A szakaszos őrlés vizsgálata

A matematikai leírások sorát a szakaszos őrlésre vonatkozó publikációk nyitották meg, amelyek között a sztochasztikus és a determinisztikus megközelítésűek egyaránt megtalálhatók. A determinisztikus megközelítés négy típusa adható meg a szakaszos őrlés esetén attól függően, hogy az idő és a szemcseméret szerint diszkrétnek vagy folytonosnak tekintjük-e a folyamatot. Az őrlési modellek fizikai származtatása mind a négy esetben lényegében azonos elven alapul. Egy szemcseméretet kiszemelve a szemcseméret-eloszlás – vagy a szemcseméret-sűrűség – idő szerinti változását az idézi elő, hogy némely szemcsék kisebb méretűekre törnek a tekintett méretnél, míg a nagyobb méretű szemcsék közül egyesek a kiszemelt méretűvé törnek. Az őrlés egyik legelismertebb kutatója, Austin szerint az 1940-es évektől számíthatjuk az őrlés matematikai leírásának, modellezésének kezdetét (Austin, 1971/72). Ugyanígy vélekednek erről Reid (Reid, 1965), Berthiaux (Berthiaux, 2000), Kostoglou, Karabelas (Kostoglou & Karabelas, 2002) és sokan mások. Az őrlés matematikai vizsgálata során a kutatások főként az őrlemény összetételének – szemcseméret szerinti szám- vagy tömegeloszlásának – meghatározására irányultak.

Az első sztochasztikus modellt a valószínűségszámítás egyik legnagyobb mestere, Kolmogorov publikálta 1941-ben (Kolmogorov, 1941). A szerző igazolta, hogy ha az őrlést, egymást követő nagyszámú törési eseménynek tekintjük és azt is feltesszük, hogy két egyforma darab keletkezik a törés során, továbbá a szemcsék törésének a valószínűsége – méretüktől függetlenül – egyforma, akkor a szemcsék méret szerinti számának eloszlása aszimptotikusan lognormális eloszlású függetlenül a kezdeti eloszlástól.

Kolmogorov elméleti úton vizsgálta az őrlést, vele ellentétben Brown kísérletek végzésével kezdte az őrlés tanulmányozását. Míg Kolmogorov az ismertetett feltételek mellett 1941-ben azt igazolta, hogy az őrlemény eloszlása aszimptotikusan lognormális eloszlású, Brown ugyanebben az évben cikkében arról számolt be, hogy általánosabb feltételek mellett az őrlemény közelítőleg Rosin-Rammler-eloszlású.

Brown 1941-ben megadott modellje idő szerint diszkrét és méret szerint folytonos determinisztikus modell (Brown, 1941), amely Austin szerint az első ilyen modell volt (Austin, 1971/72). A szerző szénőrlési laboratóriumi kísérletek alapján elsőként állapította meg, hogy az őrlemény eloszlása nagyon jól megközelíti a Rosin-Rammler-féle eloszlást. Ezt követően Brown elméleti szempontból is vizsgálta a folyamatot. A kutató feltételezte, hogy mindegyik méretű szénrög, szemcse ugyanolyan arányban törik mindegyik törési ciklusban, vagyis sem a szén keménysége nem változik jelentősen a mérettől függően, sem olyan tendencia nem érvényesül, amely szerint bizonyos szemcsék jobban törnének másoknál. Kutatómunkája során Brown olyan laboratóriumi kísérleti eredményeket is kapott, amelyek azt sugallták, hogy általánosabb feltételek mellett is gyakran tapasztalható különböző anyagok törésekor az őrlemény Rosin-Rammler-eloszlása. Erre alapozva a szerző megjósolta a Rosin-Rammler-eloszlás használatának elterjedését.

