ábra: Ellenállás, kondenzátor, tekercs impedanciája

( j 0

0 e U I

I Z U

~ _{ }





0 0

I Z U

Ellenállás 0 ~Z R e_j0 R

R   ^  R

Kondenzátor

2

 j X j

C e 1

C Z 1

~ j2 C

C    







 

 





C 1



 Tekercs

2

  ~Z L e L j X j

2 L j

L        

 L

Megjegyzések

1. A komplex impedancia ohmos ellenállás esetén pozitív valós szám, kondenzátor és tekercs esetén tisztán képzetes (negatív, illetve pozitív előjellel).

2. Az ellenállás impedanciája nem függ az  gerjesztési körfrekvenciától, míg a kondenzátoré csökken, a tekercsé pedig növekszik az  növekedtével. Emiatt különböző gerjesztési frekvenciákra egy adott áramkör másképpen reagál.

3. A kondenzátor és a tekercs impedanciájának nagyságát látszólagos ellenállásnak is hívjuk.

A valós impedancia a komplex impedancia nagysága:

I . e U

I e U

I Z U Z ~

0 ) 0 ( j 0 ) 0 ( j 0

0  U I   U I 



 ^{   }

A komplex feszültség- és áramerősség-amplitúdókkal érvényes az Ohm törvény és a Kirchhoff-törvények:

Ohm-törvény: ~ ~ ~.

0

0 I Z

U   Csomóponti törvény: ~ ~0.

0 



n

I n

Huroktörvény: ~ ~0.

0 



n

U n

L





C 1



 

 

^~z

C Im

L 1 









 

^~Z

Re R 

~Z

 _{valóstengely}

tengely képzetes

2.5 ábra: Ellenállás, kondenzátor, tekercs impedanciája

Soros és párhuzamos kapcsolásnál a komplex impedanciákra érvényesek az egyenáramú körökben is használ összefüggések. Sorosan kapcsolt, ₁ ~Z_n

,...,

~Z

impedanciájú elemek eredő impedanciája:

. soros 1

,

eredő   

Párhuzamosan kapcsolt, ₁ ~Z_n ,...,

~Z

impedanciájú elemek eredő impedanciájára:

n párhuzamos 1

,

Ha a kapcsolás ellenállás mellett kondenzátort és/vagy tekercset is tartalmaz, akkor eredő impedancia valós és képzetes részt egyaránt tartalmaz. Az összetevőket a komplex számsíkban ábrázolva jól látható az egyes impedanciák hatása az eredőre (2.5 ábra).

Soros RC kapcsolás esetén például az alábbiak szerint alakulnak a függvények és összefüggések:

Generátorfeszültség:

 valós feszültségfüggvény: u_g(t)U_g0sin(t);

 komplex feszültségfüggvény: u~_g(t)U_g0e^jt;

 komplex feszültségamplitúdó: U~ U .

0 g 0

g 

Eredő impedancia:

C .j

 komplex áramerőssé amplitúdó: ;

C j

 valós áramerősség-amplitúdó: ;

C

 komplex áramerősség-függvény:

 generátor-feszültséghez képest (kapacitív jellegű kapcsolás);

 valós áramfüggvény: Az áramköri elemek feszültsége

 komplex feszültségamplitúdók: R,

C j

 komplex feszültségfüggvények:





 , így a kondenzátor feszültsége

„90°-kal késik” az áramához képest: ^

 valós feszültségfüggvények:

 

^



^{ }



^

3. DIFFERENCIÁLÁS

3.1 Lineáris függvények

A műszaki folyamatok leírásában fontos szerepet töltenek be a lineáris modellek, amelyekben egyes mennyiségek között – legalábbis egy bizonyos határig – lineáris kapcsolatot feltételezünk. A rugalmasságtan lineáris elmélete például a feszültség és az alakváltozás közt feltételezett lineáris kapcsolaton alapszik. Ennek legegyszerűbb megnyilvánulása a lineáris rugókarakterisztika feltételezése. A szabályozástechnika elmélete is a lineáris rendszerek viselkedését tárgyalja a szuperpozíció elvét alapul véve.

A lineáris modellek a lineáris függvény fogalmára épülnek.

Az X és Y lineáris terek között ható f:XY függvényt akkor nevezzük lineárisnak, ha bármely x1,x2X és bármely 1,2 esetén fennáll, hogy



₁ x_{1 2} x₂



₁ f

 

x_{1 2} f

 

x₂ f         .

