találomra kiválasztunk. Mi a valószínűsége annak, hogy a kiválasztott lapokon levő számokat egy tört számlálójának, ill. nevezőjének véve, a tört egyszerűsíthető lesz?
6) Tíz golyó van egy dobozban. Közülük kettő fehér, a többi fekete. Kiveszünk találomra öt golyót. Mi a valószínűsége annak, hogy éppen egy fehér golyó lesz köztük?
7) 32 lapos magyar kártyából egyszerre 3 lapot húzunk. Mi a valószínűsége annak, hogy a kihúzott lapok között legalább egy zöld van?
8) Egy 52 lapos francia kártyacsomagból 13 lapot találomra kihúzunk. Mennyi a valószínűsége annak, hogy a kör ász a 13 lap között lesz?
9) Öt darab egyforintost feldobva, mi annak a valószínűsége, hogy mindegyiken írás lesz felül?
110
10) Mi a valószínűsége annak, hogy egy egyhasábos totószelvényt kitöltve 13 találatunk lesz?
11) Egy ládában 100 alma van, amely között 10 darab férges található. Kiveszünk a ládából találomra, válogatás nélkül 5 almát. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a kiválasztott almák között lesz férges?
12) Egy hallgató 40 tétel közül húszat úgy tanul meg, hogy abból jelesre tud vizsgázni, a másik húszból pedig csak jóra. A vizsgatételek kihúzásakor a hallgató 2 tételt húzhat úgy, hogy ezek közül eldöntheti, hogy melyikből felel. Mennyi annak a valószínűsége, hogy jelest kap?
13) Egy futóverseny döntőjébe 1 lengyel, 2 magyar, 1 német és 2 olasz versenyző kerül.
Mi a valószínűsége annak - ha a versenyzőket egyenlően esélyesnek tekintjük -, hogy magyar versenyző kerül az élre?
14) Száz izzó közül 20 hibás. Válogatás nélkül kiveszünk 10 körtét. Mi a valószínűsége annak, hogy
a) nem lesz közte hibás,
b) lesz közte legalább egy hibás?
15) Egy házigazda 5 férfi és 3 nő vendéget vár. Mi a valószínűsége annak, hogy először férfi, másodiknak pedig nő érkezik hozzá?
16) 100 darab tojás közül, mely között 10 darab romlott van, egymás után veszünk ki kettőt
a) visszatevés nélkül, b) visszatevéssel.
Mi a valószínűsége annak, hogy elsőre rosszat, másodikra pedig jót választunk ki?
17) Egy műhelyben három műszakban termelnek azonos fajta árut. Egy napon az összes termelt áruból az első műszakban 40%, a másodikban és a harmadikban 30-30%
készül el. Az első műszakban készült áruk 5%-a, a másodikban gyártottak 7%-a a harmadikban termeltek 10%-a hibás. A három műszakban elkészült teljes mennyiségből a minőségi ellenőr egy darabot találomra kiválaszt és megvizsgál.
Mennyi a valószínűsége annak, hogy hibátlan ez az áru?
18) Az egyetemi matematika vizsgán az általános agrármérnök hallgatók 75%-a, a gazdasági agrármérnökök 65%-a szerepel sikeresen. Az általános agrármérnökök az évfolyam 55%-át teszik ki. Mennyi annak a valószínűsége, hogy egy találomra kiválasztott hallgató sikeresen vizsgázik?
19) Televízió-képcsövek gyártását végzik egy gyárban. Három tétel készül el. Az első 2 tétel a teljes mennyiség 1/4-1/4 részét, a harmadik a felét teszi ki. A vizsgálat során kiderül, hogy az első tételnek csak a 10%-a, a másodiknak a 20%-a, a harmadiknak pedig a 25%-a éri el az előírt működési óraszámot. Mennyi annak a valószínűsége, hogy egy, a teljes mennyiségből találomra kiválasztott képcső az előírt ideig működik?
111
20) Azonos fajta áruból 2 tételünk van. Az első tétel 15, a második 20 darabból áll.
Mindkét tételben egy-egy hibás darab van. Az első tételből egy véletlenszerűen választott darabot átteszünk a másodikba. Ezután a másodikból választunk találomra egyet és megvizsgáljuk. Mi a valószínűsége annak, hogy ez a darab selejtes?
21) Négy termelőtől szállítanak almát egy boltba. Az első termelőtől való a teljes mennyiség 1/10 része, amelyből 40% első osztályú. A második termelőtől szállítják a tétel 1/4 részét, amely 50%-ban első osztályú. A harmadiktól rendelték meg a mennyiség 2/5 részét, amelyből 20% első osztályú. A többi gyümölcs a negyedik termelőtől kerül az üzletbe és mind első osztályú. Mennyi a valószínűsége annak, hogy az üzletben e szállítmányból találomra kiválasztva egy almát, az első osztályú lesz?
22) Egy biológiai kísérlet során 100 egyedet három csoportba osztottak: 20, 30 és 50 főből álló csoportokba. Az első csoport minden egyedét gyenge, a második csoport minden egyedét közepes és a harmadik csoport minden egyedét erős hatóanyagú oltószerrel oltották be. Ezután a csoportokat elkülönítették. Megállapították, hogy az oltás hatására az első csoportból 3, a másodikból 10, a harmadikból pedig 39 egyed ment át valamilyen változáson. Ezután a csoportok elkülönítését megszűntették. Ha az összes csoportból találomra kiválasztott egyed vizsgálata azt mutatta, hogy semmilyen változáson nem ment keresztül, akkor mi a valószínűsége annak, hogy a második csoportból való volt?
112