Ebben a gyakorlati részben foglalkozunk a sorozatok fogalmával, jellemzésével különös tekintettel a sorozatok konvergenciájára. A sorozatok tulajdonképpen speciális függvényekként foghatók fel, és mint függvények, számos jellemző (monotonitás, szélsőérték, korlátosság) öröklődik a függvényjellegükből és koordinátarendszerben is szemléltethetőek. A határérték meghatározását már itt a sorozatoknál elkezdjük, majd a továbbiakban kiterjesztjük általánosabban az egyváltozós valós függvényekre is, melyek határértéke visszavezethető alkalmas számsorozatok határértékének a meghatározására.
Ebben a fejezetben van még szó a sorozatok (különösen a mértani sorozat) gyakorlati alkalmazásáról, például kamatos kamat számítása esetén. Számos összetett pénzügyi feladatot oldunk meg a mértani sorozat összegképletének a felhasználásával (annuitás, hozadékszámítás, ismétlődő beruházások, kölcsöntörlesztés).
4.1. Példa. Ábrázoljuk koordinátarendszerben az
n 2 an n
sorozatot (17. ábra):
Megoldás:
17. ábra: Az
n 2 an n
sorozat szemléltetése koordinátarendszerben
Forrás: Bíró és Vincze (2000)
4.2. Példa. Ábrázolja számegyenesen a bn =
n
1 sorozatot (18. ábra).
Megoldás:
18. ábra: A bn =
n
1 sorozat szemléltetése koordinátarendszerben
Forrás: Bíró és Vincze (2000)
34 korlátosságát.
Megoldás:
(1) Állítsuk elő az an1 an különbséget. növekedő.
Mivel 0 sorozat egyik felső korlátja a 0. A sorozat első eleme
5 3
1
a a sorozat egy lehetséges alsó korlátja, mivel a sorozat monoton növekedő; azaz a sorozat korlátos is.
(2) Most állítsuk elő a bn1 bn különbséget. Ekkor
A kifejezés minden nN esetén negatív, azaz a sorozat szigorúan monoton csökkenő.
Mivel 0
4.4. Példa. Bizonyítsuk be, hogy a
1
sorozat konvergens és határértéke 2.
Megoldás:
A konvergencia definíciója szerint a cn 2 egyenlőtlenségnek kell teljesülni egy N
egyenlőtlenségnek kell fennálnia az N küszöbindextől kezdve.
,
35
4.5. Példa. Vizsgáljuk meg, hogy hányadik tagtól kezdve esnek a
1
Megoldás:
Mivel
, így meg kell határoznunk a sorozatnak azt a tagját, mely már az
2
Ha ez az eltérés valamely n-re kisebb, mint
1000
sugarú környezetében van. Meg kell oldani a 3
10
Az egyenlőtlenség megoldása n > 1 750. Így tehát az 1 751-edik tag az első olyan tag, amely már a határéket ezrednyi pontossággal közelíti meg.
4.6. Példa. Határozzuk meg az
1
sorozat határértékét!
Megoldás:
Osszuk végig a számlálót és a nevezőt a nevezőben lévő legnagyobb fokszámú taggal, jelen esetben n2-tel.
36
4.7. Példa. A tanult tételek alkalmazásával mutassa meg, hogy az an = 2
n
1 sorozat konvergens és határértéke a 0, majd ábrázolja a sorozatot koordinátarendszerben.
Megoldás:
(1) Az an sorozat szigorúan monoton csökkenő, mivel
0 inf(an)=0. A tanult tételek értelmében, ha egy sorozat szigorúan monoton csökkenő és alulról korlátos, akkor konvergens és határértéke a pontos alsó korlátja, ezért
1 sorozat szemléltetése koordinátarendszerben
Forrás: Bíró és Vincze (2000)
37 4.8. Példa. Határozzuk meg a
1
sorozat határértékét!
Megoldás:
Osszuk végig a számlálót és a nevezőt a nevezőben lévő legnagyobb fokszámú taggal, n2-tel:
.
Megoldás:
Osszuk végig a számlálót és a nevezőt a nevezőben lévő legnagyobb fokszámú taggal, n2-tel:
.
Megoldás:
3
4.11. Példa. Határozzuk meg az
n
sorozat határértékét.
Megoldás:
2
38 4.12. Példa. Határozzuk meg az
1
sorozat határértékét.
Megoldás:
.
ezért csak a kitevő határértékét kell megvizsgálni.
, százalékkal növekszik 10 év alatt?
Megoldás:
Nyilvánvaló, hogy tévesen gondolkozik az, aki azt gondolja, hogy évi 8 százalékos növekedés 10 év alatt 80 százalékos növekedést eredményez, hiszen minden évben a már megnövekedett mennyiség növekszik tovább az év elején már meglévő állomány 8 százalékával.
