A valószínűségi változó a valószínűség-számítás egyik legfontosabb fogalma. Olyan jelenségek matematikai megfogalmazására, modellezésére alkalmas, melyek véletlentől függő értékeket vesznek fel. Ilyen lehet pl. egy kockadobás eredménye, az utcán szembe jövő emberek testmagassága. Bár a valószínűségi változó jelentése könnyen megragadható, mégis precíz, matematikai megfogalmazása a XX. századig váratott magára és komoly függvénytani és mértékelméleti eszközöket használ fel.
14.1. Példa. Egy üzletben valamely árucikkből a napi kereslet 0 és 6 között változik.
Hosszabb időn keresztül végzett megfigyelés alapján ismerjük a napi kereslet valószínűségeit:
0 db 0,1 valószínűséggel,
1 db 0,15 valószínűséggel,
2 db 0,2 valószínűséggel,
3 db 0,25 valószínűséggel,
4 db 0,15 valószínűséggel,
5 db 0,1 valószínűséggel,
6 db 0,05 valószínűséggel.
A kereslet jól jellemezhető egy ξ valószínűségi változóval, ha a ξ értéke a keresett darabok számával egyenlő. Ekkor Pi(ξ = xi) = pi (i = 0,1,...,6) jelöléssel:
x0 = 0 p0 = 0,1
x1 = 1 p1 = 0,15
x2 = 2 p2 = 0,2
x3 = 3 p3 = 0,25
x4 = 4 p4 = 0,15
x5 = 5 p5 = 0,1
x6 = 6 p6 = 0,05.
Határozzuk meg annak a valószínűségét, hogy (1) a kereslet meghaladja a 4 db-ot,
(2) a kereslet kevesebb, mint 2 db, (3) a kereslet 2 és 6 között van.
Megoldás:
Feladatunk tehát az, hogy meghatározzuk a P(ξ > 4), a P(ξ < 2) és a P(2 < ξ < 6) értékét.
(1) Mivel P(ξ > 4) = 1 − P(ξ < 5) = 1 − F(5) = 1 − 0,85 = 0,15. Hiszen a 4-et meghaladó kereslet 5 vagy 6, tehát pontosan az ellentettje az 5-nél kevesebb
113
kereslet eseménynek, az F(5) értéke pedig: p0 +p1 + p2 + p3 + p4 = 0,1 + 0,15 + 0,2+ 0,25 + 0,15 = 0,85.
(2) Másrészt P(ξ < 2) = F(2) = 0,1 + 0,15 = 0,25.
(3) P(2 < ξ < 6) = P(3 ≤ ξ < 6) = F(6) − F(3) = 0,95 − 0,45 = 0,5.
14.2. Példa. Motoros fűnyírók vizsgálata során megállapították, hogy 100 fűnyíróból 5-öt 1 év, 20-at 2 év, 60-at 3 év, a többit 4 év elteltével kell megjavítani. Határozzuk meg a vizsgált fűnyírók javítási idejének várható értékét és szórását!
Megoldás.
Ekkor ξ lehetséges értékei: 1,2,3,4. A valószínűségeloszlás:
P(ξ = 1) = 0,05 100
5
P(ξ = 2) = 0,2 100
20
P(ξ = 3) = 0,6 100
60
P(ξ = 4) = 0,15 100
15
Ekkor a várható érték: E(ξ) = 1 · 0,05 + 2 · 0,2 + 3 · 0,6 + 4 · 0,15 = 2,85.
Azaz a vizsgált fűnyírók javítási idejének a várható értéke: 2,85 év.
A szórásnégyzet:
D2(ξ) = E(ξ2) − [E(ξ)]2 = 12 · 0,05 + 22 · 0,2 + 32 · 0,6 + 42 · 0,15 − (2,85)2 = 0,53.
14.3. Példa. Sertésfiaztatóban - statisztikai adatok szerint - 0,6 valószínűséggel születik emse. Jelentse a ξ valószínűségi változó az 5 alomszámú kocák esetén az emsék számát.
Adja meg a ξ jellemzőit.
