A diszkrét modellek főbb tulajdonságai

Ekkor a szemcsék áramlását és törését akár egymást kizáró, akár egymástól füg eseményeknek tekint

A

Először lássuk be, hogy fennáll a bizonyítás során felhasználandó alábbi összefüggés:

∑∑

^{⋅ =}

∑

^{⋅ ⋅}

egyenlőség bal oldalát átalakítjuk a (2.76) alatti –

I I I

∑

= ⋅ − ⋅ ⋅ − =

esetén hasonlóan végezzük, mint a zárt folyamatos őrlésre, ezért az állítás igazolását csak a zárt folyamatos őrlésre ismertetjük részletesen.

A 2) feltétel a nyílt folyamatos őrlés esetén

B F

n = − ⋅

z állítás bizonyítását a nyílt folyamatos őrlés A

l (2.91) alatti összefüggés, ahol

B

F − ⋅

=( )

0 .

A bizonyítást a t_n időpillanatra n szerinti teljes indukcióval végezzük, külön-külön ) j=1,

na

1

(2.128) a agmennyiség A. Ez n=0-ra t_n+1 időpillanatban az első szekció anyagmennyisége a (2.81), (2.120) gyenlet és a 2) feltétel felhasználásával következő:

1

míg a zárt folyamatos őrlésr

A

teljesülését jelenti. A (2.127) alatti egyenőség a

k V V A

a

b) j=2, 3, …, J-1, c) j=J esetben.

Először a szemcsék áramlását és törését egymást kizáró eseményeknek tekintett esetben igazoljuk az állítást.

a) j=1

A t₀ időpilla tban az 1) feltevés miatt

∑

^{I µˆ(xi,y1,t0)=A.}

i=

Tegyük fel, hogy a t_n időpillanatban az első szekcióbeli ny teljesül. A

ahonnan indukciós feltevésünket felhasználva kapjuk:

nyílt folyamatos őrlés esetén a j=1 eset bizonyítása a fentihez hasonlóan történik , hogy a (2.127) feltétel helyett a (2.126) feltételt kell figyelembe

) j=2, 3, …, J-1

0) az indukciós feltevésünk szerint

∑

i 1

A

azzal a különbséggel venni.

A további esetek bizonyítását is a fentihez hasonlóan végezzük.

b

A t₀ időpillanatban az 1) feltevés miatt A

j=1 esetre elvégzett bizonyítás és A

∑

^{I µˆ(xi,yj,tn)= A}, j=1, 2,…, J-1.

=

(2.131)

n+1 anyagmennyiség:

i 1

honnan a (2.125) és a (2.131) egyenlet felhasználásával kapjuk:

I

A t₀ időpillanatban az 1) feltevés miatt

∑

^{I µˆ(xi,yJ,t0)= A.} t_n+1 időpillanatban a j=J szekcióbeli anyagmennyiség:

i 1

Indukciós feltevésünk szerint

∑

^{I µˆ(x , ,t )=}

=

A

∑ ∑

h nnan a (2.125) egyenlet és az indukciós feltevés miatt

i

t a nyílt és a zárt folyamatos őrlésre az áramlást és törést egymást k feltételezve az at a nyílt és a zárt folyamatos őrlésre a szemcsék áramlását és törését gymástól független eseményeknek tekintve is bebizonyítottuk.

. Köv kezm n

3. Következmény.

A 4. Tételben szereplő feltételek teljesülése mellett – akár nyílt, akár zárt folyamatos ekciójában A mennyiségű anyag van.

□

. Következmény.

Van olyan recirkulációs őrlés, amikor nem következik be túltelítődés.

Természetesen nem igaz minden zárt folyamatos őrl eset

mennyiség, mert az a visszatérített „méreten felüli” szemcsék men alomnak stacionárius állapota, a stacionárius ően azonban állandó a malomban az anyagmennyiség, mégpedig minden szekcióban azonos mennyiségű anyag van. Ez az állítás csak abban az esetben igaz, ha a működési és a kinetikai paraméterek értéke az őrlési folyamat alatt

válto-∑∑

Ezzel az állításunka

kizáró eseményeknek tekintve bebizonyítottuk.

