4.10. Josiah Willard Gibbs (1839-1903)
4.10.1. A statisztikus mechanika alapelvei
Az Elementary Principles in Statistical Mechanics Developed with Especial Reference to the Rational Foundation of Thermodynamics (A statisztikus mechanika alapelvei, k¨ul¨on¨os tekintettel a termodinamika racion´alis megalapoz´as´ara) az amerikai matematikai fizikus utols´o munk´aja, 1902-ben jelent meg, de m´ar egy ´evvel kor´abban k´eszen volt, a benne l´ev˝o eredm´enyek pedig a XIX. sz´azad utols´o k´et ´evtized´eben gy˝ultek ¨ossze. A k¨onyv dedukt´ıv tudom´anny´a tette a statisztikus fizik´at (´es a termodinamik´at).
A m˝u el˝oszav´at - amelyet teljes eg´esz´eben id´ez¨unk - Gibbs azzal kezdi, hogy m´ıg szok´asosan a mechanik´aban a rendszerek mozg´asegyenlet´et keress¨uk, amely megadja, hogy adott felt´etelek mellett egy adott id˝opontban hol lesznek a rendszer egyes r´eszei
´
es milyen sebess´eggel mozognak, addig m´as esetekben egym´ashoz hasonl´o rendszerek so-kas´ag´at k´epzelhetj¨uk el, melyekben az egyes r´eszek helyei ´es sebess´egei k¨ul¨onb¨oz˝o kom-bin´aci´okban szerepelnek. Ekkor nem lehet c´elunk az egyes r´eszek v´altoz´asait pontosan nyomon k¨ovetni, ehelyett a jellemz˝o tulajdons´agok (pl. sebess´egek) eloszl´asaira vagyunk k´ıv´ancsiak. Ilyenkor az alapegyenlet a megadott tulajdons´agokkal (helyesebben egy pi-ciny intervallumban l´ev˝o param´eter´ert´ekekkel) rendelkez˝o rendszerek sz´am´anak v´altoz´ a-s´at adja meg. A statisztikus sokas´agok ezen elm´elet´et a szerz˝o Boltzmann, Clausius ´es f˝oleg Maxwell munk´ass´ag´ara alapozza. Az I. fejezetben az alapok lerak´as´ahoz Gibbs a Hamilton-egyenletekb˝ol indul ki, de azonnal ´att´er a rendszerek m´ar eml´ıtett sokas´ag´ara s ezzel az ´altal´anos´ıtott koordin´at´ak ´es impulzusok f´azister´ere (arra a t´erre, amelyet az
¨
osszes koordin´ata ´es impulzus fesz´ıt ki, k¨ovetkez´esk´eppen amelynek dimenzi´oja a rend-szerek sz´am´anak nagys´agrendj´ebe esik). Megfelel˝o felt´etelek mellett defini´alni tudja az
´
allapots˝ur˝us´eg, az ´allapott´erfogat ´es az ´allapot val´osz´ın˝us´eg´enek fogalmait, illetve az ezekhez tartoz´o megmarad´asi t¨orv´enyeket (Liouville-t´etel), amelyeket a statisztikus me-chanika alapegyenleteinek tekint. A II. fejezetben a val´osz´ın˝us´eg megmarad´as´anak elv´et alkalmazza az ´allapotok sz´or´as´ara. A III. fejezetben az ´allapott´erfogat megmarad´as´ a-nak elve seg´ıts´eg´evel oldja meg a mozg´asegyenleteket. A IV-IX. fejezetekben az ´un.
kanonikus sokas´agot vizsg´alja r´eszletesen (a k¨ul¨onb¨oz˝o sokas´agokat az hat´arozza meg, hogy mely tulajdons´agokkal rendelkezik az ¨osszes rendszer; Gibbs a kanonikus sokas´agon azokat ´erti, amelyek eset´eben a val´osz´ın˝us´eg logaritmusa egyenes ar´anyban ´all az ener-gi´aval). Megadja az ehhez tartoz´o statisztikus egyens´ulyokat, eloszl´asokat ´es ´atlagokat, utal a termodinamikai k¨ovetkezm´enyekre. A IV. fejezet elej´er˝ol leford´ıtottuk a kanonikus sokas´ag defin´ıci´oj´aval kapcsolatos r´eszt. A X. fejezetben vezeti be a mikrokanonikus so-kas´ag fogalm´at, amelyben minden rendszernek ugyanaz az energi´aja. A XIV. fejezetben a kor´abban elsz´ort termodinamikai utal´asokat r´eszletesebben megvil´ag´ıtja; megvizsg´alja,
hogy milyen felt´etelek mellett lehet defini´alni a h˝om´ers´eklet ´es az entr´opia fogalm´at a ter-modinamik´ara val´o ´atmenethez. Az utols´o (XV.) fejezet az eredm´enyeket a sok hasonl´o r´eszecsk´eb˝ol (molekul´ab´ol) ´all´o rendszerekre alkalmazza.
