A variancia tényezőkre bontása haláloki halandósági táblák alapján (II.)

A VARIANCIA TÉNYEZÖKRE BONTÁSA

HALALOKI HALANDOSAGI TABLAK ALAPJAN (II.)

VALKOVICS EMIL

Tanulmányom első részében (lásd: Statisztikai Szemle. 1990. évi 3. sz. 206—227. old.) bemutattam az 1972—1973. évi és az 1982. évi haláloki halandósági táblák "a? oszlopai alapján az átlagra vonatkozó első négy centrális momentum értékét, valamint a variancia tényezőkre bontásának hagyományos és néhány nem hagyományos módszerét. A továb- biakban a haláloki halandósági táblák "L? oszlopai alapján számított variancia ténye- zőkre bontásának hagyományos és nem hagyományos módszerét, valamint az "d? és az

"L? oszlop alapján számított varianciák időbeli változásának és nemek szerinti eltérései—

nek tényezőkre bontását elemzem.

A magyar halálokí halandósági táblák ,,Lx") oszlopai alapján számított variancia tényezőkre bontásának nem hagyományos módszerei

A 6. ábra a variancia tényezőkre bontásának Magyarország férfi népessége, a 7. ábra pedig Magyarország női népessége szóban forgó haláloki halandósági táblái ,,Lx és ,,Lx") oszlopai alapulvételével végzett számítások főbb eredményeit szemlélteti. A 8. és a 9. ábra a 6. és a 7. ábra átalakított és továbbfejlesztett változata.

A 6. és a 7. ábra szintén tíz derékszögű háromszögből áll, melyeket szintén az A, B, C, D, E, F, G, H, I, és .] betűk jelölnek. Az A és a B derékszögű háromszög szintén kétszer fordul elő, így a derékszögű háromszögekből szintén tizenegy általános három- szög képezhető.

A derékszögű és az általános háromszögek oldalai az alábbi, a haláloki halandósági táblák "LJc és "Lxm oszlopainak adataiból kiszámítható hat mutatónak az értékéből, illetve két—két értékének összegéből vont négyzetgyökökből állnak:

1. a halandósági tábla stacioner össznépessége átlagos életkorának négyzete (áz);

2. a halandósági tábla stacioner össznépessége átlagos életkorának varianciája (GJ);

3. a különböző halálokokban való elhalálozás kockázatának kitett halandósági táblabeli stacioner szubpopulációk átlagos életkorai varianciáinak súlyozott aritmetikai átlaga: Z fm af], aholfa, az i okban

i

való elhalálozás kockázatának kitett népesség halandósági táblabeli arányát jelenti;

4. a különböző halálokokban való elhalálozás kockázatának kitett halandósági táblabeli stacioner szubpopulációk átlagos életkorainak súlyozott varianciája: Z fm ( áí— á)2;

!

VALKOVICS: A VARIANCIA TÉNYEZÖKRE BONTÁSA 351

5. a különböző halálokokban való elhalálozás kockázatának kitett halandósági táblabeli stacioner szubpopulációk átlagos életkorai négyzetének súlyozott aritmetikai átlaga: Z fu aa;

a)

6. az életkorok négyzetének (az L értékekkel) súlyozott főátlaga: 2 x2 Lx

x—O

§

11. tábla A tényezőkre bontás/102 szükséges alapadatok a halálokí halandósági táblák ,,Lxl'l oszlopai alapján

A férfi népesség A női népesség A férfi népesség A női népesség

Mutató 1972—1973. évi 1982. évi

haláloki halandósági táblája alapján

A táblabeli össznépesség átlagos élet-

korának négyzete (áz) ... 1316,4343 1487,1204 1248,6965 l482,5272 (36,28272) (38,56322) (3533692) (38,50362)

A táblabeli össznépesség átlagos élet- 490,4296 537,2857 473,4493 538,2678 korának varianciája (ai) ... (22,14562) (23,17942) (21,75892) (23,20062) A halálokonkénti varianciák átlaga

Ef 02 ________________ 487,5908 535,0119 470,4660 535,1059 ,- "' "' (22,08152) (23,13O32) (21,69022) (23,13242) A halálokonkénti átlagok varianciája

ZfiL (ára); _____________ —2,83882 2,27382 2,98332 3,16192

,- (l,6849 ) (l,5079 ) (l,7272 ) (1,7782 )

A halálokonkénti átlagok négyzetének

átlaga Ef- ? _____________ 1319,2731 l489,3942 1251,6798 1485,6891 i "" 'L (36,32182) (38,59272) (35,37912) (38,54462) Az életkorok négyzetének főátlaga

