A nyílt folyamatos őrlés diszkrét modellje mátrix formában

A malom mindegyik szekciójában a szemcséket nagyságuk szerint rendezettnek képzeljük. A malomban a j-dik szekcióba és az i-dik szemcseméret-intervallumba tartozó szemcsék virtuális helyét a malom (i,j) cellájának nevezzük (Mihálykó et al.,

998). A malmot cellákra bontottnak tekintjük, amint azt a 2.4. ábra szemlélteti. A

c k egy vektort, a

i I j j

i ↔ − ⋅ + . Az

p meghatározásával már hosszabb ideje eredményesen foglalkoznak (B

param

(Nierop & Moys,1998, Nierop & Moys, 2002). Az 1998-ban publikált MBL modell is u, D paramétereket használja.

a

ól t ho z lyamatos őrlést

.4 fo atos r m x áb

mod

1

lineáris egyenletrendszer felírásához a malom elláiból létrehozun

„malomvektor”-t úgy, hogy a malom (i,j) cellájához kölcsönösen egyértelműen hozzárendeljük a „malomvektor” ( (j- 1 )⋅I+i) - dik elemét:

(, ) (( 1) )

xn vektor elemei a t_n időpillanatban a malom celláiban lévő szemcsék mennyiségeit tartalmazzák. Korábbi jelölésünkkel

) , , ( ˆ ) ) 1

n((j I i x y t

x − ⋅ + =µ _{i j n} , i=1,2,…,I, j=1,2,…,J. (2.92)

2.4. ábra. A malom cellái.

A folyamatos ecirk áció lküli rlés diszkrét matem tikai je felírható az

vektor a m om kezdeti betöltését leíró tetszőleges kezdővektor, a_n vektor a még őröletlen frissen betáplált szemcsék mennyiségét írja le a t_n időpillanatban:

⎪⎪

hol T3 zérusmátrix, T2 és T4 diagonális, T1 és T5 felülről trianguláris mátrix.

visszakeveredését írja le az előző szekcióba, a T4 mátrix a ő szekcióba.

emcsék előre áramlását fejezi ki a következ sz

A szemcsék áramlását és törését egymást kizáró eseményeknek tekintve a T1 és a T5 mátrix elemei:

A szemcsék áramlás a T5 mátrix elemei:

át és törését egymástól független eseményeknek feltételezve a T1 és

.4.2. A zárt folyam

z=1, 2, …,I-1 i=z+1, …,I.

atos őrlés diszkrét modelljei mátrix formában A zárt f

lakjában megadott diszkrét matematikai modellje felírható lineáris egyenletrendszer rmájában, akár a (2.81)-(2.83), akár a (2.86)-(2.88) egyenleteket tekintjük. Az így aztatott modelleket nevezzük mátrix formában felírt modelleknek. A zárt folya-atos őrlés mátrix formában megadott modellje speciális esetben a nyílt folyamatos őr

A zárt folyamatos őrlés az alábbi mátrix formában írható le:

2

olyamatos őrlésnek a 2.3.2. alfejezetben rekurzív lineáris egyenletrendszer a

fo szárm m

lés mátrix alakú modelljére redukálódik.

n

ahol az R mátrix mérete megegyezik a T mátrixéval, blokkokbó l fel

. (2.97)

A mátrix az osztályozó működését írja le, mérete I×I, fődiagonálisának elemei az gyes szemcseméret-intervallumokra vonatkozóan megadják, hogy az osztályozóból az

⎤

őrlemény milyen arányát kell újraőrlésre visszajuttatni.

⎡r 0 L

ahol

(2.85) alatti kezdeti feltétel miatt a (2.96) egyenletben ri

azt fejezi ki, hogy az (i,J) cella tartalmának hányad része áramlik vissza (i=1,2,…,I Az O₁, O₂, O

A xˆ₀ =x₀ a malom kezdeti

állapotát leíró adott vektor, míg a (2.84) egyenlettel megadott kezdeti feltétel miatt az xˆ ₋r, xˆ ,…, _1−r xˆ₋₁ vektorok I⋅J méretű nullvektorok,ˆ_−r = ˆ_1−r =...= ˆ₋₁ =0

Nyílt folyamatos őrlés esetén – a

a (2.96) egyenlet megegyezik a (2.93) egyenlettel.

x x

x .

bban a speciális esetben, amikor R mátrix nullmátrix – A zárt folyamatos őrlés diszkrét matematikai modellje megadható az alábbi mátrix formában megadott egyenlettel:

n n

) ( ) (J⋅I × J⋅I

A C mátrix soraiban és oszlopaiban (r+1) számú méretű mátrix áll.

