A nyílt folyamatos őrlés diszkrét matematikai modellje

A zárt folyamatos őrlés fenti folytonos matematikai modellje magában foglalja a nyílt folyamatos őrlés és a szakaszos őrlés folytonos modelljét is. A ψ ≡ 0 választása esetén megadja a nyílt folyamatos őrlés modelljét, míg az u=0 és 0

L őrlés folytonos modelljére vezet.

2.3

atos őrlés diszkrét matematikai modellje

sete. gyanis a ψ lasszifikációs függvény ψ ≡ 0 választása esetén a zárt folyamatos őrlés leírása a nyílt folyamato r Ezt az utat választom a nyílt folyamatos őrlés modell-jének megalkotására. A zárt őrlés diszkrét modellje származtatását a következő alfejezet tartalmazza.

2.3.2. A zárt f diszkrét matematikai modelljei

A zárt folyamatos őrlés diszkrét matematikai modellje a (2.12), (2.2)-(2.4), (2.8), ármaztatható. A továbbiakban bemutatom a származtatásával együtt a kifejlesztett i ré modelleket.

. A folyamatos őrlések diszkrét matematikai modelljei rekurzív lineáris egyenletrendszer formájában

2.3.1. A nyílt folyam

A nyílt folyamatos őrlés a zárt folyamatos őrlés speciális e U k

s ő lés leírását adja.

olyamatos őrlés

(2.10) egyenletekből – esetenként a (2.11) figyelembevételével – diszkretizálással sz

d szk t

Definiáljuk az alábbi dimenzió nélküli változókat és paramétereket:

Y

A malom paraméterei közötti kapcsolatot a Péclet-féle szám fejezi ki az alábbi összefüggés szerint:

(2.14) Pe=uY~/D .

Az , , , ψ függvények is dimenzió nélküli változók

A nlet dimenziómentes alakban felírva:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

⋅ kifejezést a (2.13) és a (2.14) egyenlet felhasználásával átalakítjuk és azt kapjuk, h

Felhasználjuk, hogy a (2.13) képlet alkalmazásával

=

zután a folytonos modellt dimenziómentes alakban az alábbi (2.19)–(2.24) egyen-E

zó peremfeltételt a (2.3) egyenletből a (2.14) egyenlet figyelembe-ételével kapjuk, amely az alábbi (2.21) egyenlet:

⎤

Az y=0-ra vonatko v

y

Az y=1-re vonatkozó peremfeltétel pedig a (2.22) egyenlet:

) 0

(2.6) és a (2.8) egyenletből, valamint a (2.15) egyenletből kapju )

A (2.10) egyenletből származik a (2.24) egyenlet:

d t x f_r −

+ . (2.24)

A folytonos modellt először a szemcseméret szerint diszkretizálom.

Jelölje I a szemcseméret szerinti osztályzásnál az osztályok számát. Vezessük be az lábbi jelöléseket:

a a malom y koordinátájánál a t időpillanatban az i-dik szemcseméret-intervallumba emcsék mennyiségét fejezi ki.

(2.26) egyenletet:

tartozó sz

A jobb oldali harmadik tagból átalakítással kapjuk:

A (2.26) egyenletből a (2.27) felhasználásával:

⎡

zután következik a malom hosszúsága szerinti diszkretizáció.

Legyen J a malom hosszúság szerinti diszkretizálásánál a részintervallumok, a szekciók z ma. Vezessük be az alábbi jelöléseket:

∑ ∫ ∫

lvégezve az y= y_j helyettesítést, a (2.28) egyenletből kapjuk:

A (2.29) egyenlet jobb oldalán a harm alkalmazásával az alábbiak szerint közelítjük:

−

adik és negyedik tagot középpont-szabály

∫

^{k − =}

(2.30 egyen tben

A ) le

2 2

A (2.29) egyenletből kapjuk az alábbi (2.31) egy

1 k

k−

enletet, felhasználva a (2.30) gyenletet, a (2.25) alatti jelölést és alkalmazva a trapéz-szabályt:

hx (2.31) egyenletben a parciális deriváltakat numerikus differencia formulákkal –

evételével:

bólumot, a (2.32) egyenletből kapjuk:

szim

⋅ + Bevezetve a jelöléseket a (2.35), (2.36) szerint,

−

a (2.34) egyenletből kapjuk:

∂ +

A (2.37) és (2.38) egyenleteket 2

y -vel gszorozzuk és összeadjuk, kapjuk az alábbi

h me

(2.39) egyenletet:

