2. A folyamatos őrlések leírására kifejlesztett matematikai modellek és tulajdonságaik
2.2. A zárt folyamatos őrlés folytonos matematikai modellje
őrlés, a körfolyamatos őrlés – egy lehetséges matematikai leírását ismertetem. Az
újon-an kifejlesztett modell a nyílt folyamatos őrlés leírásához hozzácsatolja a recirkuláció és a klasszifikáció leírását is, ilyen értelemben tekinthető az MBL modell
kiterjesz-léletében is eltér z MBL modelltől.
zárt folyamatos őrlés matematikai modelljét úgy származtatom, hogy a nyílt folyamatos őrlés leírását – (2.1)-(2.4) – kiegészítem az osztályozás és a recirkuláció leírásával.
Az ipari alkalmazásokban elterjedt folyamatos recirkulációs őrlési folyamatot – így a hengeres golyósmalmi zárt folyamatos őrlést is – a 2.1. ábra szemlélteti.
n
tésének. Az új modell azonban részben származtatásában, részben szem a
2.2. A zárt folyamatos őrlés folytonos matematikai modellje A
2.1. ábra. Folyamatos őrlés osztályozással és a méreten felüli szemcsék recirkulációjával.
Eg
ir-kulációs őrlés sematikus ábrája ayes őrlő-osztályozó folyamatokban keverőt is alkalmaznak, az ilyen folyamatos rec z alábbi 2.2. ábra.
2.2. ábra. Folyamatos őrlés osztályozással és a méreten felüli szemcsék recirkulációjával, keverő alkalmazásával.
A malom kijáratánál a távozó anyagra vonatkozó tömegáram-sűrűségfüggvény az alábbi egyenlettel adható meg:
~)
~,
~,
~(
~)
~,
~(
t Y x m u t x
f = ⋅ . (2.6)
A 2.1 alfejezetben leírt 1), 2) feltételek megtartása mellett még egy további feltevéssel lünk;
3) az osztályozó készülékben az osztályozást é
a ψ~(~x) klasszifikációs függvény írja le, ahol:
0 ≤ ψ~(~x) ≤ 1. (2.7)
Az osztályozó működését az alábbi (2.8) és (2.9) egyenlet írja le. Az osztályozóból két útvonalon távoznak a szemcsék: a nagyméretűek vagy má zóva a „m eten f
jraőrlésre visszatérítődnek a malomba (vagy a keverőbe), az őrlemény másik része, az
: , , ( A (2.8) egyenlet fejezi ki az hogy z osz
isszaadják. Az őrlő-osztályozó folyamatból kikerülő anyagra vonatkozó tömegáram- s s l ér elüliek”
ú
apró szemcsék vagy a „méreten aluliak”, a folyamatban előállított készterméknek minősülnek, s ezért kikerülnek az őrlési folyamatból.
Az osztályozóból újraőrlésre visszatérített anyagra vonatkozó tömegáram-sűrűségfüggvény, ~(~,~)
t, a tályozóból az őrlemény durva részét őrlésre v
sűrűségfüggvény, ~ (~,~) t x
fout a következőképpen írható fel:
~)
Feltéve, hogy a visszatérített anyag valamennyi idő, a késleltetési idő elteltével tiszta konvektív áramlással kerül vissza az osztályozóból a malomba (vagy a keverőbe). A késleltetés időtartamát d~
jelöli, ezért van a (2.10) egyenletben a ~ időpillanathoz képest t d~
időegységgel korábbi időpillanat, ~t −d~. Így a malom bejáratánál a mérlegegyenlet – feltételezve a friss őröletlen szemcsék és az osztályozóból visszatérítettek ideális keveredését – az alábbi egyenlet:
~) (2.1)-(2.4), (2.8), (2.10) egyenletek leírják a folyamatos recirkulációs őrlést. Ez a
modell lehetővé teszi a malomba való betáplálás – amit az A
ff
~ tömegáram-s űrűség-függvény ír le – időtől függő változását. Így az osztályozási feltételtől is függően
áltozik a malom telítettsége.