Megoldás:
Jelölje ξ valószínűségi változó az emsék számát. A ξ értékei 0,1,2,3,4,5 lehetnek és binomiális eloszlást követ n = 5, p = 0,6 paraméterekkel. Ennek alapján:
(1) A valószínűségeloszlás:
P(ξ = 0) = 0,6 0,4 0,010
0
5 0 5
P(ξ = 1) = 0,6 0,4 0,077
1
5 1 4
P(ξ = 2) = 0,6 0,4 0,230
2
5 2 3
P(ξ = 3) = 0,6 0,4 0,346
3
5 3 2
114 P(ξ = 4) = 0,6 0,4 0,259
4
5 4 1
P(ξ = 5) = 0,6 0,4 0,078 5
5 5 0
(2) Az eloszlásfüggvény (28. ábra):
F(0) = P(ξ < 0) = 0
F(1) = P(ξ < 1) = P(ξ = 0) = 0,010
F(2) = P(ξ < 2) = P(ξ = 0) + P(ξ = 1) = 0,087
F(3) = P(ξ < 3) = P(ξ = 0) + P(ξ = 1) + P(ξ = 2) = 0,317 F(4) = P(ξ < 4) =
3
1 i
) i (
P =0,663
F(5) = P(ξ < 5) =
4
1 i
) i (
P =0,922
F(6) = P(ξ < 6) =
4
1 i
) i (
P =1.
(3) A várható érték és szórás:
3 6 , 0 5 p n ) (
E és D2() npq 50,60,4 1,2 D2() 1,2 1,1
28. ábra: Az 5 almú kocák emséi számát mérő valószínűségi változó eloszlásfüggvénye
Forrás: Bíró és Vincze (2000)
115
14.4. Példa. Egy nagymennyiségű tétel áru 1% selejtet tartalmaz. Hány darabot kell kivennünk, hogy közötte 0,95 valószínűséggel legalább egy selejtes legyen? A mintát visszatevéssel vesszük.
Megoldás:
A ξ valószínűségi változó a selejtes áruk számát jelöli és binomiális eloszlású. Az egyik paramétere p = 0,01. A másik paraméter, azaz az ”n” meghatározása a feladatunk. Annak a valószínűsége, hogy legalább 1 selejtes legyen:
1 – P(ξ = 0) = 1 - 0,010 0,99 n 1 0,99 n 0
4
.
Ennek a valószínűsége nagyobb, vagy egyenlőnek kell lenni, mint 0,95. Így azt a legkisebb „n”-et keressük, melyre:
1 – 0,99n 0,95 így 0,05 0,99n.
Az „n” értékének meghatározása úgy történik, hogy vesszük mindkét oldal logaritmusát (itt lg=log10).
lg0,05 lg0,99n, innen 298 n.
Ez azt jelenti, hogy 298 darabot kell venni, hogy közte legalább egy selejtes legyen.
14.5. Példa. Egy dobozban 12 termék van, amiből 4 selejtes. Vegyünk ki a dobozból 4 terméket úgy, hogy a kivett terméket már nem tesszük vissza. A ξ valószínűségi változó jelentse a 4 kiválasztott termék közül a hibátlanok számát. Adjuk meg a ξ valószínűségi változó eloszlását, eloszlásfüggvényét, várható értékét és szórását.
Megoldás:
A ξ valószínűségi változó hipergeometrikus eloszlású és értékei 0,1,2,3,4 lehetnek, így:
(1) A valószínűségeloszlás:
P(ξ = 0) = 0,002
4 12
4 4 0 8
P(ξ = 1) = 0,065
4 12
3 4 1 8
P(ξ = 2) = 0,339
4 12
2 4 2 8
116 P(ξ = 3) = 0,453
4 12
1 4 3 8
P(ξ = 4) = 0,141 4
12 0 4 4 8
(2) Az eloszlásfüggvény (29. ábra):
F(0) = P(ξ < 0) = 0
F(1) = P(ξ < 1) = P(ξ = 0) = 0,002
F(2) = P(ξ < 2) = P(ξ = 0) + P(ξ = 1) = 0,067
F(3) = P(ξ < 3) = P(ξ = 0) + P(ξ = 1) + P(ξ = 2) = 0,406 F(4) = P(ξ < 4) =
3
1 i
) i (
P =0,859
F(5) = P(ξ < 5) =
4
1 i
) i (
P =1
(3) A várható érték: E() n p, ahol n = 4, p pedig annak a valószínűsége, hogy a kiválasztott termék hibátlan, azaz p =
12
8 , így 2,67
12 4 8 ) (
E .
(4) A szórásnégyzet:
65 , 0 12
4 12 4 8 1 12
4 q 12
p n 1 N
n ) N
(
D2
.
29. ábra: A 4 kiválasztott termék közül a hibátlanok számát jelölő, hipergeometrikus eloszlású valószínűségi változó eloszlásfüggvénye
Forrás: Bíró és Vincze (2000)
117
14.5. Példa. Megfigyelték, hogy annak a relatív gyakorisága, hogy egy gyártmány hibás 0,05. A minőségvizsgáló sorban vizsgálja a termékeket. A ξ valószínűségi változó értéke legyen az a szám, ahányadikra az első hibás terméket megtalálja. Adjuk meg a ξ valószínűségeloszlását, a várható értékét és szórását. (Tekintsük a relatív gyakoriságot annak a valószínűségének, hogy a termék hibás.)
