5. FOURIER‐ANALÍZIS
5.3 F OURIER ‐ TRANSZFORMÁCIÓ
t ) ( f
) t ( g
t
0
d ) t ( g ) ( f ) t )(
g
* f
( t
g
*
f (f*g)(t)
5.4 ábra: Konvolúció
5.3 Fourier-transzformáció
5.3.1 Fourier-integrál; Fourier-transzformált Egy f: integrálható függvény Fourier-integrálja
FI
fˆ( ) e d )
t (
f i t , t ,
ahol
t
t
i dt
e ) t ( 2 f
) 1 (
fˆ , .
A fˆ: függvényt az f függvény Fourier-transzformáltjának, az fˆ meghatározását Fourier-transzformációnak nevezzük. Az fˆ Fourier-transzformált ismeretében a Fourier-integrál előállítja az f függvény. Ezt a számolást inverz Fourier-transzformációnak nevezzük.
Megjegyzések:
1. A t és váltózók arra utalnak, hogy a műszaki alkalmazásokban ezek idő illetve körfrekvencia jelentéssel bírnak. A két formulából látható, hogy a tf(t) és az
F() függvények egymást meghatározzák, lényegében egy folyamat kétféle leírását jelentik: a tf(t) függvény az időtartománybeli, az F() függvény a frekvenciatartománybeli leírás.
2. Előfordul, hogy a transzformációs integrálok felírásakor a körfrekvencia helyett a frekvenciával számolnak, ekkor nem jelenik meg az
2
1 szorzó a Fourier-transzformáltban.
f
t f
időtartomány
FOURIER-TRANSZFORMÁCIÓ FT f :
INVERZ FOURIER-TRANSZFORMÁCIÓ FT-1fˆ:
frekvenciatartomány
5.5 ábra: A Fourier-transzformáció és az inverz Fourier-transzformáció
Ahogyan azt a Fourier-soroknál is megjegyeztük, a komplex értékű függvényekkel való számolás elkerülése, illetve a Fourier-integrál valós voltának hangsúlyozása érdekében célszerű a formulákat valós trigonometrikus függvények segítségével is felírni. Egy
f: integrálható függvény Fourier-integrálja:
FI
az f függvény koszinusz és a szinusz Fourier-transzformáltjai. Érdemes megjegyezni, hogy páratlan függvény koszinusz Fourier-transzformáltja, ill. páros függvény szinusz Fourier-transzformáltja nulla.
Az Euler formula alapján a transzformáltak összefüggése: fˆ() 21
ˆa()ibˆ()
, ugyanisEzt összevetve a fentiekkel világos, hogy páros függvény Fourier-transzformáltja tisztán valós értékű, páratlan függvény Fourier-transzformáltja tisztán képzetes értékű függvény.
A periodikus függvényekkel kapcsolatos számolások a Fourier-sor segítségével hatékonyan elvégezhetők, de nem alkalmasak a nemperiodikus jelek felbontásra.
Nemperiodikus függvények esetén a Fourier-sor szerepét a Fourier-integrál veszi át. A Fourier-integrál azt mutatja, hogy a nemperiodikus függvények is előállíthatók harmonikus függvények segítségével, de összeadás helyett integrálást kell végezni, és a felbontásban bármely valós körfrekvencia előfordulhat („folytonos” a spektrum), míg a periodikus függvények spektruma csak k0 „diszkrét” körfrekvenciákat tartalmaz.
A Fourier-integrál származtatható úgy, hogy a nemperiodikus függvényeket végtelen hosszú periódusúnak tekintjük, és megfigyeljük a Fourier-együtthatók, valamint a
spektrum viselkedését T esetén. A T periódusidő növekedtével a spektrum egyre
„sűrűbbé”, határértékben „folytonossá” válik.
Példa:
f négyszögjel Fourier-transzformáltja:
A számolást elvégezzük a trigonometrikus függvényeket tartalmazó formulákkal is. A jel szinusz transzformáltja nulla, mivel páros függvény. A jel koszinusz Fourier-transzformáltja:
sin cos(
) 2
A két transzformáltat összehasonlítva jól láthatók a korábban megfogalmazott össze-függések:
10 5 0,10 5 10
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6
5.6 ábra: A valós és a komplex spektrum összehasonlítása Parseval egyenlőség; energiatartalom
Egy nemperiodikus folytonos jelek energiatartalma az idő-, illetve a frekvenciatartományban:
f (t)dt fˆ( ) d 2
1 2
t
2 .