A szemcsék áramlását és törését egymástól független eseményekne el ő esethez hasonlóan igazoljuk az állítást.

Állításunk őz e

□

4. Megjegyzés.

Az 1) feltevés azt fejezi ki, hogy kezdetben a malomban sehol sem torlódik az anyag.

2 et ény.

A 4. Tételbe szereplő feltételek teljesülése mellett a malom minden szekciójában minden időpillanatban változatlan, az 1) feltétellel megadott A mennyiségű anyag van.

□

őrlés esetén – amennyiben a beadagolt anyag összetétele állandó, a stacionárius állapotban is igaz, hogy a malom minden sz

4

□

és én, hogy a malomban nyi-állandó az anyag

égétől függően ingadozhat. Ha van a m s

állapot beálltát követ

zatlan. Az ipari őrlőmalmok között megtalálhatók azok is, amelyekben a malom vége felé haladva nő a konvektív áram sség (Tarján, 1978). Olykor még fokozzák is ezt a kívánatos jelenséget. Ezek lőgépekben a szekciók anyagmennyiségei a malom kijárata irányában csökkennek. Az őrlési gyakorlatban előfordul, hogy a kine tikai paraméterek értéke változik az őrlés folyamán, vagyis az őrölhetőség nem mindig állandó (Pethő, 1987). Ilyen esetekre sem érvényes a 4. Tétel.

A malomban minden időpillanatban legalább annyi anyag van a zárt folyamatos őrlés esetén, mint a nyílt őrlés esetében, ha azonos anyagot őrölnek, a kétféle típusú őrlésnél megegyeznek a kezdeti értékek, azonos mennyiségű és összetételű friss (még őröletlen)

nyagot

lási sebe ben az őr

táplálnak be, továbbá a kétféle őrlési folyamat alatt a működési és a kinetikai rek megfelelő értékei rendre megegyeznek. A beadagolt friss szemcsék

gével, a stacionárius állapotban a malombeli és a visszatérített

és összetétele, a inetikai és a működési paraméterek értéke állandó az

y idő Ez a

a j-dik szekcióban lévő összes

an . Ekkor

ennyiségeit a következ egyenletet a (2.81) v

136)-(2.138) egyenletek a (2.82) vagy (2.87) mmázásával nyerjük, míg a (2.139) egyenletet a (2.83) vagy a (2.88) egyenletből ugyanígy eljárva származtatjuk.

a

paraméte ennyisé m

séggel, a késztermék mennyiségével, a malomban bekövetkezett anyagmennyiség-növekedéssel kapcsolatos fontos állításokat, észrevételeket tartalmaznak az 5-10. tételek és az 5-7. következmények.

5. Tétel.

Tegyük fel, hogy egy időegység alatt a malomba kerülő friss, még őröletlen anyag

mennyisége k

őrlés folyamán.

E feltételek teljesülése esetén a stacionárius állapotban a folyamatos őrlés során – zárt kor egyaránt – a malom szekcióiban azonos mennyiségű anyag van.

és nyílt őrlés Bizonyítás.

Jelölje az eg egység alatt a malomba kerülő friss, még őröletlen szemcsék mennyiség felírható a bizonyítás során könnyebbséget jelentő alábbi Bf . yagmennyiséget jelöljük A_j-vel, j=1,2,…,J-re, azaz

stacionárius állapotban az egyes szekciók m ő (2.135)-(2.139) egyenletek írják le, ahol a (2.135) agy a (2.86) egyenletből kapjuk i=1,2,…,I-re történő összegzéssel. A (2.

su

A (2.139) egyenlet rendezésével

−1

ódik:

konst J

J A A

A ₋₁ = = . (2.140)

A (2.138) egyenletbe visszahelyettesítéssel ad

konst B konst B

F J

F

konst V A V V A V A

A = ⋅ ₋₂ +(1− − )⋅ + ⋅ ,

így A_J−2 = A_konst. (2.141)

Folytatva a visszahelyettesítéseket j esetén, felhasználva, hogy , a (2.137) egyenletből kapjuk:

