A matematika egyik leggyorsabban növekvő területe a kombinatorika. Számos területen alkalmazzák (pl. operációkutatás), módszerei egyre bonyolultabbá válnak és számos más diszciplinát is alkalmaznak.
12.1. Példa. Írjuk fel az a,b,c elemek összes permutációját!
Megoldás:
a,b,c b,a,c c,a,b a,c,b b,c,a c,b,a
Azaz a három elem összes permutációinak a száma: P3 = 3 · 2 · 1 = 3!=6.
12.2. Példa. Hányféle sorrendben lehet 4 különböző növényt (búza, árpa, rozs, zab) 4 egymás utáni parcellába elvetni?
Megoldás: P4 = 4! = 24.
12.3. Példa. Hányféleképpen tölthető ki egy 13 mérkőzést tartalmazó totószelvény egy oszlopa, ha 8 darab 1-es tippet, 2 darab x tippet és 3 darab 2-es tippet akarunk elhelyezni?
Megoldás:
A kitöltésnél az 1,x,2 elemeket használjuk fel 8-szor, 2-szer, illetve 3-szor. Ezért
870 . 12
! 3
! 2
! 8
! P138,2,3,i 13
12.4. Példa. Hányféle sorrendben lehet 4 parcellát bevetni búzával és kukoricával, ha mindkettőt 2-2 parcellába vetjük?
Megoldás: 6
! 2
! 2
! P42,2,i 4
12.5. Példa. Egy urnában hat golyó van, sorra az 1,2,3,4,5,6 számokkal számozva. Jól összerázzuk az urna tartalmát és találomra, egymás után kihúzunk négy golyót belőle anélkül, hogy a már kihúzottakat visszatennénk. A kihúzott golyók számát a kihúzás sorrendjében feljegyezzük. Hányféle sorrendben lehet a négy golyót kihúzni?
Megoldás: Mivel n = 6, k = 4 és a sorrend számít, ezért V64=
! 2
!
6 6 · 5 · 4 · 3 = 360.
98
12.6. Példa. 5 sertésből hányféleképpen választhat ki magának 3 ember 1-1 darabot?
Megoldás:
Az n = 5, k = 3 és a sorrend is számít, mivel három különböző ember választja a sertéseket, ezért
! 2
! 5
V53 = 5 · 4 · 3 = 60.
12.7. Példa. Egy kockával ötször dobunk egymás után. Hány különböző dobássorozatot kapunk, ha a dobások sorrendje is számít?
Megoldás:
Egyszer feldobva a kockát hatféle pontszámot kaphatunk. E hat elemből az öt dobással olyan ötös csoportokat képezünk, amely csoportokban ismétlődés is megengedett. A lehetséges dobássorozatok száma tehát hat elem ötödosztályú ismétléses variációinak a száma, azaz V65,i 65.
12.8. Példa. Hányféleképpen tölthető ki egy tesztlap, melynek 10 kérdésének mindegyikére 1,2,x valamelyikével válaszolhatunk?
Megoldás:
A válaszadáskor nyilvánvalóan számít a sorrend, mert nem mindegy, hogy melyik választ melyik kérdésre adjuk. Minden lehetséges kérdés esetén 3 válasz adható és egy válaszlehetőség több kérdéshez is kerülhet. A lehetséges kitöltések száma tehát három elem tizedosztályú ismétléses variációinak a száma, azaz V310,i 310 .
12.9. Példa. A lottón 90 számból találomra ötöt kihúznak egymás után oly módon, hogy a már kihúzottakat nem teszik vissza az urnába. Hány szelvényt kellene ahhoz kitöltenünk, hogy biztosan legyen közöttük öttalálatos?
Megoldás:
Ebben a feladatban n = 90, k = 5. Tekintettel arra, hogy a húzás sorrendje lényegtelen, képeznünk kell 90 elem 5-ödosztályú ismétlés nélküli kombinációját, amelynek száma:
268 . 949 . 43
! 85
! 5
! 90 5
90
C590
.
12.10. Példa. Határozzuk meg az a,b,c,d elemek 2-odosztályú ismétlés nélküli kombinációinak a számát!
Megoldás: ab, ac, ad, bc, bd, cd, azaz 6
! 2
! 2
! 4 2 4
C24
.
99
12.11. Példa. Írjuk fel az a,b,c,d elemek másodosztályú ismétléses kombinációit! Az ismétléses kombinációk:
Megoldás:
aa, ab, ac, ad,
12.12. Példa. A piacon háromféle almát árulnak. 4 láda almát szeretnénk venni, ezt hányféle módon tehetjük meg?
Megoldás:
A 4 láda almát saját magunk számára választjuk, ezért a kiválasztás sorrendje teljesen mindegy. A három fajta tetszőlegesen ismétlődhet, az is előfordulhat akár, hogy mind a négy ládában egy fajta alma lesz. Az összes lehetséges választások száma tehát három elem negyedosztályú ismétléses kombinációinak a száma. A feladatból következik, hogy
n = 3, k = 4, így a megoldás: 15
Megoldás:
.
Kitűzött feladatok
1) Hányféleképpen rendezhető egy sorba 10 nő és 16 férfi, ha a nők elöl állnak?
2) Hány olyan hatjegyű telefonszámot alkothatunk a 2, 3, 5, 6, 7, 9 számjegyekből, amelyben a második jegy 3-as?
3) Egy 12 tagú társaság kerek asztalnál foglal helyet. Hányféle sorrendben ülhetnek le, ha a helyek nem számozottak?