Megoldás:
A ξ geometriai eloszlást követ és értékei 1,2,3,···. Ha a k-adik vizsgálatra találunk hibásat, akkor ennek a valószínűsége:
P(ξ = k) = 0,95n−1 · 0,05 (n = 1,2,3,···), hiszen (n-1)-szer jó terméket találtunk. A geometriai eloszlás várható értéke:
20 05 , 0
1 p 1 ) (
E ,
azaz „átlagosan” ennyi termék vizsgálatánál találunk hibás terméket. Ez az adat meglehetősen „bizonytalan”, hiszen szórása:
4936 , 19 05 , 0
95 , 0 p
q ) (
D .
14.6. Példa. A kísérleti parcella kialakításához aprómagot készítünk elő úgy, hogy száraz homokkal keverjük. Az a feltétel, hogy minden 5 dkg homokban 0,99 valószínűséggel található legyen legalább 1 db mag. Hány magot kell számítanunk 1 kg homokhoz?
Megoldás:
Ha feltesszük, hogy 1 kg homokhoz x db mag kell, akkor 5 dkg homokba
20
x db mag jut.
A feladatban megfogalmazott feltételek alapján a magok eloszlása Poisson-eloszlást követ, ahol átlagosan 5 dkg-ban
20
x
db mag van. Annak a valószínűsége, hogy legalább 1 mag jut 5 dkg-ba: 1 – P(ξ = 0)-val egyezik meg, az ellentett eseménnyel gondolkodva.
Mivel
20 x 20 0 x
e
! 0
e 20
x ) 0 ( P
,
1 – 20
x
e
= 0,99 0,01 = 20
x
e
lg0,01 = lg
20
x
e
lg0,01 =
20
x lg(e)
20 x e lg
01 , 0
lg
118
x = 92
4343 , 0
40
14.7. Példa. Egy készülék meghibásodásának átlagos száma 10.000 működési óra alatt 10.
A meghibásodások eloszlása csak a vizsgált időtartam hosszától függ. Határozzuk meg annak a valószínűségét, hogy a készülék 200 működési óra alatt elromlik.
Megoldás:
Ha 10.000 óra alatt 10 készülék hibásodik meg, akkor 200 óra alatt 10 0,2 000
. 10
200
.
Jelentse a ξ valószínűségi változó a 200 óra alatt bekövetkező meghibásodások számát, vagyis ξ k = 0,1,2,… értékeket felvevő, 0,2 paraméterű Poisson eloszlású valószínűségi változó, így:
2 , 0 k
e
! k
2 , 0 ) k (
P .
Annak a valószínűsége, hogy nem romlik el egy sem, azaz k = 0:
, e e
! 0
2 , ) 0 0 (
P 0,2 0,2
0
Így annak a valószínűsége, hogy 200 óra alatt legalább egy meghibásodik:
1 – P( 0) 1e0,2 0,18 .
14.8. Példa. Egy műszer számlapján a beosztások 1-onként követik egymást. Mennyi a valószínűsége annak, hogy a leolvasási hiba legfeljebb 10', ha csak az egész fokokat olvassuk le?
Megoldás:
A leolvasás hibája abszolút értékben 0' és 30'között van. A ξ valószínűségi változó jelentse a leolvasás abszolút hibáját. Az egyenletes eloszlás miatt
, 3 1 30 10 0 30
0
10
a b
a x
azaz
3
1 annak a valószínűsége, hogy a leolvasási hiba 10' lesz.
119
14.9. Példa. Egy villamosmegállóba 15 percenként érkeznek a villamosok. Tegyük fel, hogy a villamosmegállóba érkezve látjuk, hogy 1 percen belül nem jön villamos. Legyen a ξ a várakozási idő. Írjuk fel a ξ valószínűségi változó sűrűség- és eloszlásfüggvényét, számítsuk ki a várható értékét és a szórását, valamint annak a valószínűségét, hogy legalább 5 percet kell várni.
Megoldás:
A ξ a = 1 és b = 15 paraméterű egyenletes eloszlású valószínűségi változó.
(1) A sűrűségfüggvény:
az eloszlásfüggvény:
(2) A várakozási idő várható értéke és szórása:
,
Annak a valószínűsége, hogy legalább 5 percet kell várakoznunk:
. üzemóra. Mennyi annak a valószínűsége, hogy egy lámpa 50 üzemóra előtt tönkremegy?
