A halmazelmélet és számhalmazok kapcsán az elméleti fejezetben részletesen bemutattuk a főbb halmazműveleteket, valamint azok tulajdonságait. Definiáltuk a nevezetes számhalmazokat, megalapozva ezzel a matematika többi fejezetét. A matematikának a függvényektől kezdve a valószínűségszámítással bezárólag számos témakörében felbukkannak a halmazok, halmazműveletek, ezért elengedhetetlenül fontos ezek kellő ismerete. A függvény, illetve reláció fogalmának definiálása, valamint a művelet fogalma teljes mértékben a halmaz fogalmára épül. A Descartes-szorzat – ezen alapul a reláció és a koordinátarendszer, és így a függvények ábrázolása – is egy speciális halmaz., a vektortérhez hasonlóan. A halmazokra vonatkozó ismeretek nélkül a valószínűség fogalmának a bevezetése sem lenne kellően megalapozott, mivel az az eseményekre épül. Az események közötti műveletek pedig megfeleltethetők a halmazok közötti műveleteknek. A továbbiakban néhány egyszerű gyakorló példán keresztül mutatjuk be a halmazelmélet főbb műveleteit, majd komplex feladatokat tűzünk ki önálló megoldásra a példák alapján.
1.1. Példa. Döntsük el, hogy az alábbiak közül melyek határoznak meg matematikai értelemben vett halmazt:
H := { x | x valós szám és x2 = 4}
K := { a Debreceni Egyetem 50 m2-nél nagyobb helyiségei } L := { prímszámok }
M := { x | x páratlan természetes szám és x < 10}
N := { a világ legnagyobb kikötővárosai }
O := { x | x város és lakossága 2000. január 1-én több mint 500 000 fő}
Q := { tehetséges matematikusok}
Megoldás:
Egy halmaz akkor tekinthető adottnak, ha bármely dologról el tudjuk dönteni, hogy a halmazhoz tartozik-e vagy sem. Matematikai értelemben a példabeli H, K, L, M, O halmazt alkot, az N és a Q pedig nem határoznak meg halmazt.
1.2. Példa. Az alábbi halmazok közül adjon meg egyenlő halmazokat:
H := {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20}, K := {páratlan számok},
L := {n ≤ 20 | n természetes szám és páros}
Megoldás:
H = L, mivel elemenként egyenlők, a H K, mert nem azonos elemek alkotják.
7 1.3. Példa. Adjon két példát részhalmazra.
Megoldás:
(1) Az egész számok halmazának részhalmaza a páros számok halmaza.
(2) A háromszögek halmazának részhalmaza a szabályos háromszögek halmaza.
1.4. Példa. Adja meg a H = {1, 2, 3} halmaz összes lehetséges részhalmazainak halmazát, azaz a hatványhalmazt.
Megoldás:
P(H) = { , {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}. Az üres halmaz bármely halmaznak része, így a H-nak is, és maga a H halmaz is részhalmaza (nem valódi) önmagának.
1.5. Példa. Adja meg a H = {1, 2, 3, 4, 5} és K = {3, 4, 5, 6, 7, 8} halmazok metszetét és unióját.
Megoldás:
H ∪ K ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, mivel mindkét halmaz elemeit tartalmaznia kell az uniónak, és a közös elemeket csak egyszer soroljuk fel. H ∩ K ={3, 4, 5}, mivel ebbe a halmazba a közös, azaz mindkét halmazban megtalálható elemek tartoznak bele.
1.6. Példa. Tekintsük egy gazdaság állatállományából a következő halmazokat:
H = {magyartarka tehenek (200 db)},
K = {2.500 literes hozamon felüli magyartarka tehenek (120 db)}, L = {magyartarka-holstein fríz keresztezett tehenek (200 db)},
M = {2.500 literes hozamon felüli magyartarka-holstein fríz keresztezett tehenek (180 db)},
N = {2.500 literes hozamon felüli tehenek (300 db)}, Adja meg a H ∪ L; H ∩ K;
K ∪ M; H ∩ L; L ∩ N halmazokat.
