A differenciálszámítás a legfontosabb anyagrészek egyike. A differenciálhányados fogalma a függvény határértékére épül. Jelen fejezetben az egyváltozós függvények differenciálásával foglalkozunk, de későbbiekben többváltozós függvényeket is deriválni fogunk. Részletesen ismertetjük a főbb deriválási szabályokat, elemi függvények deriváltjait, valamint a derivált geometriai jelentésével is megismerkedünk.
Az alkalmazási lehetőségek messze túlmutatnak e jegyzet keretein, azonban a főbb területekre egy-egy példával szolgálunk majd. Bemutatjuk például, hogy hogyan kell egy függvény elaszticitását kiszámolni, egy ráfordítás-hozam görbe fedezeti pontját meghatározni, valamint egy függvény teljes vizsgálatát elkészíteni különös tekintettel a szélsőértékek meghatározására. Szöveges szélsőérték problémákat oldunk majd meg, és vesszük a L’Hospital szabályt is, mint a deriválás alkalmazását határozatlan alakú határértékek kiszámítására.
6.1. Példa. Határozzuk meg az f(x) = 2x2 függvénynek az x0 = 1 helyhez tartozó differenciahányados függvényét, majd vizsgáljuk meg, hogy f(x) differenciálható-e az x0-ban (adjuk meg az x0 = 1 helyhez tartozó differenciálhányadost).
Megoldás:
(1) 2x 2, differenciálhányados: lim 2x 2 4.
1 származtatottja az azonosan 0 függvény.
(2) f(x) = x függvény differenciahányadosa
, származtatottja az azonosan 1 függvény.
(3) f(x) = x2 mindenütt differenciálható, hiszen
53
6.3. Példa. Tekintsük az f(x) = |x| függvényt és vizsgáljuk az x0 = 0 helyen folytonosság és a differenciálhatóság tekintetében. Mutassuk meg, hogy folytonos a függvény a 0-ban, de ott mégsem differenciálható.
Megoldás:
A függvény grafikonját a 9. ábra mutatja be. A függvény az értelmezési tartománya (R) minden helyén folytonos, így a 0-ban is, mivel a helyettesítési érték megegyezik a határértékkel (a bal és jobb oldali határértékeket számítva mindkét esetben 0-t, kapunk). A 0 helyen a differenciálhányados:
Ez azt jelenti, hogy a differenciahányadosnak a 0 pontban nincs határértéke, hiszen a jobb és bal oldali határérték nem egyezik meg, mivel
1
Tehát a függvénynek a 0 helyen nem létezik a deriváltja, nem differenciálható.
6.4. Példa. Határozzuk meg az alábbi függvények deriváltjait!
(1) f(x) = 6x2 − 7x + 5x + ex − 8cos(x), x ∈ R,
Megoldás:
(1) Az összeg, különbség és a skalárszoros függvény deriválási szabálya alapján:
f′(x) = (6x2)′ − (7x)′ + (5x)′ + (ex)′ − (8cos(x))′ = 12x − 7 + 5x · ln5 + ex − 8(−sin(x)) = 12x − 7 + 5x · ln5 + ex + 8sin(x).
(2) A szorzat függvény deriválási szabálya alapján:
f′(x) = (3x2 + 6x)′sin(x) + (3x2 + 6x)(sin(x))′ = (6x + 6)sin(x) + (3x2 + 6x)cos(x).
(3) A hányados és szorzat függvény deriválási szabálya alapján:
54 alkalmazni:
h′(x) = f′(g(x)) · g′(x) = 4(x2 − 2x + 5)3 · (2x − 2).
(5) Mivel a h függvény a g(x) = 7x2 és az f(u) = lnu függvények segítségével h(x) = f(g(x)) alakban állítható elő, így az összetett függvény deriválási szabálya alapján:
. segítségével h(x) = f(g(z(x))) alakban állítható elő, így az összetett függvény deriválási szabálya alapján:
).
6.5. Példa. Vizsgáljuk meg a
6
Megoldás:
Ha az x → 2, akkor látható, hogy mind a számláló, mind pedig a nevező is a 0-hoz tart, hiszen a számláló és a nevező is folytonos az x0 = 2 helyen, és itt a helyettesítési érték 0. Mivel az x0 = 2 alkalmasan választott környezetében teljesülnek a differenciálhatóságra vonatkozó feltételek, alkalmazhatjuk a L’Hospital-szabályt:
. határértékkel lesz egyenlő, vagyis
.
