V EKTORMEZŐK DIVERGENCIÁJA ÉS ROTÁCIÓJA

t (

r vektorok által meghatározott görbepontok közti ívhossz,  a b(t₀) és a b(t) vektorok (előjeles) szöge. Ekkor a

lim s

0

s 







 határértéket (ha létezik és véges) a tr(t) görbe r(t₀) pontbeli torziójának nevezzük.

A torzió értéke azt mutatja meg, hogy a görbén haladva mennyi a binormális egységvektor (a simulósík) szögelfordulása (radiánban mérve) egységnyi ívhosszra vonatkoztatva. Fizikai dimenziója [rad/m].

A torzió kiszámítható az alábbi képlettel: egy háromszor differenciálható r :I

függvény torziója a t0I helyen:

2 0 0

0 0 0 0

) t ( r ) t ( r

) t ( r ) t ( r ) t ( ) r t (

















 .

(A számlálóban a három vektor vegyes szorzata szerepel.)

3.6 Vektormezők divergenciája és rotációja

A vektormezők differenciálással való vizsgálatának alapja a korábban értelmezett differenciálhányados-tenzor, amelynek mátrixa a három koordinátafüggvény parciális deriváltjait tartalmazza. Könnyen belátható, hogy a differenciálhányados-mátrix elemei függenek a koordináta-rendszer megválasztásától. Ahogyan azt a lineáris függvények tárgyalásakor már megemlítettük, a tenzorhoz tartoznak a koordináta-rendszer megválasztásától független skalár-, illetve vektorértékek (invariánsok), amelyek a bázistól független fizikai mennyiségekkel vannak kapcsolatban. Erőterek, áramlási terek derivált tenzorához kötődően két invariánst említünk meg.

A divergencia a vektormező forrásosságát mutatja. Folyadék áramlását vizsgálva adott térrészben a sebességmező divergenciája ott különbözik nullától, ahol nyelő vagy forrás van (anyag lép be az áramlási térbe, vagy távozik onnan). Elektromos térben az elektromos térerősségmező divergenciája ott különbözik nullától, ahol töltés van.

Mágneses térben a mágneses térerősségmező divergenciája nulla, mert mágneses töltés nem létezik. Úgy is szoktunk fogalmazni, hogy az elektromos tér forrásos, míg a mágneses tér nem.

Divergencia

A v :I differenciálható vektormező r₀I helyen vett divergenciája:

 

r_{0 x}v_x

 

r_{0 y}v_y

 

r_{0 z}v_z

 

r₀

v differenciálhányados-mátrix

főátlójában lévő elemek összege, skalármennyiség.

A divergencia szerepe a transzportegyenletekben Valamely extenzív mennyiségre vonatkozó

)

egyenletet, ahol: a vizsgált extenzív mennyiségre vonatkozóan  a térfogati sűrűség; j a felületi áramsűrűség; q a forrássűrűség, általános kontinuitási (vagy transzport) egyenletnek nevezzük. (Ezt röviden úgy szokták írni, hogy _t qdiv j.) Az általános transzport-egyenlet alkalmas bármely (helytől és időtől függő) extenzív mennyiség változásának leírására, az egyenlet megoldásával a mennyiség eloszlása az idő függvényében meghatározható.

Ha például az extenzív mennyiség a tömeg [kg], akkor az egyenletben szereplő mennyiségek fizikai dimenziója a következő: a térfogati sűrűségé 



A kontinuitási egyenlet div j tagja azzal függ össze, hogy egy hely infinitezimális környezetéből van-e kiáramlás (vagy oda beáramlás). Ennek pontos megfogalmazásához szükséges a vektormező felület menti integráljának fogalma.

Legyen F az r₀ helyet a belsejében tartalmazó zárt felület, amelynek térfogata V. Az A

d j



F felület menti integrál értéke a térrészből kiáramló (negatív érték esetén beáramló) extenzív mennyiség értékét adja másodpercenként. Az integrál értékét osztva

V térfogattal a kiáramlás gyorsaságának térfogategységre jutó értékét kapjuk. A térrészt az r₀ pontra „zsugorítva” jutunk a pontbeli divergenciához, ami lokális jellemző:

 

V

Ez a formula összefügg a Gauss–Osztrogradszkij-tétellel, amely szerint a fenti mennyiségek között fennáll, hogy jdA div jdV

V

F





^{ .}

Példák:

Ha folyadék áramlását vizsgáljuk, akkor ^{r  j}

 

^r a felületi tömegáramsűrűség-függvény.

Ha F zárt felület az áramlási térben, akkor az jdA



F felületmenti integrálérték a

tér-részből kiáramló (negatív érték esetén beáramló) folyadék tömegét adja másodper-cenként.