Megoldás:
H ∪ L = {magyartarka, magyartarka-holstein fríz keresztezett tehenek (400 db)}, H ∪ K = H ={magyartarka tehenek (200 db)}, K ∪ M = N ={2 500 literen felüli
tehenek (300 db)},
H ∩ K = K ={magyar tarka tehenek, amelyek 2500 literen felüliek (120db)}, H ∩ L = ,
L ∩ N = M ={magyartarka-holstein fríz keresztezett tehenek, amelyek 2 500 literen felüliek (180 db)}.
8 1.7. Példa. Adjon példát diszjunkt halmazokra:
Megoldás:
(1) Legyen H = {páros számok} és K = {páratlan számok} halmaza. Ekkor a H és K diszjunkt halmazok.
(2) A tehenes példánkban a H és az L diszjunkt halmazok.
1.8. Példa. Az alaphalmazunk legyen a Szabolcs megyei almatermelő vállalkozók halmaza. A H halmaz tartalmazza azokat a vállalkozókat, akik Golden almát termelnek, a K halmaz azokat a vállalkozókat, akik Jonatán almát termelnek.
Halmazelméleti műveletekkel adja meg azon vállalkozók halmazát, akik (1) mindkettőt termelik
(2) legalább az egyiket termelik (3) nem termelnek jonatán almát
(4) nem termelnek sem Jonatán, sem Golden almát (5) legalább az egyik almát nem termelik
(6) pontosan az egyik fajta almát termelik Megoldás:
(1) H ∩ K (2) H ∪ K (3) Kc
(4) (H ∪ K)c = Hc ∩ Kc (5) (H ∩ K)c = Hc ∪ Kc (6) (H ∪ K) \ (H ∩ K)
1.9. Példa. Bizonyítsuk be, hogy (H ∪ K) ∩ L = (H ∩ L) ∪ (K ∩ L).
Megoldás:
Legyen (H ∪ K) ∩ L = A és (H ∩ L) ∪ (K ∩ L) = B.
Ha belátjuk, hogy A ⊆ B és B ⊆ A, akkor igaz, hogy A = B.
(1) Először lássuk be, hogy A ⊆ B.
Tegyük fel, hogy x ∈ (H ∪ K) ∩ L. Ez azt jelenti, hogy x ∈ (H ∪ K) és x ∈ L, vagyis x ∈ H vagy x ∈ K, és x ∈ L. Ha x ∈ H és x ∈ L, akkor x ∈ (H ∩ L).
Ha x ∈ K és x ∈ L, akkor x ∈ (K ∩ L). Így x ∈ (H ∩ L) vagy x ∈ (K ∩ L), azaz x ∈ (H ∩ L) ∪ (K ∩ L).
Ebből következik, hogy (H ∪ K) ∩ L ⊆ (H ∩ L) ∪ (K ∩ L).
9 (2) Most lássuk be, hogy B ⊆ A.
Legyen most x ∈ (H ∩ L) ∪ (K ∩ L). Ez azt jelenti, hogy x ∈ (H ∩ L), vagy
x ∈ (K ∩ L). Ha x ∈ (H ∩ L), akkor x ∈ H és x ∈ L. Ha x ∈ (K ∩ L), akkor x ∈ K és x ∈ L. Ennélfogva x ∈ H vagy x ∈ K, és x ∈ L. Így x ∈ (H ∪ K) és x ∈ L, azaz x ∈ (H ∪ K) ∩ L, így beláttuk, hogy (H ∩ L) ∪ (K ∩ L) ⊆ (H ∪ K) ∩ L.
Tehát a két halmaz egyenlő.
1.10. Példa. Legyen adott az U alaphalmaz és legyen H,K,L ⊆ U. Bizonyítsuk be, hogy az (1), (2) és (3) egyenlőségek fennállnak.
