MÓDSZERTANI KlSÉRLETEK
A ROVIDTÁVU ELÓREJELZESEK KORÉBEN ,
FRESCHL GYÖRGY
A gazdasági folyamatok kvantitatív leírásán belül a népgazdasági tervező. elem— ző munkának egyik fontos mozzanata a különböző időhorizontú előrejelzés. A hagyo—
mányos módszerek mellett egyre nagyobb teret kapnak a tudományos igényű, mo—
dern matematikai módszereken alapuló eljárások, de még további igény mutatko- zik az előrejelzési módszerek feltárására és alkalmazására.
A rövid távú előrejelzések körében elég általános az a probléma. hogy az adott év valamely időszakának, valamint a megelőző évek adatainak ismeretében kell az év egészének várható adatait előrebecsülni. Jelen munkánkban ilyen problémák megoldására kerestünk megfelelő módszereket.1 A példaként választott kiskereske- delmi áruforgalmi adatok a gazdasági idősorok nagy hányadára jellemző vonások—
kal (trend. szezonális ingadozások) rendelkeznek. ezért alkalmasnak látsz ottak mód-
szertani kísérletre.Az egyes árufőcsoportok kiskereskedelmi forgalma
(folyó áron)
Aú!/BM for-ml 7 3
72
ÉliLM/SZFEEK És ÉLVEZETI [IK/(EK lFARE/KXEK 71
70
hwa: mert/HE!
Bolt/' folyt/am
?
? Vendég/áá: Rimini/' cikk!
0
7968 7969 7970 7977 7972 79737570 7.975 7976 7577 7978 7975 7580 7968 7959 mm 7977 7972 7973 79746l7.975 7.976 7.977 7.978 7979 7980
* A munkában való közreműködésért köszönettel tartozom dr. Marton Ádámnak, akivel az 1960. évi esz—
tergomi, .,Előrejelzési modellek a szocialista gazdaságban" témájú konferenciára e témában közös referá- tumot készítettünk.
FRESCHL: RÖVID TÁVÚ ELÓREJELZÉSEK 713
Mielőtt a kiskereskedelmi forgalomra kidolgozott előrejelzési módszereinket is—
mertetnénk, áttekintést adunk az előrejelzési eljárásokról.
AZ ELÖREJELZÉSEKRÖL ÁLTALÁBAN
Az előrejelzés idősori minta (minták) alapján megállapított bizonyos összefüg- gések'(modellek) felhasználásával az idősor mintaidőszakon túli időpontra történő kivetítését, a legvalószínűbben megvalósuló variáns meghatározását jelenti.
- A gazdasági folyamatok idősori mintából kiinduló előrejelzési módszereit több—
féleképpen csoportosíthatjuk. Egyik lehetőség az egyváltozós és többváltozós előre—
jelzések kategóriájának felhasználása, mely előrejelzéseket a teljesség igénye nél- kül bemutatunk.
Az egyváltozós előrejelzéseknél az idősor alakulását meghatározó összefüggést úgy tekintjük. hogy csak saját törvényszerűségeinek engedelmeskedik. Ezek közé tar-
toznak:
a) a trendszámítás: polinomiólis, exponenciális, logisztikus trendek stb.;
b) a kiigazító módszerek: különféle súlyrendszerek alapján történő extrapoláció:
:) a trendszámítós és a kiigazító módszerek kiegészítéseként a szezonális, ciklikus hatá- sok mérésének módszerei: a BLS—módszer, a spektrálanalizis, a Jorgenson—módszer és egyéb, hagyományos dekompozíciós módszerek;
d) az idősorok sztochasztikus modelljei: az AR. MA, ARMA, ARlMA típusú modellek, il- letve azok szezonalitóst figyelembe vevő változatai.
A többváltozós előrejelzéseknél a magyarázni, azaz előrejelezni kívánt változó alakulása más változóktól mint feltételektől függ. lde tartoznak
a) különálló egyenletek felhasználásával: a lineáris regressziók, a nem lineáris regresz—
sziók, a distributed lag (osztott késleltetésű) modellek. az idősori sztochasztikus modellek többváltozós módszerei. a faktormodellek;
b) szimultán egyenletek felhasználásával a redukált forma vagy a végső forma alapján történő előrejelzés.
A többváltozós előrejelzésekkel kapcsolatban kell megemlítenünk a szimuláci—
át, amely az exogén változók vagy ritkább esetben a strukturális paraméterek külön—
böző értékeihez tartozó endogén változók meghatározását(szimulálósát) jelenti a mintaidőszakon kivüli időpontra, de módszere lehet annak is. hogy megállapítsuk, hol, mikor és milyen mértékben kell a rendszerbe, a gazdasági folyamatba egy adott cél érdekében beavatkozni.
Merev határ nem húzható az előrejelzés és a szimuláció között. A felhaszná- landó becslési apparátus ésszerű kiválasztása ugyanis döntően befolyásolja az előrejelzés hatékonyságát, hiszen az eljárások az adott struktúra mintaidőszakon túli vóltozatlanságát tételezik fel. Amennyiben ez a feltétel nem teljesül, számításba kell venni az előrejelzett időszak megváltozott körülményeit. s így lehet, hogy több változatban kell elvégezni az előrejelzést.
A matematikai módszerek meglehetősen bőséges tárháza áll rendelkezésünkre, hogy válogathassunk, milyen módszerrel végezzük el az előrebecslést. A számolás- igényes módszerek használata sem jelent ma már a nagyteljesítményű számitó- gépek birtokában jelentős problémát. Különösen bonyolultabb összefüggések ese—
tében azonban nehézséget okozhat a megfelelő statisztikai adatbázis hiánya. A ma- tematikai módszerek alkalmazásának számos feltétele van (például stacionaritás, korrelálatlanság), amelyek nem mindig teljesülnek. Ekkor vagy olyan általában bo—
nyolultabb módszereket kell választani. amelyek az adott feltételt már nem igény—
lik. vagy be kell érni a becslés alacsonyabb hatékonyságával.
ELÖREJELZÉSI KlSÉRLETEK A KISKERESKEDELMI FORGALOMRA
A megfelelő matematikai modell megkereséséhez szükség van a vizsgált jelen- ség sajátosságainak, a döntő tényezőknek a feltárására. Ha a választott modell nincs összhangban a tényekkel. az azt jelenti, hogy a modell felállításakor elhanya- goltunk valami fontos körülményt. ilyenkor a modellt módosítani kell. Ugyanakkor gyakran az adott helyzethez több modell is található, ezek közül kell kiválasztani a legalkalmasabbat. Olyat. mely lehetőleg jól illeszkedik a tényekhez, de ugyanakkor nem túl bonyolult, matematikailag könnyen kezelhető. A két követelmény egyen- súlyba hozása általában kényes feladat.
A kiskereskedelmi forgalom előrejelzésénél kisérletet végeztünk mind az egy-
változós, mind a többváltozós módszerek alkalmazására. lgy— egyrészt a különböző hónapok halmozott adatai alapján. a jövedelmek. az árak függ- vényében regressziós egyenletekkel vizsgáltuk az áruforgalom alakulását;
— másrészt szezonális ARIMA-modellekkel, amelyek az idősorok belső összefüggéseinek
"felhasználásával önmagukat generáló módon végzik a múltbeli tendenciák előrevetítését.
végeztünk előrebecslést,
Természetesen, mint a korábbi felsorolásból is látszik, más módszerekhez is nyúlhattunk volna. így például a szezonális szűréssel kombinált trendszámítás vagy az osztott késleltetésű modellek is számításba jöhettek volna. A választott módsze- rek közül a regressziós módszer az egyéb változókkal való kapcsolat leírására a leg- megfelelőbb eszköz, a kapott paraméterek mint elaszticitások új elemzési informá—
ciókat is szolgáltatnak. Az ARlMA—modellek pedig a feltétel nélküli előrejelzések közül matematikai statisztikailag a legjobban megalapozottak.