≥2

konst j

J

J A A A

A = ₋₁ =...= =

konst B konst B

F j

F

konst V A V V A V A

A = ⋅ ₋₁ +(1− − )⋅ + ⋅ , tehát

esetén

is teljesül. Összefoglalva, a (2.140)-(2.142) egyenlőségek miatt stacionárius állapot

. (2.143)

□

y az őrlés folyamán időegységenként a malomba kerülő friss, még röletlen anyag mennyisége és összetétele, a kinetikai és a működési paraméterek értéke

dó az ő a

(2.142)

≥2

j A_j−1 = A_konst

ban a malom minden szekciójában azonos mennyiségű anyag van,

konst

J A

A A₁ =...= =

6. Tétel.

Tegyük fel, hog ő

állan rlés folyamán. JelöljeB_f az időegységenként a malomba be dagolt friss anyag mennyiségét. Ez a mennyiség legyen ismét B_f =(V_F −V_B)⋅B alakban megadva.

Jelölje A_konst a stacionárius állapotban a malom egyes szekcióiban levő anyagmennyiséget.

Ekkor a stacionárius állapotban az osztályozóból visszatérített anyag mennyisége B

A_konst − .

z 5. tételben bevezetett jelöléseknek megfelelően, a stacionárius állapotban a j-dik lévő összes anyagmennyiséget jelölje j=1,2,…,J-re, azaz

1

y x_{i J} )

(V_F −V_B ⋅( ) Bizonyítás.

A

Aj, szekcióban

j I

j

i y t A

x =

∑

^{µˆ( , , ∞)} , és jelölje ˆ t_∞)

=

, , µ(

i

a J-dik szekcióban található i-dik méretű szemcsék mennyiségét a stacionárius állapotban.

ek össz év : A (2.135)-(2.139) egyenlet egezés el

= + +

+A A_J

A_{1 2} ...

)

Tehát azt kaptuk, hogy stacionárius állapotban az osztályozóból a visszatérített anyagmennyiség )(V_F −V_B)⋅(A_konst −B .

□

5. Következmény.

Nyílt folyamatos őrléskor időegységenként a malomba betáplált azonos összetételű és őrölhetőségű, friss, még őröletlen szemcsék mennyiségét jelölje . Legyen ez a mennyiség

éterek értéke állandó az

alakban megadva. Tegyük fel, hogy a kinetikai és a működési param őrlés folyamán. Jelölje a stacionárius állapotban a malom egyes szekcióiban levő anyagmennyiséget.

Ekkor a stacionárius állapotban a malom egyes szekcióiban levő anyagmennyiség és a friss beadagolt szemcsék mennyisége közötti kapcsolat:

konst

Felhasználva, hogy 1 0

)

V , a (2.145) egyenlet mindkét oldalát

-vel osztva azt kapjuk, hogy

A (2.146) egyenlőségből az is látható, hogy nyílt folyamatos őrlés esetén, azaz amikor

0

gységenként a malomba kerülő friss, még Ekk

any Biz

Jelö őröletlen

s így az állítás igaz.

□

7. Tétel.

Tegyük fel, hogy az őrlés folyamán időe

őröletlen anyag mennyisége és összetétele, a kinetikai és a működési paraméterek értéke állandó az őrlés folyamán.

or a stacionárius állapotban egy időegység alatt az őrlési folyamatot végleg elhagyó ag, a késztermék mennyisége megegyezik a beadagolt friss anyagmennyiséggel.

onyítás.

lje B_f az őrlés folyamán időegységenként a malomba kerülő friss, még anyag mennyiségét, ez a mennyiség felírható B_f =(V_F −V_B)⋅B alakban.

lje A_out az őrlési folyamatból egy időegység alatt végleg távozó anyag mennyiségét, z a méreten aluli szemcsék mennyiségét, ekkor

Jelö

5. Tételben bevezetett jelöléseinkkel ^I _J

i alának utolsó tagját a (2.144) figyelembe vételével írjuk fel, kapjuk:

V V

A =( − )⋅A −(V −V )⋅(A −B)=(V −V )⋅B, (2.148) s ezzel az állításunkat bebizonyítottuk.