A friss őrlendő anyag mennyiségére és az mennyiségére vonatkozó, a (2.91) egyenlettel leírt

osztályozóból visszatérített anyag együttes

0

yelem atikai

mba egy időegység alatt beadagolt konstans anyagmennyiséget korábban bevezetett

megszorításokat is fig be tudjuk venni a mátrix formában felírt matem odellben is. A malo

m

r ψ jelölésünkkel a (2.91) egyenlet az alábbi:

(2.103)

en a (2.91) egyenlet alatti feltétel teljesül, ha csak az osztályozóból

⋅ −

µ mennyiségtől függően három esetet különböztetünk meg:

I

bben az esetb E

újraőrlésre visszatérített szemcséket juttatjuk be a malomba, friss szemcséket nem adagolunk be a t_n időpillanatban, azaz kifejezéssel van megadva.

2. eset: ₀

ett nagy szem iss szemcséke is ada mennyisége:

Ebben az esetben a visszatérít cséken kívül fr t golunk be, ezek

∑

^{I = −}

∑

^{I ⋅µˆ}

=

= i

i 1 1

Jelölje p₁, p₂, … , p_I a friss őrlendő anyagra vonatkozóan az egyes szemcseméret-inter-rtozás valószínűségeit, ekkor p_i≥0, i=1, 2, … , I és A beada-g

leíró egyenlet:

∑

=

olandó friss szemcsék mennyiségei szemcseméretenként:

∑

alatti kifejezéssel van megadva.

⎥⎥

(2.91) alatti megszorítást úgy vettük figyelembe, hogy a friss szemcsék mennyiségét k az őrlésre visszaadott szemcsék mennyiségének függvényében. A (2.106) gyenletben a

e b_n vektor a (2.107) és (2.108) alatti kifejezéseknek megfelelően függ az

r

Ekkor az újraőrlésre visszaadott anyag mennyisége meghaladja a malomba beadagol-ható mennyiséget, ezért szemcseméretenként a szemcsék mennyiségének csak

∑

^{I ri ⋅}

k₀

-szorosát juttatják/juttatnák vissza a malomba a t_n időpillanatban.

= xi yJ tn−r

agy rövidebb ideig – esetleg mint felesleges készletet – tárolni kell/kellene.

i

en az ő lemény méreten felüli részéből valamennyi felgyülemlik, amit ho v

Amennyiben az ilyen recirkuláció kedvezőtlen üzemmódhoz vezetne, szimuláció segít-betöltött és/vagy a friss beadagolt anyagmennyiséget kellene csökkenteni a szimulációs

z ató úgy, hogy az 1) ából m engedett az őrlemény „méreten felüli”

, kkor az őrlési folyamatot leíró, mátrix formában ségével tanulmányozzuk, hogyan kerülhetnénk el. Például a malomba az őrlés kezdetén eredményeknek megfelelően. Így ez az üzemmód megválto tath

vagy 2) esetnél tárgyalt üzemmóddá váljon.

Amennyiben az üzem szempontj eg részének ilyen arányú visszatérítése a

megadott egyenlet:

n

.5. A folyamatos őrlést leíró rekurzív lineáris egyenletrendszerek

. Tétel.

zárt folyamatos őrlésnek akár a (2.81)-(2.85) egyenletekkel, akár a (2.86)-(2.90) egyenletekkel megadott modelljét tekintjük, ha

⎡ k

teljesül, akkor a zárt folyamatos őrlés egyenletrendszerében – akár a (2.81)-(2.83), akár .86)-(2.88) egyenleteket tekintjük – előforduló minden együttható nemnegatív.

τ 2+Pe⋅h_y +S

a (2

Bizonyítás.

Tekintsük először azt az esetet, amikor a szemcsék áramlását és törését egymást kizáró seményeknek tételezzük fel. Ekkor a (2.81)-(2.83) egyenleteket nézve, ha

e

kkor az egyenletek jobb oldalain álló valamennyi tag nemnegatív, következésképpen a

az egyenletek bal oldalain sem fordulnak elő negatív mennyiségek.

