S ZÁMOLÁS VÁLTAKOZÓÁRAMÚ HÁLÓZATOKBAN

1 n ,..., 2 , 1 , 0 k n ,

k 2 sin n n i

k 2 cos n r ) sin i (cos

r ⁿ

n   



 



 



 



  







 



  















Komplex exponenciális függvény

Az exponenciális alak a komplex exponenciális függvénnyel van felírva, amely az



^





0 n z n

! n

e z , z

hatványsorral van definiálva.

Ha a z komplex változó (kitevő) helyett az x valós változó szerepel, akkor a valós exponenciális függvényt kapjuk: ^{ex }



_n^_0^{(xn/n!), x} . Tisztán képzetes kitevő esetén a függvényértékek komplexek, amelyekben (a képzetes tengely irányában) 2 szerinti periodikusság mutatkozik. A periodikusság jól látható az e^i cosisin Euler-formulából, mely a tisztán képzetes kitevőjű exponenciális és a valós szinusz- és koszinusz függvények közti összefüggés. Érdekes a = esetén adódó e^i10 összefüggés az alapvető matematikai konstansok között.

A szorzás, osztás és a pozitív egész kitevős hatványozás exponenciális alakban:

, e

r r e r e

r₁ ^i1  ₂ ^i2  ₁ ₂ ^{i(12)} e , r

r e r

e

r i( )

2 1 i 2

i

1 1 2

2

1 







  







^rei



^{n rnei(n)}

(n pozitív egész szám).

2.3 Számolás váltakozóáramú hálózatokban

Az elektromosságtanban feltételezzük, hogy az ún. passzív áramköri elemekből (ohmos ellenállásból, kondenzátorból és tekercsből) álló rendszerek lineárisak, így teljesül a szuperpozíció elve. A linearitás, valamint a Fourier-elmélet alapján megállapítható, hogy a periodikus időfüggvényű feszültséggenerátorok (ill. áramgenerátorok) felfoghatók harmonikus (szokásos szóhasználattal élve: szinuszos) időfüggvényű feszültséggenerátorok (ill. áramgenerátorok) soros kapcsolásaként. Ennek alapján a periodikusan gerjesztett, csak passzív elemeket tartalmazó áramkörök vizsgálata a harmonikus gerjesztésű rendszerek elemzésén alapul.

Az elektromosságtanból tudjuk, hogy a passzív áramköri elemek feszültsége és árama színuszos gerjesztés esetén az alábbiak szerint függ össze (az egyszerűbb áttekinthetőség érdekében a feszültségfüggvény esetén nulla fázisszöget feltételezünk).

Ellenálláson (R)

Feszültség ^u(t)^U0^sin(^t)

Áramerősség sin( t)

R ) U t sin(

I ) t (

i  ₀   ⁰   R

/ U I₀  ₀ Fáziseltolódás =0 Kondenzátoron (C)

Feszültség ^u(t)^U0^sin(^t)

Áramerősség ^



 



  













 



  



 U C sin t 2

t 2 sin I ) t (

i _{0 0}

C U I₀  ₀ Fáziseltolódás

2

 

 , az áram „90°-kal siet” a feszültséghez képest

Tekercsen (L)

Feszültség ^u(t)^U0^sin(^t)

Áramerősség ^



 



 







 

 



 



 









 sin t 2

L U t 2

sin I ) t (

i ₀ ⁰

) L /(

U I₀  ₀  fáziseltolódás

2





 , az áram „90°-kal késik” a feszültséghez képest

A váltakozóáramú hálózatokban végzett számítások szempontjából fontos megjegyezni, hogy míg ohmos ellenállás esetén a feszültség és az áramerősség pillanatnyi értékeinek hányadosa bármely időpillanatban megegyezik az egyenáramú ellenállással



 



  

0 0

I U ) t ( i

) t (

R u , addig a kondenzátor és a tekercs esetén ez a hányados az  körfrekvencia függvénye, és nem hordoz közvetlen fizikai jelentést.

Számolások egyszerűsítése végett a váltakozóáramú hálózatokban a feszültséget és az áramerősséget komplex értékű függvényekkel írjuk le (az idő függvényében). E függvények hányadosa az időtől független állandó, a komplex impedancia, vagy másképpen komplex váltakozóáramú ellenállás.

A komplex függvények alkalmazásának egyik előnye, hogy az egyenáramú körökben használt összefüggések (pl. a Kirchhoff-törvények) érvényben maradnak. Az alábbiakban összefoglaljuk a számításokban előforduló komplex értékű függvényeket és ezek összefüggéseit.

A feszültség–idő függvény leírása komplex formában

Ebben a részben a képzetes egységet j, a mennyiségek komplex értékeit ~ jelöli.

A feszültség időbeli változását leíró u(t)U₀sin(t_U) függvény az



U U



0 ^{j( t )}

0 cos( t ) j sin( t ) U e ^U

U ) t (

~u            

az ún. komplex feszültségfüggvény képzetes része: ^u(t)Im

 

^~u(t).

Ahhoz, hogy a _U fázisszög (konstans) és az időtől függő t tag szerepét megkülönböztessük, az exponenciális kifejezést szétbontjuk:

. e U~ e

e U e

U ) t (

~u j t

t 0 j j

) 0 t (

0 j ^U   ^U     

 Az ~U₀ U₀ e^j_^U



 komplex számot a feszültségfüggvény komplex amplitúdójának nevezzük. Mivel e^jU 1, a komplex amplitúdó nagysága megegyezik az U₀ valós amplitúdóval (maximális feszültséggel), emellett tartalmazza a _U fázisszöget is.