□

8. Tétel.

Tegyük fel, hogy egy időegység alatt a malomba kerülő friss, még őröletlen anyag mennyisége és összetétele, a kinetikai és a működési paraméterek értéke állandó az őrlés folyamán. JelöljeB_f az időegységenként a malomba beadagolt friss anyag mennyiségét, legyen B_f =(V_F −V_B)⋅B.

Ekkor a malom kezdeti állapotától a stacionárius állapotáig bekövetkező anyagmennyi-ség növekedése a malomban – jelöljükA_∆-val –, ( )

)

( J B A

V V J A A

B

F −

Bizonyítás.

JelöljeA_rec a stacionárius állapotban az osztályozóból visszatérített anyagmennyiséget:

rec + ⋅ −

∆ = ⋅ .

) , , ˆ( ) ( )

(

1 2

1 ∞

= − ⋅

⋅

−

= ^{V V}

∑

^{x x y t}

A ^I _{i J}

i i

B F

rec ψ µ , (2.149)

innen a (2.145) alatti egyenlőség felhasználásával ) (

) (

) (

)

(V V A B V V A B

A_rec = _F − _B ⋅ _J − = _F − _B ⋅ _konst − ,

ahonnan V B V_{F B}

konst ( − )

A stacionárius állapotig a malomban az anyagmennyiség növekedése A

J A J

A_∆ = ⋅ _konst − ⋅ ,

ahonnan

A = A^rec + . (2.150)

) ) (

( J B A

V V J A A

B F

rec + ⋅ −

⋅ −

∆ = . (2.151)

Ezzel az állítást bebizonyítottuk.

□

6. Következmény.

Tegyük fel, hogy egy időegység alatt a malomba kerülő friss, még őröletlen anyag mennyisége B_f =(V_F −V_B)⋅A, ahol A jelöli az őrlés kezdeti időpillanatában az egyes szekciókban lévő azonos anyagmennyiséget. Továbbá tegyük fel, hogy a kinetikai és a működési paraméterek értéke állandó az őrlés folyamán.

Ekkor a malom kezdeti állapotától a stacioná us állapotáig bekövetkező anyagmennyi-ség növekedése a malomban

ri ) (V_F

∆

B rec

V J A

A = ⋅ − , vagyis arányos azzal az anyag-almon.

A∆

mennyiséggel, amennyi a stacionárius állapotban visszaáramlik a malomba annyi idő alatt, amíg az anyag végighalad a m

Bizonyítás.

A feltételünk miatt A=B, ekkor a (2.151) alatti összefüggés szerint

) 5. Megjegyzés.

)

( − -t a szemcsék relatív előre haladási sebességének tekintjük a malomb

□

malom hosszát egységnyinek tekintve,

) anyagnak a malmon való végighaladásához szükséges. Amíg az anyag végighalad a malmon,

− mennyiségű anyag áramlik vissza az osztályozóból. Ezért a (2.152) latti összefüggés alapján megállapíthatjuk, hogy a

a

növekedése arányos azzal az anyagm malombeli anyagmennyiség visszaáramlik a malomba

ő a szekciók száma.

ennyiséggel, amennyi a stacionárius állapotban annyi idő alatt, amíg az anyag végighalad a malmon. Az arányossági tényez

9. Tétel.

Jelölje µˆ a malombeli kritikus tömeget, vagyis azt a legnagyobb anyagmennyiséget, _krit amely még nem okozza a malom túltelítődését. Tegyük fel, hogy az őrlési olyamat során folyam őegységenként a malomba kerülő röletlen anyag mennyisége és

ös őrlés folyamán.

elölje az időegységenként a malomba beadagolt friss anyag mennyiségét, legyen ez a me

án id friss, még ő

szetétele, a kinetikai és a működési paraméterek értéke állandó az

J B_f

nnyiség B_f = V_F −V_B ⋅B

s )

( .