~min
feltétel teljesül. Ilyenkor valójában azt tételezzük föl, hogy a friss, még őröletlen anyag beadagolandó mennyiségét a recirkuláció során visszaadott anyagmennyiség függvé-nyében szabályozzák.
v
Bizonyos körülmények között azonban a malom állandó telítettségi szinten tartására van szükség, következésképpen ezért ilyenkor azt az esetet vizsgálom, amikor a
~max
~ ~
~ ~
x
∫
=A (2.1) egyenlet felírható a törési eloszlásfüggvénnyel a (2.12) egyenlet formájában.
diszkrét modell megalkotásakor a (2
A .1) egyenlet helyett a (2.12) egyenletet használom:
∂
∫
A zárt folyamatos őrlés fenti folytonos matematikai modellje magában foglalja a nyílt folyamatos őrlés és a szakaszos őrlés folytonos modelljét is. A ψ ≡ 0 választása esetén megadja a nyílt folyamatos őrlés modelljét, míg az u=0 és 0
L őrlés folytonos modelljére vezet.
2.3
atos őrlés diszkrét matematikai modellje
sete. gyanis a ψ lasszifikációs függvény ψ ≡ 0 választása esetén a zárt folyamatos őrlés leírása a nyílt folyamato r Ezt az utat választom a nyílt folyamatos őrlés modell-jének megalkotására. A zárt őrlés diszkrét modellje származtatását a következő alfejezet tartalmazza.
2.3.2. A zárt f diszkrét matematikai modelljei
A zárt folyamatos őrlés diszkrét matematikai modellje a (2.12), (2.2)-(2.4), (2.8), ármaztatható. A továbbiakban bemutatom a származtatásával együtt a kifejlesztett i ré modelleket.
. A folyamatos őrlések diszkrét matematikai modelljei rekurzív lineáris egyenletrendszer formájában
2.3.1. A nyílt folyam
A nyílt folyamatos őrlés a zárt folyamatos őrlés speciális e U k
s ő lés leírását adja.
olyamatos őrlés
(2.10) egyenletekből – esetenként a (2.11) figyelembevételével – diszkretizálással sz
d szk t
Definiáljuk az alábbi dimenzió nélküli változókat és paramétereket:
Y
A malom paraméterei közötti kapcsolatot a Péclet-féle szám fejezi ki az alábbi összefüggés szerint:
(2.14) Pe=uY~/D .
Az , , , ψ függvények is dimenzió nélküli változók
A nlet dimenziómentes alakban felírva:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
⋅ kifejezést a (2.13) és a (2.14) egyenlet felhasználásával átalakítjuk és azt kapjuk, h
Felhasználjuk, hogy a (2.13) képlet alkalmazásával
=
zután a folytonos modellt dimenziómentes alakban az alábbi (2.19)–(2.24) egyen-E
zó peremfeltételt a (2.3) egyenletből a (2.14) egyenlet figyelembe-ételével kapjuk, amely az alábbi (2.21) egyenlet:
⎤
Az y=0-ra vonatko v
y
Az y=1-re vonatkozó peremfeltétel pedig a (2.22) egyenlet:
) 0
(2.6) és a (2.8) egyenletből, valamint a (2.15) egyenletből kapju )
A (2.10) egyenletből származik a (2.24) egyenlet:
d t x fr −
+ . (2.24)
A folytonos modellt először a szemcseméret szerint diszkretizálom.
Jelölje I a szemcseméret szerinti osztályzásnál az osztályok számát. Vezessük be az lábbi jelöléseket:
a a malom y koordinátájánál a t időpillanatban az i-dik szemcseméret-intervallumba emcsék mennyiségét fejezi ki.
(2.26) egyenletet:
tartozó sz
A jobb oldali harmadik tagból átalakítással kapjuk:
A (2.26) egyenletből a (2.27) felhasználásával:
⎡
zután következik a malom hosszúsága szerinti diszkretizáció.