Ugyanezt az eredményt kaptuk volna a tört előzetes egyszerűsítése után is.
6.6. Példa. Határozzuk meg a 2
Megoldás:
Látható, hogy a 0 hely egy alkalmasan választott környezetében teljesülnek a differenciálhatóság feltételei, a 0 helyen a kifejezés
0
0 alakú. Alkalmazva a L’Hospital-szabályt:
. lim sin(
x 1 ) x lim cos(
0
55 Mindeközben felhasználtuk a 1
x ) x lim sin(
0 x
nevezetes határértéket.
6.7. Példa. Határozzuk meg a x
2
x 2
x
lim határértéket.
Megoldás:
A számláló és a nevező határértéke egyaránt végtelen, így a kifejezés
határozatlan alakú.
Alkalmazható a L’Hospital-szabály:
. 2 ln 2
x 2 lim 2 x
lim x x x
2
x
A tört még most is
alakú, ismét alkalmazzuk a L’Hospital-szabályt:
ln 2 .
2 lim 2 2 ln 2
x lim 2
x 2 x x
x
A számláló véges, a nevező határértéke végtelen, így a tört határértéke 0, azaz
. 0 2 x lim x
2
x
6.8. Példa. Határozzuk meg a
3 x 2 x 6
6 x 5 x lim 3
3 3
x
határértéket.
Megoldás:
A számláló és a nevező határértéke egyaránt végtelen, így a kifejezés
határozatlan alakú.
A L’Hospital-szabályt ismét alkalmazva újból
alakú törthöz jutunk, így a szabályt újra alkalmazni kell. Összesen háromszor alkalmazva a L’Hospital-szabályt végül eljutunk a határértékhez, ami véges lesz:
2 1 x 36
x lim 18 2 x 18
5 x lim 9 3 x 2 x 6
6 x 5 x lim 3
2 x 2
3 x 3
x
.
6.9. Példa. Vizsgáljuk meg az f(x) = x3 − 5x2 függvényt!
(1) A függvény értelmezési tartománya a valós számok halmaza, azaz Df = R.
(2) Határozzuk meg, hogy hol van a függvénynek zérushelye.
Ehhez az x3 − 5x2 = 0 egyenletet kell megoldanunk.
x3 − 5x2 = 0, x2 (x − 5) = 0, x1 = 0 vagy x2 = 5.
Tehát a függvénynek két zérushelye van: x1 = 0 és x2 = 5.
56
(3) Mivel a függvénynek nincs szakadási helye, ezért a határértéket csak a ±∞-ben kell vizsgálnunk.
2 3 x
x 5 x lim
2 3 x
x 5 x lim
(4) A függvénynek ott lehet szélsőértékhelye, ahol f′(x) = 0.
Mivel f′(x) = 3x2 − 10x, meg kell oldanunk a 3x2 − 10x = 0 egyenletet.
x (3x − 10) = 0, x1 = 0, x2 =
3 10 .
Számítsuk ki továbbá a szélsőértékhelyekhez tartozó értékeket:
f(0)=0 és
27 500 3
f 10
(23. ábra).
(5) A függvénynek ott lehet inflexiós pontja, ahol f’’(x) =0. Mivel f’’(x) = 6x – 10, így meg kell oldanunk a 6x – 10 = 0 egyenletet.
x3 =
3 5 6 10 .
(6) Táblázatot készítünk a lehetséges szélsőértékhelyek és inflexiós pontok segítségével (3. táblázat).
3. táblázat: A lehetséges szélsőértékhelyek és inflexiós pontok vizsgálata
x < 0 x = 0 0 < x <
3
5 x =
3 5
3
5 < x <
3
10 x =
3 10
3 10 < x
f’’ – – – 0 + + +
f’ + 0 – – – 0 +
f MAX
I.P. MIN
konkáv konvex
Forrás: Bíró és Vincze (2000)
57 (7) A függvény grafikonja (23. ábra).