A statisztikus fizika alapelveir˝ol
EL ˝OSZ ´O
A mechanika tudom´any´anak szok´asos n´ez˝opontj´ab´ol a figyelem f˝oleg egy adott rend-szerben az id˝o folyam´an bek¨ovetkezett v´altoz´asokra ir´anyul. A f˝o feladat a rendszer
´
allapot´anak meghat´aroz´asa, a konfigur´aci´oj´at33 ´es a sebess´egeit illet˝oen tetsz˝oleges id˝ o-pontban, ha ez az ´allapot adott egyetlen id˝opontban, az alapegyenletek pedig kifejezik a rendszer folyamatos v´altoz´asait. Ezeket a fajta vizsg´alatokat gyakran leegyszer˝us´ıtik azzal, hogy a rendszernek nem azokat az ´allapotait veszik tekintetbe, amelyeken t´ eny-legesen vagy felt´etelezhet˝oen ´atmegy, figyelm¨unk azonban ´altal´aban nem terjed t´ul a val´odinak gondolt ´allapotokt´ol infinitezim´alisan k¨ul¨onb¨oz˝okt˝ol.
Bizonyos c´elokb´ol azonban k´ıv´anatos a t´argyat sz´elesebb n´ez˝opontb´ol szeml´elni. El tudunk k´epzelni nagysz´am´u, ugyanolyan term´eszet˝u rendszert, amelyek azonban k¨ul¨ on-b¨oznek adott pillanatbeli konfigur´aci´oikban ´es sebess´egeikben, m´egpedig nem csup´an infinitezim´alisan, hanem lehet˝oleg ´ugy, hogy felvegy´ek a konfigur´aci´o ´es a sebess´egek minden elk´epzelhet˝o kombin´aci´oj´at. Most pedig kit˝uzhetj¨uk azt a feladatot, hogy egy rendszert ne az egym´as ut´ani konfigur´aci´oin kereszt¨ul k¨ovess¨unk, hanem hat´arozzuk meg, hogyan oszlik meg a rendszerek ¨osszess´ege tetsz˝oleges id˝opontban a k¨ul¨onb¨oz˝o elk´ epzel-het˝o konfigur´aci´ok ´es sebess´egek k¨oz¨ott, ha az eloszl´as adott egyetlen id˝opontban. E vizsg´alat sz´am´ara az lesz az alapegyenlet, amely megadja azon rendszerek sz´am´anak v´ al-toz´asi ar´any´at, amelyek a konfigur´aci´o ´es sebess´eg b´armely infinitezim´alis tartom´any´aba esnek.
Az ilyen vizsg´alatokat Maxwell statisztik´anak h´ıvj´ak. A mechanik´anak ahhoz az
´
ag´ahoz tartoznak, amely onnan ered, hogy a termodinamika t¨orv´enyeit mechanikai elvek alapj´an szerett´ek volna magyar´azni, ´es amely ´ag alap´ıt´o aty´ainak Clausiust, Maxwellt
´es Boltzmannt tekintj¨uk. E t´eren az els˝o vizsg´alatok val´oj´aban valamivel sz˝ukebb c´elt k¨ovettek, mert ink´abb r´eszecskerendszerekre alkalmazt´ak, nem f¨uggetlen rendszerekre.
Azut´an a statisztikai vizsg´alatok az id˝o folyam´an egy adott rendszerben egym´ast k¨ovet˝o f´azisokra34(vagy a konfigur´aci´ot ´es sebess´eget illet˝o ´allapotokra) ir´anyultak. Kifejezetten a nagysz´am´u rendszerre ´es azok f´aziseloszl´as´ara35, valamint az id˝o folyam´an ezeknek
33Konfigur´aci´on az egyes r´eszecsk´ek egym´ashoz k´epesti elhelyezked´es´et, vagyis a h´arom-h´arom hely-koordin´at´ajukat kell ´erteni.