Legyen J a malom hosszúság szerinti diszkretizálásánál a részintervallumok, a szekciók z ma. Vezessük be az alábbi jelöléseket:
∑ ∫ ∫
lvégezve az y= yj helyettesítést, a (2.28) egyenletből kapjuk:
A (2.29) egyenlet jobb oldalán a harm alkalmazásával az alábbiak szerint közelítjük:
−
adik és negyedik tagot középpont-szabály
∫
k − =(2.30 egyen tben
A ) le
2 2
A (2.29) egyenletből kapjuk az alábbi (2.31) egy
1 k
k−
enletet, felhasználva a (2.30) gyenletet, a (2.25) alatti jelölést és alkalmazva a trapéz-szabályt:
hx (2.31) egyenletben a parciális deriváltakat numerikus differencia formulákkal –
evételével:
bólumot, a (2.32) egyenletből kapjuk:
szim
⋅ + Bevezetve a jelöléseket a (2.35), (2.36) szerint,
−
a (2.34) egyenletből kapjuk:
∂ +
A (2.37) és (2.38) egyenleteket 2
y -vel gszorozzuk és összeadjuk, kapjuk az alábbi
h me
(2.39) egyenletet:
+ +
+ + Vezessük be a következő jelölést:
j
y
y 1
(2.40)
(2.40) alatti jelöléssel bevezetett
2
(2.40) egyenlet alatti integrál közelítő kiszámítását trapéz-szabály alkalmazásával végezve kapjuk:
szekciójában előforduló i-dik szemcseméret-intervallumba tartozó szemcsék mennyisé-ét fejezi ki, ahol j=1, …,J, i=1, 2, … , I.
lölje τ a dimenziómentes időlépés hosszát, tegyük fel, hogy Je
lyettesítéssel, a (2.40) és (2.41) figyelembevételével apjuk:
A (2.45) egyenletben µ(xi,yj-1,tn) és µ(xi,yj+1,tn) fordul elő, e j=2, …, J-1 esetén értelmezhető.
telek segítségével írjuk fel.
A
zért ez az egyenlet csak
A j=1, j=J eseteket a peremfelté
t
kifejezéséhez az alábbi levezetést végezzük.
A Taylor-formula alapján felírjuk a következő egyenlőséget:
)
(2.48) egyenlet jobb oldali első tagjára bevezetve az alábbi (2.49) alatti jelölést, második tagját a (2.23) egyenlet szerint felírva kapjuk a (2.50) egyenletet:
i
(2.25) alatti jelölés alkalmazásával:
xi
let bal oldalába a (2.51) egyenlet jobb oldalát helyettesítjük:
A (2.45) egyen
y
A (2.52) egyenlet rendezésével:
n etet a j=0, t=t helyen tekintve és figyelembe véve a (2.25), (2.33) alatti
je k:
A (2.31) egye l n
löléseket, az alábbi egyenletet kapju
( ) ( ) ( )
+A (2.46) egyenlet rendezésével:
)
A (2.54) egyenletbe az y szerinti másodrendű parciális deriváltat a (2.55) egyenletből elyettesítjük:
(2.56) egyenlet jobb oldalán az első parciális deriváltakat a (2.53) egyenletből A
helyettesítve kapjuk:
) A (2.57) egyenlet rendezésével:
+ (2.59) és (2.60) egyenleteket
)
-vel megszorozzuk és összeadjuk, kapjuk:
A
+ + A J-1 eset levezetéséhez hasonlóan, a (2.40) alat
yj
alkalmazásával a (2.61) egyenletből kapjuk:
+ A jobb oldalon szereplő
)
tagokat O(hy) hibatagba összegyűjtve kapjuk az alábbi (2.62) egyenletet: A esetben az alábbi levezetést végezzük.
Taylor-formula alapján felírjuk a következő egyenlőséget:
j=J (2.63) egyenlet jobb oldali első tagja a (2.4) egyenlet alatti peremfeltétel miatt nulla.
ovábbá a (2.25), a (2.33) alatti figyelembe véve, az alábbi egyenletet kapjuk:
A
Az y szerinti másodrendű parciális deriváltat a (2.64) egyenletből kifejezzük:
+ yenletet helyettesítve a (2.63) egyenletbe, kapjuk:
I
+ A (2.66) egyenletben az y szerinti parciális deriváltat differenciahányadossal közelítve, a t szer ti p iváltat kifejezve kapjuk:
2 ⋅
+ ( ) ( 2)
in arciális der
( ) ( ( ) ( ) )
(x ,y ,t )− (x ,y ,t )+(2.35), (2.36) egyenlet alatti jelölésekkel –
A ~ 1 Pe 2hy tből kapjuk:
egyenle
A (2.68) és (2.69) egyenleteket -vel megszorozzuk és összeadjuk, kapjuk:
+ +
+ j=2,…,J-1 eset levezetéséhez hasonlóan,
yj
felhasználásával kapjuk:
+ Az idő szerinti parciális derivált alábbi közelítésével
a (2.62), (2.43), (2.71) egyenletekből származtatjuk rendre a (2.73), (2.74), (2.75) egyenleteket.