A malom túltelítődése elkerülhető, ha az időegység alatt beadagolt fris anyagmennyiségre teljesül az alábbi egyenlőtlenség: _{f F B} ^konst _krit

J

Az alábbi egyenlőtlenségnek teljesülnie kell, mert különben túltelítődés következne be:

A

krit −J⋅

∆ ≤µˆ .

A (2.153)

A (2.149) és a (2.150) egyenletekből azt kapjuk, hogy B alatti összefüggést felhasználva kapjuk:

∑

= Mivel a feltételünk szerint

)

mindig teljesül i=1,2,…,I-re, így ezt és a (2.155) egyenlőtlenséget tekintve kapjuk

konst

A (2.155) és a (2.157) egyenlőtlenségekből c B

ahonnan B-re az alábbi egyenlőtlenség adódik

krit beadagolt anyagmennyiségre teljesülnie kell az alábbi egyenlőtlenségnek:

krit

. Megjegyzés.

tlenségekből az is kiadódik, hogy ha , akkor

7. Megjegyzés.

lenne, akkor a klasszifikációs függvény értékeire vonatkozó 6

hogy az osztályozóból minden szemcsét visszatérítenénk újraőrlésre, továbbá a (2.159)

egyenlőtlenség miatt B=0 lenne, ami azt jelentené, hogy a stacionárius állapot beállta után már megszűnne a beadagolás a malomba.

10. Tétel.

Ha a T és az R mátrix mindig nemnegatív, akkor x_n ≤xˆ_n (az egyenlőtlenséget kompo-nensenként értve).

Bizonyítás.

R ≥ 0 esetén, felhasználva, hogy xˆ_n−r ≥0,

) ˆ ( ...

) ˆ

( ˆ

) ˆ

(

ˆ ₁ x ₁ T _{1 1} T x₀ x₀

x_n+ − _n+ = ⋅ x_n −x_n +R⋅x_n−r ≥T⋅ x_n− −x_n− ≥ ≥ ⋅ − . A kezdeti feltételek miatt xˆ₀ =x₀, ezért xˆ_n+1−x_n+1 ≥0.

□

Zárt folyamatos őrléskor legalább ugyanannyi mennyiségű őrlemény keletkezik, mint nyílt folya

7. Következmény.

matos őrlést végezve, hiszen komponensenként teljesül az x_n ≤xˆ_n egyenlőtlenség.

□

3. A numerikus kísérletek eredményei 3.1. A numerikus kísérletek célja, feltevések

Numerikus kísérletekkel igazolom a kifejlesztett modellek és a rájuk alapozott számítógépes szimuláció alkalmasságát a folyamatos őrlés tanulmányozására. Megmu-tatom, hogy a termelés szempontjából a modell alkalmazása azzal a haszonnal jár/járna, hogy megvalósítható/megvalósítható lenne a malom üzembiztonsági és takarékossági szempontokat is figyelembe vevő üzemeltetése.

A numerikus kísérletek elvégzésével, a kapott eredmények ismertetésével és kiérté-kelésével az alábbi célokat kívánom elérni:

a) Bizonyítani a modellek és a szimuláció alkalmasságát a nyílt és a zárt folyamatos őr-lés tanulmányozására. Igazolni, hogy a diszkretizáció finomításával kapott számítási eredmények konvergensek. Bemutatni, hogy a szimuláció útján nyert eredmények vannak, amit az irodalombó

támasztok.

használatának előnyeit az őrlési folyamat tervezésére, optimalizálására.

c) Elemez

kísérleti eredményekkel alátámasztani a velük kapcsolatos feltevéseinket, mivel a os működtetésének

llapításokat. Például célom az üzemi termelékenységgel

kapcso-csolatot különbözőképpen szemlélő modellek számítási eredményeit.

Numerikus kísérleteket mindkét szemléletű modellel végeztem, a szemcsék áramlá-sát és törését egymást kizáró eseményként kezelő modellel, azaz Modell I-gyel is, valamint az áramlás és törés függetlenségét feltételező modellel, Modell II-vel is. Az ismertetésre kerülő kísérletekben – a kétféle megközelítés összehasonlítását bemutatót kivéve – a Modell I-et használom. Ugyanezek a kísérletek a másik modellel is elvégez-hetők. A Modell I. választásának az az oka, hogy a folytonos matematikai modellből a diszkrét modell matematikailag korrekt levezetése során előbb Modell I-et kaptam meg.