Később, 1947-ben az őrlést determinisztikus folyamatnak tekintve Epstein is arra a következtetésre jutott Kolmogorovtól függetlenül (Epstein, 1947, Epstein, 1948), hogy olyan anyagok törésekor, amikor az alábbi két feltétel – A), B) – teljesül, a

szemcseméret szerinti eloszlás jól közelíti a lognormális eloszlást a kezdeti szemcseméret eloszlástól függetlenül.

A) A törési folyamat bármelyik lépése során bármelyik részecske törési valószínűsége független a részecske méretétől.

B) Egyetlen törési esemény során keletkező részecskék eloszlása független az eltört részecske méretétől abban az értelemben, hogy egységnyi mennyiségű L méretű szemcsék törésekor keletkező, a k⋅L -nél kisebb méretű szemcsék súly szerinti frakciója független az L mérettől, ahol 0≤k≤1 .

Az Epstein által megadott egyenlet azt fejezi ki, hogy az őrlés p-dik állapotában az x-nél kisebb méretű frakció mennyisége megegyezik az előző állapotban x-x-nél kisebb méretű frakció mennyisége és a p-dik állapotban az összes x-nél nagyobb méretű szemcsék közül az x-nél kisebb méretűre törtek mennyisége összegével. Az őrlés p-dik állapotát az őrlés p-dik időpillanatának tekintve, a szerző idő szerint diszkrét és szemcseméret szerint folytonos modellt adott meg.

Az itt szereplő A) feltétel Kolmogorovnál is előfordult, míg a B) feltétel általánosabb Kolmogorov másik kikötésénél, amely szerint két egyforma darabra esik szét a szemcse.

Epstein a törési folyamatot egymást követő törési események sorozatának, míg a méret szerinti változást folytonosnak tekintette. A szerző megjegyezte, hogy mind gyakorlati, mind elméleti szempontból nagyon fontos kérdés, mi történik, ha nem teljesülnek az A) és B) feltételek, ugyanis laboratóriumi kísérletek során a szerző maga is tapasztalta, hogy egyes anyagok őrlésekor a törés valószínűsége a szemcseméret második vagy harmadik hatványával arányos. Fontos kiemelnünk, hogy Epstein kezdte el vizsgálni a törésnek a szemcsemérettől való függését, azonban ilyen esetekben – amikor az A) feltétel nem teljesül – a szerző nem tudta megoldani az őrlemény eloszlásának kiszámítását.

Az aprítás matematikai elméletével Rényi is foglalkozott. Az aprítás folyamatát nagyszámú egymás után következő aprító hatás eredményének tekintette és feltételezte, hogy az egyes aprítási műveletek hatására a szemcsék egyenlő valószínűséggel törnek el, valamint azt is kikötötte, hogy töréskor a szemcsék mérete feleződik (Rényi, 1950).

A szerző cikke első részében Kolmogorovval megegyező eredményt bizonyított a generátorfüggvény módszerének alkalmazásával. Ezután Rényi egy általánosabb törési jelenséget tekintett, olyan törést, amikor a szemcsék egyforma valószínűséggel törnek, de nincs kikötve, hogy a törés utáni méretük feleakkora lesz. Abban az esetben, amikor ismert, de tetszőleges egy megadott szemcseméretről egy megadott szemcseméret-intervallumba törés valószínűsége – azaz teljesen általános törési feltételek esetén – Rényi igazolás nélkül kijelentette, hogy ugyancsak a generátorfüggvény módszerrel megkapható, hogy az őrlemény aszimptotikusan lognormális eloszlású.

Később Filippov méret és idő szerint folytonos, sztochasztikus folyamatként kezelte az őrlést, és bizonyos esetekben az analitikus megoldást is megadta (Filippov, 1961).

Elsőként mutatott rá arra, hogy a sztochasztikus és a determinisztikus megközelítés között világos kapcsolat van: a sztochasztikus esetben a várható értékre kapott egyenlet azonos azzal az integro-differenciálegyenlettel, amelyik az őrlés egyik determinisztikus megközelítésekor, az idő és méret szerint folytonos megközelítésekor adódik. Filippov elméleti eredményeit sem tapasztalati, sem numerikus eredményekkel nem szemléltette.

