ábra: Kísérő triéder, síkok

n

b R

N S

3.1 ábra: Kísérő triéder, síkok Egyenes esetén az érintő egységvektor minden pontban ugyanaz: az egyenes irányvektora. Ha a görbe eltér az egyenestől, akkor a görbén haladva az érintő egységvektor elfordul. Az elfordulás „gyorsaságát” a görbület értéke mutatja.

Ha r(t₁) és r(t₂) az r :I görbe két különböző pontja, s az r(t₁) és az r(t₂) görbepontok közti ívhossz,  az r^(t₁) és az r^(t₂) vektorok szöge (az érintővektor szögelfordulása), akkor a

s





 hányadost, ahol a [t₁,t₂] intervallumra vonatkozó átlagos görbületnek nevezzük. A görbület értéke a görbe egy rögzített pontjában az átlagos görbület fogalmának felhasználásával határértékként adódik, a következők szerint.

Görbület

Legyen r :I kétszer differenciálható függvény, t₀I rögzített, tI, s az r(t₀) és az )

t (

r vektorok által meghatározott görbepontok közti ívhossz,  az e(t₀) és az e(t) vektorok szöge. Ekkor a

lim s

0

s 







 határértéket (ha létezik és véges) a t r(t) görbe )

t (

r ₀ pontbeli görbületének nevezzük. A görbület értéke azt mutatja meg, hogy a görbén haladva mennyi az érintővektor szögelfordulása (radiánban mérve) egységnyi ívhosszra vonatkoztatva. Fizikai dimenziója [rad/m].

A görbület kiszámítható az alábbi képlettel: egy kétszer differenciálható r :I függvény görbülete a t₀I helyen (r(t₀) 0 esetben):

3 0

0 0 0 r(t )

) t ( r ) t ( ) r t (





 



 .

Kimutatható, hogy a görbület értéke független a görbe paraméterezésétől, vagyis attól, hogy a görbét milyen képlettel állítjuk elő. Az egyenes görbülete nulla. Ahol a görbület nem nulla, ott a görbület nagyságának reciprokát görbületi sugárnak nevezzük:

) t ( ) 1 t ( R

0   0 .

Anyagi pont mozgásának vizsgálatakor a pálya pontjaihoz tartozó kísérő triéder vektorai az ún. természetes rendszer bázisvektorai. A természetes koordináta-rendszernek fontos szerepe van a mozgástani összefüggések levezetésében. A pillanatnyi sebesség irányát az érintő egységvektor mutatja. (Fentebb láttuk, hogy a derivált vektor

időpillanatban) felfogható egy olyan körmozgásként, ami egy, a simuló síkban fekvő, a görbületi sugárral egyenlő sugarú körön (a simulókörön) történik. A kör középpontja a normális egységvektor mint irányvektor által meghatározott, a vizsgált görbeponton átmenő egyenesen van, a pálya „homorú” oldalán. Így egy általános mozgás pillanatnyi jellemzőinek kapcsolatát a körmozgásnál ismert összefüggésekkel lehet leírni.

Egy kétszer differenciálható térgörbe minden olyan pontjához – ahol r és r nem nulla és nem párhuzamos vektor – tartozik kísérő triéder. A görbén haladva a triéder vektorai elfordulhatnak.

Ha a térgörbe háromszor differenciálható, akkor a binormális egységvektor (vagyis a simulósík) elfordulásnak „gyorsaságát” a torzió értéke mutatja. Egy háromszor differenciálható térgörbe pontosan akkor síkgörbe, ha a torziója nulla.

Torzió

Legyen r :I háromszor differenciálható függvény, t₀I rögzített, tI, s az r(t₀) és az )

t (

r vektorok által meghatározott görbepontok közti ívhossz,  a b(t₀) és a b(t) vektorok (előjeles) szöge. Ekkor a

lim s

0

s 







 határértéket (ha létezik és véges) a tr(t) görbe r(t₀) pontbeli torziójának nevezzük.

A torzió értéke azt mutatja meg, hogy a görbén haladva mennyi a binormális egységvektor (a simulósík) szögelfordulása (radiánban mérve) egységnyi ívhosszra vonatkoztatva. Fizikai dimenziója [rad/m].

A torzió kiszámítható az alábbi képlettel: egy háromszor differenciálható r :I

függvény torziója a t0I helyen:

2 0 0

0 0 0 0

) t ( r ) t ( r

) t ( r ) t ( r ) t ( ) r t (

















 .