A forgalmat vizsgáltuk a kiskereskedelem egészére és árufőcsoportonként:
— élelmiszerek és élvezeti cikkek bolti forgalma.
— vendéglátás forgalma, -— ruházati cikkek forgalma,
— vegyes iparcikkek forgalma.
valamint
— élelmiszerek bolti és vendéglátó forgalma,
— élvezeti cikkek bolti és vendéglátó forgalma.
Ez utóbbi bontást azért tartottuk érdekesnek, mert az utóbbi évek árváltozósai esetében ezek a cikkcsoportok élesen elkülönültek. (Hasonló, bár némileg kisebb mértékű elkülönülés áll fönn a vegyes iparcikkeknek tartós, illetve egyéb iparcik—
kekre való bontása esetében. A módszerek további felhasználása esetén célszerű- nek tűnik ezt a bontást is figyelembe venni.) Mindezen csoportok forgalmát előre—
becsültük folyó áron. előző évi áron és 1976. évi változatlan áron.
Az előző évi áras és a változatlan áras változat csupán kísérleti céllal készült.
hiszen az ezekhez szükséges adatok (árindexek) csak olyan késéssel állnak rendel- kezésre, hogy gyakorlati célú felhasználásukra az előrejelzésben már nincs mód.
1. Előrejelzések regressziós függvényekkel
Az a gondolat. hogy többváltozós regresszióval végezzünk előrejelzéseket nem új. a módszer mégis kevéssé használatos. Ennek oka talán abban rejlik, hogy a munka nem csupán mechanikus számításokat igényel. Az alkalmazott eljárásban az eredményesség szempontjából döntő jelentőségű a jó specifikáció.
RUVID TAVÚ ELÓREJELZÉSEK
715
Egy modell jóságának két fő kritériuma van, az egyik, hogy a modell közgaz- daságilagpedig, hogyfontos,a paraméterek és egyéb mutatók szignifiinformációkban gazdag összefüggéseketkánsakragadjonlegyenek.meg,Magyarázóa másik változókként a következők jöttek számításba:
— az előző évi forgalmi érték,
—- a becsülendő év adott hónapjáig a forgalom halmozott értéke,
— az egy főre jutó pénzjövedelem indexe,
— a kiskereskedelmi forgalom árindexe,
-— az adott hónapig halmozott forgalom relatív árindexe,2
— a
takarékbetét—állomány változásának mértéke.
Az egyenletek általános alakja a következő:
RCFt : f(RCFH ; Rcrg; Nt; sz; m;)
ozmwm_m :(th : g(KFVt
_13KFV;;R1;(2Dt)Az első egyenletben a ruházati cikkek forgalmának folyó áron mért t—edik évi szintjét (RCFI) magyarázzuk
—— a (t—1)—edik évi forgalmi szint folyó áron mért értékével;
—— a
t-edik évi forgalom i-edik hónapig halmozott folyó áras értékével;
— a t-edik évi egy főre jutó pénzjövedelem indexével (Nt);
— a t—edík évi kiskereskedelmi forgalom árindexével (St);
—- az i-edik hónapig. halmozott ruházaticikk-forgalom relatív árindexével (RCPtí).
A második egyenletben a kiskereskedelmi forgalom t-edik évi 1976-es változat—
lan áron mért szintjét (KFVJ magyarázzuk
—- a kiskereskedelmi forgalom (t—1)-edik évi szintjének változatlan áras értékével;
—- a t-edik évi
forgalom í—edik hónapig halmozott változatlan áron mért értékével;
— a reáljövedelem índexével (R:);
— a takarékbetét—állomány t—edik évi növekedésével, mely értéket a kiskereskedelmi for- galom 1976—os bázisú árindexével defláltunk (ODI).
A takarékbetét-állomány változót a vegyes iparcikkek és a kiskereskedelem ösz- szesen egyenletében alkalmaztuk, mivel a tartós fogyasztási cikkek forgalmával való
kapcsolatát szignifikánsnak véltük.
Az f és a g függvények lineáris, additív összefüggéseket jelentenek.3 Mivel önálló egyenletekről (nem szimultán egyenletrendszerről) van szó, becslési eljárás-
ként alkalmazhattuk a klasszikus legkisebb négyzetek módszerét.
Első lépésben az 1968-tól 1978-ig terjedő időszakon alapuló becslést végeztük el. A becslési eredmények természetes velejárója, hogy az i értékének növekedésé—
_ vel, vagyis márciustól október felé haladva a paraméterek stabilizálódnak.
Kiszámítottuk a paraméterek standard hibáit. Ezek a hibák némely esetben vi- szonylag nagyok voltak a rövid idősor, az egyenletekbe előrejelzés-centrikusan be—
vett négy-öt magyarázó változó között óhatatlanul fellépő multikollinearitás miatt.
Az előző évi forgalom és a t—edik évi halmozott forgalmi adatok paraméterei- nek 7standardA hibája valamennyi egyenletben jelentősen alatta maradt a paramé-
relatív árindexen az adott cikkcsoport árindexének és a teljes kiskereskedelmi forgalom árindexé- nek hányadosát értjük.
3 Bár a változók között némely esetben talán a multiplikatív összefüggés a jellemzőbb. a becslési el—
járás egyszerűsítése érdekében ettől eltekintettünk.
terértékeknek, sőt a halmozott forgalmi adatoknál fellépő standard hibák — elvárá- sunknak megfelelően —- a hónapok előrehaladtával egyre csökkentek. A többi vól—
tozó esetében (elsősorban változatlan árak mellett) előfordultak a paramétert elérő.
sőt néha meghaladó standard hibák is, de az ilyen egyenleteket sem vetettük el, mi—
vel az egyenlet egészének előrejelző képessége a determinációs együttható alapján
még mindig kielégítő volt. *
A folyó áras egyenletekben valamennyi paraméter szignifikánsnak mutatkozott.
Elsődleges célunk az előrejelzés és nem a paraméterek elemzése. így csak nagy vo—
nalakban szólunk erről. (A paraméterek értelmezése önmagában is érdekes lehet.
Segítségükkel például az elaszticitások alakulásáról alkothatunk képet.) Mivel a hal—
mazott forgalmi változó az i növekedésével egyre többet magyaráz meg az endogén változóból, ezért értelemszerűen a többi változó paramétere az i növekedésével ab- szolút értékben csökken. Tekintsük most csak a legfontosabb folyó áras összefüggé—
seket az árindexek vonatkozásában.
Az egyes órufőcsoportok bevételének összefüggése az árindex változásával
Élelmi- Élveze'ti % Vendég— Ruházati Vegyes Kiskeres-
Megnevezés szerek cikkek Ezek bolu , látás cikkek iparcikkek kedelem forgalma
A kiskereskede-
lem órindexe enyhén
nő. . . . . nő csökken nő csökken csökken csökken csökken
A relatív árindex*
nő. . . . . nő nő nő csökken csökken 1 nő —-
' Az adott csoport és a teljes kiskereskedelem árindexének hányadosa.
