L INEÁRIS RENDSZEREK

6.2 Lineáris rendszerek

6.2.1 Lineáris rendszerek leírása az időtartományban

A lineáris rendszereket az „időtartományban” elsőrendű lineáris differenciálegyenlet-rendszerek vagy magasabb rendű lineáris differenciálegyenletek, illetve az ezekhez kapcsolódó kezdetiérték-problémák írják le.

A t u(t) bemenőjelű, ty(t) kimenőjelű, időinvariáns rendszert a

lineáris konstansegyütthatós differenciálegyenlethez kapcsolódó kezdetiérték-probléma írja le, ahol nm, a T_i (i=1,…,n) és a _i (i=1,…,m) értékek az ún. időállandók,

0 , 0

T_nⁿ  ^m_m  . Az egyenlet jobb oldalán lévő függvényt szokás gerjesztőfüggvénynek is nevezni. Ezt tanulmányozva látható, hogy a gerjesztés nem csak a bemenőjelnek választott mennyiségtől, hanem annak változásától (deriváltjaitól) is függhet. Ha h(t)=0, akkor a rendszer gerjesztésmentes, a differenciálegyenlet homogén, különben

inhomo-megfelelő fogalmat arra a homogén egyenletre, amiben a jobb oldalon a h függvény helyett a 0 függvény szerepel.

Az egyenletben szereplő A konstans az átviteli tényező, ami a kimenő- és a bemenőjelek arányát fejezi ki, ha állandósult állapot alakul ki (az u és y függvények értéke nem változik).

A rendszernek egy tu(t) bemenőjelre adott válasza két hatás eredményeként alakul ki: a rendszer mozgása (változása) egyrészt a kezdeti értékekből adódó kezdeti egyensúlytalanság, másrészt a gerjesztés következménye. Ezek a hatások külön is vizsgálhatók. Ha a rendszert nem éri gerjesztés, akkor egyensúlytalanság tranziens (átmeneti jellegű) hatásként időben lecseng. A tranziens jelenség lefutása a rendszer belső paramétereinek viszonyától függ, ami számszerűen a T_i időállandók értékében jelenik meg. A gerjesztésmentes állapotot matematikailag a kezdetiérték-probléma homogén megfelelője írja le: ⁿ T y (t) 0

0 i

) i ( ii 





, T₀⁰  ⁰₀ 1, y⁽ⁱ⁾(0)y⁽₀ⁱ⁾, i0,...,n1. Ennek a problémának a megoldása szolgáltatja a megoldás tranziens részét.

A megoldás másik összetevője a gerjesztés következtében kialakuló hosszú távú hatás, ami a tranziens jelenség lecsengése után meghatározó. Matematikailag ez az inhomogén egyenlet egy (partikuláris) megoldásának felel meg.

6.2.2 A homogén lineáris konstansegyütthatós differenciálegyenletek megoldáshalmaza

Az

0 ) t ( y a ) t ( ' y a ...

) t ( y a ) t ( y

a_n ⁽ⁿ⁾  _n1 ^(n1)   ₁  ₀ 



a_n 0



homogén lineáris konstansegyütthatós differenciálegyenlet általános megoldása az

0 a a

...

a

a_nⁿ _n1^n1  ₁ ₀ 

karakterisztikus egyenlet gyökeitől függ. Ha _i a karakterisztikus egyenlet _i-szeres valós gyöke, u_jiv_j a karakterisztikus egyenlet _j-szeres komplex konjugált

gyökpárja, _^













  









n

= 2

s, ,

… 1,

= j r, ,

… 1,

=

i ^s

1 j j r

1

i i , akkor az egyenlet általános

megoldása az

ix

e^ , xe^ix,…,x^i1e^ix,



_(i^i_=1,…,r)

) x v sin(

e^ujx _j ,xe^ujxsin(v_jx),…,x^j1e^ujxsin(v_jx), )

x v cos(

e^ujx _j ,xe^ujx cos(v_jx),…,x^j1e^ujx cos(v_jx)



^u_(j^j₌^_1,^iv_…^j_,s)

n-elemű (lineárisan független) függvényrendszer elemeinek összes valós együtthatós lineáris kombinációi halmazaként áll elő. A kezdeti értékeknek eleget tevő megoldásfüggvény az együtthatók megfelelő megválasztásával kapható meg.