34A f´azis vagy ´allapot a rendszer ¨osszes r´eszecsk´ej´enek hely- ´es sebess´egkoordin´at´ait foglalja mag´aban.
35A f´azist´er - vagyis a r´eszecsk´ek koordin´at´ai ´es sebess´egei ´altal kifesz´ıtett, igen magas dimenzi´oj´u t´er - s˝ur˝us´eg´er˝ol van sz´o.
az eloszl´asoknak az ´alland´os´ag´ara vagy v´altoz´as´ara vonatkoz´o meggondol´asok el˝osz¨or tal´an Boltzmann ”Zusammenhang zwischen den S¨atzen ¨uber das Verhalten mehratomiger Gasmolek¨ule mit Jacobi’s Princip des letzten Multiplicators” c. 1871-es tanulm´any´aban tal´alhat´oak.
Hab´ar t¨ort´enetileg a statisztikus mechanika a termodinamikai vizsg´alatokb´ol ered, messzemen˝oen ´erdemesnek l´atszik f¨uggetlen kidolgoz´asa, mind elveinek eleganci´aja ´es egyszer˝us´ege miatt, mind pedig az´ert, mert ´uj eredm´enyeket hoz ´es ´uj f´enyt vet a r´egi igazs´agokra a termodinamik´at´ol el´egg´e elt´er˝o ter¨uleteken. S˝ot, a mechanika ezen ´ag´anak
¨on´all´o tanulm´anyoz´asa - ´ugy t˝unik - a legjobb alapokat ny´ujtja a racion´alis termodina-mika ´es a molekul´aris mechanika tanulm´anyoz´as´ahoz.
A termodinamika empirikusan meghat´arozott t¨orv´enyei kifejezik a nagysz´am´u r´ e-szecsk´eb˝ol ´all´o rendszerek k¨ozel´ıt˝o ´es val´osz´ın˝u viselked´es´et, vagy pontosabban, olyan esetekben fejezik ki a mechanikai t¨orv´enyeket, amikor az ´erz´ekel´es nem el´eg finom az egyetlen r´eszecske nagys´agrendj´ebe es˝o mennyis´egek m´er´es´ehez, ´es amikor a k´ıs´erletek nem ism´etelhet˝ok el´eg gyakran, hogy a legval´osz´ın˝ubbekn´el jobb eredm´enyeket kapjunk.
A statisztikus mechanika t¨orv´enyei a b´armilyen sz´am´u szabads´agi fokkal rendelkez˝o kon-zervat´ıv rendszerekre ´erv´enyesek ´es pontosak. Ez nem teszi nehezebb´e a megalapoz´as´at, mint a sok szabads´agi fok´u rendszerek vagy az ilyen rendszerek oszt´alyainak k¨ozel´ıt˝o t¨orv´enyei´et. Ink´abb ford´ıtott a helyzet, mert figyelm¨unket nem t´er´ıtik el a l´enyegt˝ol a szeml´elt rendszer saj´atoss´agai, ´es nem lesz¨unk arra feltev´esre k´enyszer´ıtve, hogy az elha-nyagolt mennyis´egek ´es k¨or¨ulm´enyek hat´asa t´enyleg elhanyagolhat´o lesz az eredm´enyben.
A termodinamika t¨orv´enyei k¨onnyen megkaphat´ok lehetnek a statisztikus mechanika el-veib˝ol, amelyeknek a t¨ok´eletlen kifejez´esei, de az´ert valamif´ele vakvezet˝ok lehetnek e t¨orv´enyek keres´es´en´el. Tal´an ez a racion´alis termodinamika lass´u fejl˝od´es´enek f˝o oka, szemben az empirikusan megalapozott t¨orv´enyei k¨ovetkezm´enyeinek gyors levon´as´aval.
Ehhez hozz´a kell tenni, hogy a termodinamika racion´alis alapjai a mechanika egy olyan
´
ag´an nyugszanak, amelynek alapvet˝o fogalmai ´es elvei, valamint jellegzetes m˝uveletei egyar´ant ismeretlenek a mechanika tanul´oi sz´am´ara.