− =
e lölések alkalmazásával rendre a (2.73), (2.74), (2.75) gyenletek rendezésével kapjuk a folyamatos recirkulációs őrlés rekurzív lineáris egyenletrendszer formájában felírt diszkrét matematikai modelljét, elhagyva a hibatagokat:
∑
= A kezdeti feltétel:t
rlés rekurzív lineáris rmában.
Tehát a (2.81)-(2.85) egyenletek megadják a zárt folyamatos ő
egyenletrendszer alakjában felírt diszkrét matematikai modelljét dimenziómentes fo
2.3. ábra. A szemcsék malombeli mozgása.
A szemcsék malombeli mozgását a 2.3. ábra szemlélteti, az eredményül kapott modell alapján a zárt folyamatos őrlés értelmezése az alábbi:
A (
: azoknak a részecskéknek a ennyiségéből, amelyek az n-dik időpillanatban is az első szekcióban voltak, és áramlással előbbre sem jutottak, sem kisebb méretű e törte
Ezt fejezi ki a jobb oldali első tag. A második tag mega
emcseméret-intervallumba tartozó szemcséknek a mennyiségét, amelyek a tn
idő-ennyiségét, amelyek az időegység alatt lezajlott törési folyamat során vált
ző szekcióból átkeveredtek ebbe a szekcióba egy törött, sem előre vagy ő szekcióból viss
őrlési fo
n+1 jobb oldala megadja, hogy ez a mennyiség rendre az alábbiakból áll: az utolsó előtti szekcióból előre keveredett i-dik méretű szemcsék -dik méretű szemcsék mennyiségéből, és az utolsó szekcióbeli i-dik
csék mennyiségéből.
őrlés leírását is, ert ha ψ ≡ 0, akkor a nyílt folyamatos őrlés leírását kapjuk.
i-dik méretű szemcsék 2.81) egyenlet bal oldala kifejezi a malom első szekciójában, más szóval oszlopában az i-dik szemcseméret-intervallumba tartozó szemcsék mennyiségét az őrlési folyamat (n+1)-dik időpillanatában, a tn+1 időpillanatban. Az egyenlet jobb oldala szerint ez a mennyiség a következő részmennyiségekből adódik
m
re n m k egy időegység alatt.
dja azoknak az i-dik sz
pillanatban a második szekcióban voltak és egy időegység alatt visszakeveredtek az első szekcióba. A harmadik tag kifejezi azoknak az i-dik méret-intervallumba tartozó szemcséknek a m
ak ebbe a méret-intervallumba tartozókká. A következő tag a még őröletlen, frissen beadagolt i-dik méret-intervallumba tartozó szemcsék mennyiségét fejezi. Az utolsó tag megadja az osztályozóból visszaküldött i-dik szemcseméret-intervallumba tartozó szemcsék mennyiségét. Az osztályozóból r időegység alatt – ami d időtartamnak felel meg – kerül vissza az anyag a malomba (vagy a keverőbe), az osztályozó működését a ψ klasszifikációs függvény írja le.
A (2.82) egyenlet bal oldala kifejezi a malom tetszőleges belső szekciójában az i-dik méret-intervallumba tartozó szemcsék mennyiségét az őrlési folyamat (n+1)-dik időpillanatában. Az egyenlet jobb oldala mutatja, hogy ez a mennyiség rendre az alábbiakból tevődik össze: azon i-dik méret-intervallumba tartozó szemcsék
ennyiségéből, amelyek az elő m
időegység alatt, továbbá a tekintett szekcióbeli sem el nem
hátrafelé nem keveredett i-dik méretű szemcsékből, valamint a következ
zakeveredett dik méretűek mennyiségéből, és még a tekintett szekcióban maradt, i-dik méretűre tört szemcsék mennyiségéből.
