Az elemi függvénytípusok és grafikonjaik ismerete elengedhetetlen mind a gyakorlati élet szempontjából, mind a matematika további gyakorlati részeinek bemutatása végett. Ebben a fejezetben gyakoroljuk a függvények ábrázolását és jellemzését értelmezési tartomány, értékkészlet, monotonitás, korlátosság, szélsőérték, zérushely, inflexiós hely, konvexitás, paritás tekintetében. Külön feladattípus vonatkozik a zérushelyek keresésére, amelyre számos eljárás létezik (intervallum-felezés, Horner elrendezés). A gyakorlatban többnyire nem magukkal az elemi függvényekkel találkozunk, hanem azok valamilyen transzformáltjával (eltolás, tükrözés, nyújtás, stb…). A különböző függvénytípusok transzformálására külön gyakorlati példákat fogunk nyújtani. Az elemi függvények, illetve transzformáltjaik grafikonjai ismeretében kellő megalapozottsággal ismerkedhetünk meg a későbbiekben a függvények differenciálszámításával és a többváltozós függvényekkel.
3.1. Példa.
(1) Határozzuk meg az f(x) = x2 + 3x − 4 függvény zérushelyeit!
Megoldás:
Ez a függvény egyszerűen felírható a következő alakban:
f(x) = x2 + 3x − 4 = (x + 4)(x − 1), amelyből könnyen leolvasható, hogy az x1 = −4 és az x2 = 1 pontok a zérushelyek. Ezek a zérushelyek megkereshetők a másodfokú egyenlet megoldóképletével is, most azonban Horner elrendezéssel fogjuk megkeresni a megoldásokat. A megoldásokat -4 osztói között célszerű keresnünk (a nulla, -3, 3 nem osztói a -4-nek) (1. táblázat).
1. táblázat: Az f(x) = x2 + 3x – 4 függvény Horner-táblázata
x 1 3 -4
-4 1 -1 0
-2 1 1 -6 -1 1 2 -6
1 1 4 0
2 1 5 6
4 1 7 24
Forrás: Bíró és Vincze (2000)
Tehát f(-4) = 0 és f(1) = 0, azaz a -4 és az 1 helyen zérushelye van f(x)-nek.
(2) Határozzuk meg az f(x) = x3 − 3x + 2 függvény zérushelyeit!
Megoldás:
Egyszerű helyettesítéssel (2 osztóival) ellenőrizhető, hogy a p(x) = x3 − 3x + 2 függvénynek két zérushelye van, az x1 = 1 és az x2 = -2. Egy harmadfokú polinomnak az algebra alaptétele alapján 3 gyökének kell lennie. Mivel csak két gyököt kapunk, az egyik gyöknek kétszeres gyöknek kell lennie. A Horner táblázatból önmagában nem
22
derül ki ilyen esetekben, melyik a kétszeres gyök. Ezért polinom osztással fogjuk megkeresni a gyököket, de a Horner táblázatot is felhasználjuk és bemutatjuk (2. táblázat). Célszerű a megoldást a 2 osztóira keresni (a nulla azért maradt ki a táblázatból, mert nem osztója 2-nek).
2. táblázat: A p(x) = x3 − 3x + 2 függvény Horner-táblázata
x 1 0 -3 2
-2 1 -2 1 0
-1 1 -1 -2 4
1 1 1 -2 0
2 1 2 1 4
Forrás: Saját szerkesztés
Mivel p(-2) = 0 és p(1) = 0, ezért a -2 és 1 helyen p(x)-nek zérushelye van. A megoldást polinom osztással fogjuk keresni, de felhasználjuk a 2. táblázat eredményeit. A Horner táblázat szerint x = 1 helyen gyöke van a p(x)-nek ezért a gyöktényezős felbontásában szerepel az (x – 1) tényező. Első lépésben ezzel a polinommal osztunk:
(x3 – 3x + 2) : (x – 1) = x2 + x – 2 x3 – x2
x2 – 3x x2 – x
– 2x + 2 – 2x + 2 0
Ekkor már csak a g(x) = x2 + x – 2 polinom zérushelyeit kell megkeresni, amely történhet másodfokú egyenlet megoldó képletével is, amelyből megkapható a másik két gyök: 1 és -2. Osszuk tovább a g(x) polinomot a Horner táblázat alapján az
x – (-2) = x + 2 tényezővel:
(x2 + x – 2) : (x + 2) = x – 1 x2 + 2x
-x – 2 x + 2 0
Azaz a p(x) = x3 − 3x + 2 függvény felírható (x – 1 ) (x – 1) (x + 2) alakba, és az x = 1 kétszeresen gyök.