100
4) Egy dobozban 16 golyó van, közülük 10 fehér, 4 piros és 2 kék színű. A 16 golyót egymás után kihúzzuk a dobozból. Hányféle sorrendben húzhatjuk ki a golyókat, ha az egyszínűeket nem különböztetjük meg?
5) Hányféleképpen tölthetünk ki egy totószelvényt - 13 mérkőzésre tippelünk - úgy, hogy 8 darab 1-es, 2 darab x és 3 darab 2-es legyen rajta?
6) Egy háromemeletes, új épületben 14 lakás van, mégpedig az első emeleten 3, a másodikon 4, a harmadikon 7. Hányféleképpen költözhetnek be a kijelölt új lakók, ha csak azt figyeljük, hogy hányadik emeletre költöznek?
7) Egy pénzérmét tízszer egymás után feldobunk. Hányféle olyan dobássorozat van, amelyben 6 fej és 4 írás fordul elő?
8) Hányféleképpen helyezhetünk el 5 levelet 16 rekeszbe, ha a levelek között nem teszünk különbséget, és egy rekeszbe
a) legfeljebb egy levelet teszünk
b) több levelet is tehetünk?
9) A 32 lapos magyar kártyából hányféleképpen húzhatunk visszatevés nélkül 5 piros lapot? A sorrendet ne vegyük figyelembe!
10) Hányféleképpen töltheti ki lottószelvényét az, aki a 3, 7, 13 számokat már bejelölte a szelvényén?
11) Egy gyerek 5 különböző fagylaltból választhat egy háromgombócos adagot. Hányféle lehetősége van a választásra? (Az adagolás sorrendjére nem vagyunk tekintettel).
12) Egy községben 75 telefonállomás van. Hányféle helyi beszélgetés jöhet létre?
13) Egy pénzdarabbal három dobást végzünk. Vizsgáljuk meg, hányféle dobássorozat adódhat, ha a dobások sorrendjét is figyelembe vesszük! Írjuk fel a sorozatokat!
14) Kilenc különböző színből hányféle háromszínű zászló készíthető? (Egy szín sem szerepelhet kétszer az egyes zászlókon).
15) Egy rejtvénypályázaton 3 különböző díjat sorsolnak ki a helyes megfejtést beküldők között. 78 jó megfejtés érkezik be. Hányféle eredményt hozhat a sorsolás?
16) Hány olyan négyjegyű szám van, mely különböző számjegyekből áll?
17) Egy nyolctagú család egy alkalommal négy színházjegyet kap. Hányféleképpen oszthatják szét a jegyeket a családtagok között? (Mivel a jegyek számozottak, a sorrendet is figyelembe vesszük).
18) Egy vizsgán a jelölteknek 8 kérdést tartalmazó lapot osztanak ki. Az egyes kérdések mellett 4-4 választ tűntetnek fel, melyeket A, B, C, D betűvel jelölnek. A jelölteknek a kérdésekre egy-egy betű kiválasztásával kell válaszolniuk. Hányféle különböző válaszsorozat lehetséges?
101
19) Egy raktárpolcon 15 üveg bor áll. Ezekből 10 üvegben fehér és 5 üvegben vörös bor van. Hányféleképpen választhatunk 6 palackot úgy, hogy köztük éppen kettőben legyen vörös bor?
20) Egy társaságban 7 fiú és 5 leány van. Hányféleképpen alakulhat belőlük 5 egyszerre táncoló pár?
21) Kilenc ember csónakázni készül. Három csónak áll a rendelkezésükre. Az egyik négy-, a második három-négy-, a harmadik kétüléses. Hányféleképpen foglalhatják el a csónakot?
Egy csónakon belül a helyek sorrendje nem számít.
22) 20 láda árúból 15 láda első osztályú, a többi másodosztályú. Hányféleképpen választhatunk ki 5 ládát ezekből úgy, hogy legfeljebb 2 másodosztályú legyen köztük?
23) Egy vasúti szerelvény a mozdonyon kívül 9 kocsiból áll. Hányféle sorrendben kapcsolhatók a mozdonyhoz a kocsik, ha közülük 5 személy-, 3 háló- és 1 étkezőkocsi van, és az azonos fajtájúakat egymás közt nem különböztetjük meg?
24) Egy csomag magyar kártyából kihúzunk 10 lapot. Hány esetben lesz a lapok között a) legalább 7 zöld,
b) legfeljebb 7 zöld?
25) A 0,1,2,3,4 számjegyekből hány olyan 5-jegyű szám képezhető, mely a) különböző számjegyekből áll,
b) tetszőlegesen tartalmazza a fenti számjegyeket?
26) Egy gazda a vetőmagbolt 7 borsófajtája közül válogat.
a) Hányféleképpen vásárolhat ezekből 3 fajtát?
b) Hányféleképpen vethet be a vásároltakból 4 táblát, ha egy táblába csak egy fajta borsót vethet?
27) Ötféle kukoricahibridből szeretnének három táblát bevetni (egy táblába csak egy fajtát!) Hányféleképpen lehetséges ez, ha
a) egy fajtát nem vethetünk több táblába, b) egy fajtát több táblába is vethetünk?
28) Nyolc vállalkozó három a) különböző,
b) azonos
összegű támogatást biztosító alapnál nyújt be pályázatot. Hányféleképpen kerülhet ki a nyolc közül az első 3 nyertes, ha
a) egy pályázó csak egy alapnál nyerhet, b) egy pályázó több alapnál is nyerhet?
102
29) A binomiális tétel alapján fejtsük ki az alábbi hatványokat!
a)
x 3y2
5b)
2 2x
6103