A (2.83) egyenlet bal oldala kifejezi a malom utolsó szekciójában az i-dik szemcseméret-intervallumba tartozó szemcsék mennyiségét az lyamat során a t időpillanatában. Az egyenlet
mennyiségéből, továbbá az utolsó szekcióbeli sem el nem törött, sem előre nem keveredett i
méretűre tört szem
A (2.81) - (2.85) egyenletek magukban foglalják a nyílt folyamatos m
A fenti levezetéssel származtatott modell azok közé tartozik, amelyek azt a szemléletet képviselik, hogy egy „időpillanat”, a modellekben előforduló nagyon rövid időlépés alatt a szemcsék áramlása és törése egymást kizáró események (Mika, 1976, Austin et al., 1984, Austin et al., 1988, Kis et al., 2004a, 2004b és 2005). Egy időegység alatt azokkal a szemcsékkel nem történik változás, amelyek az időegység elmúltával ugyanabban a szekcióban és ugyanabban a méret-intervallumban maradnak, mint amelyikben az időegység kezdetén voltak. A továbbiakban feltesszük, hogy a szemcsék
áma nagy. Egy időegység alatt mindegyik szekcióban az sz
) (
2
−1
xi
S -szerese törik, i=1,2,…,I, tehát ( )
2
−1
xi
S az i-dik méretű szemcsék törési z
l ennyi távozik a kijáraton egy időegység alatt, így a szemcsék előreáramlási valószínűsége. Hasonlóképpen, a szemcsék visszafelé áramlási valószínűsége. A (2.8
valós ínűsége. Mindegyik szekcióból a szemcsék VF-szerese áramlik át a következő szekcióba, illetve az utolsó szekcióbó
~
~
F V~B
V
1) egyenlet jobb oldali első tagjában és a (2.83) egyenlet
))
második tagjában a bal oldali tényező,
annak a valószínűségét fejezi k rvallumba tartozó szemcséket tekintve τ idő alatt sem áramlás, sem törés nem következik be. A (2.82) egyenletbeli
i, hogy az i-dik méretinte ))
szekcióját tekintve jelenti ugyanezt a valószínűséget. Az 1−( + ⋅ ( ))
F i
lenik az őrlési modellekben.
léletet képviselik, amely szerint a szemcsék áramlása és tlenül megy végbe (Mihálykó et al., 1998, Berthiaux, 2000, Kis t al., 2001a, 2001b, 2002a, 2002b, 2003a, 2003b és 2003c, Kis et al., elfogadott, Mizonov et al., 2002).
A (2.81), (2.82), (2.83) e
törési események függetlenségét fejezzék ki.
Mindegyik szekcióban annak a valószínűsége, hogy egy időegység alatt az i-dik méretű szemcsék nem törnek el
esemény külön-külön vett valószínűségének az összege adja, amiből az következik, hogy a modellünkben az áramlást és a törést egymást kizáró eseményeknek tekintjük. A továbbiakban ezt a modellt Modell I-nek nevezzük.
Az őrlési folyamat egy másik megközelítése is megje Ezek a modellek azt a szem
törése egymástól függe e
gyenleteket átalakíthatók úgy, hogy azok az áramlási és
i=1,2,…,I. Annak a valószínűsége, hogy a ), míg
szemcsék nem áramlanak el a szekcióból az első és utolsó szekciót tekintve (1-V~F a többi szekció esetén (1-V~F
-V~B
). Az áramlást és a törést egymástól független seménynek tekintve az első és az utolsó szekciót nézve
e 1 ) (1 ( ))
a valószínűsége, hogy az i retintervallumba tartozó szemcsék sem el nem ár nan, sem el nem törnek tt. Más szekciókra ez a valószínűség
-dik mé
őegység alatt i-dik méretűre tört szemcsék közül csak azok maradnak a zekcióban, amelyek az időegység alatt nem áramolnak el. Ezek mennyisége rendre az első, valamelyik belső, illetve az utolsó szekció esetén
i
z áramlás és törés függetlenségét kifejező modell, amelyet a továbbiakban Modell II-nek
⋅
A kezdeti feltétel:
0
zintjét az üzemi feltételeknek egfelelő állandó szinten kell tartani, akkor a frissen beadagolt őrlendő anyag m z osztályozóból visszaadott mennyiségnek megfelelően változtatják.
kkor a (2.11) összefüggés diszkretizálásából kapott
A Modell II-t tekintve is igaz, hogy a ψ ≡ 0 választással a nyílt folyamatos őrlés leírását kapjuk.