Laboratóriumi kísérletek alapján az őrleményt sokan találták közelítőleg lognormális eloszlásúnak. Tapasztalati úton azonban az idők során az is kiderült, hogy azt a feltevést, amely szerint bármelyik szemcse egyforma valószínűséggel törik, a tapasztalat a legtöbb esetben nem támasztja alá. Beke szerint (Beke, 1963) az aprító gépekben végbemenő folyamatot az alábbi egyszerű modellel jól szemléltethetjük. Az

aprítás lefolyását oly módon képzeljük el, hogy egy síklapon elterülő halmazra mérünk kalapácsütéseket. Ekkor azonnal érzékeljük, hogy a nagyobb szemcséket, amelyek a halmazból méretük folytán kiemelkednek, nagyobb valószínűséggel éri kalapácsütés.

Tehát az aprítás valószínűsége a szemcsemérettől nem független, azaz a Kolmogorov és Rényi által feltételezett homogenitás nem áll fenn. A fenti „ideális” feltevések abban az üzemi őrlési folyamatban sem érvényesültek, amelyről László Zoltán számolt be (László, 1993). A szerző a cikkében egyben magyarázatot is adott arra, hogy miért állapítottak meg sokszor tévedésből lognormális eloszlást. A valóságban valószínűleg az történhetett – vélekedik László –, hogy kis elemszámú minta alapján állapíthatták meg az eloszlást. A statisztikával foglalkozók ismerik azt a tapasztalatot, hogy egy kis elemszámú mintára többféle eloszlást is lehet illeszteni. Kolmogorov és Rényi dolgozatai is hozzájárulhattak a gyakorlatban a lognormális eloszlás indokolatlan használatához – mutatott rá László.

Idő szerint folytonos és méret szerint diszkrét modellt alkottak meg Sedlatschek és Bass golyósmalmi őrlésre (Sedlatschek & Bass, 1953). A modell alapötlete az a feltevés, hogy annak a valószínűsége, hogy bármelyik szemcseméret szerinti csoportból tetszőlegesen kiválasztott szemcse valamelyik golyóval t+t₁ ideig nem ütközik, független attól, hogy t ideig sem ütközött, vagyis a szemcse múltja nem befolyásolja a jövőbeli ütközéseket. A szerzők kikötései: A szemcseméret szerinti intervallumok hosszainak olyan kicsiknek kell lenniük, hogy bármelyik szemcse – kivéve a legkisebb méretintervallumba tartozót – őrlésekor keletkező törmelékek más-más méretinter-vallumokba kerüljenek. Továbbá, az azonos méretintervallumon belüli szemcsék méretei közötti különbségeknek elenyészőknek kell lenniük a golyók méretéhez képest.

A szerzők a folyamatot lineáris differenciálegyenlet-rendszerrel írták le. Az egyenletek száma megegyezik a méretintervallumok számával. A megoldásban szereplő kons-tansok kiszámítása nagyon komplikált lenne, ezért ezeket kísérleti úton kell meghatározni – javasolták a szerzők. Az elmélet figyelmen kívül hagyja a szemcsék egymással történő ütközése és frikcionálása miatt bekövetkező őrlést, ami a szerzők véleménye szerint jelentéktelen a golyók okozta őrléshez képest. A kikötések teljesítése nehézségekbe ütközhet: egyrészt a méretintervallumok számát nagyon nagynak kellene választani, másrészt az is kérdés, mit értsünk „elenyésző különbség” alatt. A modell nehezen alkalmazható – a kikötések miatt – olyan törés esetén, amikor a szemcséről mindössze parányi részek pattannak le az ütközés hatására, mert a méretintervallumok számát nagyon nagyra kellene választani. A nagyméretű szemcsék őrlése esetén ugyancsak nagyon nagy számú méretintervallumra lenne szükség, ami alkalmazhatósági szempontból szintén akadályt jelent.