+ +

+ + Vezessük be a következő jelölést:

j

y

y 1

(2.40)

(2.40) alatti jelöléssel bevezetett

2

(2.40) egyenlet alatti integrál közelítő kiszámítását trapéz-szabály alkalmazásával végezve kapjuk:

szekciójában előforduló i-dik szemcseméret-intervallumba tartozó szemcsék mennyisé-ét fejezi ki, ahol j=1, …,J, i=1, 2, … , I.

lölje τ a dimenziómentes időlépés hosszát, tegyük fel, hogy Je

lyettesítéssel, a (2.40) és (2.41) figyelembevételével apjuk:

A (2.45) egyenletben µ(x_i,y_j-1,t_n) és µ(x_i,y_j+1,t_n) fordul elő, e j=2, …, J-1 esetén értelmezhető.

telek segítségével írjuk fel.

A

zért ez az egyenlet csak

A j=1, j=J eseteket a peremfelté

t

kifejezéséhez az alábbi levezetést végezzük.

A Taylor-formula alapján felírjuk a következő egyenlőséget:

)

(2.48) egyenlet jobb oldali első tagjára bevezetve az alábbi (2.49) alatti jelölést, második tagját a (2.23) egyenlet szerint felírva kapjuk a (2.50) egyenletet:

i

(2.25) alatti jelölés alkalmazásával:

x_i

let bal oldalába a (2.51) egyenlet jobb oldalát helyettesítjük:

A (2.45) egyen

y

A (2.52) egyenlet rendezésével:

n etet a j=0, t=t helyen tekintve és figyelembe véve a (2.25), (2.33) alatti

je k:

A (2.31) egye l _n

löléseket, az alábbi egyenletet kapju

( ) ( ) ( )

₊

A (2.46) egyenlet rendezésével:

)

A (2.54) egyenletbe az y szerinti másodrendű parciális deriváltat a (2.55) egyenletből elyettesítjük:

(2.56) egyenlet jobb oldalán az első parciális deriváltakat a (2.53) egyenletből A

helyettesítve kapjuk:

) A (2.57) egyenlet rendezésével:

+ (2.59) és (2.60) egyenleteket

)

-vel megszorozzuk és összeadjuk, kapjuk:

A

+ + A J-1 eset levezetéséhez hasonlóan, a (2.40) alat

yj

alkalmazásával a (2.61) egyenletből kapjuk:

+ A jobb oldalon szereplő

)

tagokat O(h_y) hibatagba összegyűjtve kapjuk az alábbi (2.62) egyenletet: A esetben az alábbi levezetést végezzük.

Taylor-formula alapján felírjuk a következő egyenlőséget:

j=J (2.63) egyenlet jobb oldali első tagja a (2.4) egyenlet alatti peremfeltétel miatt nulla.

ovábbá a (2.25), a (2.33) alatti figyelembe véve, az alábbi egyenletet kapjuk:

A

Az y szerinti másodrendű parciális deriváltat a (2.64) egyenletből kifejezzük:

+ yenletet helyettesítve a (2.63) egyenletbe, kapjuk:

I

+ A (2.66) egyenletben az y szerinti parciális deriváltat differenciahányadossal közelítve, a t szer ti p iváltat kifejezve kapjuk:

2 ⋅

+ ( ) ( ²)

in arciális der

( ) ( ( ) ( ) )

(x ,y ,t )− (x ,y ,t )+

(2.35), (2.36) egyenlet alatti jelölésekkel –

A ^{~ 1 Pe} ₂^hy tből kapjuk:

egyenle

A (2.68) és (2.69) egyenleteket -vel megszorozzuk és összeadjuk, kapjuk:

+ +

+ j=2,…,J-1 eset levezetéséhez hasonlóan,

yj

felhasználásával kapjuk:

+ Az idő szerinti parciális derivált alábbi közelítésével

a (2.62), (2.43), (2.71) egyenletekből származtatjuk rendre a (2.73), (2.74), (2.75) egyenleteket.

− =

e lölések alkalmazásával rendre a (2.73), (2.74), (2.75) gyenletek rendezésével kapjuk a folyamatos recirkulációs őrlés rekurzív lineáris egyenletrendszer formájában felírt diszkrét matematikai modelljét, elhagyva a hibatagokat:

∑

= A kezdeti feltétel:

t

rlés rekurzív lineáris rmában.