(A számlálóban a három vektor vegyes szorzata szerepel.)

3.6 Vektormezők divergenciája és rotációja

A vektormezők differenciálással való vizsgálatának alapja a korábban értelmezett differenciálhányados-tenzor, amelynek mátrixa a három koordinátafüggvény parciális deriváltjait tartalmazza. Könnyen belátható, hogy a differenciálhányados-mátrix elemei függenek a koordináta-rendszer megválasztásától. Ahogyan azt a lineáris függvények tárgyalásakor már megemlítettük, a tenzorhoz tartoznak a koordináta-rendszer megválasztásától független skalár-, illetve vektorértékek (invariánsok), amelyek a bázistól független fizikai mennyiségekkel vannak kapcsolatban. Erőterek, áramlási terek derivált tenzorához kötődően két invariánst említünk meg.

A divergencia a vektormező forrásosságát mutatja. Folyadék áramlását vizsgálva adott térrészben a sebességmező divergenciája ott különbözik nullától, ahol nyelő vagy forrás van (anyag lép be az áramlási térbe, vagy távozik onnan). Elektromos térben az elektromos térerősségmező divergenciája ott különbözik nullától, ahol töltés van.

Mágneses térben a mágneses térerősségmező divergenciája nulla, mert mágneses töltés nem létezik. Úgy is szoktunk fogalmazni, hogy az elektromos tér forrásos, míg a mágneses tér nem.

Divergencia

A v :I differenciálható vektormező r₀I helyen vett divergenciája:

 

r_{0 x}v_x

 

r_{0 y}v_y

 

r_{0 z}v_z

 

r₀

v differenciálhányados-mátrix

főátlójában lévő elemek összege, skalármennyiség.

A divergencia szerepe a transzportegyenletekben Valamely extenzív mennyiségre vonatkozó

)

egyenletet, ahol: a vizsgált extenzív mennyiségre vonatkozóan  a térfogati sűrűség; j a felületi áramsűrűség; q a forrássűrűség, általános kontinuitási (vagy transzport) egyenletnek nevezzük. (Ezt röviden úgy szokták írni, hogy _t qdiv j.) Az általános transzport-egyenlet alkalmas bármely (helytől és időtől függő) extenzív mennyiség változásának leírására, az egyenlet megoldásával a mennyiség eloszlása az idő függvényében meghatározható.

Ha például az extenzív mennyiség a tömeg [kg], akkor az egyenletben szereplő mennyiségek fizikai dimenziója a következő: a térfogati sűrűségé 



A kontinuitási egyenlet div j tagja azzal függ össze, hogy egy hely infinitezimális környezetéből van-e kiáramlás (vagy oda beáramlás). Ennek pontos megfogalmazásához szükséges a vektormező felület menti integráljának fogalma.

Legyen F az r₀ helyet a belsejében tartalmazó zárt felület, amelynek térfogata V. Az A

d j



F felület menti integrál értéke a térrészből kiáramló (negatív érték esetén beáramló) extenzív mennyiség értékét adja másodpercenként. Az integrál értékét osztva

V térfogattal a kiáramlás gyorsaságának térfogategységre jutó értékét kapjuk. A térrészt az r₀ pontra „zsugorítva” jutunk a pontbeli divergenciához, ami lokális jellemző:

 

V

Ez a formula összefügg a Gauss–Osztrogradszkij-tétellel, amely szerint a fenti mennyiségek között fennáll, hogy jdA div jdV

V

F





^{ .}

Példák:

Ha folyadék áramlását vizsgáljuk, akkor ^{r  j}

 

^r a felületi tömegáramsűrűség-függvény.

Ha F zárt felület az áramlási térben, akkor az jdA



F felületmenti integrálérték a

tér-részből kiáramló (negatív érték esetén beáramló) folyadék tömegét adja másodper-cenként.

Ha a hő konduktív terjedését vizsgáljuk, akkor ^{r  j}

 

^r a felületi hőáramsűrűség-függvény. Ha F zárt felület, akkor az jdA



F felület menti integrálérték a térrészből kiáramló (negatív érték esetén beáramló) hőt adja másodpercenként (vagyis a hőteljesítményt). Az előjeltől függően hűl, illetve melegszik a térrész.