Ez´ert magabiztosan hihetj¨uk, hogy semmi sem seg´ıti el˝o jobban a termodinamika, a racion´alis mechanika ´es a megfigyelt jelens´egek - a testek molekul´aris fel´ep´ıt´es´enek bizony´ıt´ek´ara alapozott - felfog´asa k¨oz¨otti viszony vil´agos meg´ert´es´et, mint a mechanika azon ter¨ulete alapfogalmainak ´es elveinek tanulm´anyoz´asa, amelyhez a termodinamika k¨ul¨on¨osen kapcsol´odik.
Mi t¨obb, elker¨ulj¨uk a legs´ulyosabb neh´ezs´egeket, amikor - feladva az anyagi testek
¨osszet´etel´evel kapcsolatos feltev´esek megform´al´as´ara t¨orekv´est - a statisztikus vizsg´ ala-tok folytat´as´at a racion´alis mechanika ´agak´ent kezelj¨uk. A tudom´any jelenlegi ´all´asa mellett alig l´atszik lehets´egesnek a molekul´aris m˝uk¨od´es dinamikai elm´elet´enek megfor-m´al´asa, amely fel¨oleln´e a termodinamika, a sug´arz´as ´es az atomok egyes¨ul´es´ehez t´arsul´o elektromoss´ag megnyilv´anul´as´anak jelens´egeit. M´egis minden elm´elet nyilv´anval´oan
al-kalmatlan, amely nem ad sz´amot mindezekr˝ol a jelens´egekr˝ol. M´eg ha figyelm¨unket a kifejezetten termodinamikai jelens´egekre is korl´atozzuk, akkor sem ker¨ulhetj¨uk el a ne-h´ezs´egeket m´eg az olyan egyszer˝u k´erd´esekn´el sem, mint a k´etatomos g´azok szabads´agi fokainak sz´ama. J´ol ismert, hogy mik¨ozben az elm´elet molekul´ank´ent hat szabads´agi fokot tulajdon´ıt a g´aznak, a fajh˝ovel kapcsolatos k´ıs´erleteinkben ¨otn´el t¨obbr˝ol nem tu-dunk sz´amot adni. Bizonyosan megb´ızhatatlan alapokra ´ep´ıt az, akinek munk´aja az anyag fel´ep´ıt´es´evel kapcsolatos feltev´eseken nyugszik.
Ezek a fajta neh´ezs´egek ijesztett´ek el a szerz˝ot t¨orekv´es´et˝ol a term´eszet rejt´elyeinek magyar´azat´ara, ´es k´enyszer´ıtett´ek arra, hogy a mechanika statisztikus ´ag´aval kapcso-latos n´eh´any nyilv´anval´obb t´etel levezet´es´enek m´ers´ekeltebb feladat´aval k¨uzdj¨on meg.
Itt nem lehet probl´ema a feltev´esek ´es a term´eszet t´enyeinek ¨osszeegyeztet´es´evel, mert err˝ol semmit sem tett¨unk fel. Az egyetlen hiba, amelybe beleeshet¨unk, a premissz´ak
´
es a konkl´uzi´ok ¨osszeegyeztet´es´enek hi´anya, amit - rem´elj¨uk - gondoss´aggal nagyj´ab´ol elker¨ulhet¨unk.
Jelen k¨otet anyaga nagym´ert´ekben azokat az eredm´enyeket tartalmazza, amelyeket a fentebb eml´ıtett vizsg´alatok sor´an nyert¨unk, b´ar a n´ez˝opont ´es az elrendez´es k¨ul¨ on-b¨ozhet. Ezek az eredm´enyek - a felfedez´es sorrendj´eben egyenk´ent k¨ozreadva - eredeti el˝oterjeszt´es¨ukben sz¨uks´egszer˝uen nem a leglogikusabban voltak elrendezve.
Az els˝o fejezetben az eml´ıtett ´altal´anos probl´em´at tekintj¨uk ´at, ´es megtal´aljuk a sta-tisztikus mechanika alapegyenlet´et. Ennek az egyenletnek egy speci´alis esete megadja a statisztikus egyens´uly felt´etel´et, azaz azt a felt´etelt, amelyet a rendszerek f´aziseloszl´ a-s´anak ki kell el´eg´ıtenie, hogy az eloszl´as ´alland´o legyen. Az ´altal´anos esetben az alap-egyenlet megenged egy integr´al´ast, amely egy - a n´ez˝opontt´ol f¨ugg˝oen - k¨ul¨onf´elek´eppen kifejezhet˝o elvet ad: a f´aziss˝ur˝us´eg, vagy a f´azist´erfogat, vagy a f´azisval´osz´ın˝us´eg meg-marad´as´at.