Ezt követően τ nagyságrendű tagok hozzá vételével származtattam Modell II-őt, ezért Modell II-ben nagyobbak a hibatagok. Az irodalomban fellelhető kevés szim lációs eredmény mind a szem sék áramlását és törését egymástól független eseményként

kezelő m is olgozat

terjedelm a mé t kizáró

esemé er merikus

kísérletek id és a

megfelelnek a várakozásoknak, a malom várható viselkedésével összhangban l vett mérési eredményekkel való egyezéssel is alá-b) Példákat bemutatni a modellek alkalmazására, amelyek jól szemléltetik a szimuláció

ni a fizikai jellemzők, a különböző paraméterek hatását. A numerikus rájuk vonatkozó ismeretek felhasználhatók a malom takarék

megállapítására, az őrlés megtervezésére a kívánt finomságú késztermék elérése érdekében.

d) A tranziens állapotot elemezni.

e) Az irodalomban előforduló egyes állításokat ellenőrizni; megerősíteni vagy cáfolni a sejtéseket és megá

latos adatok, megállapítások ellenőrzése, igazolása.

f) Az őrléssel kapcsolatos matematikai jellegű állításokat, érdekességeket illusztrálni.

Ilyen állítás például az, hogy a diszkrét matematikai modelleknek létezik az aszimptotikus megoldása. Érdekességként megemlítem a malombeli anyagmennyi-ség oszcillációját bizonyos esetekben, továbbá összehasonlítom a szemcsék áram-lása és törése közötti kap

u c

odellekhez kapcsolódik, ezért i korlátait is figyelembe véve – nyként szemlélő modellel számított

tanúsága szerint a szimulációs

tartottam érdemesebbnek – a d g hiányzó, az áramlást és törés edmények bemutatását. A nu őlépés csökkentésével a Modell I

Modell II szá különbsége Modell II eredményei „hozzá igazodnak” a Modell I eredményeihez.

égűnek tekintettem, az őegységenként beadagolt anyag mennyisége a numerikus kísérleteknél

mítási eredményei közötti k jelentősen csökkennek, a

A malom az őrlés megkezdésekor betöltött vagy üres állapotban lehet. Az őrlés betöltetlen malomban is megkezdődhet. A numerikus kísérleteknél feltételeztem, hogy a malomba az őrlés megkezdése előtt betöltöttek valamennyi anyagot, amely ott egyenletesen szétterült. A betöltött anyagot egységnyi mennyis

V J V_{F B} 1

)

( − ⋅

id

volt, a numerikus kísérletek leírásánál csak az ettől elté t tüntettem föl. A legnagyobb szemcsemére felén szem séjű, az

rő értékeke

t él nagyobb c az ~ /2

xmax -nél nagyobb méretű szemcséket tar

feltevések – amtalmaz a kezdeti betöltött anyag és a frissen beadagolt anyag is. Ezek a elyek természetesen megváltoztathatók –, onnan erednek, hogy az ilyen beadagolás a gyakorlatban is előfordul (Nikolov & Lucion, 2002). A malomba az őrlés megkezdése előtt betöltött és a frissen beadagolt anyag szemcseméret szerinti tömegeloszlása tetszőleges lehet, a kísérletekhez az [~x_max /2 ,~x_max] szemcseméret-intervallumon diszkrét egyenletes eloszlást választottam, amely szintén előfordult az irodalomban a kísérletek leírásánál.

A számítógépi programok C programozási nyelven és Matlab programcsomaggal készültek.

A programok számára a megállási feltételt a kívánt pontossággal és a maximális iterációszámmal adtam meg. Cellánkénti összehasonlítást végezve megvizsgáltam az iteráció n-dik és (n−1)-dik lépésében – az dik és az n- (n−1)-dik időpillanatban – a egfelelő cellabeli mennyiségek eltérését. A kívánt pontosságot elértük, ha minden

ella e ás

elke

tam azt, hogy bizonyos feltételek teljesülése esetén a stacionárius állapot velejárója, hogy az egyes szekciókban azonos mennyiségű anyag van. Azt, hogy az előírt

pontos-ság elérése othoz vezete

g-mennyiségek összegével is figyeltem ezekben az esetekben.