3.2. Példa. Döntsük el intervallumfelezéssel, hogy az f(x) = x3 − 3x2 − x + 3 függvénynek van-e zérushelye a [−4,4] intervallumban, és ha van, akkor adjuk meg egy zérushelyét.
Megoldás:
Mivel f(−4) = −105, f(4) = 15, azaz f(−4) < 0, f(4) > 0 így a függvénynek biztosan van legalább egy zérushelye a [−4,4] intervallumban. Vegyük az intervallum felezőpontját, ez a 0 pont, f(0) = 3, mivel f(0) > 0, így a [−4,0] intervallumban folytatjuk az eljárást. A [−4,0] intervallum felezőpontja a −2 pont, és f(−2) = −15,
23
azaz f(−2) < 0, így a [−2,0] intervallumban folytatjuk az eljárást, ennek felezőpontja az x = −1, amire f(−1) = 0, ami azt jelenti, hogy megtaláltuk az f függvény egy zérushelyét.
3.3. Példa. Határozza meg az alábbi függvények értelmezési tartományát!
(1) f(x) = ln(1 – x) (2) g(x) = x2 – 2 (3) h(x) =
1 x
1
(4) y = 1 x2
Megoldás:
(1) a logaritmus függvény változója pozitív valós szám (>0), vagyis 1-x > 0 x <1 és xR .
(2) x-re semmi kikötés nincs, xR .
(3) a nevezőben nem állhat 0, mivel 0-val való osztást nem értelmezünk x – 1 0, így x 1, xR .
(4) a négyzetgyök alatt csak 0, vagy annál nagyobb valós szám állhat 1– x20 , így 1 x2 . Ebből: -1 x 1, xR .
3.4. Példa. Ábrázolja és jellemezze monotonitása és szélsőértéke szempontjából a függvényeket:
(1) f(x) = x3 (2) g(x) = -x3 (3) h(x) =
2 x
2 x 2
2 x
, , ,
x 2 x
Megoldás:
(1) Az f(x) = x3 függvény az egész értelmezési tartományán szigorúan monoton növekedő (4. ábra), mivel x1 < x2 esetén f(x1) < f(x2) teljesül.
24
4. ábra: Az f(x) = x3 függvény grafikonja
Forrás: Bíró és Vincze (2000)
Az f(x) függvénynek nincs szélsőértéke az értelmezési tartományán.
(2) A g(x) = -x3 függvény az egész értelmezési tartományán szigorúan monoton csökkenő, mivel x1 < x2 esetén f(x1) > f(x2) teljesül. A függvény grafikonja az f(x) = x3 függvény grafikonjának az x tengelyre való tükrözésével kapható (5. ábra).
5. ábra: A g(x) = -x3 függvény grafikonja
Forrás: Bíró és Vincze (2000)
A g(x) függvénynek nincs szélsőértéke az értelmezési tartományán.
25 (3) A függvény grafikonja a 6. ábrán látható:
6. ábra: A h(x) függvény grafikonja
Forrás: Bíró és Vincze (2000)
A h függvény a ]−∞,−2] intervallumon szigorúan monoton csökkenő, a [−2,2]
intervallumon monoton növekvő és monoton csökkenő (azaz konstans), és a [2,∞[
intervallumon szigorúan monoton növekvő. A h(x) függvénynek globális minimuma van a [−2,2] intervallumon minden helyen, értéke y = 2.
3.5. Példa. Ábrázolja és jellemezze konvexitás tekintetében az alábbi függvényeket és adja meg az inflexiós helyeket, amennyiben léteznek:
(1) f(x) = x3 (2) g(x) = x2 (3) h(x) = sin(x) Megoldás:
(1) Az f(x) = x3 függvénynek x = 0-ban inflexiós pontja van, hiszen a ]−∞,0]
intervallumon konkáv, a [0,∞[ intervallumon pedig konvex a függvény (4. ábra).
(2) A g(x) = x2 függvénynek nincs inflexiós pontja, hiszen az egész értelmezési tartományán konvex (7. ábra).
7. ábra: A g(x) = x2 függvény grafikonja
Forrás: Bíró és Vincze (2000)
26
(3) A h(x) = sin(x) függvény esetén a k · π (k ∈ Z) pontok inflexiós pontok. A függvény a [0 + k·2π, π + k·2π] intervallumon konkáv, a [π + k·2π, 2π + k·2π] intervallumon pedig konvex (8. ábra).