A lineáris tér fogalma igen általános, mi itt a differenciálás kapcsán csak az , ² és ³ lineáris terek között ható lineáris függvényekkel foglalkozunk.

A lineáris algebrából ismert, hogy az ⁿ ^k típusú lineáris függvények és a (k×n) típusú mátrixok között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés létesíthető: az _: ⁿ ^k lineáris függvényhez egyértelműen létezik egy olyan (k×n) típusú K mátrix, amelyre 

 

x Kx, x ⁿ. A későbbiekben tárgyalt esetekben felírjuk a lineáris függvényeket:

X Y K _

k ^(x)kx

3



















3 2 1

k k k

k (x)kx

3 k 



k1 k2 k3



(x)kx

3 3



















33 32 31

23 22 21

13 12 11

k k k

k k k

k k k

K (x)Kx

Megjegyzések:

1. Az  típusú xkx lineáris függvény grafikonja az origón átmenő, k meredekségű egyenes (a síkban).

2. Az  ³ típusú xkx lineáris függvény grafikonja az origón átmenő, k irányvektorú egyenes (a térben).

3. Egy ³ típusú lineáris függvény egy rögzített k vektorral képzett

3 3 2 2 1

1 x k x k x

k x k

x        skaláris szorzat formájában áll elő.

4. Geometriai viszonyok, mozgások leírásában fontosak az ⁿ ⁿ típusú lineáris függvényeket, melyeket az ⁿ tér lineáris transzformációinak is nevezzük: az

2 ² típusú lineáris függvények síkbeli, az ³ ³ típusú lineáris függvények térbeli lineáris transzformációk.

5. A mechanikában a (síkbeli, illetve térbeli) feszültségi és az alakváltozási állapot szintén ² ², illetve ³ ³ típusú lineáris függvényekkel, más szóval tenzorokkal írható le. Ezek a tenzorok általában különböző fizikai dimenziójú mennyiségeket kapcsolnak össze. A feszültségtenzor például irányhoz rendel feszültségvektort: (n) Tn, adott bázisban:





















































 





















z y x

z yz xz

zy y xy

zx yx x

z y x

n n n

.

Az ³ ³ típusú lineáris függvények (tenzorok) invariánsai

A lineáris algebrából ismert, hogy különböző bázisokban (koordináta-rendszerekben) a tér elemeinek (vektorainak) különbözők a koordinátái, és ezzel együtt a tér lineáris transzformációinak mátrixa is más. Itt nem térünk ki arra a kérdésre, hogy a koordináta-rendszer megváltoztatása hogyan hat egy lineáris transzformáció mátrixára, de azt megjegyezzük, hogy a lineáris függvényekhez tartoznak koordináta-rendszertől független skalár- illetve vektorértékek, amelyek a lineáris függvények különböző bázisbeli mátrixaiból számítva ugyanazt az értéket adják. Ezek az értékek olyan fizikai mennyiségekkel vannak összefüggésben, melyek nem kötődnek koordináta-rendszerhez, például forrásosság, örvényesség az erőterek, illetve az áramlási terek esetén.

3.2Differenciálhányados; derivált függvény

Egy f függvényről általában akkor mondjuk, hogy differenciálható az értelmezési tartományának egy x₀ belső pontjában, ha a „bemenet” xxx₀ és a „kimenet”

) x ( f ) x ( f

f   ₀

 megváltozása közötti kapcsolat jól közelíthető a x egy lineáris függvényével: f (x). (Intervallumon itt az f függvény értelmezési tartományának megfelelő n dimenziós intervallumot értünk, ami n darab nyílt intervallum Descartes-szorzataként definiálunk.) A „jól közelítés” az ^f hibatagra vonatkozó követelmény: a hibatagnak „elegendően gyorsan” kell tartania nullához, midőn x tart a nullához.

Legyen X, illetve Y az , ², ³ halmazok valamelyike, IX nyílt intervallum, f:IY. Az f:IY függvényről akkor mondjuk, hogy differenciálható az x₀I helyen, ha van olyan

:XY lineáris függvény, amelyre

) x ( h ) x ( ) x ( f ) x x ( f

f  ₀  ₀    

  , xG₀ és ( ) 0,

lim0 







 x

x h

x

ahol G₀ valamely origó középpontú nyílt gömb.