23. ábra: Az f(x) = x3 – 5x2 függvény ábrája
Forrás: Bíró és Vincze (2000)
(8) A függvény értékkészlete: Rf = R.
6.10. Példa. Vizsgáljuk meg az f(x) =
x
x 1 függvényt.
Megoldás:
(1) Az f függvény értelmezési tartománya: Df = R\{0}.
(2) Az
x
x 1 = 0 egyenlet megoldása adja a függvény zérushelyét. Mivel ennek az egyenletnek nincs megoldása (x2 + 1 = 0-ból kifejezve x2 = -1 miatt), így a függvénynek nincs zérushelye.
(3) Meg kell vizsgálnunk a függvény határértéke a ben és a 0-ban.
, x x 1 lim
x
és .
x x 1 lim
x
. n n lim 1
n 0 1
1 n
0 1 lim x x 1 lim
, n n lim 1
n 0 1
1 n
0 1 lim x x 1 lim
n n
0 0 x
n n
0 0 x
(4) Keressük meg a függvény szélsőértékhelyeit.
, x 1 1 ) x ( '
f 2
azaz az 0
x 1 1
2
egyenletet kell megoldanunk, amelynek két megoldása van:
x1 = 1 és x2 = -1. Ezek alapján y1 = 2 és y2 = -2 a két függvényérték.
58
(5) Határozzuk meg az f függvény lehetséges inflexiós pontjait.
, x ) 2 x ( ' '
f 3
Így a 0
x 2
3 egyenletet kell megoldanunk, aminek nincs megoldása, így a függvénynek nincs inflexiós pontja.
(6) Készítsük el a szükséges táblázatot (4. táblázat) az 1,-1,0 pontok segítségével.
4. táblázat: A lehetséges szélsőértékhelyek és inflexiós pontok vizsgálata
x < -1 x = -1 -1 < x < 0 x = 0 0 < x < 1 x = 1 1 < x
f’’ – – – | + + +
f’ + 0 – | – 0 +
f MAX szakadási
hely
MIN
konkáv konvex
Forrás: Bíró és Vincze (2000)
(7) A függvény grafikonja (24. ábra).
24. ábra: Az f(x) =
x
x 1 függvény ábrája
Forrás: Bíró és Vincze (2000)
6.11. Példa. Tegyük fel, hogy egy gép vételára 1 200 000 Ft. A gép értéke az idő múlásával csökken, „t” idő alatt az eredeti vételárának
50 t ) 50 t (
f -szeresére. A fenntartási költségek időfüggvénye g(t) = 400t2. Állapítsuk meg, hogy hány évig érdemes a traktort üzemeltetni.
Megoldás:
Egy gépet addig érdemes üzemeltetni, amíg átlagos használati költsége minimálissá nem válik. Esetünkben az átlagos használati költségfüggvény legyen:
6 400 t2
50 t 1 50 10 2 , 1 t ) 1 t (
K .
59
Ennek a költségfüggvénynek kell tehát a minimumát meghatározni. Szélsőértéke ott lehet a függvénynek, ahol K’(t) = 0. Az alábbi egyenletet kell tehát megoldanunk:
5. táblázat: A költségfüggvény lehetséges szélsőértékhelyeinek vizsgálata 0 t 4,8 t = 4,8 4,8 t
f’ - 0 +
f MIN
konvex
Forrás: Bíró és Vincze (2000)
Az 5. táblázatból leolvasható, hogy a traktort kb. 4 – 5 évig érdemes használni.
6.12. Példa. A víz molekulái [H3O+] és [OH–] ionokra disszociálnak.
ahol […] az egyensúlyi koncentrációt jelenti, a K pedig egy pozitív állandó.
A felírt egyenlőség azt jelenti, hogy savat adva a vízhez az oxónium-ionok koncentrációja növekszik, a hidroxid-ionok koncentrációja pedig megfelelő mértékben csökken. Mikor lesz a vízben a legkevesebb OH– és H3O+ ion együttesen?
60 Megoldás:
Amikor az ionok össz-száma a legkevesebb, akkor nyílvánvalóan az S = [H3O+] + [OH–] összeg minimális. Legyen [H3O+] = x, ekkor [OH–] =
x
. Feladatunk az S(x) = x +
x
függvény minimumhelyének megkeresése. Szélsőértéke ott lehet a függvénynek, ahol az S’(x) = 0, azaz
0 x 1 2
x2 x .