8. ábra: A sin(x) függvény grafikonja
Forrás: Bíró és Vincze (2000)
3.6. Példa. Ábrázolja az f(x) = |x| függvényt, majd állapítsa meg a paritását (páros, páratlan).
Megoldás:
A függvény ábrája (9. ábra) alapján elmondható, hogy a függvény az y tengelyre szimmetrikus, így ez egy páros függvény. A definíció alapján is igazolható, hogy páros, mivel f(-x) = |-x| = |x| = f(x).
9. ábra: Az abszolútérték függvény grafikonja
Forrás: Bíró és Vincze (2000)
3.7. Példa. Ábrázolja a g(x) = -x függvényt, majd állapítsa meg a paritását.
Megoldás:
A g(x) függvény páratlan, hiszen −g(x) = g(−x). A páratlan függvények az origóra szimmetrikusak, és a g(x)-re is ez teljesül a 10. ábra alapján.
27
10. ábra: A g(x) = -x függvény grafikonja
Forrás: Bíró és Vincze (2000)
3.8. Példa. Ábrázolja transzformációs lépésenként az alábbi függvényeket (1) f(x) = -2·|x – 1|
(2) f(x) = 2·sin(3x) – 1 Megoldás:
(1) Első lépésben végre kell hajtani egy változó transzformációt, amely az |x| függvény egységnyi eltolása az x tengely mentén pozitív irányban (11. ábra).
11. ábra: Az f(x) ábrázolásához szükséges transzformációs lépések: eltolás
Forrás: Bíró és Vincze (2000)
Ezt követően egy érték-transzformációt kell végrehajtani, amely egy 2-szeres nyújtás az y tengely mentén (12. ábra).
28
12. ábra: Az f(x) ábrázolásához szükséges transzformációs lépések: nyújtás
Forrás: Bíró és Vincze (2000)
Az utolsó lépésben tükrözni kell a függvényt az x-tengelyre és megkapjuk az f(x) grafikonját (13. ábra).
13. ábra: Az f(x) ábrázolásához szükséges utolsó transzformáció: tükrözés
Forrás: Bíró és Vincze (2000)
(2) A sin(x) függvény görbéjéből indulunk ki (8. ábra). Az első transzformációs lépésben végre kell hajtani egy változó transzformációt, amely hatására a sin(x) függvény a 3-szorosára zsugorodik az x tengely mentén (14. ábra) úgy, hogy az értékkészlet nem változik (-1 és 1 között vesz fel továbbra is értékeket a transzformált függvény).
14. ábra: Az f(x) függvényhez vezető 1. transzformációs lépés: zsugorítás x-tengelyre
Forrás: Bíró és Vincze (2000)
29
Ezután egy értéktranszformáció következik, amely egy 2-szeres nyújtás az y tengely mentén (15. ábra). Ez már módosítja az értékkészletet is (-2 és 2 között vesz fel a transzformált függvény értékeket).
15. ábra: Az f(x) függvényhez vezető 2. transzformációs lépés: nyújtás y-tengelyre
Forrás: Bíró és Vincze (2000)
Az utolsó transzformációs lépésben az előző lépésben adódó függvény görbéjét egy egységgel negatív irányba eltoljuk az y-tengely mentén (16. ábra).
16. ábra: Az f(x) függvényhez vezető utolsó transzformációs lépés: eltolás x-tengelyen
Forrás: Bíró és Vincze (2000)
3.9. Példa. Jellemezze az f(x) = x 5 3 függvényt.
Megoldás:
Értelmezési tartomány: Df x |x R,x 5
Értékkészlet: Rf y |yR,y 3
Zérushely: az y f(x) x 5 3 0 egyenletet megoldva adódik, hogy x = 4 .
Korlátosság: mivel az értékkészlet alulról korlátos, ezért a függvény is alulról korlátos, alsó korlátja a -3. Mivel felülről nem korlátos a függvény, így nem mondható korlátosnak.
Monotonitás: szigorúan monoton növekvő a [-5,∞[ intervallumon.
Szélsőérték: mivel a függvény alulról korlátos és alsó korlátját fel is veszi, ezért alsó korlátja egyben globális minimum is, helye : x = -5, értéke : y = -3 .
Konvexitás: a függvény konkáv az egész értelmezési tartományon, ez az elméleti részben tárgyaltakból következik.