Tehát a (2.81)-(2.85) egyenletek megadják a zárt folyamatos ő

egyenletrendszer alakjában felírt diszkrét matematikai modelljét dimenziómentes fo

2.3. ábra. A szemcsék malombeli mozgása.

A szemcsék malombeli mozgását a 2.3. ábra szemlélteti, az eredményül kapott modell alapján a zárt folyamatos őrlés értelmezése az alábbi:

A (

: azoknak a részecskéknek a ennyiségéből, amelyek az n-dik időpillanatban is az első szekcióban voltak, és áramlással előbbre sem jutottak, sem kisebb méretű e törte

Ezt fejezi ki a jobb oldali első tag. A második tag mega

emcseméret-intervallumba tartozó szemcséknek a mennyiségét, amelyek a t_n

idő-ennyiségét, amelyek az időegység alatt lezajlott törési folyamat során vált

ző szekcióból átkeveredtek ebbe a szekcióba egy törött, sem előre vagy ő szekcióból viss

őrlési fo

n+1 jobb oldala megadja, hogy ez a mennyiség rendre az alábbiakból áll: az utolsó előtti szekcióból előre keveredett i-dik méretű szemcsék -dik méretű szemcsék mennyiségéből, és az utolsó szekcióbeli i-dik

csék mennyiségéből.

őrlés leírását is, ert ha ψ ≡ 0, akkor a nyílt folyamatos őrlés leírását kapjuk.

i-dik méretű szemcsék 2.81) egyenlet bal oldala kifejezi a malom első szekciójában, más szóval oszlopában az i-dik szemcseméret-intervallumba tartozó szemcsék mennyiségét az őrlési folyamat (n+1)-dik időpillanatában, a t_n+1 időpillanatban. Az egyenlet jobb oldala szerint ez a mennyiség a következő részmennyiségekből adódik

m

re n m k egy időegység alatt.

dja azoknak az i-dik sz

pillanatban a második szekcióban voltak és egy időegység alatt visszakeveredtek az első szekcióba. A harmadik tag kifejezi azoknak az i-dik méret-intervallumba tartozó szemcséknek a m

ak ebbe a méret-intervallumba tartozókká. A következő tag a még őröletlen, frissen beadagolt i-dik méret-intervallumba tartozó szemcsék mennyiségét fejezi. Az utolsó tag megadja az osztályozóból visszaküldött i-dik szemcseméret-intervallumba tartozó szemcsék mennyiségét. Az osztályozóból r időegység alatt – ami d időtartamnak felel meg – kerül vissza az anyag a malomba (vagy a keverőbe), az osztályozó működését a ψ klasszifikációs függvény írja le.

A (2.82) egyenlet bal oldala kifejezi a malom tetszőleges belső szekciójában az i-dik méret-intervallumba tartozó szemcsék mennyiségét az őrlési folyamat (n+1)-dik időpillanatában. Az egyenlet jobb oldala mutatja, hogy ez a mennyiség rendre az alábbiakból tevődik össze: azon i-dik méret-intervallumba tartozó szemcsék

ennyiségéből, amelyek az elő m

időegység alatt, továbbá a tekintett szekcióbeli sem el nem

hátrafelé nem keveredett i-dik méretű szemcsékből, valamint a következ

zakeveredett dik méretűek mennyiségéből, és még a tekintett szekcióban maradt, i-dik méretűre tört szemcsék mennyiségéből.

A (2.83) egyenlet bal oldala kifejezi a malom utolsó szekciójában az i-dik szemcseméret-intervallumba tartozó szemcsék mennyiségét az lyamat során a t időpillanatában. Az egyenlet

mennyiségéből, továbbá az utolsó szekcióbeli sem el nem törött, sem előre nem keveredett i

méretűre tört szem

A (2.81) - (2.85) egyenletek magukban foglalják a nyílt folyamatos m

A fenti levezetéssel származtatott modell azok közé tartozik, amelyek azt a szemléletet képviselik, hogy egy „időpillanat”, a modellekben előforduló nagyon rövid időlépés alatt a szemcsék áramlása és törése egymást kizáró események (Mika, 1976, Austin et al., 1984, Austin et al., 1988, Kis et al., 2004a, 2004b és 2005). Egy időegység alatt azokkal a szemcsékkel nem történik változás, amelyek az időegység elmúltával ugyanabban a szekcióban és ugyanabban a méret-intervallumban maradnak, mint amelyikben az időegység kezdetén voltak. A továbbiakban feltesszük, hogy a szemcsék