Az f:IY függvény x₀I helyhez kötődő lineáris közelítésén azt értjük, hogy )

x ( ) x ( f ) x x ( f

f  ₀  ₀  

  , xG₀,

vagyis azt, hogy a függvénynek a bemenet x megváltozásához tartozó f változását a definícióban szereplő lineáris függvény változásával közelítjük. Az (x) értéket szokás a

x

 -hez tartozó differenciálnak nevezni. A lineáris közelítést gyakran az

) x x ( ) x ( f ) x ( L ) x (

f  

₀

  

₀ ^,

x  G

x0

formában írjuk, ahol G_x0 valamely x₀ középpontú nyílt gömb. Itt L:XY elsőfokú függvény (polinom), így ezt a formát pontosabb elsőfokú közelítésnek nevezni.

Az _ lineáris függvényt – az X és Y halmazok dimenzióktól függően – meghatározó k számot, k vektort, illetve K mátrixot az f függvény x₀ helyhez tartozó differenciálhányadosának nevezzük.

A fenti fogalmak és ezek jelölése a tárgyalt függvénytípusok esetén:

 típusú függvények (f:I , x₀I).

lineáris függvény ^{(x)kx}, k

differenciálhányados k

a differenciálhányados jelölése k f(x₀) vagy (x ) dx k  df ₀ differenciál ^{xf(x}₀^)x

lineáris közelítés ^{f f(x0x)f(x0)f(x0)x} ) x x ( ) x ( f ) x ( f ) x ( L ) x (

f   ₀   ₀   ₀

Megjegyzés:

Az L függvény grafikonja az f függvény grafikonjának érintőegyenese az ))

x ( f , x

( _{0 0} pontban.

 ³ típusú függvények (r:I ³, t0I).

lineáris függvény (t)kt, k ³ differenciálhányados k r(t₀) ³

a differenciálhányados jelölése k r(t₀) differenciál tr(t₀)t

lineáris közelítés ^{r r(t0t)r(t0)kt} ) t t ( ) t ( r ) t ( r ) t ( L ) t (

r   ₀  ₀   ₀

Megjegyzések:

1. A L függvény az tr(t)függvény elsőfokú függvénnyel való közelítése a t₀ helyen. Az L függvény grafikonja az r függvény grafikonjának érintőegyenese az

) t (

r ₀ pontban, ennek irányvektora a pontbeli differenciálhányados vektor.

2. Az  ³ típusú függvények a geometriában elsősorban a térgörbékhez, a mechanikában elsősorban a mozgás pályájához kötődnek. A térgörbék  ³ típusú függvénnyel való előállításánál a változót általában t-vel jelöljük, és paraméternek nevezzük. A mozgások vizsgálatánál a hely és az idő kapcsolatát  ³ típusú függvénnyel adjuk meg, továbbá a mozgást jellemző sebesség és gyorsulás időtől való függése is ilyen típusú függvény. A változót (az időt) ebben az esetben is t-vel jelöljük. A differenciálhányadost mindkét témakörben vessző helyett ponttal szokás jelölni.

3. Analóg módon értelmezhető bármely n pozitív egész esetén az  ⁿ típusú függvények differenciálhatósága. A síkbeli problémák vizsgálatához az  ² típusú függvényekre vonatkozó megfelelő formulák szükségesek.

3 típusú függvények (skalármezők) (f:I ,r₀I).

lineáris függvény (r)kr , k ³ differenciálhányados _k ³

a differenciálhányados jelölése k gradf

 

r₀ vagy ^{k f}

 

^r₀ ^vagy

 

^r₀

r d k  df differenciál r gradf

 

r₀ r

lineáris közelítés f f

   

r fr₀ gradf

 

r₀ r

     

r Lr fr gradf

 

r r

f   ₀  ₀ 

Megjegyzések:

1. Analóg módon értelmezhető bármely n pozitív egész esetén az ⁿ típusú függvények differenciálhatósága. Egy ⁿ típusú függvény gradiense egy ⁿ-beli vektor.