30
Inflexiós pont: nincs.
Paritás: a függvény se nem páros, se nem páratlan.
3.10. Példa. Legyen f(x) = sin(x) és g(x) = x2 + 3. Adja meg a g(f(x)) és az f(g(x)) összetett függvényeket.
Megoldás:
f(g(x) = sin(x2 + 3) és g(f(x)) = [sin(x)]2 + 3
3.11. Példa. Mely két függvény összetételéből adódik az f(g(x)) = [log3(2x + 1)]2 Megoldás:
A külső függvény f(x) = x2 , a belső függvény g(x) = log3(2x + 1) Kitűzött feladatok
1. Határozza meg az alábbi függvények értelmezési tartományát!
a)
2 x 3
2 y x
2
b)
1 x
x 2 y 1
2
c) 2
x x 2
x y 4
d)
6 x 5 x
1 x y 2
2
e) y 1 x f) y x x2
g)
x 4 4
6 x y 2
h)
x 1 x 1
y x
2
i)
2 x 2
9 x y 3
j) y x2 16 k) y 27 3x2 l) y ln
x2 3x 4
m)
x 1 lg x
y
n) n)
x 1 x
y lg
o) y lgx 4lgx 1
2. Határozza meg a valós számok halmazának azt a legbővebb részhalmazát, amelyen az alábbi függvények értelmezhetőek!
a)
x 1
10 x 2 4 x 3 x lg ) x (
f 2
b)
1 x 2 x
1 x ) lg
x (
f 2
3. Ábrázolja az alábbi fi függvényeket, ha D f R és a hozzárendelési szabályok az alábbiak:
a) f1(x) 2x3 b) f x x
4 3 )
2(
c) 3
3 2 )
3(x x
f d) f4(x) 23x
31
4. A normál parabola transzformálásával ábrázolja az alábbi fi függvényeket, ha D f R és a hozzárendelési szabályok az alábbiak:
a) f1(x) x2 3 b) f2(x) x 22 2
c) 4
2 ) 1
( 2
3 x x
f d) f4(x) 2x32 5
e) f5(x) x2 x 1 f) f6(x) x2 8x 2
g) f7(x) x2 2x h) f8(x) 4x x2
5. Ábrázolja az alábbi fi függvényeket, ha a hozzárendelési szabályok az alábbiak:
a) 2
3 1 )
1(
x x
f b) 2
3 2 )
2(
x x
f
c)
9 3
4 ) 2
3(
x x x
f d)
x x
f 2
2 )
4(
6. Az alábbi fi függvényeket a valós számok valamely részhalmazán értelmezzük. Állapítsa meg azt a legbővebb értelmezési tartományt, amely az fi x hozzárendelési szabályhoz tartozhat, és ábrázolja az fi függvényeket!
a) f1(x) 2 x 2 b) f2(x) 1 x
c) f3(x) x 3 1 d) f4(x) x 2 1
7. Ábrázolja a következő függvényeket!
a) f1(x) 2x 3 b) f2(x) 3x1 2
c) 1
2 ) 1 (
2
3
x
x
f d) 3
3 ) 1 (
1
4
x
x f
e) f5(x) lg( x 2) 2 f) f6(x) log 2(x 1)2
g) ( ) log ( 2) 3
2 1
7 x x
f h) ( ) log 2
2 1
8 x x
f
8. Állapítsa meg milyen függvényekből tehetők össze az alábbi közvetett függvények és határozza meg a D f és Rf értékeket is!
sin 3 1
1 x x
f f2 x 4x2 12 x 5
5 12 4
1
3 2
x x
x
f f4 x cos x 2
9. Írja fel a gf x összetett függvényt, ha
a) f(x) x2 x 1 g(x) x2
32
b) f(x) x2 g(x) x2 x 1
c) f(x) tg2 x g(x) x 1
d) f(x) x2 1 g(x) 3 2x1
e) f(x) sin 2x g(x) sin 2x f) f(x) lg x
x x
g
lg ) 1
(
10. Határozza meg a következő függvények zérushelyeit Horner elrendezéssel!
a) f(x) =x4 34x2 225 , x 6,6
b) f(x) =x5 3x4 5x3 15x2 4x 12 , x4,4 c) f(x) = x3 2x2 5x 6 , x3,3
d) f(x) =x4 2x3 5x2 6x , x4,4 e) f(x) =x3 6x2 32 , x 4,4 f) f(x) =2x3 6x2 2x 6 , x 3,3
33