A (2.33) és a (2.76) alatti kifejezések szerint

) A (2.35), (2.36), (2.77) (2.78) alatti kifejezéseknek megfelelően

2

A (2.114) egyenletből p_i,i értékét, továbbá a (2.115) alatti kifejezéseket behelyettesítve a (2.113) egyenletbe azt kapjuk, hogy

⎟⎟

ahonnan az egyenlőtlenség rendezésével a (2.112) alatti egyenlőtlenség adódik.

Mint-−

2

1 1

1 i

hogy ekvivalens átalakításokat végezve jutottunk a (2.113) egyenlőtlenségből a (2.116) egyenlőtlenséghez, s tovább a (2.112) alattihoz, ezért a (2.112) egyenlőtlenség teljesülé-se eteljesülé-setén a (2.81)-(2.83) egyenletrendszerben minden együttható nemnegatív.

Következőként nézzük azt az esetet, amikor a szemcsék áramlását és törését egymástól független eseményeknek tekintjük. Ekkor a (2.86)-(2.88) egyenletek alapján, amennyiben

teljesül, az egyenletrendszerben előforduló minden együttható nemnegatív.

A (2.115), illetve a (2.114) alatti kifejezések felhasználásával a (2.117) alatti egyenlőtlenségek:

hy

⎟⎟

teljesülése esetén a (2.86)-(2.88) egyenletrendszerben minden együttható nemnegatív.

Összehasonlítva a (2.112) és a (2.118) egyenlőtlenségeket, azt látjuk, hogy

y

mert a számlálók megegyeznek, azonban bal oldali nevező nagyobb a jobb oldalinál, és

) a teljesül a (2.112) alatti szigorúbb feltétel, akkor rá a (2.118) alatti

s fennáll.

esemé

.

ugyanis mindkét oldalt elosztva Pe⋅h_y²-tel, ez esetben is a számlálók megegyeznek, azonban a bal oldali nevező a nagyobb. A (2.119) és a (2.120) alatti egyenl

miatt, ha a τ-r egyenlőtlenség i

□

1. Megjegyzés.

Az 1. Tétel bizonyításakor láttuk, ha a szemcsék áramlását és törését egymástól függet-len nyeknek tekintjük, akkor ahhoz, hogy a modellegyenletekben minden együtt-ható nemnegatív legyen, elegendő a (2.118) alatti egyenlőtlenség teljesülése.

1. Következmény

A folyamatos őrlés rekurzív lineáris egyenletrendszerében előforduló minden

együttható nemnegatív, ha ₂

2

A folyamatos őrlés kétféle, nyílt őrlés vagy zárt őrlés. A zárt őrlésre az állítás igaz, ezt ondja ki az

m fi

1. Tétel. A nyílt őrlés a zárt őrlésnek az a speciális esete, amikor a klasszi-kációs függvény azonosan nulla, . A zárt őrlés rekurzív lineáris egyenlet-kben – a ψ-t tartalmazó tag τ-tól

≡0 ψ

rendszerében – a (2.81) illetve a (2.86) egyenlete ggetlenül nemnegatív, ψ ≡0 esetben nullává válik.

fü

□

2.6. A folyamatos őrlést leíró mátrixok tulajdonságai

A T, C, C mátrixok mindegyikére igaz, hogy elemeik nemnegatívak. A T felső három-szög mátrix, C, C ritka mátrixok.

A következő állításunk igazolásához felhasználjuk az alábbi tételt.

Tekintsük az f x

B ^m

m⁺¹⁾ = ⋅ ^{( )} +

( , m=0,1,… (2.121)

x

alakban megadott iterációt – a B mátrix függhet az m-től is –, ahol az s erációnak nevezzük, ha a B mátrix nem függ m-től.

2. Tétel.

) 0

x( kezdővektorból újabb x^(m) vektorokat származtatunk. Az iterációt stacionáriu it

nnak, hogy a (2.121) alatti stacionárius iteráció tetszőleges kezdővektorból indulva A

konvergáljon, szükséges és elégséges feltétele az, hogy a ρ(B) spektrálsugárra teljesüljön, hogy ρ(B)=maxλ(B) <1.

A tétel bizonyítását Stoyan és Takó ismertette (Stoyan & Takó, 1993).

□

2. Megjegyzés.

Bármilyen vektornorma által indukált mátrixnorma esetén igaz a B

B)≤ ρ(

őtlenség, hiszen bármely sajátértékhez tartozó v (≠0) sajátvektorra érvényes

egyenl λ(B)

Bv=λv, λ ⋅ v = Bv ≤ B ⋅ v , azaz λ ≤ B .