§ x2 L § L ______ l806,8639 2024,4061 1722,l458 2020,7950 PO * FO *

(42,50722) (44,99342) (4l,49872) (4435332) Az A derékszögű háromszög (kétszer fordul elő) a halandósági táblabeli stacioner össznépesség átlagos életkorának varianciája (02), az egyes halálokokban való elhalálo- zás kockázatának kitettek átlagos életkorainak súlyozott varianciája Z fíL (á,. — a')2 és az

egyes halálokokban való elhalálozás kockázatának kitettek átlagos életkorai varianciái—

nak súlyozott aritmetikai átlaga (Z fm cí) közötti, már ismert kapcsolatot szemlélteti

Pitagorasz tétele értelmében

Z-fi'L (ai—afi— ZfiL aíZL : ai : mm, (természetesen itt is ZfíL : l)

A háromszögek adatainak kiszámítását itt és a továbbiakban a férfi népesség 1972—1973. évi adataival mutatjuk be:

l,68492—i— 22,08152 2,8388 Jr287,5908

22,14562, 490,4296.

6.ábra.Aderékszögűháromszögekelsőkombinációjaamagyarférfinépességhalálokíhalandóságitábláinak,,LX")oszlopaalapján :! FERFIAK,1972—1973'FERFIAK,1982 aA:436342"'%4.55288' BA:85.63658'BA_55.44712' de:Lagasss'ag:u.,90941' [39:1.5.08304'AIBB:45.09059' :2.65850'ac:z,7saze' :37.34120'[.ic:57.20172' :31.39533'ao:31.62292' no:58.60167'rag:58.37708' de:47.36793'OLE:47.76041' 135:1.2,63207"l3£:42.23959' ap:37.48505'a::313556? :52.51195'Br:52,13A37' ag:58,70288'ag:58.48839' :31.29712"BG:31.51161' aH:1.9,27134'a":1.9,02396' :40.72866'pH:40.971'04' al:27,5l882'a,:27.56925' B;:sz.aena"p;:52,3307s' a):216990"a):2.38331' 13):87.73010'p,:87.61669'

"

352 VALKOVICS EMIL

7.ábra.Aderékszögűháromszögekelsőkombinációjaamagyarnőinépességhalálokíhalandóságitábláinak,,Lxmoszlopaialapján

N Ö K , 1 9 7 2 - 1 9 7 3 A A : ' 3 . 7 2 9 9 2 '

BA:%,zvooe' da:M.,93925' BB:45.05075' ok;:2.23924' pc:87,76076' do:31,00905' Bo:59.99095' de:45.70183' Be:1.3.29817' 36.85572' B,,-:53.14428' as:59.06389' Bs:30.93611' %:49.68531' BH:1-0.31l.69' 27.25632' a.:523435? 1,91968' 86.08052'

81.

n

"6.

II "

u'" cí"

N ő K , 1 9 8 2

aA439571 BA85.60429' de:u.,gxses' Be:45.08434' ac:2.54419' BC:87.35581' %:31.07134' 130:se,9zsse' dE:46.75575' BE:1.3,21325' a;:36.92615 BF:53.07385' ds:59.03003' Bs:30.95992' du:49.53590' BH:50.36410' 2729646' 52.70154' 21552? 97,73l.7s'

" " ll Il !!

u— 6." u" :?

A VARIANCIA TÉNYEZÖKRE BONTASA 353

8.ábra.Aderékszögűháromszögekmásodikkombinációjaamagyarférfinépességhalálokihalandóságitábláinak,,Lxmoszlopaialapján

F É R F I A K , 1 9 7 2 — 1 9 7 3

ca.

(,?!)

f." ('

:?

9571'ZZ

?; SS'II'ZZ

H

95

L'!

Dog

x::

etzs "95

9691. '82

9591. 'BZ

B 15

22.0818

!! H !!

z.,36342' es,63658' u.,91596' 45.08304' z,65860' 57,34120' 31,39933' 56.60167' 1.7,36793' 42,63207' 37.48805' 52,51195' 58.70289' 31,29712' 1.9,27134' 1.0,72966' 27,51832" 62.48116" 2.26990' 97,73010'

F É R F I A K , 1 9 8 2

6991. IZ

:,7272 tease s

9.9

0

%.

%

§

E

6969 1.7.