Az áramerősséghez ugyanezen az elven rendelünk komplex függvényt: az )

t sin(

I ) t (

i  ₀  _I függvény szerint változó áramerősséghez rendelt komplex áramerősség-függvény:



cos( t ) j sin( t )



I e .

I ) t (

~i j( t )

0 I I

0         ^I



A valós áramerősség-függvény a komplex áramerősség-függvény képzetes része:

 

^~i(t)

Im ) t (

i  . Az áramerősség-függvény komplex amplitúdója: ~I₀ I₀ e^j_^I



 , ezzel .

e

~I e

e I e

I ) t (

~i _{j t}

t 0 j j

) 0 t (

0 j ^I   ^I     



A fentiek alapján a komplex amplitúdó nagysága megegyezik az I₀valós amplitúdóval (maximális áramerősséggel), emellett tartalmazza a  fázisszöget is.

A komplex feszültség- és áramerősség-értékek a komplex számsíkban vektorokként ábrázolhatók, amelyek harmonikus gerjesztés esetén  szögsebességgel egyenletes körmozgást végeznek az origó körül. A vektorok által bezárt szög a feszültség és az áramerősség fázisának eltérése.



 U0

I0

Re Im

) t (

~i

) t (

~u

U0 I0

) t ( i

) t ( u

2.4. ábra: Komplex feszültség- és áramfüggvények Impedancia

Egy passzív áramköri elem impedanciája az elem komplex feszültség- és áramerősség-amplitúdójának hányadosa:

. I e

U e

I e U

~I U~

Z~ j( )

0 0 j

0 j 0 0

0 U I

I

U  







  



 



Az impedancia tehát a feszültség és az áramerősség maximális értékétől, valamint a fázisszögek eltérésétől függ. A három áramköri elem esetén, a fentiek alapján:

Áramköri

elemek ^UI

) ( j 0

0 e U I

I Z U

~ _{ }





0 0

I Z U

Ellenállás 0 ~Z R e_j0 R

R   ^  R

Kondenzátor

2

 j X j

C e 1

C Z 1

~ j2 C

C    







 

 





C 1



 Tekercs

2

  ~Z L e L j X j

2 L j

L        

 L

Megjegyzések

1. A komplex impedancia ohmos ellenállás esetén pozitív valós szám, kondenzátor és tekercs esetén tisztán képzetes (negatív, illetve pozitív előjellel).

2. Az ellenállás impedanciája nem függ az  gerjesztési körfrekvenciától, míg a kondenzátoré csökken, a tekercsé pedig növekszik az  növekedtével. Emiatt különböző gerjesztési frekvenciákra egy adott áramkör másképpen reagál.

3. A kondenzátor és a tekercs impedanciájának nagyságát látszólagos ellenállásnak is hívjuk.

A valós impedancia a komplex impedancia nagysága:

I . e U

I e U

I Z U Z ~

0 ) 0 ( j 0 ) 0 ( j 0

0  U I   U I 



 ^{   }

A komplex feszültség- és áramerősség-amplitúdókkal érvényes az Ohm törvény és a Kirchhoff-törvények:

Ohm-törvény: ~ ~ ~.

0

0 I Z

U   Csomóponti törvény: ~ ~0.

0 



n

I n

Huroktörvény: ~ ~0.

0 



n

U n

L





C 1



 

 

^~z

C Im

L 1 









 

^~Z

Re R 

~Z

 _{valóstengely}

tengely képzetes

2.5 ábra: Ellenállás, kondenzátor, tekercs impedanciája

Soros és párhuzamos kapcsolásnál a komplex impedanciákra érvényesek az egyenáramú körökben is használ összefüggések. Sorosan kapcsolt, ₁ ~Z_n

,...,

~Z

impedanciájú elemek eredő impedanciája:

. soros 1

,

eredő   

Párhuzamosan kapcsolt, ₁ ~Z_n ,...,

~Z

impedanciájú elemek eredő impedanciájára:

n párhuzamos 1

,

Ha a kapcsolás ellenállás mellett kondenzátort és/vagy tekercset is tartalmaz, akkor eredő impedancia valós és képzetes részt egyaránt tartalmaz. Az összetevőket a komplex számsíkban ábrázolva jól látható az egyes impedanciák hatása az eredőre (2.5 ábra).

Soros RC kapcsolás esetén például az alábbiak szerint alakulnak a függvények és összefüggések:

Generátorfeszültség:

 valós feszültségfüggvény: u_g(t)U_g0sin(t);

 komplex feszültségfüggvény: u~_g(t)U_g0e^jt;

 komplex feszültségamplitúdó: U~ U .

0 g 0

g 

Eredő impedancia:

C .j

 komplex áramerőssé amplitúdó: ;

C j

 valós áramerősség-amplitúdó: ;

C

 komplex áramerősség-függvény:

 generátor-feszültséghez képest (kapacitív jellegű kapcsolás);

 valós áramfüggvény: Az áramköri elemek feszültsége

 komplex feszültségamplitúdók: R,

C j

 komplex feszültségfüggvények:





 , így a kondenzátor feszültsége

„90°-kal késik” az áramához képest: ^

 valós feszültségfüggvények:

 

^



^{ }



^

In document Matematika (Pldal 20-27)