Példa: Gerjesztés nélküli, lineárisan rugalmas mechanikai lengőrendszer.

m [kg] tömegű test egy c [N/m] rugómerevségű rugóhoz, illetve egy – a sebességgel arányos erőt kifejtő – lengéscsillapítóhoz csatlakozik, melynek arányossági tényezője f [Ns/m].

m

c f

6.1 ábra: A rugalmas mechanikai lengőrendszer modellje

A Newton-egyenlet szerint ekkor az c y(t)

 jelöléseket bevezetve a

0

másodrendű homogén lineáris konstansegyütthatós differenciálegyenlet. Az ehhez tartozó karakterisztikus egyenlet: ²2k² 0. A karakterisztikus egyenlet gyökeinek jellege, és így az egyenlet általános megoldása a k és az  viszonyától függ.

1. ESET: k , nagy csillapítás, aperiodikus jelleg.

Ekkor két darab, egyszeres multiplicitású valós gyök van: ₁  k k² ² ,

Ekkor egy darab, kétszeres multiplicitású valós gyök van: ₀  k. Az általános megoldás:

t

Ekkor egy darab, egyszeres multiplicitású komplex gyökpár van:

2 A megoldásfüggvény periodikus jellegű

2

2 k

2





 periódussal, az amplitúdó exponenciálisan csökken.

A mechanikai lengőrendszer mozgásba jön, ha y(0) 0, vagyis a testet kimozdítjuk az

) t ( y

t kitérés–idő függvénye úgy adódik, hogy a c₁,c₂ konstansokat kezdeti helynek és sebességnek megfelelően választjuk meg.

0 ) 0 (

y  , y(0) v₀ kezdeti értékek mellett a fenti három esetben a következő megoldásfüggvények adódnak:

nagy csillapítás, (k) 

y kis csillapítás

nagy csillapítás aperiodikus határeset

6.2 ábra: Tranziens rezgés kis és nagy csillapítás esetén Példa: Soros RLC kör.

Az ohmos ellenállásból, tekercsből és kondenzátorból álló RLC körök (elektromos rezgő-rendszerek, rezgőkörök) leírása teljes analógiát mutat a mechanikai rezgőrendszerek fenti leírásával, ezért csak röviden ismertetjük.

Egy R ohmos ellenállást, egy L induktivitású tekercset és egy C kapacitású kondenzátort sorosan kapcsolunk egy tE(t) elektromotoros erejű áramforrással, a körben folyó áram:

)

U_L   (Q a kondenzátor töltése). A Kirchhoff-féle huroktörvény szerint )

és figyelembe véve, hogy

dt

 jelöléseket bevezetve pedig a

0 ) t ( dt y

) t ( k dy dt 2

) t ( y

d ₂

2

2     

másodrendű homogén lineáris konstansegyütthatós differenciálegyenlet adódik, ami formailag megegyezik a mechanikai lengőrendszerre kapott egyenlettel. Ennek megfelelően a megoldásfüggvények is hasonlóan alakulnak.

6.2.3 Az inhomogén lineáris konstansegyütthatós differenciálegyenletek megoldáshalmaza

Az inhomogén lineáris konstansegyütthatós differenciálegyenletek megoldáshalmaza szoros kapcsolatban áll a homogén megfelelő megoldáshalmazával: az inhomogén egyenlet általános megoldását megkapjuk, ha a homogén megfelelő általános megoldásához hozzáadjuk az inhomogén egyenlet egy (ún. partikuláris) megoldását:

is partikulár inhomogén

homogén y y

y   .

Az előző pontban leírtuk a homogén egyenlet általános megoldását, most a partikuláris megoldás meghatározási lehetőségei közül egyet tekintünk át röviden.

A lineáris egyenletek alakjából látszik, hogy bizonyos függvénytípusok esetén a zavaró függvény (h) és a megoldásfüggvény (y) alakja hasonló. Ez akkor fordul elő, ha a deriváltak, és ezzel a deriváltak lineáris kombinációi ugyanabba a függvénytípusba tartoznak, mint az eredeti függvény, például polinomok, exponenciális függvények és a trigonometrikus (szinusz vagy koszinusz) függvények esetén. Ennek alapján bizonyos zavaró függvények esetén meghatározható, hogy a partikuláris megoldást milyen alakban célszerű keresni. Itt csak az előbbiekben említett három példát írjuk le, de a műszaki számításokban leggyakrabban előforduló egyéb esetekre is talál útmutatást az olvasó a matematikai kézikönyvekben.