01 ab(9 353 P.E(:

15

u.:

):

)

1459

21,6902 a(21.6902 ^{lSLE 'SE} 30.723230.7232

ak:z.,sszee' §,:es,z.l.712' de:1.4,90941' gb:1.5,09059' ac:2,79828' ar:87.20172' de:31.62292' a,,:58.37709' :1.7,75041' ;;:1.2,23959' 01::37.96563' a;:52.13437' a(.G:58.49339' [36:3.51151' d":t.aozeee' B..:40.97104' a,:Z7,56925' ra.:52,33075' a,:2.35331' ,a,:87.61669'

354 VALKOVICS EMIL

53:

15079 395631

N ő K , 1 9 7 2 — 1 9 7 3

211303 cn VGLK'EZ

CD

'5

459

G "én 'B— 6

1.269 'BE

A A 211303

93 sgsa'oe "d

a,211303 (1 B

a veu'cz 1.269 '98 ¹⁵ €9§8 'OC

UdiumAÉÉáöoÉfű'Édedpfá

9.ábra.Aderékszögűháromszögekmásodikkombinációjaamagyar

V32.7A60317460

" u II II ll " n " " u u " u n n "

ici

"

ci?

3.72992 66,27000" u.,93925' 1.5,05075' 2,239213 87,76076 31,00905 59,99095' 1.6,70193' 43,29817" 36,85572" 53,11.425" 59.06389' 30,93611' 49,sa531' 1.0,31459' 27,25632' 62,71.368' 1,91945' ae,oaosz'^e

N Ö K , 1 9 8 2

231321. BB u él (bmwv- a,. /3B 4123.1324 G

sooz 'sz

fa n

(? %

9779 '98

G 231321;:! F'o ")

a? s:

ZOGL '(I

"6

"6

"G 9002 'EZ svvs'as

8

'S zoeL'oc

32.7624

B V32.7824

"

4,39571" 85.60429' Al.,91566' 1.5,08434' 2.54419' 87.35561' 31,07134' 58.92866' 46.78675' 1.3,21325' 35.92515' 53.07385' 59,osooe' 30,96992' 1.9,63590' 40,35410' 27A29846' 617015! 2.25525' 37.73475' nőinépességhalálokihalandóságitábláínak,,Lxmoszlopaialapján

A VARIANCIA TÉNYEZÖKRE BONTÁSA 355

356 VALKOVICS EMIL

A B derékszögű háromszög (kétszer fordul elő), a további számításokban szerepet játszó következő pitagoraszi összefüggést szemlélteti:

Ef.-L aaa—ai : (ait Zfu. aa),

22,08152'i' 22,14562 : 31,27332, 487,5908 *490,4296 : 987,0204.

Zfiz (ai—á)2'*'0'§ : [Ui—H' Eftv, (áí— 632], l,68492—l— 22,l4562 : 22,20962, 2,8388 4—490,4296 : 493,2684.

A C derékszögű háromszög az egyes halálokokban való elhalálozás kockázatának kitettek átlagos életkorai négyzetének súlyozott aritmetikai átlaga (Z fm ti?), a halan- dósági tábla stacioner össznépessége átlagos életkorának négyzete (áz) és az egyes halálokokban való elhalálozás kockázatának kitettek átlagos életkorainak súlyozott varianciája [Z fm (ói—áf] közötti pitagoraszi összefüggést szemlélteti:

í

524" Zfíb (a'i—á)2 : ZfíL űiz, 36,28272 'i' 1,63492

l316,4343 t2,8388

ami König ismert teorémája szerint:

II 36,32182, 13Al9,273l,

Ef.—Ltáf—áf : Ef.-Láf—áz.

i i

A D derékszögű háromszög az életkorok négyzetének a megfelelő korú stacioner

a) a)

népesség számaival súlyozott főátlaga( 2 x2 L,, / 2 L,), a halandósági tábla stacio—

xzo xSO

ner össznépessége átlagos életkorának varianciája (ai) és a halandósági tábla stacioner össznépessége átlagos életkorának négyzete (áz) között fennálló pitagoraszi összefüggést szemlélteti :

60 a)

vitéz : 2 szx 2 L,,

xzo x:0

22,l4562 * 36,28272 42,50722, 490,4296 *- 1316,4343 : l806,8639, ami szintén felírható König—teoréma szerint is:

A VARIANCIA TÉNYEZÖKRE BONTÁSA 357

Az E derékszögű háromszög az alábbi pitagoraszi összefüggést szemlélteti:

(0 (0

(ZfiLáiz—aí)t(Zf.-L0?üai) : Z xZLx/ 2 L,,

i i x:0 xzo

28,78962% 31,27332 : 42,50722, 828,8435 4—978,0204 : 1806,8639, az F derékszögű háromszög pedig a következőt:

(2121. áiZ—O'É)* ZfiL 0221. : áz,

i i

28,78962—l- 22,08152 36,28272, 828,8435 4-487,5908 : 1316,4343.

ll

A G derékszögű háromszög az életkorok négyzetének (az LX értékekkel) súlyozott

w co

főátlaga ( 2 x2 Lx / Z LX), az egyes halálokokban való elhalálozás kockázatának

x:0 x:0

!