2. Egy ³ skalármező gradiensfüggvénye egy ³ ³ vektormező.

3. A transzportfolyamatok leírásában nagy jelentősége van a gradiens fogalmának:

egy intenzív mennyiség inhomogenitása a megfelelő extenzív (legtöbbször skalár) mennyiség áramát okozza, az inhomogenitás mértéke pedig a gradienssel adható meg. Ha egy extenzív mennyiség áramsűrűsége (egységnyi felületre vonatkoztatott árama, ami irányfüggő) j, a megfelelő intenzív mennyiség y (legtöbbször skalármező), akkor

 

^{r L grady}

 

^r

j   ,

ahol: L az (egységnyi hosszúságra vonatkoztatott) vezetési tényező. (Sokszor röviden csak annyit írnak, hogy jLgrady.) Néhány példa:

Extenzív mennyiség Intenzív mennyiség Vezetési tényező elektromos áram, I elektromos potenciál, U vezetőképesség, =1/

hő, Q hőmérséklet, T hővezetési tényező, 

térfogat, IV nyomás, p szivárgási tényező, A

tömeg, I_m sűrűség,  diffúziós tényező, D

3 ³ típusú függvények (vektormezők) (v:I ³,r₀I).

lineáris függvény: ^{(r)Kr}, KM3 3

differenciálhányados: KM3 3

a differenciálhányados jelölése: K  v(r₀) vagy

 

^r₀

r d

v K  d . differenciál: r v

 

r₀ r

lineáris közelítés: v  v

   

r vr₀  v

 

r₀ r

   

^{r Lr v}

 

^{r v}

 

^{r r}

v   ₀   ₀  Derivált függvény

A differenciálhatóság pontbeli jellemző, de intervallumra is „kiterjeszthető”. Ha az f:IY függvény az I intervallum minden pontjában differenciálható, akkor azt mondjuk, hogy az f függvény differenciálható az I intervallumon. Az intervallum pontjaihoz a pontbeli differenciálhányadost rendelő függvényt derivált függvénynek nevezzük. Egy függvényt folytonosan differenciálhatónak nevezünk, ha a derivált függvénye folytonos.

3.3 Változási gyorsaság

A műszaki folyamatok leírása során használt függvények mennyiségek kapcsolatát (függését) fejezik ki. (A szemléletesség kedvéért az értelmezési tartomány, illetve az értékkészlet elemeit néhol a függvény bemeneti, illetve kimeneti értékeinek fogjuk hívni.) Alapvető kérdés, hogy egy mennyiség megváltozása egy másik mennyiségben milyen változást idéz elő, vagyis hogyan függ össze a két megváltozás. Erre a kérdésre a (pillanatnyi) változási gyorsaság ad választ. Lineáris kapcsolat esetén a változási gyorsaság állandó, megegyezik a lineáris függvényt (a típustól függően) meghatározó számmal, vektorral vagy mátrixszal, és könnyen kifejezhető a bemenet és a kimenet megváltozásából (az  típusú függvények esetén például egyszerű osztással). Ha a kapcsolat nem lineáris, akkor a változási gyorsaság pillanatnyi értékéről beszélhetünk, ami a differenciálható függvények esetén a függvényt az adott helyen jól közelítő lineáris függvény meghatározó adata, vagyis a függvény differenciálhányadosa.

Leggyakrabban az időre vagy a helyre vonatkoztatjuk a változás gyorsaságát, számos alapvető fizikai mennyiség változási gyorsaságot fejez ki. A következő táblázat néhány példát mutat erre:

Mennyiség Változási gyorsaság az időre vonatkoztatva

pályakoordináta (s, [m]) pályasebesség _



pályasebesség _



sebességvektor _



rendszer által leadott/felvett energia (E, [J]) teljesítmény _

 adott keresztmetszeten átáramlott

töltésmennyiség (Q, [C]) áramerősség _



Mennyiség Változási gyorsaság a helyre vonatkoztatva

hőmérséklet (T, [°C]) hőmérsékleti „gradiens” _



elektromos potenciál (U, [V]) elektromos térerősség _



A pillanatnyi változási gyorsaság és a differenciálhányados kapcsolata könnyebben megérthető a differenciálhányados fogalmának a differenciahányados függvényen alapuló (a fentiekben bemutatottal ekvivalens) bevezetésével.

A differenciálhatóság ekvivalens megfogalmazása  típusú függvényekre Az f:I függvény pontosan akkor differenciálható az x₀I helyen, ha a

x

határérték létezik és véges (valós szám). Ekkor a határérték megegyezik az )

x (

f ₀ differenciálhányadossal. A

x

helyen vett differenciahányados-függvényének nevezzük.

A műszaki elmélet leírásakor a differenciálhányadosra gyakran a rövid

x

formulával utalnak, aminek csak akkor van értelme, ha tudjuk, hogy a differenciák mely pontra vonatkoznak.