Ha az elektromos vezetést vizsgáljuk, akkor r  j

 

r a felületi elektromos töltésáram-sűrűség-függvény. Ha F zárt felület, akkor az jdA



F felület menti integrál értéke a térrészből kiáramló (negatív érték esetén beáramló) töltésmennyiséget adja másodper-cenként (vagyis az áramerősséget).

A j felületi áramsűrűség származhat a megfelelő intenzív mennyiség inhomogenitásából (erre előbb több példát is adtunk a gradiens fogalmához kapcsolódóan) és a közeg mozgásából. Az előbbi esetben konduktív (vezetéses), az utóbbi esetben konvektív áramról beszélünk. Képlettel:

y grad L v

j   ,

ahol_ v a konvektív áramsűrűség; v a közeg áramlási sebessége; Lgrady konduktív (vezetéses) áramsűrűség; L a vezetési tényező. A konvektív tag az áramlási sebességgel, a konduktív tag az extenzív mennyiség gradiensével arányos.

A kontinuitási egyenlet a konvektív és a konduktív áramsűrűség figyelembevételével:



^{v L grady}



div

t q   

 .

Példaként tekintsük a hővezetés általános egyenletét (a hőmérséklet-eloszlást leíró egyenlet) szilárd test esetén (ekkor nem kell számolunk a közeg mozgásával, azaz

0 v  ):

c q T 1 a

tT 



 







 ,

ahol: az a együttható a hőmérséklet-vezetési tényező;  az ún. Laplace-operátor:

2 z zz 2 y

yy 2 x

xxT T T

T grad div

T    

 . (A hővezetés általános egyenlete az általános

kontinuitási egyenletből vezethető le.)

Az általános hővezetési egyenlet egyszerűbb formát ölt, ha további feltételezéseket teszünk:

 ha a test hőforrásmentes (q=0), akkor a Fourier-egyenletet kapjuk: _tT aT,

 ha a hőmérsékletmező időben állandó (stacioner), akkor a Poisson-egyenletet kapjuk: T 1q0

 

 ,

 ha a test hőforrásmentes és a hőmérsékletmező időben állandó, akkor a Laplace-egyenletet kapjuk: T 0.

Fontos példa a diffúzió (tömegáramlás). Amennyiben nincs tömegforrás, a kontinuitási egyenletből kiindulva a Fick-egyenlet kapjuk:



^grad



⁰

div

tD  

 vagy _t D, ahol: D a diffúziós tényező.

Érdemes összehasonlítani a Fourier-és a Fick-egyenlet, amiből kiderül, hogy a hővezetés és a diffúzió hasonló jelenségek, az egyenletük matematikailag megegyezik.

Ha a tömegtranszportot abban az esetben vizsgáljuk, amikor a konduktív áram elhanyagolható a konvektívhez képest, a Reynolds-egyenletet kapjuk:



^v



⁰

tdiv 

 .

Rotáció

A v:I differenciálható vektormező r₀I helyen vett rotációja:

     

A rotáció kiszámítására utaló szimbolikus jelölés:



A rotáció a vektormező örvényességével függ össze. Tekintsük például egy r v

 

r sebességmezőt, legyen F az r₀ helyet a belsejében tartalmazó felület az áramlási térben, amelynek felülete A, továbbá legyen az F felületet határoló zárt görbe G. Ekkor az vdr

G



görbe menti integrál értékét a vetormezőnek a görbére vonatkozó cirkulációjának nevezzük. A felületet az r₀ pontra „zsugorítva” lokális jellemzőhöz, a pontbeli rotációhoz („lokális cirkulációhoz”) jutunk:

A

Az áramlási tér (sebességtér) egy pontjában számított rotációnak szögsebesség jelentése van. Ha a rotáció nem nulla r₀-ban, akkor az r₀ hely környezetében a közeg forgómozgást végez, amelynek szögsebessége rotv(r )

2

1 0



 .

Szokás bevezetni a (_x,_y,_z) nablaoperátort (más néven Hamilton-operátort), amellyel a fenti differenciáloperátorok könnyen felírhatók, és az ezeket tartalmazó egyenletek könnyebben kezelhetők. A gradiens-, a divergencia-, a rotáció- és a derivált mátrix szimbolikus jelölése a nablaoperátorral:

f

3.7 Primitív függvény; potenciálfüggvény

A számolásokban (pl. integrálok kiszámítása, differenciálegyenletek megoldása) nagy

függvény-e, és ha igen, akkor hogy melyik függvényé. Ez a kérdés bármely függvénytípusnál felvetődik, amelynek differenciálásáról beszéltünk.