A nem lehet megoldás. Vizsgáljuk meg a második derivált segítségével, hogy az
x valóban szélsőértékhely-e!
2 , ) ( '
' 3
x x
S így 2 0.
) ( ' '
3
S K H2O
H3O
OH
10 14.A keresett minimum tehát:
[H3O+] = , de akkor [OH–] =
.
Tehát a disszociált vízmolekulák száma akkor a legkevesebb, ha a kétféle ion azonos számban van jelen (vagyis semleges kémhatás jelentkezik). Mérések alapján 10 14,tehát minimum esetén:
H3O
OH
10 7. A megfelelő pH érték pedig: -lg10-7 = 7.6.13. Példa. Tegyük fel, hogy az őszibarack x ára, és a vásárlók f(x) igénye között az alábbi összefüggés van:
. 10 x ) 1000 x (
f
Hány %-kal változik a kereslet, ha az árat x = 150 Ft-ról 5%-kal megnöveljük, vagy ha 3%-kal lecsökkentjük?
Megoldás:
Mivel
) x ( ' f ) x ( f ) x x (
E , és ,
) x 10 ( ) 1000 x ( '
f 2
így
. 10 x
x )
x 10 (
1000 1000
10 x x
) x (
E 2
,
. 94 , 0 160
) 150 150 (
E
Ez azt jelenti, hogy az ár 1%-os növekedéséhez a kereslet -0,94-os növekedése (azaz csökkenése) tartozik. 5%-os árnövekedés esetén: 5∙(-0,94)% = -4,7%, azaz 4,7%-os keresletcsökkenés mutatkozik, míg ha az ár 3%-kal csökken, akkor -3(-0,94)% 2,8%, vagyis közel 2,8%-os az igénynövekedés.
61
6.14. Példa. Tekintsük az f: Df R+, f(x) = -0,008x3 + 0,72x2 + 4x adott ráfordítás hozam függvényünket, és legyen az x és f(x) mértékegysége 1 000 Ft. Deriválás segítségével válaszoljon a következő kérdésekre:
(1) Hol lesz maximális a hozam értéke?
(2) Hol ad 1.000 Ft plusz ráfordítás 1.000 Ft plusz termelési értéket? Azaz a nyereség mikor lesz 0?
(3) Hol lesz maximális az 1 000 Ft ráfordításra eső termelési növekedés?
(4) Mikor lesz az átlagos hatékonyság maximális?
Megoldás:
(1) A hozam értéke ott lesz maximális, ahol f’(x) = 0 és f’’(x) < 0, tehát az
f’(x) = -0,024x2 + 1,44x + 4 = 0 egyenletet megoldva az x1 = 62,6 és x2 = -2,7 gyököket kapjuk. Az x2 nem lehet megoldás, így ha x1 = 62,6, akkor f(x1) = 1 109. Ezt a pontot a beruházás során csak akkor célszerű elérni, ha bármilyen áron maximális hozamra törekszünk.
(2) A nyereség akkor lesz 0, ha a függvény meredeksége 1, azaz f’(x) = 1. Ekkor a
-0,024x2 + 1,44x + 4 = 1 egyenletet kell megoldanunk, azaz -0,024x2 + 1,44x + 3 = 0, amiből adódik, hogy x1 = 62, x2 = -2 a megoldásai, de az x2 nem jöhet szóban.
(3) 1 000 Ft ráfordításra eső termelési növekedés maximuma akkor van, amikor f’(x) maximális, azaz f’’(x) = 0, és f’’ az adott pontban előjelet vált. Esetünkben az
f’’(x) = -0,048x + 1,44 = 0 egyenletet kell megoldani. Ennek egyetlen gyöke x = 30, és ebben a pontban f’’ előjelet is vált. A megoldás azt jelenti, hogy a 30 000 Ft-os befektetést mindenképpen célszerű meghaladni, mert ekkor növekszik leggyorsabban a bevétel.