A m´asodik fejezetben a f´azisval´osz´ın˝us´eg megmarad´as´anak ezt az elv´et alkalmazzuk a hibaelm´eletre egy rendszer sz´am´ıtott f´azisaiban, amikor az integr´alegyenletek tetsz˝oleges
´
alland´oinak meghat´aroz´asa hib´as. Ebben az alkalmaz´asban nem megy¨unk t´ul a szok´asos k¨ozel´ıt´eseken. M´as sz´oval, a f´azisval´osz´ın˝us´eg megmarad´as´anak pontos elv´et azokkal a k¨ozel´ıt˝o ¨osszef¨ugg´esekkel, amelyeket szok´asosan feltesznek a ”hibaelm´elet”-ben.
A harmadik fejezetben a f´azist´erfogat megmarad´as´anak elv´et alkalmazzuk a mozg´as differenci´alegyenleteinek integr´al´as´ara. Ez megadja Jacobi ”utols´o szorz´o”-j´at, ahogy azt Boltzmann megmutatta.
A negyedik ´es k¨ovetkez˝o fejezetekben visszat´er¨unk a statisztikus egyens´uly vizsg´ ala-t´ahoz, ´es a konzervat´ıv rendszerekre korl´atozzuk figyelm¨unket. K¨ul¨on¨osen olyan rend-szerek sokas´agait vessz¨uk, amelyekben a f´azisval´osz´ın˝us´eg indexe36 (vagy logaritmusa)
36Gibbs ink´abb az index kifejez´est alkalmazza, ma a fizik´aban a logaritmus sz´ot haszn´alj´ak. A ford´ı-t´asban meg˝orizt¨uk Gibbs sz´ohaszn´alat´at.
az energia line´aris f¨uggv´enye. Ezt az eloszl´ast - egyed¨ul´all´o fontoss´aga miatt a statiszti-kus egyens´uly elm´elet´eben -kanonikusnak mern´em nevezni, az energia oszt´oj´at pedig az eloszl´asmodulus´anak. A sokas´agok modulusainak a h˝om´ers´eklethez hasonl´o tulajdons´ a-gaik vannak, amennyiben a modulusok egyenlete egy egyens´ulyi felt´etel az energiacser´et illet˝oen, amikor ilyen csere lehets´eges.
Tal´alunk egy differenci´alegyenletet a sokas´ag ´atlag´ert´ekeire vonatkoz´oan, amely for-m´aj´aban azonos a termodinamika alapvet˝o differenci´alegyenlet´evel; a f´azisval´osz´ın˝us´eg
´
atlagindexe el˝ojelcser´evel megfelel az entr´opi´anak, a modulus pedig a h˝om´ers´ekletnek.
Az energiafluktu´aci´o n´egyzet´enek ´atlag´ara tal´altunk egy kifejez´est, amely elt˝unik az
´
atlagenergia n´egyzet´ehez k´epest, amikor a szabads´agi fokok sz´am´at korl´atlanul n¨ ovel-j¨uk. A rendszerek egy olyan sokas´aga, amelyben a szabads´agi fokok sz´ama ugyanabban a nagys´agrendben van, mint a k´ıs´erletez´esbe bevont testekben l´ev˝o molekul´ak sz´ama, kanonikus eloszl´as eset´en az emberi megfigyel´es sz´am´ara ´ugy jelenik meg, mint azonos energi´aj´u rendszerek sokas´aga.
A t´argy kifejt´ese k¨ozben tal´alkozunk m´as mennyis´egekkel, amelyek nagyon nagy sz´am´u szabads´agi fok eset´en egy kanonikus sokas´agban praktikusan egybeesnek a modu-lussal ´es - negat´ıvan v´eve - a val´osz´ın˝us´egindex ´atlag´aval, ´es amelyeket ez´ert a h˝om´ er-s´eklethez ´es az entr´opi´ahoz kapcsol´od´onak is lehet tekinteni. A megfelel´es mindazon´altal nem teljes, ha a szabads´agi fokok sz´ama nem nagyon nagy, ´es semmi m´as nem javasolja ezeket a mennyis´egeket, mint hogy defin´ıci´o szerint egyszer˝ubbnek lehet tekinteni ˝oket az eml´ıtettekn´el. A XIV. fejezetben a termodinamikai anal´ogi´aknak ezt a t´em´aj´at valamivel hosszabban t´argyaljuk.