Tekintsük a nyílt folyamatos őrlés (2.93) egyenlettel mátrix formában megadott leírását:

x_n+1 = Tx_n + a_n . . Tétel.

T őleges sajátértékét. 1) Bármely λ_T –re fennáll |λ_T | ≤ 1, z a átri ak ni n 1 obb abszolút értékű sajátértéke és 2) |λ_T | = 1 csak kkor teljesülhet, ha λ =1.

Bizonyítás.

3

lölje λ a T mátrix egy tetsz Je

a az T m xn ncse -nél nagy

a _T

A 3. Tétel bizonyításához felhasználjuk a 2. Megjegyzést, amely szerint egy mátrix rtékének abszolút értéke nem nagyobb a mátrix oszlopösszeg-ormájánál.

semelyik sajáté n

Ezért belátjuk azt az állítást, hogy a T mátrix oszlopösszeg-normája 1-gyel egyenlő, azaz

ol a T mátrix (2.95) alatt megadott felépítése szerint a

1,2,…,I és l=k esetben, valamint k=I·(J-1)+1, I·(J-1)+1,…, I·J és l=k e a T mátrix további elemei nullák.

lőször igazoljuk a bizonyítás során felhasználandó alábbi összefüggést:

E

∑

=

i (2.123)

Valóban, a (2.33) és a (2.76) alatti jelölés felhasználásáva

= −

zlop nak sorszámát.

z t

zlopában az elemek összege:

∑

^{= +}

∑

^{− − ⋅ + − ⋅ − + =}

b) I < l ≤ (I-1)⋅J

A T mátrix l-dik oszlopában az elemek összege:

∑

=

. A Gersgorin-tétel miatt a T mátrix egei az utolsó I számú oszlop kivételével 1-gyel egyenlők, az utolsó I számú oszlopban pedig (1 – V + V

ivel r ≤ (1-t_k,k), ezért a D tartomány a 0 középpontú 1 sugarú körben, a körívet is kedik el. Tehát T sajátértékei a 0 körüli 1 sugarú körtartományban (és a öríven) vannak. Az első (J-1)⋅I számú oszlop oszlopösszege 1, ezért 1≤ k ≤ (J-1)⋅I

rú ben benne vannak a 0 körüli 1 sugarú körben, s azt csak az (1,0) utolsó I számú oszlopban az oszlopösszegek értéke (1–V_F+V _B)<1,

ltuk, hogy |λ_T | =1 csak akkor teljesül, ha λ_T =1.

Ezzel a 3. Tétel 1. állítását bebizonyítottuk.

Térjünk rá 2. állítás bizonyítására.

∑

^⋅

minden sajátértéke a D tartományban van. A T mátrix oszlopössz C

esetén a (t_k,k,0) koordinátájú pontokból, mint középpontokból húzott (1-t_k,k) suga körök teljes egészé

ontban érintik. Az p

ezért (J-1)⋅I < k ≤ J⋅I esetén a (t_k,k,0) koordinátájú pontokból, mint középpontokból húzott ((1−V_F +V_B)−t_k,k)sugarú körök a 0 körüli 1 sugarú körön belül helyezkednek el, nincsen közös pontjuk a körvonallal.

Mivel a D tartománynak egyetlen közös pontja van a 0 középpontú 1 sugarú körrel, az (1,0) pont, így igazo

2.5. ábra. A T mátrixhoz tartozó Gersgorin-körök.

□

2.7. A stacionárius állapot

A stacionárius állapotot először a nyílt folyamatos őrlésre értelmezzük.

Amennyiben tetszőleges kezdővektorból indulva létezik az x_n+1 =Tx_n +a egyenlet által meghatározott rekurzióból származó x_n vektorsorozat határértéke – legyen

∞ ∞

→ x_n = x

nlim – , akkor határátmenettel az a

x T

x_∞ = _∞+ (2.124)

x∞

egyenletet kapjuk. Eszerint az -nel leírt állapot az előző időpillanatbeli állapothoz ltozatlan, tehát valóban a stacionárius állapotot jelenti.

képest vá

A stacionárius állapotot a zárt folyamatos őrlés esetén is hasonlóan értelmezzük.

Amennyiben tetszőleges kezdővektorból indulva létezik az y Cy b

n

n₊₁ = + egyenlet által meghatározott rekurzióból származó _n

értékkel leírt állapotot tekintjük a zárt őrlés stacionárius állapotának.

z őrlési gyakorlatban azt mondják, hogy beállt a stacionárius állapot, ha az őrl y vektorsorozat határértéke, akkor e

határ-emény z előírt pontosság szerint már nem változik. (A kívánt pontosságot sok lyásolja, például függ az őrlőkészüléktől, az őrlendő anyagtól.)

