A statisztikát bizonyos szempontból a matematika és más tudományágak határterületének tekintjük. A statisztika elméleti módszerek és gyakorlati tevékenység egysége, a tudományos megismerés célja az objektív valóság feltárása, számszerű jellemzése. A hétköznapi életben is gyakran találkozunk a statisztikával: amikor időnként számba vesszük a vagyonunkat, kiszámoljuk a havi átlagos kiadásunkat, amikor arról olvasunk, hogy mibe fektessük a pénzünket, vagy megnézzük, hogy hogyan változnak különböző szolgáltatások, termékek árai.
15.1. Példa. Mondjon példát álló- és mozgósokaságra, adja meg a sokaság egységét is. Adjon példát fő- és részsokaságra, minta- és teljes sokaságra. Válassza ki az egyik sokaságot, adjon példát statisztikai mutatószámra.
Megoldás:
Magyarország lakossága 2012. január 1-jén álló sokaságot képez, a sokaság egysége egy lakos. A sörtermelés alakulása 2011. január 1. és 2012. január 1-je között egy folyamat eredménye, amely mozgósokaságot alkot, a sokaság egysége 1 liter megtermelt sör.
Statisztikai adatot kapunk, ha vesszük Magyarország népességét, a gazdaságilag aktívak, valamint a regisztrált munkanélküliek számát 2012. január 1-jén. Statisztikai mutatószám a munkanélküliségi ráta, ami a regisztrált munkanélküliek és a gazdaságilag aktívak számának hányadosa. Magyarország lakossága fősokaságot képez, de ezen belül vehetjük a nyugdíjasok, vagy a gazdaságilag aktívak részsokaságát.
Amennyiben az összes lakost megkérdezzük egy népszámlálás alkalmával, úgy a teljes sokaságra nézve nyerünk adatokat, amennyiben csak a lakosok egy részét kérdezzük meg véletlenszerűen (ügyelve a reprezentativitásra), akkor csupán mintasokaságot kapunk, és ez alapján következtetünk a teljes sokaság jellemzőire.
15.2. Példa. Adjon példát a tanult ismérvtípusok mindegyikére.
Megoldás:
Diszkrét mennyiségi ismérv: egy vállalat kereskedelmi részlegének dolgozói létszáma
Folytonos mennyiségi ismérv: a részleg dolgozóinak magassága
Időbeli ismérv: a részleg dolgozóinak születési ideje
Térbeli ismérv: a dolgozók születési helye; megyék, ahol a vállalat kirendeltségei találhatók
125
15.3. Példa. Csoportosítsa a 23. táblázatbeli adatokat osztályközös gyakorisági sorba, határozza meg a gyakoriságokat és az osztályközt. Becsülje meg az osztályközök és a gyakoriságok alapján az egyes osztályokban kifizetett összes bruttóbér nagyságát (értékösszeg).
23. táblázat: Egy működő vállalkozás dolgozóinak rangsorolt bruttó béradatai, eFt
80 90 95 95 95 105 105 115 125 130 135
140 150 155 170 185 195 215 235 250 275 280
Forrás: Saját szerkesztés
Megoldás:
A vállalkozás dolgozóinak száma 22, a legkisebb bruttó fizetésű dolgozó 80 000 Ft-ot keres, a legnagyobb bruttó fizetés 280 000 Ft. Az adatok terjedelme 200 000 Ft. A hüvelykujj szabály szerint 25 > 22, így k=5, azaz 5 osztályközt kell kialakítani. Így 200 000/5=40 000 Ft az osztályközök hossza. Ezután a dolgozók fizetését a következő osztályközös gyakorisági sorba tudtuk rendezni (24. táblázat):
24. táblázat: A bruttó bérek osztályközös gyakorisági sora és a becsült értékösszeg
Bruttó bérkategória (eFt)
Dolgozók száma (fi)
Osztályközép (Xi)
Becsült értékösszeg
(fi*Xi)
80-120 8 100 800
120-160 6 140 840
160-200 3 180 540
200-240 2 220 440
240-280 3 260 780
Összesen 22 - 3 400
Forrás: Saját szerkesztés
A becsült értékösszeg, azaz a becsült kifizetett bruttó bér nagysága 3 400 000 Ft. A tényleges érték 3 420 000 Ft, azonban ha nem ismerjük az alapadatokat csak az osztályközös gyakorisági sort, akkor ez a becslés hasznos technika lehet az eredeti érték közelítésére.