Az összeállításból például kiolvasható, hogy a kiskereskedelem árindexének nö—
vekedése csak az élelmiszerek forgalmának n övekedését (értékben) nem állítja meg,
a többi cikkcsoport forgalmát viszont nominálisan is csökkenti; viszont a relatív ór- index növekedése önmagában csak a vendéglátás és a ruházati cikkek nominális forgalmára hat negativan.Az egyenletek reziduumaiban levő autokorrelációt mutatja a Durbin—Watson—
féle d mutató./* Értékét 5 százalékos szignifikancia szinten vetettük egybe egyenle—
teink d mutatóival, amelyek többsége oly zónába esik, hogy a rezíduumok független—
ségét nem kell elvetnünk.
A becslés hatékonyságának további mutatója, a determinációs együttható (RE), a függő és az összes független változó közötti kapcsolat szorosságának százalékos mutatója. az i értékének növekedésével szoros kapcsolatban szintén nőtt. Legkisebb értéke 95,1 százalék volt, de valamennyi egyenletünkben i : X (október hó) eseté-
ben már elérte a 999 százalékot.
A becsült egyenletekkel további próbaképpen ex post előrebecslést végeztünk az 1979-es évre. Természetesen itt már tényszámok álltak rendelkezésünkre vala—
mennyi magyarázó változóra is.
A vártnak megfelelően az i értékének növekedése többnyire az előrejelzések
pontosságának növekedésével járt. Példaképpen bemutatjuk az első, a második és a harmadik negyedévi adatok alapján készült előrebecslések százalékos hibáit.(Lásd az 1. táblát.)
" Amennyiben a magyarázó változókkal a vizsgált jelenségre ható minden lényeges tényezőt sikerült számításba venni, akkor a rezíduumok már csak véletlen hatások függvényei. s így egymástól függetlenek.
Amennyiben nem, akkor az egyenlet specifikációja nem megfelelő.
RÖVID TÁVÚ ELÖREJELZESEK
717
1. tábla
Az 1979. évi ex post előrejelzések eltérése a tényszámoktól
(százalék)
, , , , , Előző évi áros Változatlan áras
*wFolyo oras elorelelzes előrejelzés előrejelzés
Cikkcsoport m. ! VI. ] lX. m. [ Vl. l IX. m. ] Vi: ] lX.
hónapban
a) [Élelmiszerek . . . . —3,5 —0.9 —1,2 —-l,1 7.9 3.2 2.7 5.6 2.6
b) Elvezeti cikkek. . . . —3,8 —l.7 —1,0 -—2,3 —5.2 —3.4 —-5,1 —l,9 —-1,2
c) Élelmiszerek és élvezeti
cikkek bolti forgalma . —2,2 ——0.4 —1.4 4.3 54 0.7 O,5 2.1 1.0
d) Vendéglátás . . . . —5,6 —4,8 —2,1 2,3 1.2 —O.5 2.1 2.8 0.6
9) Ruházati cikkek . . . ——6,6 —5,2 —4,1 —-2,9 ——l,7 —2,7 -—0,1 —0.1 0.3
?) Vegyes iparcikkek . . . —-3,8 2.5 —O,2 —2,8 1.7 0.2 —12.6 ——2,2 1,1 Kiskereskedelem összesen
c) %— d) —l— e) -l—— l) . —3,9 —0,5 —-0,8 0.1 2.3 —0,1 ——5,0 0,0 0,9 a) %— b) —l— e) J;— f) . —4,1 l -—0,3 —7,1 ——2,3 1.5 —0,1 ——5,6 0,1 1.0
i
Mint az ex post becslés hibáiból kitűnik, megfelelő előrejelzési eredményekhez jutottunk. Ezután elvégeztük az 1980-ra vonatkozó ex ante előrejelzéseket.
ldősorainkat az 1979. évi tényszámokkal meghosszabbítva újra becsültük egyen—
leteinket. A statisztikai próbák hasonló. sőt némileg jobb eredményt szolgáltattak, mint az előző esetben. Ekkor még csak a folyó áras adatok álltak rendelkezésünk- re. de ezek is csak az élelmiszerek és élvezeti cikkek cíkkcsoportja nélkül. A halmo- zott adatok közül az első féléviek tényszámok. (: júliusi adatok előzetes számítások eredményei, ugyanez mondható a relatív árindex értékére is. A jövedelmi adat (Nt :: 108,580/o). valamint a kiskereskedelmi forgalom árindexe (S, : 109,500/0) szakértői becslésen alapulnak. Mivel a takarékbetét-állomány 1980-es értékére nem kaptunk becsléseket sem, ezért szimulációhoz folyamodva, három lehetséges válto—
zatra (a) — 4 milliárd. b) — 7 milliárd. c) —— 10 milliárd forintos betétállomány-növeke- désre) számítottuk ki a vegyesiparcikk— és a kiskereskedelmi forgalom előrejelzett értékeit. A kiskereskedelmi forgalom egészét, az egyértelműség érdekében az áru- főcsoportok forgalmának összegeként állítottuk elő.
2. tábla
Előrejelzések 198040
x (folyó áron)
lll. ! Vl. ! Vll. Konlidenciaintervallum
CikaSOPo't
havi adatok ismerete 95 ] 99
alapján (millió forint) százalék i százalék
Élelmiszerek és élvezeti cikkek
bolti forgalma . . . . . . 111 054 111 486 111 957 i3 338 i4394
Vendéglátás forgalma . . . . 43 831 43 687 43 528 il 841 i2 423
Ruházati cikkek . . . . . . 47194 46 944 47.217 il 751 iZ 305
Vegyes iparcikkek .
a) . . . . . . . . . . 140 236 146 183 145 969
b) . . . . . . . . . . 139 765 145178 145 266 jj'lO 288 il3 542
c) . . . . . . . . . . 139 295 144 174 144 563 Kiskereskedelmi forgalom össze-
sen . . . . . . . . . .
a) . . . . . . . . . . 342 315 348 300 348 671
b) . . . . . . . . .*' . 341 844 347 295 347 968 i17 218 i22 664
C) . . . . . . . . . . 341 374 346 291 347 265
A pontbecsléseken túlmenően intervallumbecsléseket is végeztünk az utolsó előrejelzésekre 95 és 99 százalékos val ószínűségi szinten. melynek értékeit a 2. tábla
tartalmazza.5 A meglehetősen széles intervallumok elsősarban a felhasznált idő—sorok rövidségének tulajdoníthatók, másodsorban azzal magyarázhatók, hogy az el- múlt évek több jelentősebb árváltozáso a forgalmi struktúrát sem hagyhatta válto- zatlanul, ezt pedig a regressziós módszerek a nagyobb hibaszázalékokkal érzéke—
lik.
2. Előrejelzések a szezonális ARlMA-modellekkel
Az idősori elemek belső összefüggései lehetőséget kínálnak arra, hogy külön- böző típusú sztochasztikus modellekkel közelítsük az idősorokat. A Box és Jenkins
által kidolgozott idősorelemzési modellrendszer a legáltalánosabb viselkedésű idő-
sorok esetében is alkalmazható. Ez más szóval azt jelenti, hogy nem kell olyan meg- lehetősen szigorú feltételeknek teljesülnie, mint például a stacionaritás vagy a sze- zonalitás hiánya. További előnye az ilyen típusú modelleknek, hogy kevés paramé—ter felhasználásával írják le az idősorakat, ennek ellenére jól érzékelik az idősorok tulajdonságait. Becslésük, ellenőrzésük ismert eljárások, tesztek szerint történik.