Tétel szerint az A

összetétele a ényező befo t

3. Megjegyzés.

A 2. x_n+1 = Tx_n + a eljárás konvergens, ha a T mátrix spektrálsugarára teljesül, hogy ρ(T)<1.

T

A

A T mátrix sajátértékei közül a λ =1 sajátértéket elméleti úton nem sikerült kizárni.

<1

λT sejtést a numerikus kísérletek eredményei és az őrlési tapasztalat alapján – amely szerint időegységenként állandó mennyiségű és összetételű friss őrlendő anyag

beadagolása esetén kivétel nélkül mindig beáll a malom stacionárius állapota – igaznak fogadhatjuk el.

Elméleti úton a zárt őrlésre sem sikerült igazolni a ρ(C)<1 egyenlőtlenséget. A umerikus kísérletek azonban ez esetben is azt mutatták, hogy

n ρ(C)<1 is teljesül a

tö si rek gyakorlatban előforduló értékeire, ha id mennyiségű és összetételű friss őrl

ísérletek el tudjuk alátámasztani, hogy a folyamatos őrlés diszkrét modelljének megoldása konvergens mind a nyílt, mind a

utatták szkrét modell származtatása során alkalmazott numerikus eljárás erikusan stabilnak bizonyult. Nem fo

erikus kísérleti eredmény.

tulajdonságai 4

) a malom minden egyes szekciójában az őrlés kezdeti időpillanatában azonos az anyagmennyiség, jelölje ezt A,

) az őrlés folyamán egy időegység alatt a bejáratnál a malomba jutó anyagmennyiség ) az őrlés folyamán a kinetikai és a működési paraméterek értéke állandó.

getlen ve, érvényes az alábbi állítás:

nyílt folyamatos őrlés és a zárt folyamatos őrlés folyamán is bármely t_n időpillanatban (n=0,1,2,…) állandó az anyagmennyiség a malom minden szekciójában.

Bizonyítás.

ré paraméte őegységenként állandó

endő anyagot táplálnak be. Így numerikus

k k

zárt őrlés esetén. A numerikus kísérletek azt m , hogy a di

num rdult elő numerikus instabilitásra utaló

num

2.8. A diszkrét modellek főbb . Tétel.

Ekkor a szemcsék áramlását és törését akár egymást kizáró, akár egymástól füg eseményeknek tekint

A

Először lássuk be, hogy fennáll a bizonyítás során felhasználandó alábbi összefüggés:

∑∑

^{⋅ =}

∑

^{⋅ ⋅}

egyenlőség bal oldalát átalakítjuk a (2.76) alatti –

I I I

∑

= ⋅ − ⋅ ⋅ − =

esetén hasonlóan végezzük, mint a zárt folyamatos őrlésre, ezért az állítás igazolását csak a zárt folyamatos őrlésre ismertetjük részletesen.

A 2) feltétel a nyílt folyamatos őrlés esetén

B F

n = − ⋅

z állítás bizonyítását a nyílt folyamatos őrlés A

l (2.91) alatti összefüggés, ahol

B

F − ⋅

=( )

0 .

A bizonyítást a t_n időpillanatra n szerinti teljes indukcióval végezzük, külön-külön ) j=1,

na

1

(2.128) a agmennyiség A. Ez n=0-ra t_n+1 időpillanatban az első szekció anyagmennyisége a (2.81), (2.120) gyenlet és a 2) feltétel felhasználásával következő:

1

míg a zárt folyamatos őrlésr

A

teljesülését jelenti. A (2.127) alatti egyenőség a

k V V A

a

b) j=2, 3, …, J-1, c) j=J esetben.

Először a szemcsék áramlását és törését egymást kizáró eseményeknek tekintett esetben igazoljuk az állítást.

a) j=1

A t₀ időpilla tban az 1) feltevés miatt

∑

^{I µˆ(xi,y1,t0)=A.}

i=

Tegyük fel, hogy a t_n időpillanatban az első szekcióbeli ny teljesül. A

ahonnan indukciós feltevésünket felhasználva kapjuk:

nyílt folyamatos őrlés esetén a j=1 eset bizonyítása a fentihez hasonlóan történik , hogy a (2.127) feltétel helyett a (2.126) feltételt kell figyelembe

) j=2, 3, …, J-1

0) az indukciós feltevésünk szerint

∑

i 1

A

azzal a különbséggel venni.