15.4. Példa. Adjon példát állapot- és tartam idősorra, illetve leíró sorra.
Megoldás:
Lakásállomány, népesség alakulása Magyarországon 2000-2010 között évenkénti bontásban, de mindig a január 1-jei állapotot tükrözve állapot idősort képez, míg az 1 ha-ra jutó műtrágya felhasználás Magyarországon 2004-2012-ben tartam idősort alkot. Leíró sor képezhető Hajdú-Bihar megye fontosabb 2012-re vonatkozó adataiból (bruttó átlagkereset, orvosok, tanárok száma, születési arányszám, férfi-nő arány).
126
15.5. Példa. Határozza meg a 25. táblázatbeli leltári elemek relatív gyakoriságát, illetve az összérték megoszlását a 2012. december 31.-i állapotra nézve.
Megoldás:
25. táblázat: Néhány leltári elem relatív gyakorisága és összértékének megoszlása Leltári elem Gyakoriság
(db)
Részérték (eFt)
Relatív gyakoriság (%)
Összérték megoszlása (%)
Könyvek 2 (f1) 5 (X1) 1,3 16,7
Magazinok 10 (f2) 4 (X2) 6,4 13,3
Jegyzetfüzetek 30 (f3) 6 (X3) 19,1 20,0
Papírtömbök 20 (f4) 2 (X4) 12,7 6,7
Tollak 40 (f5) 1 (X5) 25,5 3,3
Ceruza 30 (f6) 3 (X6) 19,1 10,0
Kiemelő 20 (f7) 6 (X7) 12,7 20,0
Olló 5 (f8) 3 (X8) 3,2 10,0
Összesen 157 ∑fi 30 ∑Xi 100,0 100,0
Forrás: Saját szerkesztés
A magazinok esetén: 6,4% 157
2 10
fi
f és 13,3%
30
2 4
Xi
X
15.5. Példa. Képezzen bázis- és láncviszonyszámokat a 26. táblázatbeli leltár összértékének idősora alapján. A bázisviszonyszám esetén a legelső év adata legyen a bázis.
Megoldás:
26. táblázat: Egy vállalkozás leltári összértékének alakulása 2005-2012 között Leltári év
(dec. 31-i állapot)
Érték (ezer Ft)
Bázisviszonyszámok (2001=100%)
Láncviszonyszámok (előző év=100%)
% (együtthatós forma)
2005 200 (y0) 100,0 -
2006 100 (y1) 50,0 50,0 (0,500)
2007 300 (y2) 150,0 300,0 (3,000)
2008 200 (y3) 100,0 66,7 (0,667)
2009 400 (y4) 200,0 200,0 (2,000)
2010 300 (y5) 150,0 75,0 (0,750)
2011 200 (y6) 100,0 66,7 (0,667)
2012 500 (y7) 250,0 250,0 (2,500)
Forrás: Saját szerkesztés
A bázisvizsonyszámok képzésekor minden adatot a 2005-ös adattal kell osztani, a láncviszonyszámokat pedig úgy képezzük (a második évtől kezdve!), hogy az aktuális év
127
adatát a megelőző év adatával osztjuk. A láncviszonyszámokat zárójelben együtthatós formában is feltüntettük a későbbi mértani átlag kiszámítása miatt.
15.6. Példa. Adjon példát fordított, illetve egyenes intenzitási viszonyszámra.
Megoldás:
Intenzitási viszonyszámot kapunk akkor, ha két különböző típusú adatot osztunk el egymással. A termésátlag a termelt mennyiség (t) és a termő terület nagyságának (t/ha) hányadosa. Ez a mutató egy egyenes intenzitási viszonyszám, minél többet termelnek egy hektáron, annál jobb a termelés színvonala. A népsűrűséget úgy kapjuk, hogy egy ország lakosságának számát osztjuk az ország alapterületével (fő/km2). Ez a mutató egy fordított intenzitási viszonyszám, mivel minél több ember lakik egy négyzetkilométeren, annál rosszabb a helyzet az adott területen a népsűrűség tekintetében.