Bass idő szerint és méret szerint folytonos modellt is kidolgozott (Bass, 1954). A szerző a szakaszos őrlés leírására időtől függő szemcseméret szerinti tömegeloszlást leíró parciális integro-differenciálegyenletet származtatott, amit elnevezett az őrlés alapegyenletének. Ebben az őrlendő anyag törését és a töréskor keletkező törmelék eloszlását együttesen jellemző, időtől független, tapasztalati úton meghatározandó ε(ξ,α) függvény fordul elő, amely megadja a (ξ,ξ+dξ) méretintervallumba tartozó egységnyi tömegű szemcséből egységnyi idő alatt az (α,α+dα) méretintervallumba tört törmelék tömegét. Tegyük fel, a szemcseméretekre fennáll: 0≤α ≤ξ ≤x_max, ahol

jelöli a legnagyobb szemcseméretet. A szerző szerint az ε(ξ,α) függvény mérések-kel kényelmesen meghatározható, s az alkalmazott függvényközelítések az általános elmélettel összhangban állnak. Jelölje m(x,t) a szemcseméret szerinti tömegsűrűség-függvényt. Az alábbi egyenletet írta fel a szerző:

xmax

∫

⁼

∫

^⋅

Bass megadta az alapegyenlet közelítő megoldását zárt alakban arra az esetre nézve, amikor a szemcseméretek kevéssé térnek el a legnagyobb szemcsemérettől. Ekkor az alapegyenlet közelítő megoldása megfelel a félig tapasztalati úton nyert híres Rosin-Rammler-formulának. A szerző közölte, hogy a Rosin-Rammler-formula itt használt alakja az

formula, amelyben két olyan mennyiség, az n(t) és az F(t) fordul elő, melyeket az őrlés minden időpillanatára vonatkozóan újból, egymástól függetlenül meg kell határozni.

Ezek tartalmazzák az időtől való függést. Az n(t) és az F(t) közötti kapcsolatot nem ismerjük, de bizonyára valamiképpen összefüggnek egymással – vélekedik a szerző. A megadott képlettel történő számítási mód csak egy bizonyos, pontosan meg nem határozott őrlési időtartam után használható – írja Bass, azonban ennek az időtartamnak a hossza függ attól, hogy az őrlendő anyag kezdeti eloszlása mennyire közelíti meg a Rosin-Rammler-eloszlást. Csak nagy szemcseméretekre érvényes a képlet, mert ezt a feltevést a levezetéskor kihasználta a szerző.

Bass kis szemcseméretekre is levezette a felírt integro-differenciálegyenlet közelítő megoldását, amely ilyenkor nem adható meg zárt alakban.

A modell gyakorlati alkalmazhatóságát, megbízhatóságát rontják a cikkben előforduló pontatlanságok; nem közölte a szerző, mit értsünk pontosan nagy szemcseméreten, s arra sem utalt, hogyan lehetne megállapítani azt az őrlési időtartamot, amely után az eloszlást a megadott képlettel számolhatjuk. A szerző az ε(ξ,x) függvény alakját nem vizsgálta, a kikötéseket, feltételeket a cikkében nem ismertette, ezek felismerését rábízta az olvasóra. A szakaszos őrlés integro-differenciálegyenlet formájában felírt modellje csak azután terjedt el, miután az ε(ξ,x) függvényt a szelekciós függvény és a törési sűrűségfüggvény szorzataként tekintették – erre később kitérünk.