kitettek átlagos életkorai variánciáinak súlyozott aritmetikai átlaga (Z fiL ai) és az egyes halálokokban való elhalálozás kockázatának kitettek átlagos életkorai négyzeté—

nek súlyozott aritmetikai átlaga (Z fm ű?) közötti összefüggést szemlélteti:

60 (0

ZfiLáiZ'FZfiLÚiZL: 2 szx/ 2 Lx!

i i x:0 x:0

36,32182-l— 22,08152 : 42,50722, l3l9,273l 4-487,5908 :1806,8639, ami szintén felírható König teorémája szerint is:

(0 CD ,

M: (;a/ ;);

A H derékszögű háromszög a következő pitagoraszi összefüggést szemlélteti:

C!) a)

(ZfiLUiZL'l—Ulzl)*2fil,áiz : (Z XZLx/ Z Lx)"l"012,a

[' i x:0 x:0

3l,27332-F 3632182 : 47,93012, 978,0204 Jr1319,273l : 2297,2935, az I derékszögű háromszög pedig a következőt:

(0 Cl)

012-4"( 2 xz Lx/ Z Lx):(2fi1.0'i21fl'012.)'l' ZfiLáiz,

x:0 x:0 i i

22,i4562 4— 42,50722 490,4296 % 1806,8639

47,93012, 2297,2935.

ll

358 VALKOVICS EMIL

Az is kimutatható, hogy

;firafn[;fu(ái—ö)zt(jí LXX/ÉL x:)l

(0 ca

: ZfiLÚiZL*ZfiLái2'l"0'12,z (2952 Lx/ XL x)'*' GL,

i i :: 0 x— 0

22,08152-l' 42,54062 : 47,93012, 487,5908 4-1809,7027 : 2297,2935.

Végül a J derékszögű háromszög a következő pitagoraszi összefüggést szemlélteti:

Zfil,(ái—á)2'l'(§ JÉZLx/ %lu) : (ZfiLáiZ'l'Ui),

i x:0 x:0 i

l,68492 * 42,50722 : 42,54062,

2,8388-t 1806,8639 : 1809,7027 : 1319,2371*490,4296 : 36,32182—l-22,14562.

A tíz derékszögű háromszögön kívül további kapcsolatok feltárását teszik lehetővé ebben az esetben is a derékszögű háromszögekből képezhető általános háromszögek és a két-két általános háromszögből (illetve négy—négy derékszögű háromszögből) kialakít- ható négyszögek is. Az általános háromszögek a szinusz—tétel, a koszinusz—tétel, az első és a második tangens—tétel, a vetületi tétel egyidejű alkalmazásán kívül az egyszerű Pitagorasz-tétel alkalmazását is lehetővé teszik, minthogy ismerjük az általános három—

szögeket alkotó derékszögű háromszögek adatait is.

Fejezzük ki például a varianciát az A és a C derékszögű háromszögekből álló általános háromszög adatainak felhasználásával úgy, hogy az egyszerű Pitagorasz-tételt, az általánosított Pitagorasz-tételt (vagyis a koszinusz—tételt), a szinusz-tételt és a vetületi tételt egyidejűleg alkalmazzuk:

ÚL : ZfiL (ói—áy'l— Zfu, UiZL :

2

:: ZfiLáiz'l*(á'l' M)—21/Z—1fiL—áíz(ál M)cos ac :

2

Zfü— á? sin2 ac (á*M) sin2 ac

sin2 az,, sin2 (BA % BC)

: [(Ö'l'l/ ZfiLUiZLCOS dA'l'l/ ZfíLáiZ COS (BIN—BC)] !

22,14562 * l,68492 %— 22,08152 :

: 3632182 % (36,2827 4— 22,0815)2 — 2 ' 36,3218 ' 58,3642 cos 2,65880" :

_ 36,32182 sin2 2,658800 _ (36,28274—22,0815)2 sin2 2,65880" _ sin2 436342" sinz (85,636580 Jr 87,341200)

: [(36,2827 Jr 22,0815) cos 456342" * 36,3218 cos (85,63658" * 87,34120")]2.

A VARlANClA TÉNYEZÖKRE BONTÁSA 359

Az egyes halálokok kockázatának kitettek átlagos életkorának súlyozott varianciá—

jából vont négyzetgyök, ami ugyanezen általános háromszög magasságvonala, szintén többféle trigonometriai összefüggés felhasználásával számítható ki:

VZfiL (ái_ á)2 : VE Gi— ZfiL aiZL :

i

[(V—XM]

[(V—MW)]

: [(22,1456 'l— 22,0815) (22,l456 — 22,081 5)11/2 : : [(36,3218 Jr 36,2827) (363218 —— 36,2827)]1/2 :

Ö "L I/ ZfiL GíZL

" 36,2827 'l— 22,0815

ctg ocA %- ctg % : ctg 436347 * ctg 2,65880"

(cí—k l/ Zfü (Tíz) sin aA sin ac

!" _ 58,3642 Sin 4,363420 Sin 2,65880o

sin (aA 4— ac) sin (4,36342'* "F 2,65880")

: l,6849.