Észrevettem, hogy az irodalomban közölt kísérleteknél a szekciók és szemcseméret szerinti osztályok számát 10-hez közeli vagy an ál kisebb érté nek választottá (Espig

& Reinsch, 1996, Kolacz & Sandvik, 1996, rthiaux, 2000, Godet-Morand et al., 2002). Numerikus kísérletekkel megállapítottam, hogy a szekciók számának J=20, illetve a méretosztályok számának I=20 választása megfelelőnek bizonyult abban az értelemben, hogy általában J=14- l, illetve I=14-től a J, I értékének további növelése már nem vezetett a statiszti mzők számottevő változásához. A ciós időlép hosszá 2) egy ég alapjá

m

c setén ε-nál kisebb eltérést tapasztalunk. A túlságosan elhúzódó programfut rülésére maximális végrehajtási számot is megadtam. Amint a 2. fejezetben

igazol-stacionárius állap tt-e, a malom térszekcióiban levő anya

n k k

Be tő

kai jelle szimulá

és t a (2.11 enlőtlens n a

2 i−21

1,x )⋅Pe

− i−21) (x +S

2

(

2 _{y i y}

y

h x

B h

h

⋅

⋅

⋅

≤ ⋅ τ

felté igyele ével v m.

A késleltetés id +Pe

Pe

tel f mbevétel álasztotta őtartama, d~

ne szám, ke a nag csék keverőbe

történő visszajuttatásától függ.

ozó működését leíró klasszifikációs függvényt is, amelynek értéke az őrlemény finom részére a 0 közelében van, míg a durva részére az 1 közelében (Molerus, 1969, Molerus

mnegatív érté yméretű szem

A malom paramétereit, a hosszúság, a konvektív áramlási sebesség, az axiális diszperziós tényező értékét az irodalomból választottam. Ugyanígy, az osztály

& Glückner, 1996, Chmelar & Sandvik, 2002, Godet-Morand et al., 2002). A numerikus kísérletekben főként a Molerus-féle klasszifikációs függvényt használtam. Mivel az osztályozó működését több szerző is jellemezte „fish-hook” alakú tapasztalati görbével (Espig & Reinsch, 1996, Benzer et al., 2001, Braun et al., 2001, Godet-Morand et al., 2002, Kobayashi et al, 2004), e függvénnyel kapcsolatos numerikus eredményeket is bemutatok a 3.2.2. alfejezetben.

Az őrlendő anyag jellemzői, a legnagyobb szemcseméret, és a törési paraméterek szin-tén irodalomban közölt adatok. Hasonlóképpen, az irodalomból származik a numerikus kísérletekhez a szelekciós függvény és a törési eloszlás- vagy sűrűségfüggvény is.

A numerikus kísérletek során az őrlemény legfontosabb statisztikai jellemzőit, a szemcseméret szerinti tömegeloszlást vagy a maradék-eloszlá cse-méretet

A i od

meg-loszlását a malo átájánál, illetve a kijáraton távozó anyag eloszlását a acionárius állapotban az alábbi összegekkel számoltam:

x

st, az átlagos szem és a szórást számítottam ki.

dőpillanatban a malomban tartózk m y koordin

tn ó anyag szemcseméret szerinti tö

e _j

őrlemény átlagos cseméretét és szórását a malom kijáratá l az alábbi képletekkel számítottam:

= ∞ rövidebben a maradék-eloszlásfüggvényeket a malom y_j koordinátájánál a t_n időpil-lanatban, továbbá a stacionárius állapotban az őrlemény maradék-eloszlásfüggvényét az alábbiak szerint származtattam:

1

A modellegyenleteknek megfelelően az őrlemény összetétele a malom kijáratánál a t őpillanatban megegyezik az utolsó szekcióban lévőével, így az

n időpil-lanatban. A stacionárius állapotban ezeket a mennyiségeket µ_out és σ_out jelöli.