A szakaszos őrlésre idő szerint és méret szerint is diszkrét modellt Broadbent és Calcott adott meg (Broadbent & Calcott, 1956). Tanulmányukban a szerzők az őrlendő anyag szemcseméret szerinti összetételét – az eloszlást – egy f vektorral jellemezték, amely megadja az egyes szemcseméret tartományokba tartozó szemcsék arányát az összes szemcséhez viszonyítva. A szemcsék törését a B törési mátrixszal írták le, ahol B(i,j) jelöli a j-dik szemcseméretről az i-dikre törő szemcsék arányát egy törési művelet során. Ha az őrlemény eloszlását az n-dik törési művelet után p_n jelöli, akkor p₁=B⋅f, továbbá p₂=B⋅ p₁=B²⋅f, ezt folytatva p_n=Bⁿ⋅f. A szerzők a törési folyamatot egymást követő törési mozzanatoknak tekintették, melyek mindegyikét – a művelet sorszámától független – B mátrixszal jellemezték, majd a törésre vonatkozóan bizonyos egyszerűsítő feltevésekkel élve megadták a törési mátrixnak egy lehetséges alakját.

Ezt követően Broadbent és Calcott ismertették a folyamatos őrlés leírására kifejlesztett idő és méret szerint is diszkrét modelljüket. A szerzők az őrlési zónában végbemenő teljes folyamatot két egymást követő folyamat hatásaként képzelték el. Az első folyamatban kiválasztásra kerülnek azok a szemcsék, amelyek el fognak törni. A kiválasztás leírására a szerzők bevezették a szelekciós mátrix fogalmát, amely egy diagonális mátrix, jelölje ezt S. A fődiagonális elemei rendre azt jelentik, hogy az egyes

mérettartományokba tartozó szemcsék hányad része törik el egy törési esemény során.

A második folyamatban a kiválasztott szemcsék a törési mátrixszal leírt módon eltörnek. Jelölje a törési mátrixot most is B, ekkor B(i,j) most is a j-dik szemcseméretről az i-dikre törő szemcsék arányát jelöli. Az őrlési zónában végbemenő teljes folyamatot – a kiválasztódást és az őrlést együttesen – az alábbi D mátrix írja le, ahol D=B⋅S+(I-S), a jobb oldalon I a megfelelő méretű egységmátrix.

A szerzők egy olyan folyamatos őrlést is tekintettek, amikor osztályozót csatlakoztatnak a malomhoz, ahol az őrleményt szétválasztják „méreten aluli” és „méreten felüli”

részre. Az előbbi az őrlés végterméke, az utóbbit újraőrlésre visszatérítik a malomba.

Ezt a fajta őrlést a szerzők elnevezték zárt folyamatos őrlésnek, melynek speciális eseteként értelmezték a nyílt folyamatos őrlést. A nyílt folyamatos őrlés során egyáltalán nem adnak vissza anyagot a malomba újraőrlésre. Ilyenkor a malomból kifolyó őrleményt teljes egészében „méreten alulinak” tekintjük.

A vázolt zárt őrlési folyamatot Broadbent és Calcott mátrix-egyenletrendszerrel írta le a stacionárius állapotban. A szerzők bár nem definiálták pontosan, mit értenek stacionárius állapot alatt, de utalásaik és a felírt egyenletrendszer alapján a stacionárius állapotot a következőképpen értelmezték: egy bizonyos őrlési idő eltelte után beálló állapot, amikor a malomba bemenő, illetve a malomból távozó anyag eloszlása már nem változik.

A malomba bemenő, illetve a malomból távozó anyag eloszlását jelölje f, illetve p a stacionárius állapotban. Ekkor a malomból távozó anyag eloszlását a szerzők a p=D⋅f egyenlettel írták le, azonban a bemenő anyag eloszlását – f -et – a még őröletlen és a visszatérített anyag együttes eloszlásaként számolták. A késztermék és a visszatérített, a

„méreten felüli” őrlemény együttes eloszlását egyenlőnek tekintették a malomból távozó anyag eloszlásával, p-vel.

A szerzők a zárt folyamatos őrlést csak a stacionárius állapotban vizsgálták. Ebben az állapotban azonban a recirkulációs őrlés olyan, mintha folyamatos recirkuláció nélküli őrlés lenne, mivel a stacionárius állapotban nem változik a malomba bemenő és az onnan távozó anyag összetétele. Így a kutatók valójában a zárt folyamatos őrlés leírását visszavezették egy nyílt folyamatos őrlés leírására.