(1) H \ K = H \ (H ∩ K)
(2) H \ (K ∪ L) = (H \ K) ∩ (H \ L) (3) H \ (K ∩ L) = (H \ K) ∪ (H \ L) Megoldás:
(1) H \ (H ∩ K) = H ∩ (H ∩ K)c =H ∩ (Hc ∪ Kc) =
= (H ∩ Hc) ∪ (H ∩ Kc) = ∪ (H ∩ Kc) = H ∩ Kc = H \ K;
(2) (H \ K) ∩ (H \ L) = (H ∩ Kc) ∩ (H ∩ Lc) = (H ∩ Kc ∩ H) ∩ Lc = (H ∩ Kc) ∩ Lc = H ∩ (Kc ∩ Lc) = H ∩ (K ∪ L)c =H \ (K ∪ L);
(3) H \ (K ∩ L) = H ∩ (K ∩ L)c = H ∩ (Kc ∪ Lc) = (H ∩ Kc) ∪ (H ∩ Lc) = (H \ K) ∪ (H \ L).
Kitűzött feladatok
1. A következő definíciók közül melyek határoznak meg egyértelműen egy-egy halmazt?
a) A:
a c s o p o r t ta n u ló i
b) B:
M a g y a r o r s z á g v á r o s a i m a
c) C:
P ilin s z k y J á n o s v e r s e i
d) D:
a te m é s z e te s s z á m o k
e) F:
a z x2 5x 6 0 e g y e n le t v a ló s g y ö k e i
f) G:
a z x2 1 0e g y e n le t v a ló s g y ö k e i
g) H:
a p r ím s z á m o k
h) I:
a le g n a g y o b b p r ím s z á m
i) J:
n é h á n y p r ím s z á m
2. Alaphalmazunk legyen a H-B. megyei mezőgazdasági vállalkozók halmaza. Az A halmaz tartalmazza azokat a fenti halmazból, akiknek van traktoruk, a B halmaz tartalmazza
10
azokat a fenti halmazból, akiknek van kombájnuk. Írja fel halmazelméleti műveletekkel azon vállalkozók halmazát, akik
a) mindkettővel rendelkeznek,
b) legalább az egyikkel rendelkeznek, c) nincs traktoruk,
d) egyikkel sem rendelkeznek, e) csak traktorral nem rendelkeznek,
f) legalább egyikkel nem rendelkeznek, g) pontosan egyikkel rendelkeznek.
3. Adja meg a következő halmazok elemeit!
a) A:
a 1 0 0 n á l k is e b b n é g y z e ts z á m o k
b) B:
a 1 0 n é l k is e b b n é g y z e ts z á m o k
c) C a z x
x e g y e n le t p o z itív g y ö k e i
:
1 2
d)
az egyenlet pozitív gyökeinek aszáma
D 2
x 1 x :
e) E:
a z x2 2x 0 e g y e n lő tle n s é g e g é s z g y ö k e i
f) F:
a h á r o m je g y ű p á r a tla n s z á m o k h a lm a z a
g) G:
7 2 9 p o z itív o s z tó i
4. Válasszuk ki a következő halmazok közül az egyenlőket!
a) A:
a le g k is e b b p r ím s z á m
b) B:
e g y p r ím s z á m p o z itív o s z tó in a k s z á m a
c) C:
a z x3 2x2 0 e g y e n le t v a ló s g y ö k e i
d) D:
a z x3 2x2 0 e g y e n le t v a ló s g y ö k e in e k a s z á m a
e) E:
a 0 2, s z á m p á r
f) F:
a 1é s 3 k ö z é e s ő p á r o s s z á m o k
g) G:
a z x1 0 0 1e g y e n le t v a ló s g y ö k e i
h) H:
a z x 0 é s y 2 e g y e n le tű e g y e n e s e k m e ts z é s p o n tja in a k k o o r d in á tá i
i) I:
1n k ü lö n b ö z ő é r té k e i a h o l n te ts z ő le g e s p o z itív e g é s z s z á m, " "
11
5. Legyenek az A halmaz elemei 16 pozitív osztói, a B halmaz elemei 24 pozitív osztói, a
C halmaz elemei 12 pozitív osztói. Határozzuk meg az A B B, C C, A halmazokat.