A modellek paraméterei két csoportba os az egyik csoportba a készülékekre – a malomra és az osztályozóra – vonatkozók, a másikba az őrlendő anyagra vonatkozók tartoznak.

~

zthatók,

A malom paraméterei a hosszúság: (m), a konvektív áramlási sebesség: u (m/s), az axiális diszperzió: D (m²/s). Az osztályozó paraméterét/paramétereit a klasszifikációs függvény tartalmazza. Az irodalomban kül nféle alakú klasszifikációs függvények találha

Y

ö

tók, ezek mindegyikének paramétere a vágási méret – ~ (µm) –, amely azt a x_cut méretet jelenti, amelynél az őrleményt szétválasztják finom és durva részekre, vagy más szóval a „méreten aluli” és a „méreten felüli” szemcsék alkotta részekre. A malom-paraméterekből felépülő nagyon gyakran használt paraméterek az átlagos tartózkodási idő:

u t Y

~

= (s) és a Péclet-szám

D Y Pe u

⋅~

= .

:

őrlendő anyag paraméterei a legnagyobb és a legkisebb szemcseméret – ~x_max,~_min

Az x –,

amelynél nagyobb illetve kisebb szemcse az őrlési folyamat során nem fordul elő. Ez utóbbi egyben az anyag őrölhetőségi határát is jelenti, amit a numerikus kísérletekhez általában 0-nak választanak (Stoyan et al., 1998, Mihálykó et al., 1998). További para-méterek a törési szelekciós függvény k és α paramétere, valamint a törési eloszlás-függvény β, γ, Φ paramétere. E függvények általánosan használt alakját és paramé-tereik gyakori értékeit az 1.4. alfejezetben ismertettem. A törési szelekciós függvény

vonatko m időegy

ezzel a mérték-egységgel k

ségeikkel kifejezve adom meg. A mal en, a konvektív áramlási sebesség m/s-ban, a törési paraméter 1/s-ben kifejezve szerepel. A szemcseméretet m-ben vagy gyakrabban

gyakori alakja: S(x)=k⋅x^α, ahol a k paraméter egy (szimulációs) időegységre zó para éter. A törési szelekciós függvény értéke kiszámításához az -séget valamilyen mértékegységben – általában s-ban – rögzítik, K_s

ifejezett időegységre vonatkozó paraméter.

A kísérletek során előforduló mennyiségeket az irodalomban szokásos mértékegy-om hossza m-b

Ks

µm-ben ad τ és d dimenzióme yiségek – τ a szimulá egység, d a késle s időtartama –, a tényleges fizikai időt és a tényleges késleltetés a

ják meg. A ntes menn

ciós idő lteté

időtartamát

u t Y t t t

~= ⋅τ⋅ = ⋅ ~ , illetve

u

⋅τ a d d t d Y

~= ⋅ = ⋅ ~ képlettel kapjuk.

A szemcseméret szerinti k szám és a szekciók számát, J-t, általában 20-nak választottam a szimulációs időegység

felosztáso át, I-t 05 .

=0

τ választása mellett. E technikai

paramétere i m tására v numeriku letek er ei azt

mutatták, hogy a fenti értékek megfelelő ágot ere znek abb telem-ben, hogy fenti érték zámolt vábbi fin kkal kap mítási eredmények között ezrednyi, tízezrednyi eltérések mutatkoztak. Az egyes kísérleteknél e technikai paraméterek csak akk tem fel, ha azok eltérnek a fentiektől.

k értéke egállapí égzett s kísér edmény

pontoss dménye an az ér

a ekkel s és a to omításo ott szá

értékeit or tünte

3.2. Numerikus kísérletek

A bemutatásra kerülő numerikus kísérleteket a 3.1. alfejezet elején szereplő szempontok szerint csoportosítva ismertetem.

A bemutatásra kerülő numerikus kísérleteket a 3.1. alfejezet elején szereplő szempontok szerint csoportosítva ismertetem.

In document Folyamatos őrlési folyamatok számítógéppel segített numerikus vizsgálata (Pldal 79-0)