V´eg¨ul a XV. fejezetben az el˝oz˝o eredm´enyek egy olyan m´odos´ıt´as´at t´argyaljuk, amely sz¨uks´eges a teljesen hasonl´o, vagy esetleg a t¨obbfajta, de fajt´an bel¨ul egym´ashoz teljesen hasonl´o r´eszecsk´ekb˝ol ´all´o rendszerek ´attekint´es´ehez, vagy amikor a t¨obb fajta r´eszecsk´ e-b˝ol ´all´o rendszerben csak az egyik fajt´at vizsg´aljuk. Ezt a feltev´est term´eszetes m´odon kor´abban is bevezethett¨uk volna, ha c´elunk csak a term´eszet t¨orv´enyeinek kifejez´ese lett volna. K´ıv´anatosnak l´atszott azonban ´elesen elv´alasztani a tiszt´an termodinamikai t¨ or-v´enyeket azokt´ol a saj´atos m´odos´ıt´asokt´ol, amelyek ink´abb az anyag tulajdons´againak elm´elet´ehez tartoznak.
J. W. G.
NEW HAVEN, 1901. december
. . . IV. FEJEZET
A KANONIKUSNAK NEVEZETT F´AZISELOSZL ´AS, AMELYBEN A VAL ´OSZ´IN ˝US´EG INDEXE LINE ´ARIS F ¨UGGV ´ENYE AZ ENERGI ´ANAK
Ford´ıtsuk most figyelm¨unket a konzervat´ıv rendszerek sokas´ag´anak statisztikus egyens´ u-ly´ara, k¨ul¨on¨osen azokra az esetekre ´es tulajdons´agokra, amelyek a termodinamika jelen-s´egeinek megvil´ag´ıt´as´at ´ıg´erik.
A statisztikus egyens´uly felt´etel´et a k¨ovetkez˝o form´aban fejezhetj¨uk ki37: X a-nyadosa. E felt´etel kiel´eg´ıt´es´ehez sz¨uks´eges ´es elegend˝o, ha P olyan f¨uggv´enye a p-knek
´
es q-knak (az impulzusoknak ´es koordin´at´aknak), amely nem v´altozik az id˝oben egy mozg´o rendszerben. Minden most t´argyalt esetben az energia - vagy annak b´armilyen f¨uggv´enye - ilyen. Ez´ert
P = func.()
kiel´eg´ıti az egyenletet, ahogy val´oban azonosan jelenik meg, ha X
Mindazon´altal vannak P-re vonatkoz´o egy´eb felt´etelek is, amelyek nem annyira a statisztikus egyens´uly felt´etelei, hanem a val´osz´ın˝us´egi egy¨utthat´o defin´ıci´oj´ab´ol ´ erte-lemszer˝uen k¨ovetkeznek, ak´ar fenn´all az egyens´uly, ak´ar nem. Ezek a k¨ovetkez˝ok: P-nek egy´ert´ek˝unek kell lennie, ´es semmilyen f´azisra nem lehet sem negat´ıv, sem k´epzetes, tov´abb´a fenn kell ´allnia, hogy
37B´armely - a rendszerekre hatni k´epes - k¨uls˝o test helyzet´et az ¨osszes rendszerre n´ezve egyform´anak
´
es id˝oben ´alland´onak felt´etelezz¨uk. - Gibbs jegyzete
vagy a legegyszer˝ubb esetnek, mert megvan az a tulajdons´aga, hogy amikor a rendszer szepar´alt energi´aj´u r´eszekb˝ol ´all, a k¨ul¨on´all´o r´eszek f´aziseloszl´as´anak t¨orv´enyei ugyanolyan jelle-g˝uek - ez a tulajdons´ag roppantul leegyszer˝us´ıti a t´argyal´ast, ´es a termodinamik´aval val´o kapcsolatok rendk´ıv¨ul fontos alapj´at k´epezi. Az esetet nem bonyol´ıtja el a Θ oszt´o (egy az -nal azonos dimenzi´oj´u mennyis´eg), s˝ot ellenkez˝oleg, mert f¨uggetlen´ıti az eloszl´ast az alkalmazott egys´egekt˝ol. Az negat´ıv el˝ojel´et (4.2) k´ıv´anja meg, ami ψ ´ert´ek´et is Amikor a rendszerek egy sokas´aga a le´ırt m´odon oszlik el a f´azist´erben, azaz amikor a val´osz´ın˝us´eg indexe az energia line´aris f¨uggv´enye, azt fogjuk mondani, hogy a sokas´ag kanonikus eloszl´assal rendelkezik, az energia oszt´oj´at (Θ) pedig az eloszl´asmodulus´anak h´ıvjuk.