A differenciahányados-függvény

x

meredekségét adja. Így a

 formula szemléletes geometriai

jelentése: differenciálható függvény adott pontbeli meredeksége egyenlő a pontra illeszkedő szelők meredekségének határértékével, miközben x0. Ez összhangban van azzal a képpel, hogy az érintő egyenest a szelők határhelyzetének tekinthetjük.

A differenciahányados függvényhez az átlagos változási gyorsaság fogalma kapcsolható:

az f és az x mennyiségek viszonyában a

x

határérték pedig az x₀ helyen vett pillanatnyi változási gyorsaságot fejezi ki.

Példaként tekintsük egy vezető adott keresztmetszetén átfolyt töltésmennyiség időfüggését leíró tQ(t), t[tA,tB] függvénykapcsolatot. Az átfolyt töltésmennyiség átlagos változási gyorsaságát (átlagos áramerősséget) valamely [t₁,t₂] időintervallumban a

 differenciahányados-függvény értéke az átlagos áramerősséget adja a [t₀,t₀+t] (illetve t<0 esetén a [t₀+t,t₀]) időintervallumban. Ha pedig a tQ(t) függvény differenciálható a t₀ helyen, akkor a

)

határérték (differenciálhányados) a t0 időpillanatban vett pillanatnyi áramerősség.

Hasonló gondolatmenet fogalmazható meg minden, változási gyorsaságot kifejező mennyiség esetén, amennyiben skalármennyiségek kapcsolatát vizsgáljuk. A korábban említett változási gyorsaságokra vonatkozó összefüggések összefoglalva:

pillanatnyi sebesség:

t

pillanatnyi gyorsulás:

t

pillanatnyi teljesítmény:

t

pillanatnyi áramerősség:

t

ahol: s pályakoordináta; v pályasebesség; a pályagyorsulás; E energia; P teljesítmény; Q töltésmennyiség; I áramerősség.

A differenciálhatóság ekvivalens megfogalmazása  ³ típusú függvényekre Az r :I ³ függvény pontosan akkor differenciálható a t0I helyen, ha a

határérték létezik és véges ( ³-beli vektor). Ekkor a határérték megegyezik az r(t₀) differenciálhányadossal. A

t differenciahányados függvényének nevezzük.

A differenciálhányadosra gyakran a rövid

t

 formulával utalnak, aminek csak akkor van értelme, ha tudjuk, hogy a differenciák mely pontra vonatkoznak.

A differenciahányados-függvény

t

A differenciahányados-függvényhez, illetve a differenciálhányadoshoz itt is az átlagos, illetve a pillanatnyi változási gyorsaság fogalma kapcsolható.

Példaként tekintsük egy mozgó pont helyének időfüggését leíró tr(t), t[t_A,t_B] függvénykapcsolatot, a mozgás pályáját. A hely átlagos változási gyorsaságát (az átlagsebességet) valamely [t₁,t₂] időintervallumban („helyileg” a pályának az r(t₁) és

időpillanat. Ekkor az

t

 differenciahányados függvény értéke az átlagos sebességet adja a [t₀,t₀+t] (illetve t<0 esetén a [t₀+t,t₀]) időintervallumban.

Ha pedig a tr(t) függvény differenciálható a t₀ helyen, akkor a

határérték (differenciálhányados) a t0 időpillanatban vett pillanatnyi sebesség.

3.4 Irány menti derivált; parciális derivált

A többváltozós függvények differenciálszámítása az ún. parciális deriváltak segítségével történik. A parciális deriváltak egyváltozós függvények deriváltjai, amelyek úgy állnak elő, hogy a többváltozós függvény változóit egy kivételével rögzítjük.

Ha például az (x,y,z)f(x,y,z) háromváltozós függvény x és y változóját valamely x0, illetve y₀ értéken rögzítjük, akkor egy zf(x₀,y₀,z) egyváltozós függvényt kapunk. Ha ezt a függvényt differenciáljuk valamely z₀ helyen, akkor a kapott differenciálhányados az eredeti háromváltozós függvény z változó szerinti parciális differenciálhányadosát kapjuk az (x₀,y₀,z₀) helyen.

Az alábbiakban először bevezetjük az irány menti derivált fogalmát, ennek speciális eseteként állnak elő a parciális deriváltak.

Irány menti derivált

Legyen I ³ (háromdimenziós) nyílt intervallum. Ha az f:I függvény differenciálható az r₀I helyen, 0 v ³ egy rögzített vektor és e_v a v irányú egységvektor, akkor a

 

₀

 

_{0 v}

vf r gradfr e



értéket az r f(r) függvény r₀ helyen, v ³ irányban vett irány menti differenciálhányadosának vagy irány menti deriváltjának nevezzük.