Az egyváltozós függvények körében egy F:I függvényről akkor mondjuk, hogy az f:I függvénynek primitív függvénye, ha F differenciálható az I intervallumon, és

) x ( F ) x (

f   minden xI esetén. Jelölés: ^F



^f.

Az integrálfüggvény tulajdonságaiból azonnal adódik, hogy intervallumon értelmezett folytonos függvénynek létezik primitív függvénye. A primitív függvény megtalálása általában igen nehéz, egyes esetekben nem is írható fel elemi függvényekkel. Például a valószínűségszámításban fellépő egyes eloszlásfüggvényekre nem létezik elemi függvényekkel felírható képlet, pedig a derivált függvényük (a sűrűségfüggvény) ismert.

Az ilyen eloszlásfüggvények közelítő értékeiket táblázatból kell kikeresni.

Ha F primitív függvénye f-nek, akkor az F+c függvény is primitív függvénye f-nek bármely c valós szám esetén, így ha egy függvénynek van primitív függvénye, akkor végtelen sok primitív függvénye van, ezek azonban legfeljebb konstansban térhet el egymástól. Egy függvény primitív függvényeinek halmazát a függvény határozatlan integráljának nevezzük.

A vektorterekkel kapcsolatban alapvető kérdés, hogy potenciálos-e. Ha egy r v(r) vektormező esetén létezik olyan r u(r) skalármező, amelyre v(r)gradu(r), akkor az

) r ( v

r  vektormezőt potenciálosnak, az r u(r) függvényt potenciálfüggvénynek nevezzük.

Igazolható, hogy a potenciálos vektorterekben a rotáció azonosan nulla, és ezzel összefüggésben a cirkuláció bármely zárt görbére nulla. Ha egy erőteret potenciálos vektormező ír le, akkor azt konzervatív erőtérnek nevezzük. A konzervatív erőterek esetén azt szoktunk hangsúlyozni, hogy az erőtér munkája (cirkuláció) nem függ az anyagi pont mozgásának pályájától, csak annak kezdő- és végpontjától. Konzervatív például a gravitációs erőtér, az elektrosztatikus erőtér, a rugóerőtér, és általában minden homogén, illetve centrális erőtér. A konzervatív erőterekben az anyagi ponthoz – a hely függvényében – potenciális (helyzeti) energia rendelhető, ami a mechanikai energia egyik összetevője a mozgási energia mellett.

Példa:























z z 3

2 2

ye z 2

e y x 2

y x 3 ) r (

v . Mivel az r rotv(r) függvény azonosan nulla, a vektormezőnek

létezik u potenciálfüggvénye.

A keresett r u(r) potenciálfüggvénynek teljesítenie kell az alábbi egyenlőségeket:

2 xu(r) 3x2y .

I   , II. _yu(r)2x³ye^z, III. _zu(r)2zye^z.

I.-ből x szerinti integrálással: u(x,y,z)x³y²g(y,z), ahol g egyelőre ismeretlen függvény. u ezen formáját II.-be helyettesítve: 2x³y_yg(y,z)2x³ye^z, amiből

) z ( h ye ) z , y (

g   ^z  , így u(x,y,z)x³y²ye^z h(z), ahol h egyelőre ismeretlen függvény.

u ezen formáját III.-ba helyettesítve: ye^z _zh(z)2zye^z, amiből h(z)z² C. Mindezek alapján u(x,y,z) x³y²ye^z z²C, ahol C tetszőleges valós szám.

Példa:

Pontszerű M tömeg által keltett gravitációs tér térerőssége, ha a vonatkoztatási pont a

tömegpont helye: _



erőtér potenciálfüggvénye: _

 (a -1 szorzó a fizikai fogalmak definíciójából adódik). Egy m tömegpont potenciális energiája az r helyen: U_grav(r)u_grav(r)m[N].

Példa:

Pontszerű Q töltés által keltett elektrosztatikus tér térerőssége, ha a vonatkoztatási pont a töltés helye:     _^ _^

 . Az erőtér potenciálfüggvénye:

 definíciójából adódik). Egy q töltés potenciális energiája az r helyen:

]

4. INTEGRÁLÁS

4.1 Integrálra vezető problémák

A műszaki számításokban gyakran találkozunk azzal, hogy mennyiségek értékei úgy állnak elő, hogy egy függvény értékét szorozzuk az értelmezési tartománya egy részhalmazának mértékével, például a tömeget úgy kapjuk meg, hogy a térfogati tömegsűrűséget szorozzuk a test által kitöltött térrész térfogatával. Ezek az esetek vezetnek az integrál fogalmához.