15.7. Példa. A 26. táblázat adatai alapján számolja ki a leltári érték kronológikus átlagát.
3 , 264
7
2 200 500 300 400 200 300 100 2 200
7
2 2
7 6 5 4 3 2 0
y y y y y y y yKR
Az átlagos leltári érték 264.300 Ft.
15.8. Példa. A 26. táblázat adatai alapján számolja ki a leltári érték változási ütemének átlagát (jele:l ).
Megoldás:
A változás ütemét a láncviszonyszámok fejezik ki, melyeket együtthatós formában fogunk tekinteni. A mértani átlag a következőképpen alakul az adatok alapján:
l = 2,5 1,140
200
500 7
1 7 0
n n
y y
A számolást másképp is elvégezhettük volna a láncviszonyszámok segítségével:
140 , 1 5 , 2 500 , 2 667 , 0 750 , 0 000 , 2 667 , 0 000 , 3 500 ,
0 7
7
l
Átlagosan évente 14,0%-kal emelkedett a leltári érték.
Ennek forintosított értékét fejezi ki a változás átlagos mértéke mutatószám, mely az abszolút változások számtani átlaga:
9 , 42 7
200 500 7
) 200 500 ( ...
) 100 300 ( ) 200 100 (
d
A változás átlagos mértéke tehát 42.900 Ft.
128
15.9. Példa. Egy Bt. dolgozóira vonatkozóan adottak a dolgozók átlagos havi nettó fizetései és az összes kifizetett havi nettó bér a vállalat három részlegében (24. táblázat). Határozza meg az adatok alapján a dolgozói létszámot (feltételezve, hogy nem volt elbocsátás az adott évben), majd a létszám alapján a Bt. egészére vonatkozó átlagos nettó havi fizetést.
Megoldás:
A dolgozói létszámot az fi/xi képlettel kapjuk meg (27. táblázat). Az átlagos havi nettó fizetés egy olyan viszonyszám, amelyet az összes havi nettó fizetés és a dolgozói létszám alapján, a kettő hányadosaként számolunk. Mivel adott maga a viszonyszám (xi) és a viszonyszám számlálója (fi), ezért a harmonikus átlagot kell használnunk, hogy a vállalati szintű átlagfizetést megkapjuk. Amennyiben kiszámítottuk a dolgozói létszámokat, a számtani átlagforma, illetve az aggregátumok alapján képzett főátlag is megfelelő számítási forma.
27. táblázat: Egy Bt. dolgozóira vonatkozó adatok 2012-ben
Megnevezés
Dolgozók átlagos havi nettó fizetése (ezer
Ft/fő) xi
Összes kifizetett nettó fizetés
havonta (ezer Ft)
fi
Dolgozói létszám (fő)
fi/xi
A részleg 118 500 (x1) 1 185 000 (f1) 10 B részleg 93 200 (x2) 1 864 000 (f2) 20 C részleg 125 600 (x3) 251 200 (f3) 2
Forrás: Saját szerkesztés
A 27. táblázat adatai alapján a harmonikus átlag a következőképpen számítható:
) (s
xH = 150 009 Ft
22 200 300 3
600 125
200 251 200
93
000 864 1 500 118
000 185 1
200 251 000 864 1 000 185
1
15.10. Példa. A 28. táblázat alapján határozza meg az adott település mezőgazdasági termelői által felhasznált fajlagos műtrágya mennyiségének a mediánját, móduszát, majd értelmezze a kapott eredményeket.
28. táblázat: Egy település mezőgazdasági termelőinek megoszlása a területegységre felhasznált (fajlagos) műtrágya mennyisége szerint
Felhasznált műtrágya, kg/ha
Termelők száma (fi)
Kummulált gyakoriságok (fi')
50,1-80 16 16
80,1-110 18 34
110,1-140 25 59
140,1- 21 80
129
Összesen 80 -
Forrás: Saját szerkesztés
Megoldás:
A nyers medián 81/2=40,5 és az ezt tartalmazó osztályközben 25 adat van, az osztályköz alsó határa 110,1. A mediánt tartalmazó osztályközig a gyakoriságok összege 34, az osztályköz hossza 30. A medián kiszámítása ezek felhasználásával a következő képlettel történik:
Me = 30 117 ,9
25 34 2
1 80 1 , 110 h f
f 2
1 n me
me 1 me
1 i
i
xo
kg/ha.