5.3.2 A Fourier-transzformáció néhány alapvető tulajdonsága
Fourier-transzformáció és az inverz Fourier-transzformáció lineáris: ha , , f, g, fˆ és ˆg integrálható függvények, akkor
FT (·f + ·g) = ·FT f + ·FT g, FT -1(·fˆ + ·gˆ) = ·FT -1fˆ + ·FT -1gˆ.
A Fourier-elméletet műszaki szempontból elsősorban a jelfeldolgozás motiválja. A Fourier-transzformációnak a következőkben felsorolt néhány tulajdonsága a jelekkel végzett természetes manipulációk hatását mutatja: egy változás az időtartományban miként jelenik meg a frekvenciatartományban (spektrumban).
Tulajdonságok Időtartomány Frekvenciatartomány
) t ( f
t fˆ() Eltolás az időtartományban t f(tT) fˆ()eiT Eltolás a frekvenciatartományban (moduláció) t f(t)ei0t fˆ(0) A jel lefutási idejének változtatása (skálázás) tf(mt)
fˆ m
| m
| 1
Konvolúció t f(t)*g(t) fˆ()ˆg()
Mivel eiT 1, az időbeli eltolás az amplitúdó spektrumot nem változtatja meg, csak a fázis spektrumot.
A Fourier-és az inverz Fourier-transzformáció formuláját tekintve könnyen felfedezhető a hasonlóság. Ebből adódik, hogy ha egy adott típusú módosítást (például eltolást) hajtunk végre az idő- vagy a frekvenciatartományban, akkor ennek következménye a másik tartományban hasonló lesz. Bár itt nem tárgyaljuk a részleteket, érdemes megjegyezni, hogy a két transzformáció „szimmetriája” olyan formában is megnyilvánul, hogy például periodikus jel spektruma diszkrét („vonalas”), és fordítva: diszkrét (mintavételezett) jel
spektruma periodikus, vagy hogy az időtartománybeli szorzás a frekvenciatartományban szorzásként, és fordítva: az időtartománybeli szorzás a frekvenciatartományban konvolúcióként jelentkezik.
5.3.3 Megjegyzések a jelfeldolgozással kapcsolatban
A Fourier-transzformáció a jelfeldolgozás (például hangfeldolgozás, képfeldolgozás, műszaki rezgésdiagnosztika) alapvető eszköze. A rezgés, illetve hullám formájában keletkező és terjedő jelek (hang, fény, általában a mechanikai és elektromos rezgések) azonosítása, előállítása, rekonstruálása a jel spektrális felbontását (analizálását) igényli.
Adott frekvenciájú és amplitúdójú harmonikus jel előállítása általában egyszerű, a kívánt jel spektrumának ismeretében a jel ilyenek összegével (szuperpozíciójával) előállítható (szintézis).
A Fourier-sor és a Fourier-transzformált fenti fogalma olyan függvények elemzésére alkalmas, melyek értékei ismertek a teljes számegyenesen. A gyakorlatban azonban csak véges sok függvényérték áll rendelkezésre, mivel a megfigyelés (mérés) véges időtartamra korlátozódik, és a mérések között technikai okok miatt meghatározott (pozitív) időtartamnak kell eltelni. A digitális jelfeldolgozásban az időtartományban vett minta alapján (a jelre vonatkozó korlátozott információ alapján) kell a spektrumot a lehető legpontosabban meghatározni.
A diszkrét Fourier-transzformáció (DFT) fogalma és az ehhez kapcsolódó elmélet választ ad arra, hogy miként lehet a technikai eszközök által biztosított feltételek mellett megfelelő eredményre jutni. A diszkrét jelek elemzésekor a gyakorlatban azzal is szembe kell nézni, hogy a számítógépek adatátviteli és számítási sebessége, valamint a tároló kapacitása véges, így az elméletileg megalapozott elemzések számítási igénye jelentősen meghaladhatja a rendelkezésre álló eszközök lehetőségeit. A számítási igény csökkentésére számos algoritmust dolgoztak ki, ezeket gyors Fourier-transzformációként (FFT) emlegetjük.