A további esetek bizonyítását is a fentihez hasonlóan végezzük.

b

A t₀ időpillanatban az 1) feltevés miatt A

j=1 esetre elvégzett bizonyítás és A

∑

^{I µˆ(xi,yj,tn)= A}, j=1, 2,…, J-1.

=

(2.131)

n+1 anyagmennyiség:

i 1

honnan a (2.125) és a (2.131) egyenlet felhasználásával kapjuk:

I

A t₀ időpillanatban az 1) feltevés miatt

∑

^{I µˆ(xi,yJ,t0)= A.} t_n+1 időpillanatban a j=J szekcióbeli anyagmennyiség:

i 1

Indukciós feltevésünk szerint

∑

^{I µˆ(x , ,t )=}

=

A

∑ ∑

h nnan a (2.125) egyenlet és az indukciós feltevés miatt

i

t a nyílt és a zárt folyamatos őrlésre az áramlást és törést egymást k feltételezve az at a nyílt és a zárt folyamatos őrlésre a szemcsék áramlását és törését gymástól független eseményeknek tekintve is bebizonyítottuk.

. Köv kezm n

3. Következmény.

A 4. Tételben szereplő feltételek teljesülése mellett – akár nyílt, akár zárt folyamatos ekciójában A mennyiségű anyag van.

□

. Következmény.

Van olyan recirkulációs őrlés, amikor nem következik be túltelítődés.

Természetesen nem igaz minden zárt folyamatos őrl eset

mennyiség, mert az a visszatérített „méreten felüli” szemcsék men alomnak stacionárius állapota, a stacionárius ően azonban állandó a malomban az anyagmennyiség, mégpedig minden szekcióban azonos mennyiségű anyag van. Ez az állítás csak abban az esetben igaz, ha a működési és a kinetikai paraméterek értéke az őrlési folyamat alatt

válto-∑∑

Ezzel az állításunka

kizáró eseményeknek tekintve bebizonyítottuk.

A szemcsék áramlását és törését egymástól független eseményekne el ő esethez hasonlóan igazoljuk az állítást.

Állításunk őz e

□

4. Megjegyzés.

Az 1) feltevés azt fejezi ki, hogy kezdetben a malomban sehol sem torlódik az anyag.

2 et ény.

A 4. Tételbe szereplő feltételek teljesülése mellett a malom minden szekciójában minden időpillanatban változatlan, az 1) feltétellel megadott A mennyiségű anyag van.

□

őrlés esetén – amennyiben a beadagolt anyag összetétele állandó, a stacionárius állapotban is igaz, hogy a malom minden sz

4

□

és én, hogy a malomban nyi-állandó az anyag

égétől függően ingadozhat. Ha van a m s

állapot beálltát követ

zatlan. Az ipari őrlőmalmok között megtalálhatók azok is, amelyekben a malom vége felé haladva nő a konvektív áram sség (Tarján, 1978). Olykor még fokozzák is ezt a kívánatos jelenséget. Ezek lőgépekben a szekciók anyagmennyiségei a malom kijárata irányában csökkennek. Az őrlési gyakorlatban előfordul, hogy a kine tikai paraméterek értéke változik az őrlés folyamán, vagyis az őrölhetőség nem mindig állandó (Pethő, 1987). Ilyen esetekre sem érvényes a 4. Tétel.

A malomban minden időpillanatban legalább annyi anyag van a zárt folyamatos őrlés esetén, mint a nyílt őrlés esetében, ha azonos anyagot őrölnek, a kétféle típusú őrlésnél megegyeznek a kezdeti értékek, azonos mennyiségű és összetételű friss (még őröletlen)

nyagot

lási sebe ben az őr

táplálnak be, továbbá a kétféle őrlési folyamat alatt a működési és a kinetikai rek megfelelő értékei rendre megegyeznek. A beadagolt friss szemcsék

gével, a stacionárius állapotban a malombeli és a visszatérített

és összetétele, a inetikai és a működési paraméterek értéke állandó az

y idő Ez a

a j-dik szekcióban lévő összes

an . Ekkor

ennyiségeit a következ egyenletet a (2.81) v

136)-(2.138) egyenletek a (2.82) vagy (2.87) mmázásával nyerjük, míg a (2.139) egyenletet a (2.83) vagy a (2.88) egyenletből ugyanígy eljárva származtatjuk.

a

paraméte ennyisé m

séggel, a késztermék mennyiségével, a malomban bekövetkezett anyagmennyiség-növekedéssel kapcsolatos fontos állításokat, észrevételeket tartalmaznak az 5-10. tételek és az 5-7. következmények.