A nyers móduszt szintén a 110,1 – 140-es osztályköz tartalmazza, hiszen itt a legnagyobb az adatok gyakorisága (25), azaz ez az osztályköz fordul elő a leggyakrabban. A móduszt tartalmazó osztályköz (fmo) gyakorisága 25, a megelőző osztályköz adatgyakorisága (fmo-1) 18, a modális osztályközt követő osztályköz adatainak gyakorisága pedig 21. A módusz kiszámítása a fenti értékek alapján a következő módon történik:
o =
(25 18) (25 21) 30 129 ,2
18 25 1
, 110 h f
f f
f
f f mo
1 mo mo 1 mo mo
1 mo mo
xo
kg/ha
A település mezőgazdasági termelőinek tipikus felhasznált fajlagos műtrágya mennyisége 129,19 kg/ha körüli. A 117,9 kg/ha azt a felhasználási szintet mutatja, amelynél a termelők 50%-a többet használt fel, 50%-a pedig kevesebbet.
15.11. Példa. A 29. táblázat adatai alapján határozza meg a megadott energiahordozó átlagát a 2004-2010-es időszakban. Adja meg a terjedelmet, szórást, varianciát és a relatív szórást.
Jól jellemzi-e az átlag a megadott időszak felhasználását?
29. táblázat: Magyarországi villamosenergia felhasználás 2004 és 2010 között
Év Villamosenergia,
milliárd kWh (xi)
2004 34,75
2005 35,52
2006 36,59
2007 37,25
2008 37,40
2009 35,25
2010 36,01
Összesen 252,77
Forrás: KSH (2012a)
Megoldás:
Az adatok terjedelme 37,40 – 34,75 = 2,65 milliárd kWh . Első lépésben ki kell számolni az éves felhasználások átlagát, ami 36,11
7 77 ,
252
x milliárd kWh. Ezután az egyes évek
130
felhasználásaiból rendre kivonjuk az átlagot és négyzetre emeljük a különbséget. Ez alapján a szórás a következőképpen adódik:
937 , 0 7 142 , 6 )
(
1
2
n X x
n
i i
milliárd kWh, ami 936,7 millió kWh.
A variancia, azaz a szórásnégyzet 877,34 millárd kWh. A relatív szórás 0,026 109
, 36
936711 ,
0 ,
azaz a szórás az átlag 2,6%-a, ami nagyon alacsonynak számít, így az átlag jól jellemzi az időszaki felhasználást.
15.12. Példa. Határozza meg a három legfontosabb zöldség termelési értékének együttes változását 2009-ről 2010-re! Határozza meg az árindexet a bázisidőszak mennyiségei (30.
táblázat) alapján, majd határozza meg a termelt mennyiségek együttes átlagos időbeli alakulását a tárgyidőszak árai alapján (30. táblázat).
30. táblázat: A három főbb zöldségfajta termelt mennyiségei és piaci átlagára két időszakra vonatkozóan Magyarországon
Megnevezés
2009 2010
Termés, t (q(0))
piaci átlagár, Ft/kg (p(0))
Termés, t (q(1))
piaci átlagár, Ft/kg (p(1))
Paradicsom 192 810 293,9 134 274 464,1
Zöldpaprika 148 775 358,7 109 533 455,8
Sárgarépa 65 628 203,4 58 532 213,6
Forrás: KSH (2012b)
Megoldás:
A számolás előtt segédtáblázatot (31. táblázat) célszerű készítenünk az alábbi módon:
31. táblázat: Segédtáblázat az érték, ár és volumenindexek meghatározásához
Me.: Millió Ft
Megnevezés q(0) p(0) q(1)p(0) q(0) p(1) q(1) p(1)
Paradicsom 56 666,86 39 463,13 89 483,12 62 316,56 Zöldpaprika 53 365,59 39 289,49 67 811,65 49 925,14 Sárgarépa 13 348,74 11 905,41 14 018,14 12 502,44 Összesen 123 381,19 90 658,02 171 312,91 124 744,14
Forrás: Saját számítás
(1) A három zöldség termelési értékének együttes változását az értékindexszel számoljuk.