áma nagy. Egy időegység alatt mindegyik szekcióban az sz

) (

2

−1

xi

S -szerese törik, i=1,2,…,I, tehát ( )

2

−1

xi

S az i-dik méretű szemcsék törési z

l ennyi távozik a kijáraton egy időegység alatt, így a szemcsék előreáramlási valószínűsége. Hasonlóképpen, a szemcsék visszafelé áramlási valószínűsége. A (2.8

valós ínűsége. Mindegyik szekcióból a szemcsék V_F-szerese áramlik át a következő szekcióba, illetve az utolsó szekcióbó

~

~

F V~B

V

1) egyenlet jobb oldali első tagjában és a (2.83) egyenlet

))

második tagjában a bal oldali tényező,

annak a valószínűségét fejezi k rvallumba tartozó szemcséket tekintve τ idő alatt sem áramlás, sem törés nem következik be. A (2.82) egyenletbeli

i, hogy az i-dik méretinte ))

szekcióját tekintve jelenti ugyanezt a valószínűséget. Az 1−( + ⋅ ( ))

F i

lenik az őrlési modellekben.

léletet képviselik, amely szerint a szemcsék áramlása és tlenül megy végbe (Mihálykó et al., 1998, Berthiaux, 2000, Kis t al., 2001a, 2001b, 2002a, 2002b, 2003a, 2003b és 2003c, Kis et al., elfogadott, Mizonov et al., 2002).

A (2.81), (2.82), (2.83) e

törési események függetlenségét fejezzék ki.

Mindegyik szekcióban annak a valószínűsége, hogy egy időegység alatt az i-dik méretű szemcsék nem törnek el

esemény külön-külön vett valószínűségének az összege adja, amiből az következik, hogy a modellünkben az áramlást és a törést egymást kizáró eseményeknek tekintjük. A továbbiakban ezt a modellt Modell I-nek nevezzük.

Az őrlési folyamat egy másik megközelítése is megje Ezek a modellek azt a szem

törése egymástól függe e

gyenleteket átalakíthatók úgy, hogy azok az áramlási és

i=1,2,…,I. Annak a valószínűsége, hogy a ), míg

szemcsék nem áramlanak el a szekcióból az első és utolsó szekciót tekintve (1-V~_F a többi szekció esetén (1-V~_F

-V~_B

). Az áramlást és a törést egymástól független seménynek tekintve az első és az utolsó szekciót nézve

e 1 ) (1 ( ))

a valószínűsége, hogy az i retintervallumba tartozó szemcsék sem el nem ár nan, sem el nem törnek tt. Más szekciókra ez a valószínűség

-dik mé

őegység alatt i-dik méretűre tört szemcsék közül csak azok maradnak a zekcióban, amelyek az időegység alatt nem áramolnak el. Ezek mennyisége rendre az első, valamelyik belső, illetve az utolsó szekció esetén

i

z áramlás és törés függetlenségét kifejező modell, amelyet a továbbiakban Modell II-nek

⋅

A kezdeti feltétel:

0

zintjét az üzemi feltételeknek egfelelő állandó szinten kell tartani, akkor a frissen beadagolt őrlendő anyag m z osztályozóból visszaadott mennyiségnek megfelelően változtatják.

kkor a (2.11) összefüggés diszkretizálásából kapott

A Modell II-t tekintve is igaz, hogy a ψ ≡ 0 választással a nyílt folyamatos őrlés leírását kapjuk.

Abban az esetben, amikor a malom telítettségi s m

meg, ahol az őrlőkészüléknek megfelelően mek₀ feltétel teljesülését követelik

állapított konstans.

Mindkét szemléletű modellbe – a (2.81)-(2.85) és a (2.86)-(2.90) egyenletekkel gadottba is – a malom u és D fizikai paramét _{F B}

épülnek be. Az őrlendő anyag paraméterei az S törési szelekciós függvényen és a B törési eloszlásfüggvényen keresztül vannak jelen a modellben.

A törési szelekciós függvény és a törési eloszlásfüggvény képletének és aramétereinek

erthiaux, 1996a, Berthiaux & Dodds, 1997, Austin, 1999). Az u és D malom-éterek meghatározására az utóbbi időben Nierop és Moys végzett kutatásokat z

A diszkrét modell, mint késleltetett differenciaegyenlet-rendszer

A (2.81) és a (2.86) egyenlet formájáb jól lá ható, gy a árt fo

(r+ 1 ) - ed rendű differenciaegyenlet-rendszer írja le. Az (n+ 1 ) - dik időpillanatban a szemcsék eloszlását a közvetlenül megelőző és az (r+ 1 ) - gyel korábbi állapot határozza meg.