A Box—Jenkins-féle modellek fő előnye előrejelzésre való alkalmazhatóságuk—
ban rejlik. Az előrejelzési eljárásnak lényege az, hogy a vizsgált idősorok előrejel- zett értékeit rekurzív módon, a rendelkezésre álló idősori elemeknek a becsült para- méterek segítségével súlyozott kombinációjaként generálja oly módon. hogy a ko- rábbi idősori elemek súlya csökkenő. Ezen realitósi érzékünket alátámasztó tulajdon—
ság mellett szintén a módszer jó adaptációs készségét mutatja. hogy alkalmazása során a felhasználónak minden egyes fázisban — így a modell kiválasztásánál, becs—
lésénél és ellenőrzésénél - módja van beavatkozni a folyamatba.
A MODELLRENDSZER FELÉPULÉSE ÉS lDENTlFIKÁClÓJA
Az ARIMA modellrendszer felépítésének. alapfeltevésének tisztázása érdekében vegyük egy vízkivételi mű működésének elnagyolt példáját. Ahhoz. hogy zavartalan legyen a vízkivétel (például hullámzásmentes víz), el kell keríteni a befolyó nyílást (szezonális szűrés); a tisztító rendszerben állandó vízszintet kell biztosítani (trend- szűrés); le kell ülepíteni a durva szennyeződéseket (esetleg további trendszűrés);
ki kell szűrni további két szűrő beállításával a szerves és szervetlen szennyeződé—
seket. lgy végeredményként a felhasználáshoz megfelelő tisztaságú vízhez jutunk.
Ennek a folyamatnak az ellenkezője megy végbe, ha az ivóvizet és egy folyó vizét vetjük egybe. Ezt egy sémán ábrázolhatjuk:
IVÓVIZ* SZERVETLEN " SZERVES ARADÁS. SZÉL, FOLYÓVIZ
_ L, ___ _ _"
ANYAGOK ANYAGOK l *l HORDALÉK ! *l APADÁS *l HAJozAs" *
Teljesen analóg módon. az ARlMA típusú modellek azon a feltevésen alapul—
nak. hogy belső összefüggésekkel bíró idősorok. független, véletlen ingadozásokból
generálhatók. Jelöljük ezeket a véletlen elemeket (white noise, példánkban az ivó—
víz) at, a,__1. ...-gyel. Az a, elemekre alkalmazva modellünket, tehát el kell jutnunk a legáltalánosabb idősori elemekhez (folyóvíz). jelöljük ezeket zt. zt_1, ...-gyel. Te- hát a zt elemek egy szezonális, nem stacionárius idősort reprezentálnak.
!:
5 A vegyesiparcikk- és a kiskereskedelmi forgalomnál az intervallumokat csak a középső esethez szá—
mítottuk ki.
RÖVID TÁVÚ ELÖREJELZÉSEK
719
A folyamatot a következő sémóval szemléltethetjük:
SZEZONALIS
l—* SZÚRÖ ** ze
a_y : MOZGOATLAG- l'*l AUTOREGRESSZN SZORÖ SZÚRÖ **! NEM STACiONARlUS SZURÖ ,
Ennek a feltevésnek a teljesülése biztosítja. hogy a folyamat inverzeként a zt—
elemekből az a: -elemekhez jutunk ahát csak zt és a változókkal operálnak.felírt modell segítségével. Ezek a modellek te—
Értelemszerűen. (: stacionárius és az invertibilis idősorok (a kevésbé szennye—
zett víz esete) leírására egyszerűbb modellek szolgálnak. Ilyenek az AR—, a MA- és az ARMA—modellek.
A g—ad rendű mozgóótlagolósú MA-modellben az idősori (a stacionaritósi fel—
tételeknek eleget tevő) elemek csupán véletlen elemekből generólhatók:
zt : at—61at_1—02 at_2— —-9g az_g
Nagyon leegyszerűsíti jelölésrendszerünket az általánosan használt operáto—
rok bevezetése. Legyen B késleltető operátor jelentése a következő:
,.
B Z: : zh,"
jelentsen
G(B) : 1—018—6282— _a!; Be
mozgóótlagolósú operátorpolinomot (mozgóótlagszűrőt). melynek segítségével
zt : 6(B)at.
A p-ed rendű autoregresszív AR-modell a következő formájú:
Z: : (pl Zt_1-l—992 zt_2-l— .. . 44714, zt_p—i—at,
(ha p véges, a folyamat invertibilis), tehát az idősor t időszaki értékét saját, koráb- bi t—1, t—2. . ... t—p időszaki értékeivel és egy véletlen ingadozást reprezentáló vól- tozóval fejezi ki. Jelentsen
(;)(B):1——(plB—(p282— _mpBP
autoregresszív operátorpolinomot (autoregresszív szűrőt). ekkor a p—ed rendű auto—
regresszív modell
(p(B)zt : az.
A vegyes típusú ARMA—modellek autoregressziv és mozgóótlagolósú tagokat is tartalmaznak:
(;:(B)zt : 6(B)at .
A felsorolt modellekben a z értékek az idősori elemeknek az átlaguktól való el- térését jelentik.
Ahhoz, hogy ilyen modelleket specifikálni tudjunk, szükség van a megfelelő p
és a értékek megállapitására. Ez a folyamat belső összefüggéseit feltáró függvé- nyekkel, az autokorrelóció— és a parciális autokorrelóció—függvényekkel történik.Az autokorreláció az eredeti idősor és bizonyos idővel eltolt alakja közötti kap—
csolat szorosságát, korrelációját méri. Az autokorreláció-függvény az időeltolás függ- vényében irja le a folyamat korrelációs összefüggéseit. Autoregresszív folyamat ese—
tében az autokorreláció-függvény exponenciálisan csökkenő vagy csillapodó hul- lámgörbe lefutású. Egy ilyen típusú autokorreláció—függvény (9) leírható véges sok (legyen ez k) outokorreláció lineáris kombinációjaként:
91" : WkIOi—W "' *Wkik—xiej—ki1*wkk9i—k U ; 1'2' kl'
Ez az egyenletrendszer szukcesszív módon megoldható a (pkk parciális autokor—L relációkra. Egy p-ecl rendű AR—folyamatra az a jellemző. hogy parciális autokorre—
lációi p nem 0 érték után O-vó válnak, tehát így a (pkk érték O—vá válása egyben ki—
jelöli az AR-folyomat rendjét.
Az autokorreláció— és a parciális autokorreláció—függvényre szemléltetésképpen tekintsük át az alábbi példát. Egy folyóba szennyeződés kerül, és ennek levonuló- sát akarják nyomon követni. Ez történhet oly módon, hogy egy ponton bizonyos idő—
közönként mérik a viz szennyezettségét (autokorreláció). vagy pedig úgy is. hogy több ponton azonos időben vesznek mintát (parciális autokorreláciá).
Egy MA(a) folyamat parciális autokorrelációi csökkennek exponenciálisan vagy csillapodó színuszgörbe szerint, és autokorrelációi válnak O-vá (; nem 0 érték után.
Az ARMA (p, a) folyamat autokorr eláció-függvényei és parciális au tokorreláció-függ—
vényei p—a érték után exponenciálisan vagy csillapodó színuszgörbe szerint csök—
kennek.
Amennyiben idősorunk nem stacionárius — és ez az eset jellemző a gazdasági idősorok többségére. hiszen ezek általában erős fejlődést mutatnak, így nem jel—
lemezhetők egy konstans átlagszinttel —, hogy a fenti modelleket használhassuk, valamilyen eljárással stacionáriussá kell tenni. Ez többnyire elérhető, vagyis a trend megfelelően kiszűrhető, ha az idősorra (amennyiben polinomiális jellegű trendre illeszkedik) vagy annak logaritmusára (ha exponenciális jellegű) bizonyos fokú dit—
ferenciákat alkalmazunk.