Évenként és zöldségenként a mennyiséget összeszorozzuk az egységárral, így értéket kapunk. A három zöldség termelési értékét évenként külön-külön összeadjuk és a 2010-es összeget osztjuk a 2009-es összeggel az alábbi képlet szerint:
131 következőkben ezt a két hatást is elemezni fogjuk.
(2) Az árindexet a bázisidőszak mennyiségei alapján a következőképpen számoljuk:
389
A három zöldség ára együttesen átlagosan 2010-re 38,9%-kal emelkedett.
(3) A termelt mennyiségek együttes átlagos időbeli alakulását a tárgyidőszak árai alapján a tárgyidőszaki volumenindex mutatja az alábbi számolás alapján:
728
A termelt mennyiségek együttesen átlagosan 27,2%-kal csökkentek 2010-re. Igaz, hogy az árak emelkedtek 38,9%-kal, de a termelt mennyiségek jelentős csökkenését is figyelembe véve a termelési érték csak 1,1%-kal nőtt: 1,011 0,389 0,728
15,13. Példa. Határozza meg az ipari növények termelési színvonalának együttes változását a 2010-es évhez viszonyítva! Határozza meg az ipari növények termelési színvonalának változását a tárgyidőszak területadatai (32. táblázat) alapján. Hogyan hatott a betakarított terület arányainak változása a színvonalra? Határozza meg az ipari növények termelési színvonalának változását a bázisidőszak rész-színvonal mutatói alapján !
32. táblázat: Ipari növények termelési színvonalának alakulása a 2010-2011-es években Magyarországon
Megnevezés
2010 2011
Betakarított terület (ezer ha)
f(0)
Termésátlag (t/ezer ha)
x(0)
Betakarított terület (ezer ha)
f(1)
Termésátlag (t/ ezer ha)
Forrás: KSH (2012c)
Megoldás:
132
Segédtáblázatot célszerű készítenünk az alábbi módon (33. táblázat):
33. táblázat: Segédtáblázat a összhatás-, részhatás-, összetételhatás-index kiszámítására
Megnevezés f(0)* x(0) f(0)* x(1) f(1)* x(0) f(1)* x(1)
Búza 3 750 810 4 256 310 3 635 800 4 125 800
Kukorica 6 981 130 7 110 610 7 938 690 8 085 930
Árpa 944 160 1 064 990 876 960 989 190
Összesen 11 676 100 12 431 910 12 451 450 13 200 920
Forrás: Saját számítás
(1) A termelési színvonal együttes átlagos változása a 2010-es bázison a főátlag index kiszámítását jelenti, azaz külön-külön 2010-re és 2011-re kiszámoljuk a három növény termésátlagának a betakarított területtel súlyozott számtani átlagát, majd a két átlagot elosztjuk egymással a következő módon:
086 termésátlagoknak köszönhető, másrészt a kukorica területarány növekedésének.
(2) Az ipari növények termelési színvonalának változását a tárgyidőszak területadatai alapján a tárgyidőszaki részhatás index mutatja, melyet a következőképpen számítunk:
060
Amennyiben a termelési színvonal 8,6%-os változásában kiküszöböljük a termőterület arányváltozásának a hatását, akkor csak és kizárólag a részátlagok változásának a hatását kapjuk, ami 6,0%. Valószínűleg a technológiai fejlesztésnek, vagy a környezeti hatásoknak köszönhetően javultak a termésátlagok a előző évhez képest. A három ipari növény átlagában ez 6,0%-os növekedést jelez.
133
(3) A betakarított területek arányváltozásának hatását is lehetőségünk van kimutatni. Az ipari növények termelési színvonalának változását a bázisidőszak rész-színvonal mutatói alapján a bázisidőszaki összetételhatás index mutatja a következők szerint:
025 , 1 55 , 924 4
16 , 045 5
371 2
100 676 11
468 2
450 451 12
f x f
f x f
I
r
1 i
) 0 ( i
) 0 ( i r
1 i
) 0 ( i r
1 i
) 1 ( i
) 0 ( i r
1 i
) 1 ( i
) 0 (
ÖSSZ
A betakarított területek arányváltozása összességében véve 2,5%-kal növelte a termelés színvonalát.