5. Tétel.

Tegyük fel, hogy egy időegység alatt a malomba kerülő friss, még őröletlen anyag

mennyisége k

őrlés folyamán.

E feltételek teljesülése esetén a stacionárius állapotban a folyamatos őrlés során – zárt kor egyaránt – a malom szekcióiban azonos mennyiségű anyag van.

és nyílt őrlés Bizonyítás.

Jelölje az eg egység alatt a malomba kerülő friss, még őröletlen szemcsék mennyiség felírható a bizonyítás során könnyebbséget jelentő alábbi Bf . yagmennyiséget jelöljük A_j-vel, j=1,2,…,J-re, azaz

stacionárius állapotban az egyes szekciók m ő (2.135)-(2.139) egyenletek írják le, ahol a (2.135) agy a (2.86) egyenletből kapjuk i=1,2,…,I-re történő összegzéssel. A (2.

su

A (2.139) egyenlet rendezésével

−1

ódik:

konst J

J A A

A ₋₁ = = . (2.140)

A (2.138) egyenletbe visszahelyettesítéssel ad

konst B konst B

F J

F

konst V A V V A V A

A = ⋅ ₋₂ +(1− − )⋅ + ⋅ ,

így A_J−2 = A_konst. (2.141)

Folytatva a visszahelyettesítéseket j esetén, felhasználva, hogy , a (2.137) egyenletből kapjuk:

≥2

konst j

J

J A A A

A = ₋₁ =...= =

konst B konst B

F j

F

konst V A V V A V A

A = ⋅ ₋₁ +(1− − )⋅ + ⋅ , tehát

esetén

is teljesül. Összefoglalva, a (2.140)-(2.142) egyenlőségek miatt stacionárius állapot

. (2.143)

□

y az őrlés folyamán időegységenként a malomba kerülő friss, még röletlen anyag mennyisége és összetétele, a kinetikai és a működési paraméterek értéke

dó az ő a

(2.142)

≥2

j A_j−1 = A_konst

ban a malom minden szekciójában azonos mennyiségű anyag van,

konst

J A

A A₁ =...= =

6. Tétel.

Tegyük fel, hog ő

állan rlés folyamán. JelöljeB_f az időegységenként a malomba be dagolt friss anyag mennyiségét. Ez a mennyiség legyen ismét B_f =(V_F −V_B)⋅B alakban megadva.

Jelölje A_konst a stacionárius állapotban a malom egyes szekcióiban levő anyagmennyiséget.

Ekkor a stacionárius állapotban az osztályozóból visszatérített anyag mennyisége B

A_konst − .

z 5. tételben bevezetett jelöléseknek megfelelően, a stacionárius állapotban a j-dik lévő összes anyagmennyiséget jelölje j=1,2,…,J-re, azaz

1

y x_{i J} )

(V_F −V_B ⋅( ) Bizonyítás.

A

Aj, szekcióban

j I

j

i y t A

x =

∑

^{µˆ( , , ∞)} , és jelölje ˆ t_∞)

=

, , µ(

i

a J-dik szekcióban található i-dik méretű szemcsék mennyiségét a stacionárius állapotban.

ek össz év : A (2.135)-(2.139) egyenlet egezés el

= + +

+A A_J

A_{1 2} ...

)

Tehát azt kaptuk, hogy stacionárius állapotban az osztályozóból a visszatérített anyagmennyiség )(V_F −V_B)⋅(A_konst −B .

□

5. Következmény.

Nyílt folyamatos őrléskor időegységenként a malomba betáplált azonos összetételű és őrölhetőségű, friss, még őröletlen szemcsék mennyiségét jelölje . Legyen ez a mennyiség

éterek értéke állandó az

alakban megadva. Tegyük fel, hogy a kinetikai és a működési param őrlés folyamán. Jelölje a stacionárius állapotban a malom egyes szekcióiban levő anyagmennyiséget.

Ekkor a stacionárius állapotban a malom egyes szekcióiban levő anyagmennyiség és a friss beadagolt szemcsék mennyisége közötti kapcsolat:

konst

Felhasználva, hogy 1 0

)

V , a (2.145) egyenlet mindkét oldalát

-vel osztva azt kapjuk, hogy

A (2.146) egyenlőségből az is látható, hogy nyílt folyamatos őrlés esetén, azaz amikor

0

gységenként a malomba kerülő friss, még Ekk

any Biz

Jelö őröletlen

s így az állítás igaz.