Az általános háromszögek egy—egy oldalát a koszinusz-tétel alkalmazásával ebben az esetben is kifejezhetjük kétféleképpen, és egyes esetekben ugyanazt az oldalt kiszámít- hatjuk két vagy több általános háromszögből is. E különféle kifejezések algebrailag egyenlők egymással, és felhasználhatók a variancia tényezőkre bontásának további elmélyítésére. (A szórás — O'L — vagy a variancia — aLZ — például az A és a B derékszögű háromszögből álló, valamint az A és a C derékszögű háromszögekből álló általános háromszögből és más általános háromszögekből egyaránt kifejezhető.)

A két-két általános, illetve négy—négy derékszögű háromszögből álló négyszögek ebben az esetben sem érintő négyszögek és nem húrnégyszögek, de átlóik merőlegesek egymásra, ezért szemben fekvő oldalaik négyzeteinek összege egyenlő egymással, ami szintén lehetőséget nyújt a variancia és tényezői közötti további kapcsolatok feltárására.

Ezekre a négyszögekre is érvényes továbbá az átlók négyzeteinek szorzatára vonatkozó tétel. E tétel alkalmazása során ez esetben is figyelembe veendő, hogy az átlók két—két derékszögű háromszög egy-egy oldalának összegét, a szögek pedig két-két, az ábrákon feltüntetett szög összegét jelentik.

Az A, B, C és D derékszögű háromszögekből álló négyszög esetében például

2 2

(l/ ZfiLwi_á)2*0L) (Eliza-21.417) :

360 VALKOVICS EMIL

!

*ZULVZLLaL—FGLl/ZLLall/Z sz /í) ZOXL

SKUB "l' BD) "" (BA "* [%)]— l(0€A * ,BB) * (de * %)l_

2

: (1,6849 * 221456)2 (22,0815 4— 36,2827)2 : 3632182 - 31,27332 *- 2214562 - 4250722 * l92,99282"

— ma? [Zmafüaíilraíííxz/2 L]

CO

iz - 22,1456 ' 3l,2733 ' 36,3218 - 42,5072 ' cos

A haláloki halandósági táblák ,,dx és ,,a'xw, valamint ,,Lx és ,,Lx") oszlopai alapján számított és tényezőkre bontott varianciák közötti kapcsolatok feltárása szintén jelentős mértékben gazdagíthatja a halandóság halálokok szerinti alakulásának elemzésére szol- gáló módszerek kelléktárát.

A magyar haláloki halandósági táblák "dxm és ,,LÉ? oszlopai alapján számított varianciák időbeli változásának és nemek szerinti eltéréseinek tényezőkre bontása

A haláloki halandósági táblák ,,dx") oszlopai alapján számított varianciák esetében célszerű abból a meggondolásból kiindulnunk, hogy

:waőizpi' ZfiD(ei, o eo)2: meűufl' Ef.-9620 982

e táblák ,,Lxl') oszlopai alapján számított varianciák esetében pedig hasonlóképpen abból, hogy

Sz./iL aiZL—l- ;fiL (ai —á)2: ZfiL aizL—F ZfíLá-i2 _a2

A variancia-, illetve szóráskülönbségek tényezőkre bontása esetében általában a struktúrakülönbségek hatásának, a részátlagok különbségének hatását és a részátlagok varianciái különbségének hatását szándékozunk kimutatni.

A férfi népesség 1982. évi és 1972—1973. évi halandósági tábláinak ,,dx oszlopa alapján számított varianciák különbsége például

lgszaám 1972_1973a,2,m — 330,9092—394,6779 : —63,7750, a megfelelő szórások különbsége pedig:

19820§)— 1972_19730*§) :: 18,1907— l9,8665 : — l,6758.