A szerzők megjegyezték, hogy a szelekciós illetve a törési mátrixot számítani is lehet/lehetne, ha ismerjük/ismernénk a szelekciós illetve a törési eloszlásfüggvényt.

Végül Broadbent és Calcott szénőrlési tapasztalati eredményeiket hasonlították össze a számítottakkal a törési folyamat első néhány lépésére. Megállapították, hogy a felírt modelljeik a szakaszos és a folyamatos őrlések egyaránt valósághű leírásait adják.

A mátrixműveletek könnyen elvégezhetőek, azonban ha a modellben szereplő ismeretleneket – melyek nagyságrendje , ahol n a B mátrix rendje – kísérleti mérési eredményekből kell megállapítani, az veszélyeztetheti a modell alkalmaz-hatóságát, mert egyrészt rengeteg munkát jelent, másrészt nagy mennyiségű mérési hiba halmozódhat fel.

) (n² O

Amint láttuk, Broadbent és Calcott a folyamatos őrlés tanulmányozására megadták a legegyszerűbb modelleket, s elkezdődött a folyamatos őrlés vizsgálata. Mielőtt azonban rátérnénk a folyamatos őrlés tanulmányozására, folytatjuk az újabb szakaszos őrlési modellek ismertetését, mert a szakaszos őrlés most ismertetendő, későbbi, kiforrottabb eredményeit a folyamatos őrlés tanulmányozása során is felhasználják.

A továbbiakban bemutatásra kerülő modellek többségében előfordul a szelekciós függvény, a törési eloszlásfüggvény vagy a törési sűrűségfüggvény. Egyes matematikai leírásokban a szemcseméret szerinti tömeg-eloszlásfüggvény helyett a

maradék-eloszlásfüggvény szerepel. Ezért most ismertetjük ezek definícióit. A törési szelekciós függvény, S(x) kifejezi, hogy egy időegység alatt az x méretű szemcsék hányad része törik el. A törési eloszlásfüggvény, az L méretű szemcse törésekor keletkező törmelék eloszlását adja meg. A törési sűrűségfüggvényt b(x )-lel jelöljük,

megadja az L méretű szemcse törésekor az (x,x+dx) szemcseméret intervallumba tartozó )

üggvényét a t időpillanatban M(x,t)-vel jelölve, az R(x,t)=1-M(x,t)-M(x,t)-vel definiált függvényt az őrlemény szemcseméret sze

y vélték, hogy a fenti kérdések megválaszolásához –

t az energia

ahol x_min jelöli a legkisebb szemcseméretet, vagyis azt a méretet, amelynél kisebbre a szemcse nem törik.

Az őrlemény szemcseméret szerinti tömeg-eloszlásf rinti maradék-eloszlásfüggvényének nevezzük.

Napjainkra az őrlés szaktekintélyévé vált Austin 1964-ben kutatótársával közösen írt tanulmányában (Austin & Klimpel, 1964) kifejtette, mennyire tág az őrlés témaköre. A malmok tervezésekor az alábbi öt kérdés figyelembevételét alapvető követelménynek ítélték: Milyen típusú őrlőgépet válasszanak? Milyen karbantartásra lesz szükség?

Milyen méretű gépre van szükség? Milyen előírások vonatkoznak az őrleményre?

Változó betáplálás esetén milyen lesz a malom teljesítménye és melyek az optimális működési feltételek? A szerzők úg

különösen az utolsóéhoz - az őrlési elmélet kidolgozására van szükség, amelyhez maguk is nagyban hozzájárultak.

Austin és Klimpel ismertették az őrlemény szemcseméret szerinti tömegeloszlását leíró egyenletet, amit elneveztek a szakaszos őrlés alapegyenletének. A szerzők előbb beszámoltak az egyenletben szereplő függvények, a szelekciós függvény – S(x) – és a törési eloszlásfüggvény –B(x,L)– alakjának meghatározására végzett kísérleteikről.