2 . A lyam ő lések átri form an megadott diszkrét matematikai elljei

2.4.1. A nyílt folyamatos őrlés diszkrét modellje mátrix formában

A malom mindegyik szekciójában a szemcséket nagyságuk szerint rendezettnek képzeljük. A malomban a j-dik szekcióba és az i-dik szemcseméret-intervallumba tartozó szemcsék virtuális helyét a malom (i,j) cellájának nevezzük (Mihálykó et al.,

998). A malmot cellákra bontottnak tekintjük, amint azt a 2.4. ábra szemlélteti. A

c k egy vektort, a

i I j j

i ↔ − ⋅ + . Az

p meghatározásával már hosszabb ideje eredményesen foglalkoznak (B

param

(Nierop & Moys,1998, Nierop & Moys, 2002). Az 1998-ban publikált MBL modell is u, D paramétereket használja.

a

ól t ho z lyamatos őrlést

.4 fo atos r m x áb

mod

1

lineáris egyenletrendszer felírásához a malom elláiból létrehozun

„malomvektor”-t úgy, hogy a malom (i,j) cellájához kölcsönösen egyértelműen hozzárendeljük a „malomvektor” ( (j- 1 )⋅I+i) - dik elemét:

(, ) (( 1) )

xn vektor elemei a t_n időpillanatban a malom celláiban lévő szemcsék mennyiségeit tartalmazzák. Korábbi jelölésünkkel

) , , ( ˆ ) ) 1

n((j I i x y t

x − ⋅ + =µ _{i j n} , i=1,2,…,I, j=1,2,…,J. (2.92)

2.4. ábra. A malom cellái.

A folyamatos ecirk áció lküli rlés diszkrét matem tikai je felírható az

vektor a m om kezdeti betöltését leíró tetszőleges kezdővektor, a_n vektor a még őröletlen frissen betáplált szemcsék mennyiségét írja le a t_n időpillanatban:

⎪⎪

hol T3 zérusmátrix, T2 és T4 diagonális, T1 és T5 felülről trianguláris mátrix.

visszakeveredését írja le az előző szekcióba, a T4 mátrix a ő szekcióba.

emcsék előre áramlását fejezi ki a következ sz

A szemcsék áramlását és törését egymást kizáró eseményeknek tekintve a T1 és a T5 mátrix elemei:

A szemcsék áramlás a T5 mátrix elemei:

át és törését egymástól független eseményeknek feltételezve a T1 és

.4.2. A zárt folyam

z=1, 2, …,I-1 i=z+1, …,I.

atos őrlés diszkrét modelljei mátrix formában A zárt f

lakjában megadott diszkrét matematikai modellje felírható lineáris egyenletrendszer rmájában, akár a (2.81)-(2.83), akár a (2.86)-(2.88) egyenleteket tekintjük. Az így aztatott modelleket nevezzük mátrix formában felírt modelleknek. A zárt folya-atos őrlés mátrix formában megadott modellje speciális esetben a nyílt folyamatos őr

A zárt folyamatos őrlés az alábbi mátrix formában írható le:

2

olyamatos őrlésnek a 2.3.2. alfejezetben rekurzív lineáris egyenletrendszer a

fo szárm m

lés mátrix alakú modelljére redukálódik.

n

ahol az R mátrix mérete megegyezik a T mátrixéval, blokkokbó l fel

. (2.97)

A mátrix az osztályozó működését írja le, mérete I×I, fődiagonálisának elemei az gyes szemcseméret-intervallumokra vonatkozóan megadják, hogy az osztályozóból az

⎤

őrlemény milyen arányát kell újraőrlésre visszajuttatni.