Lesz-e a kapott halmazok között két egyenlő halmaz?
6. Adjon meg az A 10, 20, 30 halmazhoz olyan B C é s D, halmazt, hogy az alábbi összefüggések igazak legyenek! A B 10, 20, 30, 40, 50, A C 2 0 , A \ D . 7. Legyen A 2,1,0,1,2,3,4 és B
8 n á l n e m n a g y o b b p o z itív p á r o s s z á m o k
.Szemléltesse a halmazokat Venn-diagramon! Határozza meg az A B B, \ A
halmazokat!
8. Legyen A
tíz n é l k is e b b p o z itív e g é s z s z á m o k
, B 1,2,3,4,5,6,16,17,18,19,20 és C 1, 3,5,10,11,12,13,14,15, 20. Határozza meg az alábbi halmazok elemeit:
A B B, \ A C , A C \ B A C, \ !
9. Írja fel az 4, 5,6 halmaz összes részhalmazát!
10. Az M 1,2,3,4,5,6 halmaz A B é s C, részhalmazairól az alábbiakat tudjuk:
2 , 5, 6 , \ 2, 3, 4 , \ 1, 5
B A B C A C C B
A . Határozza
meg az A B é s C, halmazokat!
11. Tekintsük a következő halmazokat:
2 5 6 0, 0
x R x x x
A
x Z x 2 vel osztható egész szám
B
x R x 6k 1, k N
C
0
4 1 x x R x D
Állapítsa meg, hogy A B C, , és D halmazok közül melyik részhalmaza N -nek és melyik nem!
12. Adottak az
A n u llá r a v é g z ő d ő e g é s z s z á m o k ésB
5 te l o s ztha tó e g é s z s z á m o k
halmazok.Határozza meg a két halmaz különbségét!
13. Legyen az alaphalmaz H
x Z x 1 0
. Legyenek továbbá adottak a következő halmazok: A
x H n e g a tív s z á m o k
, B
x H p á r o s s z á m o k
,
C x H 4 g y e l o s ztha tó s z á m o k .
a) Határozza meg a B \C A, C A, B C halmazokat!
b) Határozza meg az a)-ban megadott halmazok számosságát!
c) Írjon fel a H -nak olyan részhalmazait, melyek egyenlő számosságúak!
12
d) Határozza meg a B C és B C halmazokat!
14. Adott a H x Z 0 x 25 alaphalmaz, valamint a következő halmazok:A
x H x p á r o s
,
B x H x e g y je g y ű s z á m ,C x H 8,9,10,11,12 .
Határozza meg az A B \C,A B
A C\
, C B
halmazok elemeit és számosságát!15. Az A
x Z x 3
és B
a 8 n á l n e m n a g y o b b n e m n e g a tív p á r o s s z á m o k
halmazokkal végezze el az alábbi műveleteket: A B A, B A, \B .
16. Legyen az alaphalmaz a H x Z 5 x 13 és az ezen értelmezett A B, és C
halmazok az alábbiak:
3, 2,0,3, 5,9
A
B x H x o s ztha tó 3 m a l
3
x H x
C
a) Készítsen Venn-diagramot a halmazokról!
b) Határozza meg az A C \B és B C halmazok elemeit és számosságát!
c) Műveleti jelek felhasználásával írja fel a H halmaznak olyan részhalmazait, melynek számossága 4.
17. Legyen adott az A
x R x2 2x 4 0
és B
x R x2 4x1 0
halmaz.Határozza meg az A B és A B halmazokat!
18. Határozza meg az A B halmazt, ha A x N 2x 4x 6 és
4 11 2 11
x N x x
B !
19. Az A és B halmazokról tudjuk, hogy A B 1,2,3,4,5,6 , A \B 2, 4, 6 ,
1,3
B
A . Határozza meg az A és B halmazt!