Abban az esetben, amikor a malom telítettségi s m
meg, ahol az őrlőkészüléknek megfelelően mek0 feltétel teljesülését követelik
állapított konstans.
Mindkét szemléletű modellbe – a (2.81)-(2.85) és a (2.86)-(2.90) egyenletekkel gadottba is – a malom u és D fizikai paramét F B
épülnek be. Az őrlendő anyag paraméterei az S törési szelekciós függvényen és a B törési eloszlásfüggvényen keresztül vannak jelen a modellben.
A törési szelekciós függvény és a törési eloszlásfüggvény képletének és aramétereinek
erthiaux, 1996a, Berthiaux & Dodds, 1997, Austin, 1999). Az u és D malom-éterek meghatározására az utóbbi időben Nierop és Moys végzett kutatásokat z
A diszkrét modell, mint késleltetett differenciaegyenlet-rendszer
A (2.81) és a (2.86) egyenlet formájáb jól lá ható, gy a árt fo
(r+ 1 ) - ed rendű differenciaegyenlet-rendszer írja le. Az (n+ 1 ) - dik időpillanatban a szemcsék eloszlását a közvetlenül megelőző és az (r+ 1 ) - gyel korábbi állapot határozza meg.
2 . A lyam ő lések átri form an megadott diszkrét matematikai elljei
2.4.1. A nyílt folyamatos őrlés diszkrét modellje mátrix formában
A malom mindegyik szekciójában a szemcséket nagyságuk szerint rendezettnek képzeljük. A malomban a j-dik szekcióba és az i-dik szemcseméret-intervallumba tartozó szemcsék virtuális helyét a malom (i,j) cellájának nevezzük (Mihálykó et al.,
998). A malmot cellákra bontottnak tekintjük, amint azt a 2.4. ábra szemlélteti. A
c k egy vektort, a
i I j j
i ↔ − ⋅ + . Az
p meghatározásával már hosszabb ideje eredményesen foglalkoznak (B
param
(Nierop & Moys,1998, Nierop & Moys, 2002). Az 1998-ban publikált MBL modell is u, D paramétereket használja.
a
ól t ho z lyamatos őrlést
.4 fo atos r m x áb
mod
1
lineáris egyenletrendszer felírásához a malom elláiból létrehozun
„malomvektor”-t úgy, hogy a malom (i,j) cellájához kölcsönösen egyértelműen hozzárendeljük a „malomvektor” ( (j- 1 )⋅I+i) - dik elemét:
(, ) (( 1) )
xn vektor elemei a tn időpillanatban a malom celláiban lévő szemcsék mennyiségeit tartalmazzák. Korábbi jelölésünkkel
) , , ( ˆ ) ) 1
n((j I i x y t
x − ⋅ + =µ i j n , i=1,2,…,I, j=1,2,…,J. (2.92)
2.4. ábra. A malom cellái.
A folyamatos ecirk áció lküli rlés diszkrét matem tikai je felírható az
vektor a m om kezdeti betöltését leíró tetszőleges kezdővektor, an vektor a még őröletlen frissen betáplált szemcsék mennyiségét írja le a tn időpillanatban:
⎪⎪
hol T3 zérusmátrix, T2 és T4 diagonális, T1 és T5 felülről trianguláris mátrix.
visszakeveredését írja le az előző szekcióba, a T4 mátrix a ő szekcióba.
emcsék előre áramlását fejezi ki a következ sz
A szemcsék áramlását és törését egymást kizáró eseményeknek tekintve a T1 és a T5 mátrix elemei:
A szemcsék áramlás a T5 mátrix elemei:
át és törését egymástól független eseményeknek feltételezve a T1 és
.4.2. A zárt folyam
z=1, 2, …,I-1 i=z+1, …,I.
atos őrlés diszkrét modelljei mátrix formában A zárt f
lakjában megadott diszkrét matematikai modellje felírható lineáris egyenletrendszer rmájában, akár a (2.81)-(2.83), akár a (2.86)-(2.88) egyenleteket tekintjük. Az így aztatott modelleket nevezzük mátrix formában felírt modelleknek. A zárt folya-atos őrlés mátrix formában megadott modellje speciális esetben a nyílt folyamatos őr
A zárt folyamatos őrlés az alábbi mátrix formában írható le:
2
olyamatos őrlésnek a 2.3.2. alfejezetben rekurzív lineáris egyenletrendszer a
fo szárm m
lés mátrix alakú modelljére redukálódik.