□

7. Tétel.

Tegyük fel, hogy az őrlés folyamán időe

őröletlen anyag mennyisége és összetétele, a kinetikai és a működési paraméterek értéke állandó az őrlés folyamán.

or a stacionárius állapotban egy időegység alatt az őrlési folyamatot végleg elhagyó ag, a késztermék mennyisége megegyezik a beadagolt friss anyagmennyiséggel.

onyítás.

lje B_f az őrlés folyamán időegységenként a malomba kerülő friss, még anyag mennyiségét, ez a mennyiség felírható B_f =(V_F −V_B)⋅B alakban.

lje A_out az őrlési folyamatból egy időegység alatt végleg távozó anyag mennyiségét, z a méreten aluli szemcsék mennyiségét, ekkor

Jelö

5. Tételben bevezetett jelöléseinkkel ^I _J

i alának utolsó tagját a (2.144) figyelembe vételével írjuk fel, kapjuk:

V V

A =( − )⋅A −(V −V )⋅(A −B)=(V −V )⋅B, (2.148) s ezzel az állításunkat bebizonyítottuk.

□

8. Tétel.

Tegyük fel, hogy egy időegység alatt a malomba kerülő friss, még őröletlen anyag mennyisége és összetétele, a kinetikai és a működési paraméterek értéke állandó az őrlés folyamán. JelöljeB_f az időegységenként a malomba beadagolt friss anyag mennyiségét, legyen B_f =(V_F −V_B)⋅B.

Ekkor a malom kezdeti állapotától a stacionárius állapotáig bekövetkező anyagmennyi-ség növekedése a malomban – jelöljükA_∆-val –, ( )

)

( J B A

V V J A A

B

F −

Bizonyítás.

JelöljeA_rec a stacionárius állapotban az osztályozóból visszatérített anyagmennyiséget:

rec + ⋅ −

∆ = ⋅ .

) , , ˆ( ) ( )

(

1 2

1 ∞

= − ⋅

⋅

−

= ^{V V}

∑

^{x x y t}

A ^I _{i J}

i i

B F

rec ψ µ , (2.149)

innen a (2.145) alatti egyenlőség felhasználásával ) (

) (

) (

)

(V V A B V V A B

A_rec = _F − _B ⋅ _J − = _F − _B ⋅ _konst − ,

ahonnan V B V_{F B}

konst ( − )

A stacionárius állapotig a malomban az anyagmennyiség növekedése A

J A J

A_∆ = ⋅ _konst − ⋅ ,

ahonnan

A = A^rec + . (2.150)

) ) (

( J B A

V V J A A

B F

rec + ⋅ −

⋅ −

∆ = . (2.151)

Ezzel az állítást bebizonyítottuk.

□

6. Következmény.

Tegyük fel, hogy egy időegység alatt a malomba kerülő friss, még őröletlen anyag mennyisége B_f =(V_F −V_B)⋅A, ahol A jelöli az őrlés kezdeti időpillanatában az egyes szekciókban lévő azonos anyagmennyiséget. Továbbá tegyük fel, hogy a kinetikai és a működési paraméterek értéke állandó az őrlés folyamán.

Ekkor a malom kezdeti állapotától a stacioná us állapotáig bekövetkező anyagmennyi-ség növekedése a malomban

ri ) (V_F

∆

B rec

V J A

A = ⋅ − , vagyis arányos azzal az anyag-almon.

A∆

mennyiséggel, amennyi a stacionárius állapotban visszaáramlik a malomba annyi idő alatt, amíg az anyag végighalad a m

Bizonyítás.

A feltételünk miatt A=B, ekkor a (2.151) alatti összefüggés szerint

) 5. Megjegyzés.

)

( − -t a szemcsék relatív előre haladási sebességének tekintjük a malomb

□

malom hosszát egységnyinek tekintve,

) anyagnak a malmon való végighaladásához szükséges. Amíg az anyag végighalad a malmon,

− mennyiségű anyag áramlik vissza az osztályozóból. Ezért a (2.152)

− mennyiségű anyag áramlik vissza az osztályozóból. Ezért a (2.152)

In document Folyamatos őrlési folyamatok számítógéppel segített numerikus vizsgálata (Pldal 66-0)