Ha a hő konduktív terjedését vizsgáljuk, akkor ^{r  j}

 

^r a felületi hőáramsűrűség-függvény. Ha F zárt felület, akkor az jdA



F felület menti integrálérték a térrészből kiáramló (negatív érték esetén beáramló) hőt adja másodpercenként (vagyis a hőteljesítményt). Az előjeltől függően hűl, illetve melegszik a térrész.

Ha az elektromos vezetést vizsgáljuk, akkor r  j

 

r a felületi elektromos töltésáram-sűrűség-függvény. Ha F zárt felület, akkor az jdA



F felület menti integrál értéke a térrészből kiáramló (negatív érték esetén beáramló) töltésmennyiséget adja másodper-cenként (vagyis az áramerősséget).

A j felületi áramsűrűség származhat a megfelelő intenzív mennyiség inhomogenitásából (erre előbb több példát is adtunk a gradiens fogalmához kapcsolódóan) és a közeg mozgásából. Az előbbi esetben konduktív (vezetéses), az utóbbi esetben konvektív áramról beszélünk. Képlettel:

y grad L v

j   ,

ahol_ v a konvektív áramsűrűség; v a közeg áramlási sebessége; Lgrady konduktív (vezetéses) áramsűrűség; L a vezetési tényező. A konvektív tag az áramlási sebességgel, a konduktív tag az extenzív mennyiség gradiensével arányos.

A kontinuitási egyenlet a konvektív és a konduktív áramsűrűség figyelembevételével:



^{v L grady}



div

t q   

 .

Példaként tekintsük a hővezetés általános egyenletét (a hőmérséklet-eloszlást leíró egyenlet) szilárd test esetén (ekkor nem kell számolunk a közeg mozgásával, azaz

0 v  ):

c q T 1 a

tT 



 







 ,

ahol: az a együttható a hőmérséklet-vezetési tényező;  az ún. Laplace-operátor:

2 z zz 2 y

yy 2 x

xxT T T

T grad div

T    

 . (A hővezetés általános egyenlete az általános

kontinuitási egyenletből vezethető le.)

Az általános hővezetési egyenlet egyszerűbb formát ölt, ha további feltételezéseket teszünk:

 ha a test hőforrásmentes (q=0), akkor a Fourier-egyenletet kapjuk: _tT aT,

 ha a hőmérsékletmező időben állandó (stacioner), akkor a Poisson-egyenletet kapjuk: T 1q0

 

 ,

 ha a test hőforrásmentes és a hőmérsékletmező időben állandó, akkor a Laplace-egyenletet kapjuk: T 0.

Fontos példa a diffúzió (tömegáramlás). Amennyiben nincs tömegforrás, a kontinuitási egyenletből kiindulva a Fick-egyenlet kapjuk:



^grad



⁰

div

tD  

 vagy _t D, ahol: D a diffúziós tényező.

Érdemes összehasonlítani a Fourier-és a Fick-egyenlet, amiből kiderül, hogy a hővezetés és a diffúzió hasonló jelenségek, az egyenletük matematikailag megegyezik.

Ha a tömegtranszportot abban az esetben vizsgáljuk, amikor a konduktív áram elhanyagolható a konvektívhez képest, a Reynolds-egyenletet kapjuk:



^v



⁰

tdiv 

 .

Rotáció

A v:I differenciálható vektormező r₀I helyen vett rotációja:

     

A rotáció kiszámítására utaló szimbolikus jelölés:



A rotáció a vektormező örvényességével függ össze. Tekintsük például egy r v

 

r sebességmezőt, legyen F az r₀ helyet a belsejében tartalmazó felület az áramlási térben, amelynek felülete A, továbbá legyen az F felületet határoló zárt görbe G. Ekkor az vdr

G



görbe menti integrál értékét a vetormezőnek a görbére vonatkozó cirkulációjának nevezzük. A felületet az r₀ pontra „zsugorítva” lokális jellemzőhöz, a pontbeli rotációhoz („lokális cirkulációhoz”) jutunk:

A

Az áramlási tér (sebességtér) egy pontjában számított rotációnak szögsebesség jelentése van. Ha a rotáció nem nulla r₀-ban, akkor az r₀ hely környezetében a közeg forgómozgást végez, amelynek szögsebessége rotv(r )

2

1 0



 .

Szokás bevezetni a (_x,_y,_z) nablaoperátort (más néven Hamilton-operátort), amellyel a fenti differenciáloperátorok könnyen felírhatók, és az ezeket tartalmazó egyenletek könnyebben kezelhetők. A gradiens-, a divergencia-, a rotáció- és a derivált mátrix szimbolikus jelölése a nablaoperátorral:

f

In document Matematika (Pldal 38-41)