Ez´ert egy kanonikus eloszl´assal rendelkez˝o sokas´ag t¨ored´ek r´esz´et, amely a f´azist´er b´armilyen adott hat´arain bel¨ul fekszik, az
Z
t¨obbsz¨or¨os integr´al reprezent´alja az adott hat´arokon bel¨ul v´eve. Ugyanezt mondhat-juk ´ugy is, hogy a t¨obbsz¨or¨os integr´al kifejezi azt a val´osz´ın˝us´eget, amellyel a sokas´ag egy k¨ozelebbr˝ol meg nem hat´arozott rendszere (azaz amelyr˝ol csak azt tudjuk, hogy a sokas´aghoz tartozik) az adott hat´arokon bel¨ulre esik.
Mivel a kor´abban b´armely adott f´azis ´altal korl´atozott, f´azist´erfogatnak nevezett t¨obbsz¨or¨os integr´al38 ´ert´eke f¨uggetlen a koordin´ata-rendszert˝ol amely szerint ki´ert´ ekel-j¨uk, ugyanennek igaznak kell lennie a (4.5)-beli t¨obbsz¨or¨os integr´alra is, ahogy r¨ogt¨on kit˝unik, ha ezt az integr´alt olyan kis r´eszekre osztjuk fel, hogy az exponenci´alis t´ enye-z˝ot mindegyikben ´alland´onak tekinthetj¨uk. A ψ ´ert´eke ´ıgy f¨uggetlen az alkalmazott koordin´ata-rendszert˝ol.
Nyilv´anval´o, hogyψ-t az energiak´ent defini´alhatjuk, amelyre a f´azisval´osz´ın˝us´eg egy¨ utt-hat´oja egys´egnyi ´ert´ek˝u. Minthogy azonban ennek az egy¨utthat´onak a dimenzi´oja az energia ´es az id˝o szorzat´anak n-edik gy¨oke, a ψ ´altal k´epviselt energia nem f¨uggetlen az energia ´es az id˝o egys´egeit˝ol. Ha azonban ezeket az egys´egeket kiv´alasztottuk, a ψ
38R . . .R
dp1. . . dpndq1. . . dqn alak´u integr´alr´ol van sz´o.
defin´ıci´oja tartalmazni fogja ugyanazt a tetsz˝oleges ´alland´ot, mint az , ´ugyhogy m´ıg b´armilyen adott esetben a ψ ´es sz´am´ert´ekei teljesen meghat´arozatlanok, am´ıg nem r¨ogz´ıtj¨uk a vizsg´alt rendszer sz´am´ara az energia nullpontj´at is, a ψ − k¨ul¨onbs´eg egy t¨ok´eletesen meghat´arozott energiamennyis´eget reprezent´al, amely teljesen f¨uggetlen az energia elfogad´asra kiv´alasztott nullpontj´at´ol.
defin´ıci´oja tartalmazni fogja ugyanazt a tetsz˝oleges ´alland´ot, mint az , ´ugyhogy m´ıg b´armilyen adott esetben a ψ ´es sz´am´ert´ekei teljesen meghat´arozatlanok, am´ıg nem r¨ogz´ıtj¨uk a vizsg´alt rendszer sz´am´ara az energia nullpontj´at is, a ψ − k¨ul¨onbs´eg egy t¨ok´eletesen meghat´arozott energiamennyis´eget reprezent´al, amely teljesen f¨uggetlen az energia elfogad´asra kiv´alasztott nullpontj´at´ol.