n
ahol az R mátrix mérete megegyezik a T mátrixéval, blokkokbó l fel
. (2.97)
A mátrix az osztályozó működését írja le, mérete I×I, fődiagonálisának elemei az gyes szemcseméret-intervallumokra vonatkozóan megadják, hogy az osztályozóból az
⎤
őrlemény milyen arányát kell újraőrlésre visszajuttatni.
⎡r 0 L
ahol
(2.85) alatti kezdeti feltétel miatt a (2.96) egyenletben ri
azt fejezi ki, hogy az (i,J) cella tartalmának hányad része áramlik vissza (i=1,2,…,I Az O1, O2, O
A xˆ0 =x0 a malom kezdeti
állapotát leíró adott vektor, míg a (2.84) egyenlettel megadott kezdeti feltétel miatt az xˆ −r, xˆ ,…, 1−r xˆ−1 vektorok I⋅J méretű nullvektorok,ˆ−r = ˆ1−r =...= ˆ−1 =0
Nyílt folyamatos őrlés esetén – a
a (2.96) egyenlet megegyezik a (2.93) egyenlettel.
x x
x .
bban a speciális esetben, amikor R mátrix nullmátrix – A zárt folyamatos őrlés diszkrét matematikai modellje megadható az alábbi mátrix formában megadott egyenlettel:
n n
) ( ) (J⋅I × J⋅I
A C mátrix soraiban és oszlopaiban (r+1) számú méretű mátrix áll.
A friss őrlendő anyag mennyiségére és az mennyiségére vonatkozó, a (2.91) egyenlettel leírt
osztályozóból visszatérített anyag együttes
0
yelem atikai
mba egy időegység alatt beadagolt konstans anyagmennyiséget korábban bevezetett
megszorításokat is fig be tudjuk venni a mátrix formában felírt matem odellben is. A malo
m
r ψ jelölésünkkel a (2.91) egyenlet az alábbi:
(2.103)
en a (2.91) egyenlet alatti feltétel teljesül, ha csak az osztályozóból
⋅ −
µ mennyiségtől függően három esetet különböztetünk meg:
I
bben az esetb E
újraőrlésre visszatérített szemcséket juttatjuk be a malomba, friss szemcséket nem adagolunk be a tn időpillanatban, azaz kifejezéssel van megadva.
2. eset: 0
ett nagy szem iss szemcséke is ada mennyisége:
Ebben az esetben a visszatérít cséken kívül fr t golunk be, ezek
∑
I = −∑
I ⋅µˆ=
= i
i 1 1
Jelölje p1, p2, … , pI a friss őrlendő anyagra vonatkozóan az egyes szemcseméret-inter-rtozás valószínűségeit, ekkor pi≥0, i=1, 2, … , I és A beada-g
leíró egyenlet:
∑
=olandó friss szemcsék mennyiségei szemcseméretenként:
∑
alatti kifejezéssel van megadva.⎥⎥
(2.91) alatti megszorítást úgy vettük figyelembe, hogy a friss szemcsék mennyiségét k az őrlésre visszaadott szemcsék mennyiségének függvényében. A (2.106) gyenletben a
e bn vektor a (2.107) és (2.108) alatti kifejezéseknek megfelelően függ az
r
Ekkor az újraőrlésre visszaadott anyag mennyisége meghaladja a malomba beadagol-ható mennyiséget, ezért szemcseméretenként a szemcsék mennyiségének csak
∑
I ri ⋅k0
-szorosát juttatják/juttatnák vissza a malomba a tn időpillanatban.
= xi yJ tn−r
agy rövidebb ideig – esetleg mint felesleges készletet – tárolni kell/kellene.
i
en az ő lemény méreten felüli részéből valamennyi felgyülemlik, amit ho v
Amennyiben az ilyen recirkuláció kedvezőtlen üzemmódhoz vezetne, szimuláció segít-betöltött és/vagy a friss beadagolt anyagmennyiséget kellene csökkenteni a szimulációs
z ató úgy, hogy az 1) ából m engedett az őrlemény „méreten felüli”
, kkor az őrlési folyamatot leíró, mátrix formában ségével tanulmányozzuk, hogyan kerülhetnénk el. Például a malomba az őrlés kezdetén eredményeknek megfelelően. Így ez az üzemmód megválto tath
vagy 2) esetnél tárgyalt üzemmóddá váljon.