⎡r 0 L

ahol

(2.85) alatti kezdeti feltétel miatt a (2.96) egyenletben ri

azt fejezi ki, hogy az (i,J) cella tartalmának hányad része áramlik vissza (i=1,2,…,I Az O₁, O₂, O

A xˆ₀ =x₀ a malom kezdeti

állapotát leíró adott vektor, míg a (2.84) egyenlettel megadott kezdeti feltétel miatt az xˆ ₋r, xˆ ,…, _1−r xˆ₋₁ vektorok I⋅J méretű nullvektorok,ˆ_−r = ˆ_1−r =...= ˆ₋₁ =0

Nyílt folyamatos őrlés esetén – a

a (2.96) egyenlet megegyezik a (2.93) egyenlettel.

x x

x .

bban a speciális esetben, amikor R mátrix nullmátrix – A zárt folyamatos őrlés diszkrét matematikai modellje megadható az alábbi mátrix formában megadott egyenlettel:

n n

) ( ) (J⋅I × J⋅I

A C mátrix soraiban és oszlopaiban (r+1) számú méretű mátrix áll.

A friss őrlendő anyag mennyiségére és az mennyiségére vonatkozó, a (2.91) egyenlettel leírt

osztályozóból visszatérített anyag együttes

0

yelem atikai

mba egy időegység alatt beadagolt konstans anyagmennyiséget korábban bevezetett

megszorításokat is fig be tudjuk venni a mátrix formában felírt matem odellben is. A malo

m

r ψ jelölésünkkel a (2.91) egyenlet az alábbi:

(2.103)

en a (2.91) egyenlet alatti feltétel teljesül, ha csak az osztályozóból

⋅ −

µ mennyiségtől függően három esetet különböztetünk meg:

I

bben az esetb E

újraőrlésre visszatérített szemcséket juttatjuk be a malomba, friss szemcséket nem adagolunk be a t_n időpillanatban, azaz kifejezéssel van megadva.

2. eset: ₀

ett nagy szem iss szemcséke is ada mennyisége:

Ebben az esetben a visszatérít cséken kívül fr t golunk be, ezek

∑

^{I = −}

∑

^{I ⋅µˆ}

=

= i

i 1 1

Jelölje p₁, p₂, … , p_I a friss őrlendő anyagra vonatkozóan az egyes szemcseméret-inter-rtozás valószínűségeit, ekkor p_i≥0, i=1, 2, … , I és A beada-g

leíró egyenlet:

∑

=

olandó friss szemcsék mennyiségei szemcseméretenként:

∑

alatti kifejezéssel van megadva.

⎥⎥

(2.91) alatti megszorítást úgy vettük figyelembe, hogy a friss szemcsék mennyiségét k az őrlésre visszaadott szemcsék mennyiségének függvényében. A (2.106) gyenletben a

e b_n vektor a (2.107) és (2.108) alatti kifejezéseknek megfelelően függ az

r

Ekkor az újraőrlésre visszaadott anyag mennyisége meghaladja a malomba beadagol-ható mennyiséget, ezért szemcseméretenként a szemcsék mennyiségének csak

∑

^{I ri ⋅}

k₀

-szorosát juttatják/juttatnák vissza a malomba a t_n időpillanatban.

= xi yJ tn−r

agy rövidebb ideig – esetleg mint felesleges készletet – tárolni kell/kellene.

i

en az ő lemény méreten felüli részéből valamennyi felgyülemlik, amit ho v

Amennyiben az ilyen recirkuláció kedvezőtlen üzemmódhoz vezetne, szimuláció segít-betöltött és/vagy a friss beadagolt anyagmennyiséget kellene csökkenteni a szimulációs

z ató úgy, hogy az 1) ából m engedett az őrlemény „méreten felüli”

, kkor az őrlési folyamatot leíró, mátrix formában ségével tanulmányozzuk, hogyan kerülhetnénk el. Például a malomba az őrlés kezdetén eredményeknek megfelelően. Így ez az üzemmód megválto tath

vagy 2) esetnél tárgyalt üzemmóddá váljon.

Amennyiben az üzem szempontj eg részének ilyen arányú visszatérítése a

megadott egyenlet:

n

.5. A folyamatos őrlést leíró rekurzív lineáris egyenletrendszerek

. Tétel.

zárt folyamatos őrlésnek akár a (2.81)-(2.85) egyenletekkel, akár a (2.86)-(2.90) egyenletekkel megadott modelljét tekintjük, ha

⎡ k

teljesül, akkor a zárt folyamatos őrlés egyenletrendszerében – akár a (2.81)-(2.83), akár .86)-(2.88) egyenleteket tekintjük – előforduló minden együttható nemnegatív.

τ 2+Pe⋅h_y +S

a (2

Bizonyítás.