Az erdő kezdeti állományát jelöljük a0-val, n év múlva pedig a faállományt an-nel (n N).
Egy év múlva ez 8 százalékkal több lesz, azaz
.
A következő évben az a1 szaporodik tovább, így a második év végén a famennyiség
.
39
4.14. Példa. Évi 10 százalékos kamatláb mellett 1 000 000 Ft-ot takarékba teszünk be.
Mekkora összeget kapunk vissza a 3. év végén?
Megoldás:
A diszkontált (kezdeti) érték a0, a kamattényező r, az időközök száma n, a felnövekedett érték an.
Ekkor a feladat az a0,a1,...,an (n+1) tagú mértani sorozat an-nel jelölt tagjának meghatározása.
Alkalmazzuk a mértani sorozat általános tagjának képletét (n + 1)-re:
an = a0 · rn, ahol r =
100
1 i
és i a kamatláb. A feladat alapján a0 = 1 000 000 és r = 1,1 100
1 10 és n = 3.
Így a 3. év végére a 10%-os kamattal elhelyezett 1 000 000 Ft-ból
000 331 1 1 , 1 000 000 1 100 1 10 000 000 1
a 3
3
3
forint lesz.
4.15. Példa. A gépek a használatuk során az idő elteltével avulnak és kopnak, így az értékük is csökken. Az értékcsökkenés legyen az előző évi értékének 10 százaléka. Milyen értékű lesz a beszerzés után 6 évvel az a gép, amelyet 500 000 Ft-ért vásároltunk?
Megoldás:
a0 = 500 000,
, 100 1 10 9 , 0
r
n = 6 Ekkor
5 , 720 265 9 , 0 000 500
a6 6 Ft.
4.16. Példa. Hány év alatt háromszorozódik meg a szarvasmarha állomány, ha az évi átlagos szaporulat 20%-os?
Megoldás:
Ekkor ismerjük az r értékét: r = 1,2.
2n
, 1 x x
3 ,
3 = 1,2n
), 2 , 1 ln(
) 2 , 1 ln(
) 3
ln( n n
, ) 2 , 1 ln(
) 3 n ln(
n = 6,025 6, azaz az állomány körülbelül 6 év alatt háromszorozódik meg.
40
4.17. Példa. 15 éven keresztül minden év elején 10 000 Ft-ot helyezünk el az ifjúsági takarékbetétbe. Mekkora a betétek felnövekedett értékének az összege a 15. év végén évi 3 százalékos kamatozás mellett?
Megoldás:
Az állandó járuléktagot jelöljük „a”-val, a kamattényezőt „r”-rel, az időközök számát pedig n”-nel és a járadék értékét az utolsó járulékköz (két egymást követő járadéktag esedékessége között eltelt idő) végén Sn-nel. Feladatunk az ar + ar2 + … + ar(n-1) mértani sorozat összegének a meghatározása. A mértani sorozat összegképlete alapján:
1 r
1 ar r
S
n
n
A feladat jelöléseivel a = 10 000; r = 1,03; n = 15, így a keresett járadékérték:
. 8 , 568 191 1 03 , 1
1 03 , 1 03 , 1 000 10 S
15
15
Vagyis a 15. év végén a betét felnövekedett értéke 191 568 Ft lesz.
4.18. Példa. 5 éven át minden év elején hány Ft-ot kell a takarékba tennünk, hogy ha azt akarjuk, hogy az 5. év végén 4 százalékos kamatozás mellett 200 000 Ft-ot kapjunk vissza?
Megoldás:
Az
1 r
1 ar r
S
n
n
képletből az „a”-t kifejezve adódik, hogy:
r ) 1 r (
) 1 r ( S
a n
n
.
A feladat adatait behelyettesítve a képletbe kapjuk az „a” értékét a következőképpen:
555 35 04
, 1 ) 1 04 , 1 (
) 1 04 , 1 ( 000 200
a 5
Ft.
Azaz 5 éven keresztül minden év elején 35 555 Ft-ot kell elhelyezni takarékba, hogy a befizetés után 5 évvel megkapjuk a kívánt 200 000 Ft-ot.
4.19. Példa (kölcsöntörlesztés). 500 000 Ft kölcsönt veszünk fel 28%-os kamatra. Évente 150 000 Ft-ot törlesztünk.
(1) Mennyi tartozásunk marad az 5. év végén?
(2) Hány év alatt törlesztenénk vissza a tartozásunkat, ha 150 000 Ft helyett 200 000 ft-ot törlesztenénk?