Az egyszerű szorzás csak akkor alkalmazható, ha a függvény értéke állandó az adott halmazon. Egyébként úgy kell eljárnunk, hogy a szorzatokat alkalmasan megválasztott (ez eredeti halmaz ún. felosztásával előálló) részhalmazokon számítjuk ki, a szorzatokat összeadjuk, megkapva így a mennyiség egy közelítő értékét. Az elméleti pontos értékhez egyfajta határértékként jutunk úgy, hogy a felosztást finomítva megfigyeljük a közelítő összegek viselkedését.

A műszaki számításokban előforduló integrálok kiszámítását az ⁿ típusú, folytonos, korlátos függvények integráljára alapozzuk: például a komplex és a vektor értékű függvények integráljait, az improprius integrálokat, a görbe menti és a felület menti integrálokat, bizonyos feltételek mellett, erre vezethetjük vissza.

A példáink elsősorban az alábbi problémakörökhöz kapcsolódnak:

1. Mennyiség adott időtartam alatti megváltozásának kiszámítása az idő szerinti változási gyorsaságból.

Ha egy mennyiség idő szerinti változási gyorsasága ([~/s] dimenziójú) mérhető vagy számítható, időben állandó érték, akkor a mennyiség megváltozása a változási gyorsaság és az eltelt idő szorzata. Például a mozgások vizsgálatánál bizonyos esetekben a gyorsulás határozható meg a körülményekből, ami a sebesség változási gyorsasága; egy áramkörben mért áramerősség a vezető egy keresztmetszetén átáramlott töltésmennyiség változási gyorsasága.

2. Extenzív mennyiség összértékének meghatározása egy tartományon a sűrűségfüggvény ismeretében.

Ha egy tartomány pontjaiban ismert egy mennyiségnek egy tartomány egységnyi részére (pl. egységnyi hosszra, területre, térfogatra) vonatkoztatott értéke (sűrűsége), és a sűrűség értéke a tartományon belül állandó, akkor a mennyiség összértéke a sűrűség és a tartomány mértékének szorzata. A leggyakrabban előforduló sűrűség jellegű mennyiségek a tömegsűrűség, az elektromos töltéssűrűség, az erősűrűség (nyomás), az

energiasűrűség, a fluxussűrűség, de bármely extenzív mennyiség sűrűségéről beszélhetünk.

3. A munka kiszámítása.

Itt egyrészt az erőtér munkájának kiszámításával foglalkozunk, miközben egy pontszerű test befut egy pályát az erőtérben (görbe menti integrál), másrészt a gázok tágulási munkájának meghatározásával.

4. Adott felületen „átmenő” fluxus kiszámítása.

Itt az erőterekkel és az áramlási terekkel foglalkozunk: adott felülethez meghatározzuk a rajta áthaladó erővonalak, illetve áramvonalak számát.

5. Geometriai jellemzők kiszámítása.

Például: terület, térfogat, ívhossz, felszín.

6. Nyomatékok kiszámítása.

Például: statikai (elsőrendű) nyomaték, tehetetlenségi (másodrendű) nyomaték.

A következő táblázat néhány példát (szorzási szabályt) mutat ezen kategóriákból.

A változási gyorsaságon alapuló számítások

Itt a tartomány időintervallum, mértéke az időtartam: t , [s].

Mennyiség változási gyorsasága A mennyiség megváltozása t idő alatt (állandó változási gyorsaság esetén) pályasebesség: v , _



 



 s

m a pályakoordináta megváltozása:

t v s 

 , [m]

sebességvektor: v, _



 



 s

m a hely vektor megváltozása (elmozdulás):

t v r  

 , [m] pálya menti gyorsulás: a, _



 



 s2

m a pálya menti sebesség megváltozása:

t a v 

 ,



 s m

gyorsulásvektor: a , _



 



 s2

m a sebesség vektor megváltozása:

t a v  

 , _



 



 s m

áramerősség: I, 

 



  s

A C átáramlott töltésmennyiség:

t I Q 

 , [C] teljesítmény: P, _



 



 W s

J leadott energia:

t P E 

 , [J]

A vonalmenti sűrűségen alapuló számítások

Itt a tartomány görbedarab (speciálisan lehet szakasz), mértéke ívhossz: s, [m].