Megállapították, hogy a szelekciós függvény a szemcseméret valahányadik hatványával arányos. A hatványkitevő függ az őrlőkészülék geometriai méreteitől, az őrlés módjától, az őrlendő anyag szerkezetétől. A kutatók szerint nem áll fenn általános érvényű kapcsola bevitel é őrlemény átlagos szemcsemérete között. A szerzők a törési eloszlásfüggvényt vizsgálva kísérleti úton e függvény alakjára az alábbi képletet kapták: eloszlása. Felhasználva e függvényeket, Austin és Klimpel megadták t ideig tartó őrlést követően az őrlemény szemcseméret szerinti tömegeloszlását leíró alábbi egyenletet:

dydt

s ezt a szakaszos őrlés alapegyenletének nevezték, ahol M(x,t) jelöli a t ideig tartó őrlést követően az őrlemény szemcseméret szerinti tömeg-eloszlásfüggvényét, x_max pedig a legnagyobb szemcseméretet, S a szelekciós, B a törési eloszlásfüggvényt. A szerzők a modelljüket véges differencia módszerrel diszkretizálták, s ezt követően IBM 7074 számítógépre írott programmal végeztek numerikus kísérleteket a modelljük igazolására. A tapasztalati úton nyert és a számított eloszlások nagyon közel álltak egymáshoz. A szerzők az analitikus megoldással nem foglalkoztak. A numerikus módszerek alkalmazását helyezték előtérbe, azonban a közelítés pontosságáról nem

nyi

kell tanulmányozni (Reid, 1965). A szerző a pusztán kísérleti eredményekre támaszkodó modellek alkalmazását kétségesnek tartotta a bennük elkerülhetetlenül előforduló mérési hibák miatt. Reid az őrlés alapegyenletét az alá i formában írta fel:

latkoztak, megelégedtek azzal, hogy a numerikus kísérleti eredményeik jól megközelítették a tapasztalati eredményeiket. A kutatók az őrlés tanulmányozására szorgalmazták a számítógép használatát, amelyre példát is mutattak.

Reid 1965-ben az addigi publikációk tanulmányozásából arra a következtetésre jutott, hogy a szakaszos őrlést lehetőleg az őrlési alapegyenlet analitikus megoldásával

bb

ahol M(x,t) jelöli a tömeg-eloszlásfüggvényt, B(x,L) a törési eloszlás szelekciós függvényt, x a legnagyobb szemcseméretet, x a szemcse

Az alapegyenletnek ezt a formáját többen is használták, azonban bizonyára kényelmi

2 x

függvényt, k(x) a méretet, t az időt.

max

okokból áttértek a tömeg-sűrűségfüggvényre, s erre általában az

x

jelölést vezették be. A szelekciós függvényt pedig gyakran a nevére is utaló S(x) függvénnyel jelölték k(x) helyett.

A szerző megadta a megoldásokat abban a speciális esetben, amikor k(x)=k·x és L

L x x

B( , )= . Azokban az esetekben, amikor az analitikus megoldás nem ismert, Reid

alkot paramé

az i-dik frakcióba törő szemcsék tömeghányadát (ahol

< -1, ahol n a szemcseméret osztályok szám =1 jelöli a legnagyobb szem tömeghányadok tapasztalati úton megállapítha-véges differencia módszerrel történő diszkretizálás után közelítő megoldás előállítását javasolta rekurzió alkalmazásával. A közelítő megoldás kiszámítását a szerző számító-gépes programmal végezte. Reid egy olyan szemcseméret és idő szerint folytonos modellt ott, amelyre sokan hivatkoztak, napjainkban is használják.

Reid megadott a megoldásával együtt egy „gyakorlati egyenlet”-nek nevezett méret szerint diszkrét, idő szerint folytonos modellt is, amely tapasztalat útján meghatározható

tereken alapul.

tereken alapul.

In document Folyamatos őrlési folyamatok számítógéppel segített numerikus vizsgálata (Pldal 13-0)