Megoldás:
(1) Az n-edik év végén a tartozásunk a
1 r
1 k r
r K K
n n
n
képlettel határozható
meg, ahol K a felvett kölcsön, k az éves törlesztés, r pedig a kamatláb. A feladat adatait behelyettesítve a képletbe kapjuk, hogy
41
Megközelítőleg tehát 5 év alatt törlesztenénk vissza a kölcsönünket.
4.20. Példa. Legyen 1 000 000 Ft egy gazdaság tiszta jövedelme az egyik évben.
Beruházásokra ennek és minden következő év tiszta jövedelmének 25 százalékát fordítják. A beruházások az előző év tiszta jövedelmét 5 százalékkal emelik. Mekkora a beruházások összege 5 év alatt?
Megoldás:
Nyilvánvalóan feladatunk az ismétlődő beruházások összegének a meghatározása.
Az első beruházás 1 000 000·0,25 = 250 000 Ft, a következő év várható tiszta
A beruházások összege tehát:
250 000 + 262 500 + 275 625 + 289 406,3 + 303 876,6 = 1.381.407,9 Ft.
A beruházások összegét általánosan az a1, a1·r, a1·r2,…, a1·rn-1 mértani sorozat összege adja, azaz
42
. 1 r
1 r a B
n
1
n
A feladat adataival:
a1 = 1 000 000·0,25=250 000, r = 1,05,
n = 5,
és így a beruházás összege az 5. év végén 1 381 407 ,9.
1 05 , 1
1 05 , 000 1 250 B
5
5
4.21. Példa. Egy mezőgazdasági vállalkozó 1 500 000 Ft értékben vásárol olyan gépet, melynek élettartamát 12 évre becsülik. Mekkora értéket kell ennek a gépnek évenként hoznia, hogy ezt az értéket évenkénti beruházásnak tekintve a beruházások felnövekedett értéke egyenlő legyen az 1 500 000 Ft felnövekedett értékével? A “beruházás” átlagos jövedelmezősége 15 százalékos.
Megoldás:
A beruházásra fordított 1 500 000 Ft 12 év alatt 1 500 000 · 1,1512 értékre növekedne fel. Az ismeretlen évenkénti beruházásnak tekintett hozadék értékét jelöljük H-val, aminek felnövekedett értéke:
15 , 0
1 15 , H 1
12
H értékét úgy kell meghatározni, hogy az alábbi egyenletet megoldjuk:
, 15 , 0
1 15 , H 1 15 , 1 000 500 1
12
12
, 1
15 , 1
15 , 0 15 , 1 000 500 1
H 12
12
. 2 , 721 . 276 H
Tehát évenkénti 276 721,2 Ft hozadék mellett 12 év alatt megtérül az egyszeri 1 500 000 Ft-os beruházás.
Kitűzött feladatok
1. Jellemezze az alábbi sorozatokat monotonitás, korlátosság, szélsőérték és határérték szempontjából!
n
an 3
2
n
bn 4
5
cn 2n2 1
1 3 2
n
dn
1 3 2
n
en n
1 3
1 2
2 2
n n fn
g n
n n 1
h n
n n
1
2 i n
n n
5 2
5 1 0
43 2. Adja meg az alábbi sorozatok határértékét!
n
3. Számítsa ki 1 000 000 Ft-nak 12,5%-os kamatláb melletti kamatát félé évre! Határozza meg a jövőértéket is!
4. 30 000 Ft-nak mennyi a kamata 130 nap múlva, ha az éves szintű kamatláb 8%?
5. 1 000 Ft-os betét értéke mennyi lesz 120 nap múlva, ha az éves kamatláb 15%? Hány százalék a kamat?
6. 2 000 000 Ft kölcsönt kapunk úgy, hogy 1 év múlva 2 250 000 Ft-ot kell visszafizetnünk.
Hány % a kamat?
7. Mennyi pénzt kell betennem most a banka, ha 20%-os kamatláb mellett 2 200 Ft-ra van szükségem 6 hónap múlva?
8. Értékesíteni akarjuk a házunkat, melyért egy vevő 21 000 000 Ft-ot kínál. Ám a vevő azonnal csak a vételár 60%-át tudja kifizetni, a hátralévő részt, csak fél év múlva tudja átadni. A türelmünkért azonban további 200 000 Ft-ot ígért. Megéri ez nekünk, ha a banki kamatláb 6%?