Tekintsük először azt az esetet, amikor a szemcsék áramlását és törését egymást kizáró seményeknek tételezzük fel. Ekkor a (2.81)-(2.83) egyenleteket nézve, ha

e

kkor az egyenletek jobb oldalain álló valamennyi tag nemnegatív, következésképpen a

az egyenletek bal oldalain sem fordulnak elő negatív mennyiségek.

A (2.33) és a (2.76) alatti kifejezések szerint

) A (2.35), (2.36), (2.77) (2.78) alatti kifejezéseknek megfelelően

2

A (2.114) egyenletből p_i,i értékét, továbbá a (2.115) alatti kifejezéseket behelyettesítve a (2.113) egyenletbe azt kapjuk, hogy

⎟⎟

ahonnan az egyenlőtlenség rendezésével a (2.112) alatti egyenlőtlenség adódik.

Mint-−

2

1 1

1 i

hogy ekvivalens átalakításokat végezve jutottunk a (2.113) egyenlőtlenségből a (2.116) egyenlőtlenséghez, s tovább a (2.112) alattihoz, ezért a (2.112) egyenlőtlenség teljesülé-se eteljesülé-setén a (2.81)-(2.83) egyenletrendszerben minden együttható nemnegatív.

Következőként nézzük azt az esetet, amikor a szemcsék áramlását és törését egymástól független eseményeknek tekintjük. Ekkor a (2.86)-(2.88) egyenletek alapján, amennyiben

teljesül, az egyenletrendszerben előforduló minden együttható nemnegatív.

A (2.115), illetve a (2.114) alatti kifejezések felhasználásával a (2.117) alatti egyenlőtlenségek:

hy

⎟⎟

teljesülése esetén a (2.86)-(2.88) egyenletrendszerben minden együttható nemnegatív.

Összehasonlítva a (2.112) és a (2.118) egyenlőtlenségeket, azt látjuk, hogy

y

mert a számlálók megegyeznek, azonban bal oldali nevező nagyobb a jobb oldalinál, és

) a teljesül a (2.112) alatti szigorúbb feltétel, akkor rá a (2.118) alatti

s fennáll.

esemé

.

ugyanis mindkét oldalt elosztva Pe⋅h_y²-tel, ez esetben is a számlálók megegyeznek, azonban a bal oldali nevező a nagyobb. A (2.119) és a (2.120) alatti egyenl

miatt, ha a τ-r egyenlőtlenség i

□

1. Megjegyzés.

Az 1. Tétel bizonyításakor láttuk, ha a szemcsék áramlását és törését egymástól függet-len nyeknek tekintjük, akkor ahhoz, hogy a modellegyenletekben minden együtt-ható nemnegatív legyen, elegendő a (2.118) alatti egyenlőtlenség teljesülése.

1. Következmény

A folyamatos őrlés rekurzív lineáris egyenletrendszerében előforduló minden

együttható nemnegatív, ha ₂

2

A folyamatos őrlés kétféle, nyílt őrlés vagy zárt őrlés. A zárt őrlésre az állítás igaz, ezt ondja ki az

m fi

1. Tétel. A nyílt őrlés a zárt őrlésnek az a speciális esete, amikor a klasszi-kációs függvény azonosan nulla, . A zárt őrlés rekurzív lineáris egyenlet-kben – a ψ-t tartalmazó tag τ-tól

≡0 ψ

rendszerében – a (2.81) illetve a (2.86) egyenlete ggetlenül nemnegatív, ψ ≡0 esetben nullává válik.

fü

□

2.6. A folyamatos őrlést leíró mátrixok tulajdonságai

A T, C, C mátrixok mindegyikére igaz, hogy elemeik nemnegatívak. A T felső három-szög mátrix, C, C ritka mátrixok.

A következő állításunk igazolásához felhasználjuk az alábbi tételt.

Tekintsük az f x

B ^m

m⁺¹⁾ = ⋅ ^{( )} +

( , m=0,1,… (2.121)

x

alakban megadott iterációt – a B mátrix függhet az m-től is –, ahol az s erációnak nevezzük, ha a B mátrix nem függ m-től.

2. Tétel.

) 0

x( kezdővektorból újabb x^(m) vektorokat származtatunk. Az iterációt stacionáriu it

nnak, hogy a (2.121) alatti stacionárius iteráció tetszőleges kezdővektorból indulva A

konvergáljon, szükséges és elégséges feltétele az, hogy a ρ(B) spektrálsugárra teljesüljön, hogy ρ(B)=maxλ(B) <1.

A tétel bizonyítását Stoyan és Takó ismertette (Stoyan & Takó, 1993).