A varianciák különbsége esetében

2

198200 1972—19730'9: A*B'l'C-

A VARXANCIA TÉNYEZÖKRE BONTÁSA 361

Ebből :

2

20") F) 02(F)_ F) 0(F) _

A—[Zwsz/lp 1972—19730'in * 198 m 1972— 197331'0 (2 198 iD 1972—197Sei, o) :!

i

i i

2

_ F) G(F)

1972—197 iD 1972—197381', 0

a struktúrakülőnbségek hatását, vagyis az egyes halálokok áldozatainak a halandósági táblabeli összes halálozásokon belüli aránya közötti különbségek hatását fejezi ki. A második szögletes zárójelbe tett kifejezés (a kivonandó) természetesen egyenlő 1972_ 19730?) (F)—tel:

2

_ F 2 F) F) 02 F _ F 0 F __

B — [21982/ÉD) 1972—197301'5 _l— 2 19821iD 198281) (() ) (Z 1982fiD)19826í,(0)) ]

i i

_ F) 2(F) F) 02 __

[Enn—197351; 1972—1973Úio "* 2 1972—1973le 1972—19739i, 0

i

' 2

" [Zwszfliy 1972—19730'izliFLl' 198 D) 1972—1973e02(()p)— (2 198 ii)) 1972—19735'209) ]

i i

amely a részátlagok különbségének hatását, vagyis a különböző halálokok áldozatainak átlagos életkorai (születéskor várható átlagos élettartamai) közötti különbségek hatását fejezi ki. A második szögletes zárójelbe tett kifejezés (a kivonandó) azonos az A tényező esetében az első szögletes zárójelbe tett kifejezés (a kisebbítendő) értékével:

2 Gy:—[zmsngy bummm—l' ZSM/iv rggze'ozm— (Z 1982fi'g) isaszegi—)) ]—ⁱ

2

[21982le 1972—197301'DFH— 1982fiD 1982302(()F)— (2 198 ig) 19829203) ],

!

amely a részátlagok varianciái különbségének hatását, vagyis a különböző halálokok áldoza—

tainak átlagos életkorai (születéskor várható átlagos élettartamai) varianciái közötti különb—

ségek hatását fejezi ki. A második szögletes zárójelbe tett kifejezés (a kivonandó) azonos a B tényező esetében az első szögletes zárójelbe tett kifejezés (a kisebbítendő) értékével. (Lásd a 12. táblát.)

Ha az A tényező esetében a kisebbítendő értékét a-val, a kivonandóét b-vel, a B tényező esetében a kisebbítendó értékét c—vel, a C tényező esetében pedig d—vel jelöljük, a tényezők értékének kiszámítására szolgáló formulák a következő alakot öltik:

A : a—b; B : c—a; C: d—c.

Ha a szórások különbségét bontjuk e három tényezőre, a struktúrakülönbségek

hatása V; — 1/5, a részátlagok különbségeinek hatása % — yZ, a részátlagok szórásai különbsé—

gének hatása pedig Vá— lű lesz. (Lásd a 13. táblát.)

Hasonló meggondolások alapján történt a haláloki halandósági tábla ,,Lxli) oszlopai alapján számított varianciák és szórások különbségeinek felbontása a szóban forgó három tényezőre.

362 VALKOVICS EMIL

12. tábla

A haláloki halandósági táblák ndi") oszlopai alapján számított

variancia különbségei és tényezői

Ebből:

A varianciák különbsége A B C

tényező értéke

lgazÚJZ)(F)_ 1972_1973a,2,m : 330,9029— 394,6779 :

: — 63,7750 — 42,6373 — l4,2950 —— 6,8427

198203")—,972_1973a§") : 281,1778—341,4002 :

: — 60,2224 —- 33,4594 — 6,1251 —- 20,6379

1972—19735bm" 1972—1973Ugn : 341a4002' 394,6779 :

: — 53,2777 —- 51,8497 9,6487 -— 11,0767

lgszagm— 19820?!" : 281,1778—330,9029 :

: — 49,7251 —— 29,5564 9,2074 —— 29,3761

13. tábla

A haláloki halandósági táblák "dx", oszlopai alapján számított szárások különbségei és tényezői

A szórások különbsége

Ebből :

Va—l/É tre—Va %ld—IE

tényező értéke

198253?" 1972_1973a(,f) : 18,1907— 193665 :

: — l,6758 —1,1038 —O,3849 —0,1871

19520?)— 1972— 19730'9') : 167683 "18,4770 :

: — 1,7087 - 0,9288 —- O,1754 -— 0,6045

1972_19730gv)__ 1972— 197305" : 13s4770'19,8665 :

: — l,3895 — 13509 0,2588 — 0,2974

Igazagvl— 19320? : 16,7683—— 18,1907 :

: —1,4224 —0,8314 0,2632 —0,8542

. 14. tábla

A haláloki halandósági táblák ,,Lx") oszlopai alapján számított varianciák különbségei és tényezői

Ebből:

A varianciák különbsége A B C

tényező értéke

mezo'ím— 1972— 19730'im : 473349?) " 490,4296 :

: -— 169803 -— 0,8197 -— 0,2448 — 15,9158

19820í(N)— 1972—19730'ím : 53892678" 5372857 : -

: O,9821 —107,5959 108,1166 0,4614

1972—19730'im'"1972—19730im : 53752857_490,4296 :