Jelölje a d-ed fokú differenciaképzést (nem stacionárius szűrő) a Vdoperátor:
—d _ —
Vzt—zt zhd.
melyben a z az idősor elemeit vagy azok logaritmusát jelöli. A Vál, elemekből fel—
épülő —— d-ed fokú trendtől, esetleg exponenciális trendtől megtisztított, d taggal megrövidült - idősor most már stacionárius, így tehát alkalmazható rá ARMA—
modell:
(MB) det : 0(B)at.
Az ilyen típusú modellt ARlMA—modellnek nevezzük, mely a p, d, a dimenziók- kal jellemezhető. A gyakorlatban a szezonalitást nem tartalmazó idősorok többsége jól leírható a p, d, (; alacsony (0, 1 vagy 2) értéke segítségével.
A szezonális (vagy multiplikatív) ARIMA-modellt szabályos ingadozásokat tar—'
talmazó idősorok leírására dolgozták ki. A modell megértéséhez táblába rendezzük
például a több év havi adataiból álló szezonális jellegű idősorunkat. A táblában függőségi rendszer fedezhető fel a vízszintes, folyamatosan egymás után kö—vetkező havi idősori elemek, valamint a függőleges, a különböző évek azonos hó—
nopjait reprezentáló elemek között is. A kétirányú függőségi rendszert egy—egy ARlMA-modellel kíséreljük meg leírni, ezek egymásra épüléséből alakul ki a sze—
zonális ARlMA—modell.
RÖVID TÁVÚ ELÖREJELZÉSEK
*
721
Feltéve, hogy a periódushossz (s) 12 hónap, a különböző évek azonos hónap- jait összekötő rendszerre felírható egy ARlMA—modell:
(pw) Vg z, : (a(ssmt,
ahol V? az (1—85)D operátort (szezonális szűrőt) jelenti, melyben D a szezonalitás
fokszámát mutatja. Például D : 1 azt jelenti, hogy a szezonalitás additív módon il- leszkedik a trendre, elsőfokú differenciaképzéssel kiszűrhető. Ennek szimbóluma ese-
tünkben (: Y; , vagyis
VI 2 : (1—812)zt : zt—zt_
12 t 12'
Természetesen előfordulhat időben növekvő amplitudójú szezonalitás is, mely esetben D)1. A (P(Bs) és a G(BS) a MB)-hez és a 9(B)-hez hasonló. de P—ed. il-
letve G-ad fokú autoregresszív, illetve mozgóátlagolású operátorpolinom:
op(ss) 21—95155— _chBPs 0009) : 1—0185— _GOBOS.
Tegyük fel például, hogy ez a modell jól leirja szezonális idősorunk decemberi (más esetben, például negyedéves adatokból felépülő idősor esetén, ahol 5 : 4.
az utolsó negyedévi) viselkedését. Feltételezzük továbbá, hogy ugyanez a modell alkalmazható a novemberek (harmadik negyedévek) leírására:
(mas) vng : Ú(Bs)at_1.
Tovább menve, ezt feltételezzük a többi hónapra (negyedévre) is. Az a,, (I:—1, . számsorozat (rezíduumsorozat) elemei viszont nem függetlenek egymástól, az idősor egymást követő hónapjainak összefüggése miatt. Ezért miként eredetileg 1,—
re, most (l,-re is felírhatunk egy ARlMA—modellt:
(MB) Vdat : G(B) a'
A két modell összevonásával z, idősorra (d—l—sD taggal rövidült meg) a szezo- nális modellhez jutunk:
%(B) (D,,(BS) Vd szt : 64(B) 99035)";
Ez a multiplikativ modell a (p, d, a) (P, D, 0): értékekkel jellemezhető. (Ha d : 0. akkor az idősor átlagszintjére jellemző additív konstans tag is járul a mo-
dellhez: ,a.)
Egy ilyen szezonális ARlMA—modell identifikálása a d, D és 5, valamint a p, a, P és O értékek meghatározását jelenti. A p és P értékeinek meghatározása azonos módon történik, hasonló mondható a a—ról és O—ról is. A tapasztalatok azt mutatják.
hogy p-l—g-l—P—l—O S 4 számú paraméter elégséges az idősor jó közelítésére.
A szezonális ARlMA—modellekkel ugyanazon idősorok előrejelzését végeztük el, amelyeket a regressziós módszernél ismertettünk. A tömör. operátorokat felhasz—
náló felirási mód feloldásaként részletesebben bemutatunk két modelltípust.
Az élelmiszer—, az élvezeticikk-forgalom és a kiskereskedelem havi forgalmának leírására a (0. 1. 2) (O, 1. 2)42 modell volt a legalkalmasabb:
%(B) 454812) V1 VI 2 : 0203) 94512) az.
12!
4 Statisztikai Szemle
mely modell kifejtéséből
1-1-(1— B)(1— aim: : (1 _ 013 _ 6282)(1— 01512 _ 0 2824)at
és így
zt : ztúl—kzhm—zt_13—l—at—Hlat_1—ezala—GlaFm—i—
'l—Ol 91 ():-134492 91 az—14— 82 at—u—l'el 02 at—25_l'92 62 at—26
lineáris difterenciaegyenlet adódik. Az idősorok logaritmizált alakjára való modell—
illesztés jobb eredményt szolgáltat és ez az exponenciális trend jelenlétére és ki-
szűrésének szükségességére mutat rá. A d : 'l és D :: 1 értékek az elsőfokú diffe—
renciák, egy további lineáris trend. illetve a szezonalitás kiszűrésének szükséges-
ségére utalnak. A a : 2 és G : 2 értékek az idősorok mindkét irányában egy má- sodfokú mozgóátlagolású folyamat jelenlétét jelzik.A vendéglátás havi forgalmának alakulását a (2, 0. 0) (2. 1, mm modellel irtuk le:
%(3) ÓÁBÚ) vovizz, : EJB) 90(312)0fl"lu - Kifejtve ezt a formát
(1—.;9113——z;:2132)(1—c1511312—sz')2i324)-1.(1—i 312)zt : 1-1-at-Hz.
zt : (p1 Zt—prz Zc—z'l'(1"l_ű1)zt—m " %(1 _l—Ó1)th—13 — (P2(1—l—Ö1)Zt—14 "
_ (451 _ 452)1t_24*l'% (451 "" d52)zt—.25_l_972($1 "_ Ó2)zt——26 "" (152 Zt—BG—l'
—l—(p1Ö2zt_87—l—(p2$2zt_38-l—at-l—/L
egyenletet kapjuk. amelyben jól látható a másodfokú autoregresszivitással kombi—
nált szezonális szűrés.
Az identifikáció a már bemutatott kettőn kívül az alábbi modelltípusokat ered—
ményezte:
(0- 1! 2)(2! 1! 0)12l (0! 0! 1)(0. 1: 2)12r (ou 1! 1)(0! 1! 1)l2!
(On 0! 1)(1n 1! o)12l (O! 1! 1)(Ov 1! 2)121 (21 1: 0)(01 1! 2)12
vagyis valamennyi esetben szükségesnek mutatkozott a szezonális szűrés.
BECSLÉS, ELLENÖRZÉS ÉS ELÖREJELZÉS
A modellek becslése a rezíduumok (a becsült és a tényadatok különbségei)
négyzetösszegének (Za?) a minimalizálásán alapul. A kidolgozott számítógépi prog- ram a nem lineáris legkisebb négyzetek módszerének iteratív alkalmazására épül.lterációról lévén szó, a becsülendő % 9, 9 és 0 paramétereknek kezdeti ér—
tékeket kell adni, ezek meghatározásában kidolgozott formulák és összefüggések segítenek. Az iterációs lépéseket addig végzi az algoritmus, míg a meghatározandó
paraméterek adott százalékos hibahatáron belül nem kerülnek.
