Trigonometrikus Fourier‐sorok

f Parseval egyenlőség.

Egy



₁^,₂^,...



ortonormált sorozatot teljesnek nevezünk, ha abból, hogy f,_k 0, k

következik, hogy f=0.

5.1.2 Exponenciális Fourier-sorok

A négyzetesen integrálható 0,1 függvények terében a te^{2ikt}, k függvények teljes ortonormált rendszert alkotnak. Itt egy f függvény Fourier-sora:

 

A Parseval egyenlőség megfelelője:

 

^



Ugyanígy írható fel a négyzetesen integrálható az 1 szerint periodikus  függvények Fourier-sora.

A négyzetesen integrálható, T szerint periodikus  függvények terében a ^{T ikt}

2

e t ^{ }



 ,

k függvények teljes ortogonális rendszert alkotnak. Itt egy f függvény

Fourier-együtthatói f(t) e dt

A Parseval-egyenlőség megfelelője:

 

^



5.1.3 Trigonometrikus Fourier-sorok

Itt az integrálható, T szerint periodikus  függvényekkel foglalkozunk. A fentiek szerint, az

T

0  2

 jelöléssel élve, a t e^{ik0t}, k függvények teljes ortogonális

rendszert alkotnak. Egy f függvény Fourier-együtthatói erre vonatkozóan

dt e

) t ( T f ) 1 k (

fˆ ²

T

2 T

t k

0



i ⁰











 







 , k , Fourier-sora:

FSf(t)

 

^



























 











 































k

t k 2 i

T

2 T

t k i k

t k

0 i ⁰ f(t) e ⁰ dt e ⁰

T e 1

) k (

fˆ , t .

Megjegyzések:

1. Az fˆ(k₀) együtthatók és az e^{ik0t} függvények értékei is komplex számok, de a Fourier-sor részletösszegei és összegfüggvénye valós értékű függvény.

2. A k index --től +-ig fut, így a felbontásban látszólag negatív körfrekvenciák is jelen vannak. Valójában csak a pozitív körfrekvenciáknak van fizikai jelentése, de ezek „duplán” jelennek meg a komplex spektrumban.

3. fˆ(k₀)fˆ(k₀), k , amiből azonnal adódik az is, hogy fˆ(k₀)  fˆ(k₀), k .

4. A k₀  fˆ(k₀) függvényt amplitúdóspektrumnak, a k₀ argfˆ(k₀) függvényt fázisspektrumnak, a k₀  fˆ(k₀)² függvényt energia spektrumnak nevezzük.

f

0 2

T

2 T

0 2₀ 30

| fˆ

|

0 0  2

0  3

 T

0 2



5.1 ábra: Periodikus jel frekvenciaspektruma Parseval-egyenlőség; energiatartalom

Egy mechanikai rezgés vagy elektromos jel esetén az amplitúdók négyzetének integrálja (vagy összege) arányos az energiatartalommal úgy az idő, mint a frekvencia-tartományban. Matematikailag ezt a Parseval-egyenlőség fejezi ki:

 

^















 _k

2 0 t

2(t)dt fˆ(k ) 2 f

1

Példa:

(

T=2 periódusú négyszögjel komplex Fourier-sorát!

4

Célszerű a Fourier-sort valós trigonometrikus függvények segítségével is felírni, mert ekkor egyrészt nem kell komplex értékű függvényekkel számolni, másrészt ebből a formából nyilvánvaló, hogy a Fourier-sor részletösszegei, illetve összege valós függvények. Az, hogy a periodikus függvények felírhatók trigonometrikus függvények összegeként azért is fontos, mert ebből következik, hogy a lineáris rendszerek válaszait elegendő harmonikus gerjesztésekre vizsgálni és a szuperpozíció-elvet alkalmazni az egyéb periodikus gerjesztések hatásának elemzéséhez (l. pl. a frekvenciafüggvény témakört).

A formulákban a továbbiakban is az

T

0  2

 jelölést használjuk. A négyzetesen integrálható, T szerint periodikus  függvények terében teljes ortogonális rendszert alkotnak a

,

(felharmonikusok)



3 t



, cos

t ₀ tsin



3₀t



,

 

függvények. Ezt a függvényrendszert trigonometrikus rendszernek nevezzük. A konstans 1 függvénytől eltekintve, a rendszer olyan koszinusz- és szinuszfüggvényekből áll, amelyek periódusa

k

T , ahol k pozitív egész szám.

T

5.2 ábra: tcos



k₀t



függvények, k

T

5.3 ábra: tsin



k₀t



függvények, k

A trigonometrikus rendszerbeli függvények páronkénti ortogonalitása abban nyilvánul meg, hogy az alábbi integrálok értéke nulla (n,k ):

 

n t dt 0 levezethető a trigonometrikus alak. A számolásban több helyen ki kell használni a cos-függvény páros és a sin-cos-függvény páratlan voltát (cos(x)cos(x),sin(x) sin(x),

A Fourier-sor átírása:



A fentiek alapján az integrálható, T szerint periodikus f:  függvény trigonometrikus Fourier-sora:

FSf(t)

 

^ rendszerre nézve. Az ortogonális rendszerekkel kapcsolatban korábban leírtaknak megfelelően a trigonometrikus Fourier-együtthatók az f függvény és a trigonometrikus rendszer elemeinek skaláris szorzataként adódnak. A felírásban szereplő két összeget az f függvény koszinusz, illetve szinusz Fourier-sorának is nevezzük.