Az a_ny⁽ⁿ⁾(t)a_n1y^(n1)(t)...a₁y(t)f(t) inhomogén lineáris konstansegyütthatós differenciálegyenlet egy partikuláris megoldását keressük.

Ha a zavarófüggvény polinom: f(t)_k t^k _k1t^k1...₁t₀. 1. ESET: ha 0 nem gyöke a karakterisztikus egyenletnek, akkor

0 1 1

1 k k k k

p(t) t t ... t

y    _  ^     . 2. ESET: ha 0 r-szeres gyöke a karakterisztikus egyenletnek, akkor



k 1 1 0



1 k k r k

p(t) t t t ... t

y      _  ^     . Példa:

Határozzuk meg az y(t)y(t)12y(t)12t² 14t1 egyenlet egy partikuláris megoldását!

Mivel 0 nem gyöke a ²12 polinomnak, az 1. ESET szerint kell felírni a zavaró-függvényt: y_p(t)₂t²₁t₀. Az y_p és az y_p derivált függvényeket kiszámítva és visszahelyettesítve az egyenletbe, átrendezés után:

1 t 14 t 12 ) 12 2

( t ) 12 2 ( t

12₂ ² ₂ ₁   ₂₁ ₀   ² 

 .

Az együtthatók összehasonlításából a _i konstansokra a

I.12₂  12, II. (2₂12₁) 14, III. 2₂₁12₀ 1 egyenletrendszer adódik, amiből ₂ 1, ₁ 1, ₀ 0, azaz

t t t

t ) t (

y_p ₂ ²₁ ₀  ² .

Ha a zavarófüggvény exponenciális függvény: f(t) Ae^t.

1. ESET: ha  nem gyöke a karakterisztikus egyenletnek, akkor y_p(t)Be^t.

2. ESET: ha  r-szeres gyöke a karakterisztikus egyenletnek, akkor y_p(t)Bt^r e^t. Példa:

Határozzuk meg az y(t)y(t)4e^t egyenlet egy partikuláris megoldását!

Mivel 1  egyszeres gyöke a ²1 polinomnak, a 2. ESET szerint kell a zavaró-függvényt felírni: y_p(t)Bte^t. Az y_p és az y_p derivált függvényeket kiszámítva és visszahelyettesítve az egyenletbe: 2Be^x 4e^x. Az együtthatók összehasonlításából

2

B , azaz y_p(x)2xe^x.

Ha a zavarófüggvény trigonometrikus függvény: f(t) A₁cos(t)A₂sin(t). 1. ESET: ha i nem gyöke a karakterisztikus egyenletnek, akkor

) t sin(

B ) t cos(

B ) t (

y_p  ₁   ₂  . 2. ESET: ha i r-szeres gyöke a karakterisztikus egyenletnek

) t sin(

t B ) t cos(

t B ) t (

y_p  ₁ ^r   ₂ ^r   . Példa:

Határozzuk meg az y(t)4y(t) sin2t egyenlet egy partikuláris megoldását!

Mivel ii2 egyszeres gyöke a ²4 polinomnak, a 2. ESET szerint kell a zavaró-függvényt felírni: ^yp^(t)^t



^B1^cos2t^B2^sin2t



. Az y_p és az y_p derivált függvényeket kiszámítva és visszahelyettesítve az egyenletbe:

t 2 sin t 2 cos B 4 t 2 sin B

4 ₁  ₂ 

 .

Az együtthatók összehasonlításából a I. 4B₁ 1, II. 4B₂ 0 egyenletrendszer adódik, amiből

4 B₁ 1

 , B₂ 0, azaz t cos2t 4

) 1 t (

y_p   

 .

A linearitás következménye, hogy ha a zavarófüggvény több függvény lineáris kombinációja, akkor a partikuláris megoldást megkaphatjuk úgy, hogy a lineáris kombinációban szereplő függvényekhez külön-külön meghatározzuk megfelelő partikuláris megoldást, és ezek lineáris kombinációját vesszük ugyanazokkal az együtthatókkal.

In document Matematika (Pldal 85-90)