A felhasználás előtt meg kell vizsgálni az illesztett modell jóságát. Ennek fel- mérésére a szokásos mutatók szolgáltatnak lehetőséget. A becsült paraméterek standard hibái elég jól sikerült identifikációról tanúskodtak. Az idősorakra vonat- kozó 80 paraméter közül 69-nek a standard hibája nem éri el a paraméter értékét,
Rovm TAVÚ ELÖREJELZÉSEK
723 sőt ennek mintegy fele a paraméter tizedrészét sem. Csupán 11 paraméter esetén lépi kissé túl a standard hiba a megengedett értéket.
A modellek további ellenőrzésére kidolgozott statisztikai tesztek közül a rezíduu—
mokon alkalmazott eljárások a legelterjedtebbek. A becsült rezíduumoknak ,.fehér zaj" folyamatot6 kell követniök, ha a modell megfelelő. Ezért a rezíduumok véletlen jellegének vizsgálata képezi a modell ellenőrzésének alapját. Mivel a becsült rezí—
duumok (?) autokorrelációjára (r(3)) fennáll. hogy
közelítően K—p—a szabadságfokú 22 eloszlást követ fehér zaj esetében, ezért ezt a tesztet alkalmaztuk.
A 21 idősor modelljeire a 262 teszt megnyugtató eredményt adott. 18 esetben a
;? érték messze alatta maradt a táblabeli 5 százalékos szign ifikanciaszinthez tartozó
X? értékének, csupán három esetben múlta azt felül. Az előrejelzésre azonban ezt ahárom modellt is felhasználtuk.
A Box—Jenkins-féle modellek tulajdonképpeni felhasználási területe az előre—
jelzés. Becsült modelljeink az e időszakkal előrejelzett zt(e) értékek megállapitásá- hoz egy-egy rekurzív formulát szolgáltatnak, melyben csupán az azonos időszakhoz tartozó rezíduum, az OMH: ismeretlen. de ezt várható értékével, O-val helyettesitjük.
Tehát. ha utolsó tényszámunk például a t-edik hónapra vonatkozik, és a (t—l—e)-edik hónapra végzünk előrejelzést, akkor (: t—l—1, ..., t—l—e—l hónapok adataira van szük- ség, amelyek az egymás után következő előrejelzett értékek lesznek. Az év egészére vonatkozó becslés a havi adatok összegeként adódik.
A felhasznált kiskereskedelmi idősorok esetében az előrejelzési intervallumot egy évnek vettük, tehát 12 hónap előrejelzett értékeit számítottuk ki. Az előrejelzés azonban nem zárult le az előrejelzett értékek meghatározásával. Megbízhatóságuk—
hoz meg kellett állapítanunk az előrejelzésekhez kapcsolódó konfidenciaintervallu- mokat különböző megbízhatósági szinteken. Kisérletképpen 50, 95, 99 százalékos valószínűségi szintek mellett számítottuk ki a konfidenciasávokat.
Az előrejelzések konfidenciasáviaí
fan/771"
** * f/íFEJP/Zeff értékek ---- 99
—— 95J százra/ákos .mh/
% 50
mi
Az ábrán azt mutattuk be. hogy minél nagyobb a sávbakerülés valószínűsége.
annál szélesebbnek kell lennie a sávnak. ldősoraínk esetében ez hétköznapi nyelvre
5 Ha egy (a !: t : 1. 2, . . .) sztochasztikus folyamat elemei korrelálatlan sorozatot alkotnak. és vélet- len ingadozásokat mutatnak. ..fehér zaj" folyamatról beszéiünk.
4.
lefordítva azt jelentette, hogy a már 50 százalékos szinten is teljesülő előrejelzés hibája i 2—3 százalékon belül van. tehát a becslés igen jónak tekinthető. 95 szó- zalékos szinten pedig az idősoroktól függően a hiba 2.5—6 százalékot jelenthet.
A modell alkalmazhatóságának további vizsgálata céljából az ex ante becslé- sek elvégzése előtt célszerű ex post előrejelzéseket végezni. Ezek jósága fontos kri- tériuma a gyakorlati felhasználhatóságnak, természetesen feltételezve, hogy az ex post és az ex ante időszakok között vagy alatt nem történt az illető területen struk- túraváltozás. Az 1978 decemberével lezárt idősorainkon alapuló modelljeinkkel ex
post előrejelzéseket végeztünk az 1979. évre.
Előrejelzett értékeink egyharmada az 50 százalékos sávba esett, háromnegye—
de a 95 százalékos sávon belül volt. Az előrejelzett értékeknek mintegy egynegyedé—
re mondhatjuk, hogy rossz eredményt szolgáltatott.
A gyengébb eredmények okait kutatva két fontos tényezőt kell kiemelnünk:
— rosszul felállított modell,
—— év közbeni struktúraváltozás
lehetősége, és ide sorolható még az alkalmazott módszer rövid távú előrejelzésre szolgáló jellege.
Vizsgáljuk meg másik oldalról is az eredményeket. Usszesitsük a havi előrejel—
zéseket. és nézzük meg. hogy így milyen hibával kaptuk meg az évi előrejelzett ér- tékeket.
3. tábla
Az év egészére vonatkozó előrejelzések hibáí'
(százalék)
i 2113; meg?"
l l
Élelmiszer-forgalom . . . —5.8 1.7 1 3.1 Élvezeticikk-forgalom . . . 1.3 —9,5 -—5,2 Élelmiszer —j— élvezeticikkek bolti
forgalma . . . ——-0,7 —5.9 2.8
Vendéglátás. . . . . . . . 4.5 —3.4 9.9
Ruházati cikkek. . . . . . . -3,0 ——1,2 1.7
Vegyes iparcikkek . . . —-3,0 ——5.1 —-10.2 Kiskereskedelem összesen . . —-1.7 0.1 —-3,4
' Ezek az adatok arra az esetre vonatkoznak, amikor az egész évet becsültük az előző évek adataiból.
A kiskereskedelem összesen adatát az egyes cikkcsoportoktól független becslésekből nyertük. Hibaszazalek:
az előrejelzett érték és a tényadat különbsége a tényadat százalékában.
A 3. táblából kitűnik, hogy változatlan áras becsléseink sikerültek legkevésbé, a ruházati cikkek kivételével. A vegyes iparcikkek forgalmának előző évi áras és vál- tozatlan áras változataira készített modellek a legkevésbé megbízhatók. Erre utalt az is, hogy már a becslési fázisban kitűnt a paraméterek magasabb standard hibá—
ja, és a ;? értékek ezeken a területeken kedvezőtlenebbek voltak.
A többi gyengébben sikerült előrejelzésnél szinte egyértelműen kimondható, hogy a modell az 1979. júliusi árváltozások okozta struktúraváltozások miatt vesztett előrejelzési képességéből.
Az 1979. évi jelentősebb árváltozás hatásának vizsgálatára jó példát szolgál- tat a vendéglátás forgalma folyó áras változatának előrejelzése. ami a jelentős ár- emelés miatt alábecsülte a forgalmat.