Mi a valószínűsége annak, hogy egy lámpa éppen a 100-adik órában megy tönkre?
Megoldás:
A valószínűségi változó legyen a meghibásodásig eltelt idő, amely exponenciális eloszlásúnak tekinthető, hiszen az izzólámpa elromlása általában nem az elöregedés, hanem valamilyen véletlen tényező következménye.
(1) Az átlagos élettartam a meghibásodás várható ideje: E(ξ) = 50.
Mivel folytonos valószínűségi változó egy konkrét értéket 0 valószínűséggel vesz fel. Ha
120 eloszlás-függvényének az értékeit az x = 3,4,5 helyeken!
Megoldás.
(Φ(0,5) = 0,692,Φ(1) = 0,841,Φ(1,5) = 0,933)
A megoldáshoz a táblázatot használtuk fel.
14.12. Példa. Határozzuk meg a µ = 2, σ = 2 paraméterű normális eloszlású valószínűségi változónak a [-1,4] intervallumba esésének a valószínűségét.
Megoldás:
(Φ(0,5) = 0,692,Φ(1) = 0,841,Φ(1,5) = 0,933)
A megoldáshoz a táblázatot használtuk fel.
14.13. Példa. Egy takarmánykeverő üzemben 50 kg várható értékkel, és 3 kg szórással tölti egy gép a zsákokba a takarmányt. Mi a valószínűsége annak, hogy egy tetszőlegesen kiválasztott zsákban
(1) kevesebb, mint 47 kg takarmány van, (2) legalább 53 kg takarmány van, (3) 47 és 53 kg közötti takarmány van?
Megoldás:
(Φ(0,5) = 0,692,Φ(1) = 0,841,Φ(1,5) = 0,933)
A valószínűségi változó µ = 50 és σ = 3 paraméterű normális eloszlású, így:
121
A megoldáshoz a táblázatot használtuk fel.
14.14. Példa. Egy ξ valószínűségi változó várható értéke E(ξ) = 50, szórása D(ξ) = 20.
Adjuk meg, hogy legfeljebb mekkora valószínűséggel tér el a valószínűségi változó a várható értéktől abszolút értékben legalább 60 egységgel? Mekkora ennek a valószínűségnek a pontos értéke, ha a valószínűségi változó normális eloszlású?
Megoldás:
Alkalmazzuk a Csebisev-egyenlőtlenséget, k D()= = 60 , azaz k=3 esetre:
Normális eloszlás esetén a valószínűség értéke E(ξ)±60=50±60 értékek között:
003 0,111 felső korlát.
Kitűzött feladatok
1. Egy dobozban 8 db golyó van ebből 5 fehér. Vegyünk ki a dobozból 5 golyót úgy, hogy a kivett golyót mindig visszatesszük, és a golyókat összekeverjük. Jelentse a
valószínűségi változó a kivett fehér golyók számát. Adja meg a valószínűségi változó a) eloszlását,
b) eloszlásfüggvényét, c) várható értékét, d) szórását!
2. Egy dobozban 12 termék van, amelyből 4 selejtes. Vegyünk ki a dobozból 4 terméket úgy, hogy a kivett terméket már nem tesszük vissza. Jelentse a valószínűségi változó a kivett hibátlan termékek számát. Jellemezze a valószínűségi változót!
122
3. Egy rekeszben 3 jó és 2 hibás alkatrész van. Hármat visszatevés nélkül kiválasztva jelentse a valószínűségi változó a kivett jó alkatrészek számát! Jellemezze a
valószínűségi változót! Adja meg annak a valószínűségét, hogy a kivett jó alkatrészek száma
a) legalább 2, b) legfeljebb 2,
c) legalább 1, de 3-nál kevesebb!
4. Egy tombolán 5 db 1 000 Ft-os, 10 db 500 Ft-os és 30 db 200 Ft-os nyereményt sorsolnak ki, míg 55 db szelvénnyel nem lehet nyerni. Mennyi egy tombola nyeremény várható értéke ill. a nyeremények valószínűségeloszlása?
5. Egy kertben új gyümölcsöst telepítenek. A fák 20%-a 2 év, 50%-a 3 év, a többi 4 év múlva fordul termőre. Hány év a termőre fordulás várható ideje és szórása?
6. Egy tétel áru harmadrésze első osztályú. 4 darabot kiválasztunk a tételből találomra. A kiválasztás egyenként megy végbe, és a választott árut rögtön – még a következő kiválasztás előtt – visszatesszük a többi közé. Jelentse a valószínűségi változó a kiválasztott első osztályú darabok számát. Jellemezze a valószínűségi változót!