Sűrűség Mennyiség összértéke (állandó sűrűség esetén) vonal menti tömegsűrűség: _tömeg, 

 m

kg tömeg:

s m_tömeg , [kg] vonal menti töltéssűrűség: _töltés, _



 



 m

C töltés:

s Q _töltés , [C] vonal menti erősűrűség: f, 



 



 m

N eredő erő:

s f

F   , [N] A felületi sűrűségen alapuló számítások

Itt a tartomány felületdarab, mértéke a felszín: A, [m²].

Sűrűség Mennyiség összértéke (állandó sűrűség esetén) felületi tömegsűrűség: _tömeg, _



 



 m2

kg tömeg:

A m_tömeg , [kg] felületi töltéssűrűség: _töltés, 



 



 m2

C töltés:

A Q_töltés , [C] felületi erősűrűség (nyomás): p, [Pa] erő:

A p

F  , [N] fluxussűrűség (vektormező):  fluxus:

A cos

A   









 A térfogati sűrűségen alapuló számítások

Itt a tartomány térrész, mértéke a térfogat: V, [m³].

Sűrűség Mennyiség összértéke

(állandó sűrűség esetén) térfogati töltéssűrűség:

töltés

 , 



 



 m3

C töltés:

V Q_töltés  , [C] térfogati tömegsűrűség:

tömeg

 , 



 



 m3

kg tömeg:

V m_tömeg , [kg] térfogati energiasűrűség:

energia

 , 



 



 m3

J tömeg:

V E _energia ,

 

^J

Egyéb számítások

Mennyiség A tartomány mértéke Szorzat erő (vektor): F, [N] elmozdulás: r, [m] az erő munkája:

r F

W  , [J] nyomás: p, [Pa] térfogatváltozás: V, [m³] (izobar) munkavégzés:

V p

W  , [J] magasság: d, [m] hossz: x, [m] terület:

x d T  

 , [m²] magasság: d, [m] terület: T, [m²] térfogat:

T d V  

 , [m³]

4.2 Jordan-mérték; halmaz felosztása

A klasszikus műszaki problémák tárgyalásához megfelelő a Riemann integrál fogalma, ami a Jordan-mértékhez kötődik. (A matematikában hasznosabbnak bizonyultak a Riemann integrálnál általánosabb integrálfogalmak, például az ún. Lebesgue mértékhez kötődő Lebesgue integrál.)

, ² és ³ korlátos részhalmazai körében a Jordan-mérhetőség megfelel annak, hogy a halmaznak a klasszikus értelemben van hossza, területe, illetve térfogata. Az ⁿ-beli Jordan-mérték fogalma az n-dimenziós intervallumok mértékéből származtatható. Ha az

n 2 1,I ,...,I

I egydimenziós korlátos intervallumok hossza L₁,L₂,...,L_n, akkor az

n 2

1 I ... I

I    n-dimenziós intervallum mértéke (I₁I₂...I_n)L₁L₂...L_n. Először a belső és a külső mérték fogalmát definiáljuk!

Ha a D ⁿ korlátos halmaz által tartalmazott B₁,B₂,...,B_k n-dimenziós intervallumok esetén bármely kettőre fennáll, hogy nincs közös belső pontjuk, akkor a ^k (B)

1 i



i



 összeget a D-hez tartozó belső összegnek nevezzük. Ha D ⁿ korlátos halmaz, a K₁,K₂,...,K_k n-dimenziós intervallumokra



^k

1 i Ki

D



 , továbbá bármely kettőre fennáll, hogy nincs közös belső pontjuk, akkor a ^k (K)

1 i



i



 összeget a D-hez tartozó külső összegnek nevezzük.

Egy D ⁿ korlátos halmaz belső mértékén a D-hez tartozó belső összegek halmazának pontos felső korlátját (szuprémumát), külső mértékén a D-hez tartozó külső összegek halmazának pontos alsó korlátját (infinumát) értjük. Továbbá D-t Jordan-mérhetőnek nevezzük, ha a belső mértéke egyenlő a külső mértékével. Ezt a közös értéket a D Jordan-mértékének nevezzük.