: 46,8561 3,1810 —— 0,3293 44,0044

lgszaífm— lgszaim : 538,2678—473,4493 :

: 64,8183 — 10,8022 — 6,7818 60,7981

A VARIANCXA TÉNYEZÖKRE BONTÁSA 363

15. tábla A haláloki halandósági táblák ,,Lx") oszlopai alapján számított szórások különbségei és tényezői

Ebből:

A szórásook különbsége Va— Vb [É— l/a l/d— [É

tényező értéke

lggzafl— 1972,19730(LF* : 21,7589—22,1456 :

: —-0,3867 —0,0l85 -0,0055 —O,3627

mszaiNL ian—197309" : 233006—2391794 :

: 0,0212 —2,4505 2,4617 0,0100

1972—19730'9)"1972—l9730'(l.n : 23,1794—22,1456 :

: l,0338 0,0717 ——0,0074 0,9695

DHCP— malaj!" : 23,2006—21,7589 :

: 1,4417 0,2468 —O,1546 l,3495

Ebben az esetben természetesen a struktúrakülönbségek hatását jelentő A a külön- böző halálokok kockázatának kitett halandósági táblabeli stacioner szubpopulációnak a stacioner össznépességen belüli arányának különbségeit, a részátlagok különbségét jelentő B e szubpopulációk átlagos életkorainak különbségét, a részátlagok varianciái különbségének hatását jelentő C pedig ez utóbbi átlagos életkorok körüli varianciák különbségeinek hatását fejezik ki. (Lásd a 14. és a 15. táblát.)

A varianciák és szórások időbeli változásának és nemek szerinti különbségének fenti tényezőkre bontása hagyományosnak tekinthető a statisztikai és demográfiai szakiroda- lomban. (Lásd: ( 3l ), ( 32 ) .) A változásnak, illetve a különbségnek a szóban forgó három tényezővel megmagyarázott része függ a tényezők figyelembevételének sorrendjé—

től is, ezért eredményei csak közelítő pontosságúnak tekinthetők. Ennek ellenére megál—

lapíthatjuk, hogy az átlagos halálozási kor (eg) varíanciájának és szórásának a férfiak és a nők esetében egyaránt megfigyelhető időbeli csökkenése fontossági sorrendben a következőkkel magyarázható:

I . kiegyenlitettebbe' váltak a halandósági táblabeli halálozások haláloki struktúrái;

2. a férfiak esetében mérséklődött az egyes halálokokban meghaltak átlagos életkorának heterogenitása, a nők esetében pedig csökkent az egyes halálokokban meghaltak átlagos életkorá- nak varianciája, illetve szórása;

3. a férfiak esetében csökkent az egyes halálokokban meghaltak átlagos életkorának varianciá- ja, illetve szórása, a nők esetében pedig csökkent az egyes halálokokban meghaltak átlagos életkorá-

nak heterogenitása.

Az átlagos halálozási kor (eg) varianciája a nők esetében mindkét halandósági tábla alapján kisebb, mint a férfiak esetében, elsősorban a különböző halálokok következtében meghaltak átlagos életkorának a férüak esetében megfigyelhető nagyobb heterogenitása miatt.

A különbséget leginkább a halandósági táblabeli halálozások haláloki struktúrájának és a halálokonként eltérő átlagos halálozási korok varianciájának, illetve szórásának nemek szerinti különbségei magyarázzák.

Hasonló módon értékelhetők az erre vonatkozó tábla adatai alapján a halandósági táblabeli stacioner népesség átlagos életkorának ( áz, ) varianciája, illetve szórása időbeli változásaiban és nemek szerinti eltéréseiben megnyilvánuló tendenciák.

*

364 VALKOVICS EMIL

Az e tanulmányban bemutatott összefüggések figyelembevételével jelentősen bővít- hetők a halandósági tábla hagyományos mutatóinak és a stacioner népességek jellemzé—

sére használt hagyományos mutatók eddig ismert és a ( 35 ) , ( 36 ) , ( 37 ) -ben már korábban is bemutatott matematikai kifejezési módjai. Ennek részletezése újabb tanul—

mány tárgyát képezhetné.

A halandóság halálokok szerinti alakulásának elemzésével kapcsolatban e tanul—

mány után is változatlanul adósságunk marad annak a bemutatása, hogy miként alakul- na az egyes halálokokból (például a keringési rendszer betegségeiből) származó halandó- ság, ha a többi haláloki csoportokból származó halandóság egyidejűleg nem létezne, így hatása sem érvényesülne, illetve hogyan alakulna az általános halandóság, ha az egyes haláloki csoportokból származó halandóság egyidejűleg nem létezne, így hatása sem érvényesülne.