Ha f páros, akkor a bk együtthatók értéke 0 (a felbontásban nincsenek szinuszos tagok), ha f páratlan, akkor az ak együtthatók értéke 0 (a felbontásban nincsenek koszinuszos tagok).

A Fourier-együtthatók összefüggése másképpen kifejezve:

2

amiből látszik, hogy a páros függvények komplex Fourier-együtthatói tisztán valósak, páratlan függvény komplex együtthatói tisztán képzetesek. A komplex Fourier-együtthatók nagysága és a valós Fourier-Fourier-együtthatók összefüggése:

2k

A Parseval-egyenlőség megfelelője:

  

^



A Fourier-sor függvénysor, így mindenekelőtt az a kérdés vetődik fel, hogy konvergens-e, és ha igen, akkor mi a kapcsolat az FSf(t) összegfüggvény és az eredeti f függvény között. Erre a kérdésre egyfajta választ ad Dirichlet tétele, miszerint ha a 2 szerint periodikus, integrálható f:  függvény

 a ],[ intervallumon szakaszonként folytonos és monoton, valamint

 bármely x helyen létezik a baloldali és jobboldali határértéke,

akkor az f függvény Fourier-sora konvergens. Az összegfüggvény a folytonossági helyeken megegyezik az f függvény értékével, a szakadási helyeken pedig a bal és jobb

oldali határértékek számtani közepével. A műszaki folyamatok vizsgálatakor általában feltételezhető, hogy a fellépő függvények teljesítik a Dirichlet-feltételeket.

A Dirichlet-feltételt teljesítő függvények esetén megállapíthatjuk, hogy a függvény lényegében azonosítható az a₀,a₁,b₁,a₂,b₂,... számsorozattal (a Fourier-együttha-tókkal), mint egy ortogonális függvényrendszerre (a trigonometrikus rendszerre) vonatkozó „koordinátákkal”.

A műszaki számításokban kihasználhatjuk, hogy a periodikus függvények közelíthetők a Fourier-soruk részletösszegeivel. Az alkalmazások jelentős részében azonban nem a közelítés a fontos, hanem a felbonthatóság ténye (szuperpozíció elv), és az, hogy a harmonikus összetevőkre való felbontásban mely felharmonikusok szerepelnek és milyen együtthatóval (amplitúdóval). Ez utóbbi gondolat vezet el a spektrum fogalmához.

Ha az f függvény egy mennyiség időbeli lefolyását írja le (például mechanikai vagy elektromos rezgés esetén), akkor a Fourier-sora meghatározott körfrekvenciájú harmonikus összetevőkre való felbontást jelent, a Fourier-együtthatók egy ₀ alap-körfrekvenciához és ennek k₀ többszöröseihez tartoznak. Így egy olyan függvényhez jutunk, ami „diszkrét” helyeken (körfrekvenciáknál) van értelmezve. Ezt a függvényt szokás (diszkrét) spektrumnak nevezni, és úgy is szoktunk fogalmazni, hogy a folyamatot (például rezgést) a frekvenciatartományban írja le.

Egy Asin(t) harmonikus összetevő esetén az A értéket amplitúdónak, az  értéket körfrekvenciának, az



 

f 2 értéket frekvenciának, a függvény f

T 1 periódusát pedig periódusidőnek szokás nevezni. (Gyakran előfordul, hogy a körfrekvencia helyett – hibásan – frekvenciát mondanak, ami zavart okoz.) Ezek fizikai dimenziója: A [m],

] s [

T  , f 

 

1/s [Hz], 



rad/s



. A 2 periódusú jelek t cos(t) és tsin(t) alapfüggvényei esetén például







 s

1 rad , [Hz]

2 1 s 1 2 f 1

 





  , T 2[s].

A továbbiakban mindig ezeket a mértékegységeket feltételezzük, és nem írjuk ki azokat.

A jelfeldolgozásban, amikor a függvény egy időtől függő fizikai mennyiség és mintavételezéssel kell információhoz jutni fontos, hogy a periodikus függvények esetén egy periódus tartalmazza a függvény minden jellemzőjét, így elegendő egy periódus alatt mintavételezni.

Példa:

Határozzuk meg az









 





 

[ 2 , 0 ] t ha 2, 2t

10 , ha t 0 )

t (

f T=2 periódusú függvény

Fourier-sorát! (Itt ₀ 1.)

2

 2





2 4



2 t

Mivel páratlan függvényről van szó, így a_k 0,k 0,1,... A számolás:

A bk együtthatók meghatározása:



A primitív függvény parciális módszerrel határozható meg:



Két részletösszeg:





Határozzuk meg (a korábban már vizsgált) az





^{sin(k t)}



⁰

Két részletösszeg:

 

Látható, hogy a közelítés pontossága a vizsgált függvény ugrásainál sokkal rosszabb, mint a többi pontban. Igazolható, hogy a konvergencia (a pontosságot és a számolási igényt összevetve) e helyek közelében igen lassú.

Megjegyzés:

A periodikus jelek Fourier-analízisének célja annak meghatározása, hogy a jelben milyen frekvenciájú összetevők, milyen amplitúdóval vannak jelen (spektrum). Ebből a szempontból szerencsésebb, ha egy adott k₀ körfrekvencia csak egy tagban jelenik meg. A cos- és sin-függvények közti



arctga t

összefüggésekkel a Fourier-sort át lehet alakítani például az alábbi formába, ahol csak szinuszfüggvények szerepelnek:



^ arctga ,

Itt már minden körfrekvenciához egyértelműen hozzárendelhető amplitúdó.

In document Matematika (Pldal 68-76)