20. Hány elemű az alábbi két halmaz uniója illetve metszete?
A 7 te l o s z tha tó k é tje g y ű s z á m o k
B 3 m a l o s ztha tó k é tje g y ű s z á m o k
13
21. Egy mezőgazdasági üzemben bizonyos földterületre háromféle műtrágyát szórtak. Az első típusú műtrágyával 230, a második típusúval 170, a harmadik típusúval 190 hektárt szórtak meg. 100 hektárra első és második típusú, 70 hektárra második és harmadik típusú, 180 hektárra első és harmadik típusú műtrágya is került, 70 hektár területet mindhárom műtrágyával kezeltek. Hány hektár föld kapott műtrágyakezelést?
22. Egy osztályban három nyelvet tanulnak: angolt, németet és spanyolt. Mindenki tanul valamilyen nyelvet, de mindhárom nyelvet csak 1 tanuló tanulja. 12 olyan tanuló van, aki két nyelvet tanul. Angolul 15-en, németül 13-an, spanyolul 9-en tanulnak. Mennyi az osztály létszáma?
23. Egy repülőgépen 9 fiú, 4 lány, 5 magyar gyerek, 9 felnőtt férfi, 7 külföldi fiú, 14 magyar, 6 magyar férfi és 7 külföldi nő utazott. Hányan voltak a repülőgépen?
24. Egy munkahelyen 30-an dolgoznak. A dolgozók közül kilencnek van életbiztosítása, 16 dolgozónak pedig gépjármű-biztosítása, 8 dolgozónak nincs semmilyen biztosítása. Hány dolgozónak van mind a kétféle biztosítása? Hány dolgozónak van csak életbiztosítása?
25. Egy osztály létszáma 32 fő. Az osztályban angolul és oroszul tanulnak és mindenki tanul valamilyen nyelvet. Mindkét nyelvet kilencen tanulják. Bizonyítsa be, hogy angolul és oroszul nem tanulhatnak ugyanannyian!
26. Egy osztály létszáma 30. Az osztályban 3 nyelvet tanítanak: angolt, németet és franciát.
Azt tudjuk, hogy minden gyerek legalább egy nyelvet tanul. Angolul 20-an, németül 15-en, franciául pedig 7-en tanulnak. Pontosan két nyelvet összesen 6 diák tanul. Hányan tanulják mindhárom nyelvet?
27. Egy matematika versenyen két feladatot tűztek ki. Az első feladatot a tanulók 70%-a, a másodikat 60%-a oldotta meg. Minden tanuló megoldott legalább egy feladatot, és kilencen mindkét feladatot megoldották. Hányan indultak a versenyen?
28. Egy osztály 28 tanulója közül 8-an felvételizek matematikából, 6-an fizikából, és 4 tanuló mindkét tárgyból. Hányan nem felvételiztek egyik tárgyból sem?
29. Egy egyetem 500 hallgatója közül 300 tud oroszul, 200 angolul, 50 franciául, 20 tud oroszul és franciául, 30 tud angolul és franciául, 20 tud oroszul és angolul, 10 pedig mindhárom nyelven. Hányan tudnak legalább az egyik nyelven? Hányan vannak azok, akik egyik nyelvet sem beszélik?
30. Legyen A: 2, 1, 0,1, 2, 3, 4 és
B: a 8 n á l n e m n a g y o b b p o z itív p á r o s s z á m o k . Szemléltesse a halmazokat Venn-diagramon! Határozza meg az A B B, \ A halmazok elemit!
31. Legyenek az A B C, , halmaz elemi az alábbi gyümölcsnevek betűinek a karakterei.
A A L M A , B B A N Á N, C C I T R O M .
a) Határozza meg az A B C, , halmazok számosságát!
b) Határozza meg az A B \C halmaz elemeit!
14
c) Az elemek felsorolásával írja fel a B \ A halmaz összes részhalmazát!
32. Igazolja az X alaphalmaz A B C, , részhalmazaira az alábbi egyenlőségeket Venn-diagram segítségével.
a) A \A \ B B \B \ A
b) A \C \ B \C A \ B\C
c) A \C B \C A B\C d) A \C B \C A B\C
e) A B C A C B C f) A B A B
g) A B A B
h) A B A B A
i) A \B C A \B A \C
15