Az ⁿ típusú függvények Riemann-integrálját ⁿ Jordan-mérhető részhalmazain értelmezzük. Az integrál definiálásakor használjuk az ilyen halmazok felosztásának fogalmát. Jordan-mérhető halmazok



D₁,D₂,...,D_k



rendszerét a D ⁿ Jordan-mérhető halmaz felosztásának nevezzük, ha az egyesítésük (uniójuk) kiadja D-t, továbbá bármely kettőre fennáll, hogy nincs közös belső pontjuk.

Egy D ⁿ halmaz átmérőjén az elemei távolságának pontos felső korlátját értjük:

| y x

| sup ) D ( diam

D y ,

x 



 . Egy D ⁿ halmaz D=



^D₁^,D₂^,...,D_k



felosztásának finomsága a szereplő halmazok átmérőinek maximuma: finomság(D)=maxdiam(D_i)

i .

Egy D ⁿ halmazhoz tartozó, minden határon túl finomodó felosztássorozaton a D felosztásainak olyan D1,D2,… sorozatát értjük, melyre





klim (finomság(Dk))=0.

4.3 Integrálközelítő összegek

Ebben a részben – az előbb bemutatott problémákhoz kapcsolódóan – néhány példát mutatunk integrálközelítő összegre. Ahhoz, hogy a műszaki összefüggésekben szereplő integrálokat „értsük”, mindenekelőtt azzal kell tisztában lennünk, hogy ezek mögött milyen integrálközelítő összegek vannak, illetve hogy ezek milyen alapösszefüggésekből származnak. Az integrálokkal kapcsolatos elméleti megfontolások és az integrálok kiszámításának különböző lehetőségei ebből a szempontból nem annyira lényegesek.

1. Pályakoordináta megváltozásának kiszámítása a pályamenti sebességből

Rögzített pályán mozgó anyagi pont pályasebessége a [t_A,t_B] időtartamon a t v(t) függvény szerint alakul. Írjuk fel közelítőleg a pályakoordináta értékének megváltozását!

A [t_A,t_B] időintervallum felosztása legyen t_A t₀ t₁ t₂ ... t_n t_B. Minden részintervallumban válasszunk egy időpillanatot: t₀ ₁ t₁ ₂ t₂ ... _n  t_n.

Ha a [t_i1,t_i] részintervallumokban állandó v(_i) sebességet feltételezünk, akkor a pályakoordináta értékének a mozgás során bekövetkező megváltozása közelítőleg (integrálközelítő összeg):







  























 ⁿ

1

i i i

n 1

i i i i 1

n 1

i si v( ) (t t ) v( ) t s

A hely megváltozásának pontos értékét a ^{ }



^b

a

t t

dt ) t ( v

s integrál adja.

2. Az energiaváltozás kiszámítás a teljesítményből

Egy rendszer energialeadása a [t_A,t_B] időintervallumon a t P(t) függvény szerint alakul. Írjuk fel közelítőleg a leadott energia értékét!

A [t_A,t_B] időintervallum felosztása legyen t_A t₀ t₁ t₂ ... t_n t_B. Minden részintervallumban válasszunk egy időpillanatot: t₀  ₁ t₁  ₂ t₂ ..._n t_n.

Ha a [t_i1,t_i] részintervallumokban állandó P(_i) teljesítményt feltételezünk, akkor a leadott energia közelítőleg (integrálközelítő összeg):







  























 ⁿ

1

i i i

n 1

i i i i 1

n 1

i Ei P( ) (t t ) P( ) t E

Az energiaváltozását pontos értékét a ^{ }



^b

a

t t

dt ) t ( P

E integrál adja.

3. A tágulási munka kiszámítása a p-V diagramból

Zárt térrészben lévő gáz V_A térfogatról V_B térfogatra tágul. A folyamat során a gáz nyomását a térfogat függvényében a Vp(V), V



V_A,V_B



függvény írja le. Határozzuk meg a gáz által végzett tágulási munkát a folyamat során!

A [V_A,V_B] intervallum felosztása legyen V_A  V₀ V₁ V₂ ... V_n  V_B. Minden részintervallumban válasszunk egy térfogatértéket: V₀ ₁  V₁  ₂  V₂ ..._n V_n. Ha a [V_i1,V_i] részintervallumokban állandó p(_i) nyomást feltételezünk, akkor a munkavégzés közelítőleg (integrálközelítő összeg):







  























 ⁿ

1

i i i

n 1

i i i i 1

n 1

i Wi p( ) ( ) p( ) V

W .