Összességében véve 1,086 1,0601,025, így termelési színvonal növekedését két tényező hatásának együttesére bontottuk fel.
Kitűzött feladatok
1) Tekintsük a 34. táblázatban látható rangsorolt béradatokat:
34. táblázat: Egy régióban működő vállalkozás dolgozóinak rangsorolt béradatai
M.e.: 1000 Ft
86 90 95 95 95 101 103 115 123 128 130 140
150 154 170, 195 200 212 250 270
Forrás: Saját szerkesztés
Csoportosítsa a fenti adatokat osztályközös gyakorisági sorba, határozza meg a gyakoriságokat és az osztályközt. Becsülje meg az osztályközök és a gyakoriságok alapján az egyes osztályokban az összes árbevétel nagyságát (értékösszeg), számoljon a gyakoriságok alapján relatív gyakoriságot (megoszlást).
2) Utazási irodák bevételét vizsgáljuk a 35. táblázat szerinti eloszlás alapján:
35. táblázat: Magyarországi utazási irodák bevételeinek alakulása Bevétel, ezer euro Irodák száma
500 – 1 000 12
1 000 – 1 500 19
1 500 – 2 000 30
2 000 – 2 500 17
2 500 – 3 000 10
3 000 – 3 500 7
Együttesen 53
Forrás: Saját szerkesztés
Számolja ki az utazási irodák átlagos bevételét, az irodák megoszlási viszonyszámait bevétel szerint, a mediánt, móduszt és értelmezze a kapott mutatókat!
134
3) Egy Kft három részlege azonos típusú terméket termel a 36. táblázatbeli önköltségekkel:
36. táblázat: Egy Kft. három részlegének összes és fajlagos termelési költsége Részleg Összes termelési költség,
Ft
egységre jutó termelési költség Ft/db
A 12 000 000 200
B 10 000 000 150
C 18 000 000 300
Együtt . . . . . .
Forrás: Saját szerkesztés
Határozza meg a termelt darabszámot, majd az átlagos önköltséget!
4) Adott a három legfontosabb gyümölcs termelési színvonalának alakulása két időszakra Magyarországon. Határozza meg a gyümölcsfélék termelési színvonalának együttes változását a 2009-es évhez viszonyítva. Adja meg továbbá a gyümölcsfélék termelési színvonalának változását a bázisidőszak területadatai alapján, valamint a tárgyidőszak rész-színvonal mutatói alapján (37. táblázat).
37. táblázat: A legfontosabb gyümölcsfélék termelési színvonalának alakulása a 2009-2010-es években Magyarországon
Megnevezés
2009 2010
Betakarított terület, ha
Termésátlag, t/ha
Betakarított terület, ha
Termésátlag, t/ha
Alma 42 146 13,65 37 271 13,33
Körte 3 001 10,75 3 202 7,55
Őszibarack 7 423 8,17 6 660 7,95
Forrás: KSH (2012d)
5) A 38. táblázat adatai alapján határozza meg a felsőoktatásban tanulók számának átlagát a 2004-2011-es időszakban. Adja meg a terjedelmet, szórást és a relatív szórást, varianciát.
Jól jellemzi az átlag a megadott időszak hallgatóinak számát?
38. táblázat: A felsőoktatásban tanulók száma Magyarországon 2004 és 2011 között
Me.: ezer Fő
Év Hallgatók száma
2004 422
2005 424
2006 416
2007 398
2008 381
2009 370
2010 361
2011 360
Forrás: KSH (2012e)
135
6) Határozza meg a három legfontosabb gyümölcs termelési értékének együttes változását 2009-ről 2010-re a 39. táblázat adatai felhasználva! Határozza meg továbbá az árindexet a bázisidőszak mennyiségei alapján, majd határozza meg a termelt mennyiségek együttes átlagos időbeli alakulását a tárgyidőszak árai alapján.
39. táblázat: A három legfontosabb gyümölcs termelési értékének együttes változása Magyarországon 2009 és 2010 években
Megnevezés
2009 2010
Termés, t Piaci átlagár,
Ft/kg Termés, t Piaci átlagár, Ft/kg
Alma 575 368 185 496 916 185
Körte 32 256 304 24 176 360
Őszibarack 60 618 234 52 912 304
Forrás: KSH (2012f)
136