RÖVID TÁVÚ ELÖREJELZÉSEK
725
4. tábla
A vendéglátás forgalmának becsült és tényszámai 1979-ben
(folyó áron)
' Előrejelze'ct Tényodot Eite're's
Hónap
LM 332123?
millió forint ban
Január . . . . . . . . . . 2 655 2 648 0.3
Február . . . , . . . . . . 2 685 2 717 —-1,2
Március * . . . . . . . . . 3214 3183 1.0
Április . . . . . . . . . . 3 254 3 235 0.6
Május . . . . . . . . . . 3 619 3 716 -—2.6
Június . . . . . . . . . . 3 662 3 799 —3.6
Július . . . . . . . . . . 3893 3815 2,0
Augusztus . . . . . . . . . 3 893 4 067 —4,3
Szeptember . . . . . . . . 3 578 3 686 ——2,9
Október . . . . . . . . . 3 452 3 521 —2,0
November . . . . . . . . . 3 278 3 248 0.9
December . . . . . . . . . 3 276 3 426 —4,4
1979. év 40 459 l 41 061 —1,5
l
Az idősor változatlan áras előrejelzése 10—17 százalékkal túlbecsülte (: július——
decemberi forgalmat, az ennél még jelentősebb mértékben. 11—20 százalékkal meg—
emelt árak mégis túlkompenzálták (: csökkent forgalmat, és magasabb fogyasztói kiadásokat eredményeztek a jelzett időszakra.
Amennyiben a mintaidőszakot követően új adat vagy adatok is rendelkezésünk- re óllnok, mód van az előrejelzések korszerűsítésére. Az identifikációs, a becslési és előrejelzési lépés ismételt elvégzése helyett egyszerű korrekciós számítást végezhe- tünk az előrejelzések javítására.
Az eddigiekben a ARIMA—modellek differenciaegyenletes formáját használtuk ki. Az előrejelzések korszerűsítésekor a modellnek azt a formáját használjuk fel, amelyben egy idősori elem csupán a véletlen változó függvényében van felírva:
zt : (It—Hpt (It—117102 (It—21" ' ' "
melyben a ip súlyok stacionárius (vagy azzá alakított) idősor esetén konvergens so- rozatot alkotnak (tehát az index kísebbedésével csökkenő súlyok). A W súlyok (: ra és 6 paraméterek a differenciaképzéseknek megfelelő transzformált értékének egy nem lineáris kombinációjaként állíthatók elő. Az előrejelzést előállító számítógépi prog—
ramba beépítve ezeknek a súlyoknok a becsült értékeit ís generólhatjuk.
Tegyük fel, hogy utolsó ismert adatunk a t-edik időszakra vonatkozott. és számi-
tógépes eljárással
előrejelzést végeztünk (e—l—i) időszakra (például hónapra). Ha
megismerjük a (t—l—1)-edik időszakra vonatkozó tényedatot, Zhu-et, akkor már csak az e időszakra kell előrejelzést végeznünk. A kétféle előrejelzés a következőképpenírható föl:
A
Zt(e'f"1) : Wejlat'l'weja az_l'l'" - . '
Zt—j—1(e):
we az-j—l'l'we-H at'l'we-j—z 01—11" ' ' "
melyekből
?H_1(e) : 20374) "ll—we az—H
726
FRESCHL GYÖRGY
Vagyis egy új tényadat és így egy új rezíduum (atH) ismeretében az e idő-
szakkal előrejelzett értéket úgy kapjuk meg. hogy az időszakra vonatkozó korábbi előrejelzéshez hozzáadjuk az újonnan megismert előrejelzési hiba wt—szeresét.Az 1979. évi adatok birtokában a folyó őras adatokra vonatkozóan ex ante elő—
rejelzést végeztünk az 1980. évre a forgalom idősorainak folyó őras változataira.
ldőtakarékossóg céljából elfogadtuk—.az előző identifikációs eredményeket, te- hót változatlan modelltípusokkal dolgoztunk. A becslés során a paraméterek stan- dard hibói és a ;? értékek megfelelők voltak. így elvégezhettük az előrejelzést. (A paramétereket egyébként elég évente egyszer újraszómolni, ami meglehetősen szó—
mítősigényes. de géppel gyorsan elvégezhető munka.) Időközben az 1980. január—
júniusi tényadatok és a júliusi előzetes adatok is napvilágot láttak. Az előzetes adu- tokat is tényadatként kezelve, elvégeztük a korrekciós eljőróst.
5. tábla Az 1980. évi kiskereskedelmi forgalom előrejelzése ARIMA-modellekkel
(folyó áron, millió forint)
Konfidenciaintervallum
Cikkcsoport Előgetjéelzett 50 l 95 l 99
százalékos valószínűségi szinten
' l
Élelmiszerek és élvezeti l
cikkek bolti forgalma 110 309 i'l 088 i3 014 i.? 988
Vendéglátás . . . . 43 964 '_l-318 i918 ; il 210
Ruházati cikkek . . . 46 099 i602 ! il 668 i2 156
Vegyes ipa rcíkkek* . . 143 140 iii 438 l j:9 387 l :l;10 705 Kiskereskedelem . . 343 512 15 446 j i14 987 j j—_18 059
l l
l
' A vegyesiparcikk—forgalom esetén a viszonylag széles konfidenciaintervallumot az előrebecsült értékek elég nagy szóródósa és így (: reziduumok magas szórósnégyzete okozza.
6. tábla
A vendéglátás forgalma folyó áras vátozatának előrejelzési korrekciós eljárása
Tény— el.-Ép. 1. l 2. l 3. l 44 l 5. l 6. l 7.
Hónap (312556- at we jeelílgs- ! havi adat ismeretében korrigált előrejelzés
adat . .. .
millio forint
lanuór . . . 2 768 —283 0.477 3 051
Február . . 3 022 26 0.499 3 131 2 996
Március . . 3 407 —120 0.367 3 656 3 515 3 527
Április . . . 3 489 -70 0.310 3 707 3 603 3 616 3 559
Majus . . . 3 920 —55 0.247 4 146 4 058 4 068 4 008 3 975
Június . . . 3 846 —204 0.202 4 217 4147 4155 4111 4 076 4 050
Július . . . 4027 —107 0.163 4372 4315 4321 4284 4258 4231 4134
Augusztus . . 0.133 4 513 4 467 4 472 4 442 4 420 4 400 4 298 4 247 Szeptember . 0.108 4166 4128 4132 4108 4 091 4 074 3 999 3 946 Október . . 0.087 4 030 4 000 4 003 3 983 3 969 3 955 3 892 3 853 November . 0.071 3 806 3 781 3 783 3 767 3 756 3 745 3 695 3 662 December . 3 893 3 873 3 875 3 862 3 853 3 844 3 803 3 777 1980. év .
46 688 45 651 45 742 45 321
45 084 44 905
44 273 43 964 Ismételten hangsúlyozni kell. hogy ezek az előrejelzések változatlan struktúra esetén érvényesek. Bármilyen sponta'n. az átlagos tendenciáktól eltérő hata's módo-
RÖVID TAVÚ ELÖREJELZÉSEK
727
sulásokat eredményez. Ezeket a hatásokat azonban bizonyos mértékig egy hozzá—
értő szakember többé—kevésbé fel tudja mérni. s a modellből kapott eredményeket aszerint korrigálhatja.
A KÉT MÓDSZER EGYBEVETÉSE
Az előrejelzések igazi próbáját a tényleges értékekkel történő összehasonlítás fogja szolgáltatni. mégis előzetesen is elmondhatjuk, hogy az eddigi számítások bíz—
tatók, nem jutottunk ellentmondásba a közgazdasági valósággal, de a két eljárás által szolgáltatott eredmények sem kerültek ellentmondásba.