7. Egy vizsgálat azt mutatja, hogy egy bizonyos betegség ezer növény közül átlagosan 20-at fertőz meg. Mi annak a valószínűsége, hogy 4 000 növény közül pontosan 80 növény fertőződött meg?
8. Egy hivatalba átlagosan 6 ember érkezik egy órában. Mi annak a valószínűsége, hogy egy általunk megfigyelt negyedórában 2 ember érkezik a hivatalba?
9. Egy telefonközponthoz 1000 előfizető tartozik. Megfigyelték, hogy annak a relatív gyakorisága, hogy egy adott órában egy előfizető telefonál 0,005. Ezt tekinthetjük az adott esemény valószínűségének. Mennyi annak a valószínűsége, hogy
a) Éppen 4-en telefonálnak?
b) Legalább 4-en telefonálnak?
10. Tésztasütésnél 1 kg tésztába 40 szem mazsolát tesznek. Mi a valószínűsége annak, hogy egy 5 dkg-os darabban
a) 0,1,2 szem mazsola lesz?
b) Kettőnél több mazsola lesz?
11. Egy nyomtatott könyv 600 oldalán átlagosan 600 hiba van. Mi a valószínűsége annak, hogy egy kiszemelt oldalon 0,1,2 hiba lesz?
12. Egy rádiókészülék meghibásodásának átlagos száma 10 000 működési óra alatt 15. A meghibásodások eloszlása csak a vizsgált időtartam hosszától függ. Határozza meg annak a valószínűségét, hogy a készülék 300 működési óra alatt elromlik?
13. A valószínűségi változó egyenletes eloszlású a 2,4 intervallumon. Írja fel a
valószínűségi változó sűrűségfüggvényét, eloszlásfüggvényét, várható értékét és szórását!
123
14. Egy tejeszacskóba névlegesen 1 liter tejet töltő gép átlagos hibája (szórása) 0,2 dl.
Mekkora annak a valószínűsége, hogy a zacskóba lévő tej mennyisége legalább 0,5 dl-rel tér el az előírttól?
15. Egy 1 000 méteres kábel valahol meghibásodott. A meghibásodásnak a kábel kezdetétől vett távolságát egyenletes eloszlásúnak tekintve
a) határozza meg az eloszlás jellemzőit!
b) adja meg annak a valószínűségét, hogy a hiba az utolsó 100 méteren van!
16. Egy konzervgyárban 400 dkg várható értékű konzerveket töltenek 4 dkg-os szórással. Mi annak a valószínűsége, hogy egy dobozban a névleges 400 dkg-tól
a) legalább 2 dkg-mal kevesebb van, b) legalább 2 dkg-mal több van, c) kevesebb mint 2 dkg az eltérés?
17. Egy gazdaságban 10 ha, 20 ha, 30 ha, 40 ha területű táblákon termelnek kukoricát, melyeken 5 t, 6 t, 4 t, 8 t terem hektáronként. Mennyi a kukoricatermés várható értéke és szórása?
18. Egy gép 0,1 valószínűséggel gyárt selejtes terméket. Visszatevéssel 3 db-ot véletlenszerűen kivéve, mennyi lesz a selejtesek számának a várható értéke? Milyen eloszlásról van szó?
19. Vízvezeték mentén a hiba előfordulása egyenletes eloszlású. Mekkora a valószínűsége, hogy egy hiba
a) az AB szakaszon van, b) a CD szakaszon van,
ha AB = 500m, AC = 1 700m, AD = 2 500m? Adja meg az eloszlás jellemezőit!
20. Sertéstelepen 12 000 sertés van, amelyek közül havonta – egymástól függetlenül – egy sertés 0,001 valószínűséggel elpusztul. Mi a valószínűsége, hogy egy hónapban
a) 5 sertés hullik el, b) legfeljebb 1 hullik el?
21. Keltető házban a tojások 95%-ából kel ki baromfi. Mi a valószínűsége, hogy 100 tojásból a) 3 nem kel ki,
b) legalább 3 kikel?
22. A töltőgép a tejeszacskókat 1 literes várható értékkel és 0,2 dl-es szórással tölti. Mi a valószínűsége, hogy egy tetszőleges zacskóban
a) legalább fél dl-rel kevesebb van 1 liternél?
b) legalább 1,01 liter van?
c) 0,99 és 1,01 között van a mért érték?
23. Egy berendezés átlagos élettartama 100 óra. Mi a valószínűsége, hogy a) az 50. órában megy tönkre?
b) a 40. és az 50. óra között megy tönkre?
124