(4) Adott pontbeli átlagos hatékonyságról kimutatható, hogy megegyezik az origótól a ponthoz húzott szelő meredekségével. Ez akkor maximális, ha a szelő éppen érinti a görbét. Mivel a görbét érintő egyenes meredeksége a derivált, ezért a következő egyenlet megoldására vezetjük vissza a problémát:
x ) x ( ) f x ( '
f
Meg kell tehát oldanunk az
x
x 4 x 72 , 0 x 008 , 4 0 x 44 , 1 x 024 , 0
2 3
2
egyenletet, melynek a megoldása: x = 45.
Ez azt jelenti, hogy 45 000 Ft-os befektetésnél lesz maximális az átlagos hatékonyság, azaz eddig a pontig érdemes elmenni a befektetéssel.
62 Kitűzött feladatok
1. Deriválja a következő függvényeket
a)
x x 2 x y 3
3 2
b) 2
3
x x 6 x 5
y
c) 6
x 1 y
d)
1 x
x y 2
2
e) y 3 x f)
6 x 4
x 3 x y 2
2
g)
4 3
x
y 2 h)
2 x
2 x y
3
i) y x4 x
j) y x
5x x2
k)3 21
x
y 1 l)
3 x 5
x 6 2 x 4
x 3
y 2
m) y 3x 72 n)
5 x
x x
y 3 o) y e5x cos x
p) y 5x6 4x4 3x3 r) y 6tgx cos x s) 2 x 5 x x 3 y
6
t) y 5ln x 3ln x u) y
5x3 4x2 1
3 v) y ln3x 4 2. Feladatok teljes függvényvizsgálatraa) f(x) x3 3x2 3x 8 b)
x x 1 ) x (
f c) 2
x 1 ) x x (
f
d) f(x) x3 48x e) f(x) x4 8x2 f) 2
x x 4 ) x (
f
g)
x 1 ) x x ( f
2
h) 2
2
x 1 ) x x (
f i) 2
2
x 1 ) x x (
f
j) f(x) x x2 k) f(x) x x3 l) f(x) x2 x4
3. Oldja meg a következő szélsőérték-feladatokat!
a) Egy felül nyitott, négyzet alapú egyenes hasáb alakú doboz készítéséhez 2m2 területű lemezt használtunk fel. Hogyan válasszuk meg a doboz méreteit, hogy a térfogata s legnagyobb legyen, és mekkora ez a legnagyobb térfogat?
b) Egy felül nyitott, henger alakú 2m3 térfogatú mérőedényt akarunk készíteni. Hogyan válasszuk az edény alapsugarát és magasságát, hogy minél kevesebb lemezt használjunk fel, és mennyi lesz a felhasznált hosszmennyiség?
c) Adott V térfogatú, négyzet alapú egyenes hasáb élei milyen méretűek legyenek, hogy a felülete minimális legyen?
d) Egy gazdaság 2 500m3 termény befogadására alkalmas egyenes henger formájú alul-felül zárt gabonasilót készített. Milyenek legyenek a méretei, hogy a legkevesebb anyagfelhasználásával lehessen elkészíteni?
63
e) Vízparton egy 500m3 területű téglalap alakú részt akarnak 3 oldalról elkeríteni.
Mekkorák legyen a téglalap oldalai, hogy a legrövidebb kerítésre legyen szükség?
f) Milyen méretezésű legyen a 3m3 térfogatú konzervdoboz, amely előállításához a legkevesebb anyag kell?
4. Határozza meg az alábbi függvények határértékét L’Hospital szabály alkalmazásával!
a)
5. A raktározási költség a raktározott mennyiség (x) és egy állandó költség függvénye az f(x) = 40x2+8 000 képlet szerint. Hány százalékkal változna a raktározási költség, ha a jelenlegi 1 000 db raktározott mennyiséget
a) 3%-kal növelnék?
b) 2%-kal csökkentenék?
6. Tegyük fel, hogy az egy főre jutó havi húsfogyasztást (kg-ban kifejezve) az egy főre jutó havi nettó jövedelem (x) (ezer ft-ban kifejezve) függvényében az f(x) = 0,1x-2 függvény írja le. Számítsa ki ezen függvény esetében a függvény rugalmasságát az x=80 helyen. Mit jelent a kapott eredmény?
64