A tágulási munka pontos értékét a ^



^b

a

V V

dV ) V ( p

W integrál adja.

4. Vezető keresztmetszetén átáramlott töltésmennyiség kiszámítása az áramerősségből Egy vezető adott keresztmetszetén mért áramerősség a [t_A,t_B] időintervallum alatt

) t ( I

t , t_A t t_B függvény szerint alakul. Írjuk fel a keresztmetszeten átáramlott töltésmennyiség közelítő értékét!

A [t_A,t_B] időintervallum felosztása legyen t_A t₀ t₁ t₂ ... t_n t_B. Minden részintervallumban válasszunk egy időpillanatot: t₀  ₁ t₁  ₂ t₂ ..._n t_n.

Ha a [t_i1,t_i] részintervallumokban állandó I(_i) áramerősséget feltételezünk, akkor az átáramlott töltésmennyiség közelítőleg (integrálközelítő összeg):







  























 ⁿ

1

i i i

n 1

i i i i 1

n 1

i Qi I( ) (t t ) I( ) t

Q .

A töltésmennyiség pontos értékét a ^{ }



^b

a

t t

dt ) t ( I

Q integrál adja.

5. Eredő erő kiszámítása vonal mentén megoszló, párhuzamos erőrendszer esetén Egy egyenes tartót a tartóra merőleges megoszló erőrendszer terhel. A tartó [a,b] szakaszán a vonal menti erősűrűség az xf(x), ^x

 

^a,b függvény szerint alakul. Írjuk fel az erőrendszer eredőjének közelítő értékét!

Az [a,b] intervallum felosztása legyen ax₀ x₁ x₂ ...x_n b. Minden részintervallumban válasszunk egy helyet: x₀  ₁ x₁  ₂ x₂ ..._n  x_n.

Ha az [x_i1,x_i] részintervallumokban állandó f(_i) erősűrűséget feltételezünk, akkor az erőrendszer eredője közelítőleg (integrálközelítő összeg):







  



















 ⁿ

1

i i i

n 1

i i i i 1

n 1

i Fi f( ) (x x ) f( ) x

F .

Az eredő erő pontos értékét a ^b



a

dx ) x ( f

F integrál adja.

6. Síkidom területe

A fenti példákban megfigyelhetjük, hogy az integrálközelítő összegek felírásakor egy függvény értékeit szoroztuk intervallumok hosszával. Ezeket a szorzatokat előjeles

fogalmazni, hogy az érték „függvény alatti területként” adódik: például a gáz által végzett tágulási munka a „p-V diagram alatti területtel” egyenlő.

Természetesen akkor is hasonló integrálközelítő összeget kell felírnunk, ha valóban területet kell számolnunk. Ha egy olyan síkidommal van dolgunk, amit egy nemnegatív f:[a,b] függvény határoz meg úgy, hogy a síkidomot „egyik oldalról” a függvény grafikonja (görbedarab), „másik oldalról” az [a,b] intervallum, többi oldalról a tartományt lezáró függőleges vonalak határolnak, akkor a síkidom területének (a függvény alatti területnek) a közelítő értékét az alábbiak szerint kapjuk:

Az [a,b] intervallum felosztása legyen ax₀ x₁ x₂ ...x_n b. Minden részintervallumban válasszunk egy helyet: x₀  ₁ x₁  ₂ x₂ ..._n  x_n.

Ha az [x_i1,x_i] részintervallumokban állandó f(_i) függvényértéket feltételezünk, akkor a terület közelítőleg (integrálközelítő összeg):







  



















 ⁿ

1

i i i

n 1

i i i i 1

n 1

i Ai f( ) (x x ) f( ) x

A .

A terület pontos értékét az ^b



a

dx ) x ( f

A integrál adja.

7. Forgástest térfogata

Testek térfogatának számítása is integrálközelítő összeg felírásán alapszik. Abban a speciális esetben, amikor a test egy nemnegatív értékű xf(x), ^x

 

^a,b függvény x tengely körüli megforgatásával keletkező forgástest, akkor a térfogata az alábbiak szerint

Testek térfogatának számítása is integrálközelítő összeg felírásán alapszik. Abban a speciális esetben, amikor a test egy nemnegatív értékű xf(x), ^x

 

^a,b függvény x tengely körüli megforgatásával keletkező forgástest, akkor a térfogata az alábbiak szerint

In document Matematika (Pldal 37-58)