Ha a v vektor speciálisan ³ természetes bázisának egy eleme (bázisvektor), akkor az irány menti differenciálhányadost parciális differenciálhányadosnak nevezzük.

Parciális derivált

Ha az f:I függvény differenciálható az r₀I helyen, és e_i az i-edik bázisvektor az ³ természetes bázisában (i{1,2,3}), akkor a _eif(r₀) irány menti differenciálhányadost az

) r ( f

r  függvény r₀ helyen vett, i-edik változó szerinti parciális differenciálhányadosának (vagy parciális deriváltjának) nevezzük.

A parciális deriváltakat többféleképpen szokás jelölni. Az r f(r) függvény r₀ helyen vett i-edik változó (x_i) szerinti parciális deriváltjának leggyakoribb jelölései:

) r ( f ₀

i , _xif(r₀), f(r ) x_i ⁰



 , (r )

x f 0

 i

 .

Ha nem áll fenn a félreértés veszélye, használhatjuk az f_i(r₀), illetve az f_xi^(r₀) jelöléseket is.

Parciális derivált függvény

Ha az f:I függvény differenciálható az I intervallumon, akkor az r _if(r) függvényt az r f(r) függvény i-edik változó szerinti parciális derivált függvényének nevezzük.

A gradiens és a parciális deriváltak kapcsolata

A parciális deriváltakat definiáló _if(r₀) _eif(r₀) gradf(r₀)e_i (i=1,2,3) formulából könnyen látható, hogy a parciális deriváltak valójában a gradiens vektorkoordinátái. Így a gradiensvektort a gradf (₁f,₂f,₃f) alakban is írhatjuk.

Az alábbiakban megadjuk az irány menti és a parciális deriváltak definícióját az irány menti differenciálhányados fogalmának felhasználása nélkül, és egyben rávilágítunk e fogalmak jelentésére.

Szűkítsük le az f függvényt az értelmezési tartománynak egy r₀e_v, ]-₀,₀[

„egydimenziós” részhalmazára, és tekintsük a  f



r₀ e_v



egyváltozós függvényt. A )

r ( f ₀

v iránymenti differenciálhányados megegyezik ennek a függvénynek a =0 helyen vett differenciálhányadosával:

     









 

 

0 v 0

0 0

v fr e fr

lim r

f .

Az irány menti differenciálhányados azt fejezi ki, hogy az adott pontból adott irányban

„kimozdulva” milyen gyorsan változik a függvény értéke.

A gradiens geometriai jelentése

Igazolható, hogy az irány menti differenciálhányados értéke akkor maximális, ha v a )

r ( f

grad ₀ -lal egyirányú. Ezt úgy is megfogalmazhatjuk, hogy a gradiensvektor azt az irányt mutatja az értelmezési tartomány egy adott helyén, amely irányban „kimozdulva”

a „leggyorsabb” a függvény növekedése. A koordinátatengellyel párhuzamos irányokban speciálisan a parciális differenciálhányadosok adják a változás gyorsaságát.

Parciális differenciálhányados

3.5 A térgörbék görbülete és torziója

A következőkben áttekintünk néhány fogalmat, amely a térgörbék differenciálással való vizsgálatához kötődnek.

Kísérő triéder

Legyen r:I kétszer differenciálható függvény és t₀I. Tegyük fel, hogy 0

vektorrendszer, ahol

) derivált vektorok által kifeszített sík (simulósík) egységnyi hosszúságú normálvektora, neve: binormális egységvektor. Az n(t₀) vektor az e(t₀) és a b(t₀) vektorok vektoriális szorzata, neve: főnormális egységvektor.

Az e , n és b vektorok ebben a sorrendben jobbsodrású rendszert alkotnak.

A triéder vektorai által kifeszített síkok:

Az e és az n vektorok síkja: simulósík (S). Ebben a síkban van a simulókör és a görbületi középpont (a simulókör középpontja). A simuló síknak b normálvektora. Az n és a b vektorok síkja:

normális sík (N). A normális síknak e normálvektora. Az e és a b vektorok síkja:

rektifikáló sík (R). A rektifikáló síknak n normálvektora.

Egy kétszer differenciálható térgörbe minden pontjához tartozik érintő egységvektor.

In document Matematika (Pldal 23-37)