9. Mennyi lesz 1 000 Ft értéke 4 év múlva, ha az éves kamatláb 15% és évente tőkésítik?
10. Mennyi a jelenértéke 39 744 Ft-nak, ha az éves kamatláb 20% és a kamatozási idő 3 év és évente tőkésítenek?
11. Tegyük fel, hogy most 18 éves vagy és 60 éves korodban szeretnél 50 000 eFt-al nyugdíjba menni. Mekkora kezdőtőkét kellene most elhelyezned a bankban, hogy évi 6%
mellett 60 éves korodra elérd az 50 000 000 Ft-ot?
12. 15 000 Ft-ból 3 év alatt 32 955 Ft lesz. Mennyi az éves kamatláb évente történő tőkésítésnél?
13. Hány Ft-ból lesz 161 208 Ft 3 hónap alatt, ha a kamatláb 24% és havi kamatos kamatot fizet a bank?
14. Beteszek a bankba 100 000 Ft-ot 6 évre, évi 16%-os kamatra. Mennyi lesz a betétem jövőbeni értéke a következő feltételek mellett: nincs tőkésítés, éves tőkésítés, féléves tőkésítés, negyedéves tőkésítés, havi tőkésítés, napi tőkésítés.
44
15. Mennyi kamatot kapunk 100 000 Ft betétünk után egy évre, ha a kamatláb 12%?
16. Kölcsönadunk 4 000 000 Ft-ot egy évre 14%-os kamatláb mellett, de közben az éves infláció 8%. Hány százalékkal változik a pénzünk vásárló értéke?
17. Hány százalékos az évi átlagos értékcsökkenése annak a gépnek, amit 6 200 000 Ft-ért vásároltak, és 8 év múlva 3 100 000 Ft-ért lehetett eladni?
18. Hány év alatt duplázódik meg a 1 500 000 Ft-os betétállomány, ha évenkénti tőkésítéssel évi 6% kamatot ad a bank?
19. Mennyi az év végén esedékes 408 000 Ft-nak a jelenértéke, ha 3%-os havi kamatlábbal diszkontálunk a.) egyszerű kamatozásnál, b.) kamatos kamatozásnál.
20. Mennyi a jelenértéke annak a pénzáramlásnak, amely 1, 2, 3, és 4 év múlva 25 000-25 000 Ft-ot fizet? A diszkontáláshoz az éves 20%-os kamatlábat használjuk!
21. Mennyit ér ma az a 3 év múlva lejáró 1 790 905 Ft-os tőkebefektetés, amelynek névleges hozama 18%, a kamatokat évente tőkésítik és csak lejáratkor fizetik ki?
22. Egy magánszemély 300 000 Ft áruvásárlási hitelt vesz fel 3 év lejáratra, 20%-os éves kamatláb mellett. Egyenletes törlesztés esetén mennyit kell havonta fizetnie?
23. Egy magánszemély 500 000 Ft áruvásárlási hitelt vesz fel 4 év lejáratra, 18%-os éves kamatláb mellett. Egyenletes törlesztés esetén mennyit kell havonta fizetnie?
24. 20 éven keresztül minden év elején 20 000 Ft-ot helyezünk el egy bankbetétre. Mekkora a betét felnövekedett értékének az összege a 10. év végén évi 4%-os kamatozás mellett?
25. 10 éven keresztül minden év elején hány Ft-ot kell a takarékba tenni, ha azt akarjuk, hogy a 10. év végén évi 4,5%-os kamatozás mellett 2 000 000 Ft-ot kapjunk vissza?
26. 500 000 Ft kölcsönt veszünk fel 30%-os kamatra. Évente 200 000 Ft-ot törlesztünk.
Mennyi tartozásunk marad 5 év múlva? Hány év alatt törlesztenénk tartozásunkat, ha évente pl. 100 000 Ft-ot törlesztenénk?
27. Felvettünk 1 500 000 Ft kölcsönt évi 17% kamat mellett, 15 éves futamidőre, évente azonos nagyságú befizetést vállalva. A törlesztést a kölcsön felvétele után egy évvel kezdjük. Mekkora összeget kell fizetnünk évente? Készítsen törlesztő-tervet!
28. Egy gazdaság tiszta jövedelme 3 000 000 Ft az egyik évben. Beruházásra ennek és minden következő év tiszta jövedelmének 20%-át fordítják. A beruházások az előző év tiszta jövedelmét 5%-kal emelik. Mekkora a beruházások összege 5 év alatt?
29. Egy mezőgazdasági vállalkozó 10 000 000 Ft értékben vásárolt olyan gépet, melynek élettartamát 8 évre becsülik. Mekkora értéket kell a gépnek évente hoznia, hogy ezt az értéket az évenkénti beruházásnak tekintve a beruházások felnövekedett értéke egyenlő legyen a 10 000 000 Ft felnövekedett értékével? A beruházás átlagos jövedelmezősége 15%.
45