A többváltozós regressziós modelleknél a többi változóban levő információkat is felhasználtuk az évi adatok előrejelzése érdekében. az ARlMA—modellekben havi adatokból álló, tehát jóval hosszabb idősorok szolgáltatták a havi adatok előrejel- zéséhez. majd ezek összegezéseképpen az éves előrejelzéshez szükséges informá—
ciót. Állítsuk egymás mellé a két módszer előrejelzett értékeit (a regressziós mód- szernél a vegyesiparcikk- és a kiskereskedelmi forgalomra az utolsó becslést és a
legvalószínűbb esetet véve).
7. tábla
, A kiskereskedelmírfgrgalom kétféle módszerrel készített előrejelzése 1980-ra
A Az l A Az
regressziós ARlMA- regressziós ARlMA— Az 1980. évi módszerrel modellel módszerrel modellel tényleges Cikkcsoport
adat előrejelzett érték a 95 százalékos (millió
(folyó áron, szinthez tartozó sáv forint millió forint) százalékában
Élelmiszerek és élvezeti cikkek bolti for-
galma . . . 111957 110 309 j:3.0 i2.7 110594 Vundéglátás forgalma . . . 43 528 43 964 i4,2 i2,1 43 163 Ruházati cikkek forgalma . . . 47 217 46 099 i3,8 i3.6 46 222 Vegyesiparcíkk-forgalomKiskereskedelmi forgalom. .. .. .. .. .. 347 968145 266 343 512143 140 i5,0i7,1 jóóitt! 342 263142 284
A generált előrejelzések eltérései csekélynek tekinthetők. A már említett okok miatt a regressziós eset konfidenciaintervallumai szélesebbek a szezonális ARlMA-
modellek által szolgáltatott intervallumoknál. A regressziós előrejelzések ezen túl—
menően magukba foglalhatják a szakértői becslések hibáit is.
A tapasztalatok alapján a Box—Jenkins-féle modellrendszer igen széleskörűen alkalmazható. Mivel az idősorok összetevőit — a trendet. a szezonális és véletlen ingadozásokat — együttesen kezeli, univerzális módszernek tekinthető, csupán meg—
felelő hosszúságú idősorokra (általában száz fölötti tagszámra) van szükség. Az eredmények azt mutatják, hogy a konfidenciasávok még magas valószínűségi szin—
ten is meglehetősen szűkek, a rövid távú előrejelzések hibája igen alacsony. mely a korszerűsítési eljárással tovább csökkenthető. A szezonális idősorok ARIMA—mo—
dellekkel történő leírása, a megfelelő modell kiválasztása elég bonyolult, a mate—
matikai apparátus ismeretét igényli. Ha azonban a modellek identifikációja és a po—
raméterbecslés már megtörtént. az előrejelzés, valamint annak korszerűsítése igen egyszerű feladat.
Mivel a tanulmány megjelenése előtt ismertté váltak az 1980 évi tényleges ada—
tok is, így az előzőkkel való egybevetés céljából a 7. táblában azokat is közöljük.
Pontosabb. a részleteket jobban feltáró specifikációval a regressziós becslések
feltétlenül tovóbb javíthatók. A szezonális ARlMA-modellek esetén pedig a model-
lek évenkénti újraspecifikólósa eredményezheti a lassan, de állandóan változó struk- túra pontosabb leírását és igy a pontosabb előrejelzéseket.lRODALOM
Box, G. E. F. — Jenkins, 6. M.: Time series analysis farecasting and control. Holden Day. San Francisco.
1970. 553 old.
. Cox, D. R. —— Miller, H. D.: The theory of stochastic processes. Methuen and Co. Ltd. London. 1965.
398 old.
Fényes Tamás - Sári József: Gazdasági folyamatok idősorainak elemzése és előrebecslése. Szígna. 1979.
évi 1—2. sz. 57—72. old,
Goldberger, A. S.: Econometric theory. Wiley. New York. 1964. 399 old.
Hulyák Katalin: ldősorok sztochasztikus modelljei. Okonometriai Füzetek 13. sz. Központi Statisztikai Hivatal. Budapest. 1976. 144 old.
Makridakis, $. — Hibon. M.: Aocuracy of farecasting: An empiricoi investigation. Journal at the Royal Statistícal Society. Series A. 1972. évi 2. sz. 97—145. old.
Malinvaud, E.: Az ökonometria statisztikai módszerei. Közgazdasági és Jogi Könyvkiadó. Budapest. 1974.
804 old.
Rényi Alfréd: Dialógusok a matematikáról. Akadémiai Kiadó. Budapest. 1965. 156 old.
PE3lOME
Aarop aannmaercn ocuosuaaioummucn Ha perpeccuaumx monennx meronamn ipaTKO- cpouHoro nporpaMMupoaaHnn axouomuuecxux npoueccoa. C nomouisio METOAa omoü "
MHOf'HX nepemeHHbrx npouaaopmr nonhmcy AaTb nporHoa roncsot-o poanwmoro oőopo-ra no rnaaHuM TOBaprlM rpynnaM.
Aarop uccnenyer ABHmeHHe roeapooőoporamoanoű croponu, perpecanHuMu ypiB—
HeHHaMH ; cpyuxuuu .noxonoa u ueH Ha ocuoaauuu Mecaunblx ABHHle,CAI'YI'Oü CTOpOI-bi, nocpegchoM ceaoHaanbix Moneneü aAPMMAn Aaer mecnuuue nporHoabi M ny'reM nx cme—
pazar-ma nonyuaer ronoaoü nporHos. 3101- meronmcnonbayn BHYTpeHHl-Oio azal—mosonma- MOCTb BpeMeHHle puncs, nocpegcraoM aarorenepauuu npercraanse-r BOSMomHOCTb nm nepeHoca Ha őynyuiee Tenger-mm, .neiic—raoaaamux : npenbmyumű nepnoa. HapsAy c noi- poőHbrM onucaHMeM wie-roncs aarop Ha KOHerTHOM npnmepe noxasbiaae'r cnocoösl npo- usaeAeHns pacue'roa. Ha ocnosaum nocroaepuocru nporHoaoB ex post cocraanne-r Terme nporuoam ex ante OTHOCHTeanO 1980 rona, Koropbliá yme BleOAMT sa npeAensr npuMep HOI'O nepnona.
l'lonyuel—mue ABYMH cnocoőamu peaynb'raru He scrynunu s npomaopeune HH gpyr ( ApYroM, HH c 3K0H0MuueCKoi—i peanbuocruo. 310 nosaonne-r pekomeugoaa'rb naaneS—imee npumeHeHue amx MeTOAOB npu gonna-rom yueve crpyxrypnux nsMeHeHnü.
SUMMARY
The study deals with the methods based on regression models of short term forecosts of economic progress. lt makes an attempt to forecast by simple and multivariate methods the yearly commodity turnover in retail trade, broken down to major divisions of commodi- ties.
The author investigates the changes in the commodity turnover partly on the basis of cumulative monthly data. taken as the function of the incomes and prices by means of reg—
ression eauations. and partly he gives monthly forecasts with seasonal ARlMA models. By means of summing up the forecast values. he arrives at the yearly forecast. This latter meth- od, by utilizing the internal relationships of time-series, carries out in a self-generating way the forecast of past tendencies. In addition to the detailed description of the methods, the author gives illustrative examples. On the basis of the reliability of ex post forecasts, also
ex ante forecasts were made for 1980 which was beyond the sample period.
The results obtained by the two procedures could not be contradictory either with each other or with the economic realiw: thus by due consideration of structural changes, the ifur—
ther application of the methods may be recommended.