□

2. Megjegyzés.

Bármilyen vektornorma által indukált mátrixnorma esetén igaz a B

B)≤ ρ(

őtlenség, hiszen bármely sajátértékhez tartozó v (≠0) sajátvektorra érvényes

egyenl λ(B)

Bv=λv, λ ⋅ v = Bv ≤ B ⋅ v , azaz λ ≤ B .

Tekintsük a nyílt folyamatos őrlés (2.93) egyenlettel mátrix formában megadott leírását:

x_n+1 = Tx_n + a_n . . Tétel.

T őleges sajátértékét. 1) Bármely λ_T –re fennáll |λ_T | ≤ 1, z a átri ak ni n 1 obb abszolút értékű sajátértéke és 2) |λ_T | = 1 csak kkor teljesülhet, ha λ =1.

Bizonyítás.

3

lölje λ a T mátrix egy tetsz Je

a az T m xn ncse -nél nagy

a _T

A 3. Tétel bizonyításához felhasználjuk a 2. Megjegyzést, amely szerint egy mátrix rtékének abszolút értéke nem nagyobb a mátrix oszlopösszeg-ormájánál.

semelyik sajáté n

Ezért belátjuk azt az állítást, hogy a T mátrix oszlopösszeg-normája 1-gyel egyenlő, azaz

ol a T mátrix (2.95) alatt megadott felépítése szerint a

1,2,…,I és l=k esetben, valamint k=I·(J-1)+1, I·(J-1)+1,…, I·J és l=k e a T mátrix további elemei nullák.

lőször igazoljuk a bizonyítás során felhasználandó alábbi összefüggést:

E

∑

=

i (2.123)

Valóban, a (2.33) és a (2.76) alatti jelölés felhasználásáva

= −

zlop nak sorszámát.

z t

zlopában az elemek összege:

∑

^{= +}

∑

^{− − ⋅ + − ⋅ − + =}

b) I < l ≤ (I-1)⋅J

A T mátrix l-dik oszlopában az elemek összege:

∑

=

. A Gersgorin-tétel miatt a T mátrix egei az utolsó I számú oszlop kivételével 1-gyel egyenlők, az utolsó I számú oszlopban pedig (1 – V + V

ivel r ≤ (1-t_k,k), ezért a D tartomány a 0 középpontú 1 sugarú körben, a körívet is kedik el. Tehát T sajátértékei a 0 körüli 1 sugarú körtartományban (és a öríven) vannak. Az első (J-1)⋅I számú oszlop oszlopösszege 1, ezért 1≤ k ≤ (J-1)⋅I

rú ben benne vannak a 0 körüli 1 sugarú körben, s azt csak az (1,0) utolsó I számú oszlopban az oszlopösszegek értéke (1–V_F+V _B)<1,

ltuk, hogy |λ_T | =1 csak akkor teljesül, ha λ_T =1.

Ezzel a 3. Tétel 1. állítását bebizonyítottuk.

Térjünk rá 2. állítás bizonyítására.

∑

^⋅

minden sajátértéke a D tartományban van. A T mátrix oszlopössz C

esetén a (t_k,k,0) koordinátájú pontokból, mint középpontokból húzott (1-t_k,k) suga körök teljes egészé

ontban érintik. Az p

ezért (J-1)⋅I < k ≤ J⋅I esetén a (t_k,k,0) koordinátájú pontokból, mint középpontokból húzott ((1−V_F +V_B)−t_k,k)sugarú körök a 0 körüli 1 sugarú körön belül helyezkednek el, nincsen közös pontjuk a körvonallal.

Mivel a D tartománynak egyetlen közös pontja van a 0 középpontú 1 sugarú körrel, az (1,0) pont, így igazo

2.5. ábra. A T mátrixhoz tartozó Gersgorin-körök.

□

2.7. A stacionárius állapot

A stacionárius állapotot először a nyílt folyamatos őrlésre értelmezzük.

Amennyiben tetszőleges kezdővektorból indulva létezik az x_n+1 =Tx_n +a egyenlet által meghatározott rekurzióból származó x_n vektorsorozat határértéke – legyen

Amennyiben tetszőleges kezdővektorból indulva létezik az x_n+1 =Tx_n +a egyenlet által meghatározott rekurzióból származó x_n vektorsorozat határértéke – legyen

In document Folyamatos őrlési folyamatok számítógéppel segített numerikus vizsgálata (Pldal 47-0)