Amennyiben az üzem szempontj eg részének ilyen arányú visszatérítése a
megadott egyenlet:
n
.5. A folyamatos őrlést leíró rekurzív lineáris egyenletrendszerek
. Tétel.
zárt folyamatos őrlésnek akár a (2.81)-(2.85) egyenletekkel, akár a (2.86)-(2.90) egyenletekkel megadott modelljét tekintjük, ha
⎡ k
teljesül, akkor a zárt folyamatos őrlés egyenletrendszerében – akár a (2.81)-(2.83), akár .86)-(2.88) egyenleteket tekintjük – előforduló minden együttható nemnegatív.
τ 2+Pe⋅hy +S
a (2
Bizonyítás.
Tekintsük először azt az esetet, amikor a szemcsék áramlását és törését egymást kizáró seményeknek tételezzük fel. Ekkor a (2.81)-(2.83) egyenleteket nézve, ha
e
kkor az egyenletek jobb oldalain álló valamennyi tag nemnegatív, következésképpen a
az egyenletek bal oldalain sem fordulnak elő negatív mennyiségek.
A (2.33) és a (2.76) alatti kifejezések szerint
) A (2.35), (2.36), (2.77) (2.78) alatti kifejezéseknek megfelelően
2
A (2.114) egyenletből pi,i értékét, továbbá a (2.115) alatti kifejezéseket behelyettesítve a (2.113) egyenletbe azt kapjuk, hogy
⎟⎟
ahonnan az egyenlőtlenség rendezésével a (2.112) alatti egyenlőtlenség adódik.
Mint-−
2
1 1
1 i
hogy ekvivalens átalakításokat végezve jutottunk a (2.113) egyenlőtlenségből a (2.116) egyenlőtlenséghez, s tovább a (2.112) alattihoz, ezért a (2.112) egyenlőtlenség teljesülé-se eteljesülé-setén a (2.81)-(2.83) egyenletrendszerben minden együttható nemnegatív.
Következőként nézzük azt az esetet, amikor a szemcsék áramlását és törését egymástól független eseményeknek tekintjük. Ekkor a (2.86)-(2.88) egyenletek alapján, amennyiben
teljesül, az egyenletrendszerben előforduló minden együttható nemnegatív.
A (2.115), illetve a (2.114) alatti kifejezések felhasználásával a (2.117) alatti egyenlőtlenségek:
hy
⎟⎟
teljesülése esetén a (2.86)-(2.88) egyenletrendszerben minden együttható nemnegatív.
Összehasonlítva a (2.112) és a (2.118) egyenlőtlenségeket, azt látjuk, hogy
y
mert a számlálók megegyeznek, azonban bal oldali nevező nagyobb a jobb oldalinál, és
) a teljesül a (2.112) alatti szigorúbb feltétel, akkor rá a (2.118) alatti
s fennáll.
esemé
.
ugyanis mindkét oldalt elosztva Pe⋅hy2-tel, ez esetben is a számlálók megegyeznek, azonban a bal oldali nevező a nagyobb. A (2.119) és a (2.120) alatti egyenl
miatt, ha a τ-r egyenlőtlenség i
□
1. Megjegyzés.
Az 1. Tétel bizonyításakor láttuk, ha a szemcsék áramlását és törését egymástól függet-len nyeknek tekintjük, akkor ahhoz, hogy a modellegyenletekben minden együtt-ható nemnegatív legyen, elegendő a (2.118) alatti egyenlőtlenség teljesülése.
1. Következmény
A folyamatos őrlés rekurzív lineáris egyenletrendszerében előforduló minden
együttható nemnegatív, ha 2
2
A folyamatos őrlés kétféle, nyílt őrlés vagy zárt őrlés. A zárt őrlésre az állítás igaz, ezt
A folyamatos őrlés kétféle, nyílt őrlés vagy zárt őrlés. A zárt őrlésre az állítás igaz, ezt