Ez utóbbi kérdésekkel a nemzetközi demográfiai szakirodalom is igen részletesen foglalkozik (lásd ( 38 ) — ( 75 ) ). Az ezzel kapcsolatos hazai kutatási eredmények szin- tén újabb tanulmány tárgyát képezik.2

lRODALOM

( l ) Arriaga, E. : A note on the use of temporary life expectancies for analysing changes and diü'erentials ofmonality. Meg'elent:

Mortality in South and East Asia: A Review ofChanging Trends and Patterns. WHO/ESCAP. Manila. 1982. XII, 597 old.

( 2 ) Arriaga, E. : Contribution to the discussion. Megjelent: Mortality in South and East Asia: A Review of Changing Trends and Pattems. WHO/ESCAP, Manila. 1982. XII, 597 old.

( 3 ) Arriaga, E. : Measuring and explaining the change in life expectancies, Demography. 1984. évi 1. sz. 83—96. old.

( 4 ) Kono, SfTakahaxhi , S. : Mortality trends in Japan: Why has the Japanese life expectancy kept on increasing? (Kézirat) ( 5 ) Levels and trends of mortality since 1950, A Joint study by the United Nations and the World Health Organization,

ST/ESA/SER.A/74, U. N. New York. 1982. 178 old, _

( 6) Pollard, J. H. : The expectation of life and its relationship to mortality. Journal of the Institute of A cluaríes. l982. évi 2. sz.

225440. old.

( 7 ) Pollard, ]. H, : Methodological issues in the measurement of ineguality of death. Megjelent: Mortality in South and East Asia: A Review ofChanging Trends and Pattems. WHO/ESCAP. Manila, 1982. XII, 597 old.

( 8 ) Pollard, ]. H. : Some methodological issues in the measurement of sex mortality patternsi Megjelent: Sex differentials in mortality? Szerk.: Lopez, A. D., Ruííéka, L. T. Miseellaneous Series. 4, sz. Australian University. Printing Service for the Department of Demography. Canberra. 1983, 498 old.

( 9 ) Pollard, J. H. : Mortality, expectation of life and the Hungarian experience. (Kézirat)

( 10 ) Pollard, J, H. : Cause of death and expectation oflife: some international comparisons. Seminar on Comparative Studies ofMortality and Morbidity. Siena, Italy. 7——12. July 1986. (Sajtó alatt.)

( 1 1 ) Pullard, .]. H. : Mortality changes and their economic conseguences, with particular reference to cause ofdeath, (Kézirat.) ( 12 ) Pollard, J, H. : Cause of death, expectation of life and the Hungarian experience with some international comparisons.

(Kézirat)

( 13 ) Pollard, J, H. : On the decomposition of changes in expectation of life and differentials in life expectancy. Demography.

1988. évi 2. sz, 26?276, old.

5( lítd) Vaupel, J, W. ——Jashin, A. I.: Repeated resuscitation : How lifesaving alters life tables. Demography. l987. évi l . sz.

123—1 3 . o ,

( 15 ) Valkovics E. : L'évolution récente de la mortalité dans les pays de YEst : Essai d'explication a partir de l'exernple hongrois, EspacefPapulations-Socíélés. l984, évi 3. sz. 141 468 old.

( 16 ) Valkovícs Emil : A várható élettartamok közötti különbség tényezőkre bontásának magyar módszere. Statisztikai Szem- le. 1988, évi !. sz. 40-76. old.

( 17 )IB. Lukács Agnes—Pallós Emil : A haláloki halandósági táblák számításának néhány kérdése. Demográfia. 1966 évi 3—4, sz. 441474. 0 d,

( 18 ) Lukács A. B.—Pallós E. : Ouelgues aspects du calcul de tables de mortalite' par causes de décés. Journal de la Société de Slatistígue de Paris. 1968. évi. APS—6, sz. 13$157. old.

( 19 ) Pressat, R. : Tables de mortalite' selon la cause du décés. Wirsenschaftlx'che Zeitschrift der Karl— Marx— Universitát Leipzig.

1968. évi 881—887. old.

6 ( 20 ) Pressat, R. : Les tables de mortalité en l'absence de certaines causes de décés. Canadian Studies in Population. 1974. évi 1. sz. 1w72. old.

( 21 ) Pressat, R. : Pratigue de la démographie. Trente sujets d'analyse. Sujet No. 12. Paris, 1967. 1 lS old.

( 22 ) lEressz", R. : Pour une vision unifiee des méthodes de Fanalyse démographigue. Populatíon. Numéro special. Septembre, 1977. 35—50. o .

( 23) Vulkovícs Emil; Az átlagos élettartam meghosszabbodásának gazdasági következményeit Demográfia 1970. évi 3, sz.

212241. old.

( 24 ) Valkovics E. : The economic conseguences ofincreasing longevity. Megjelent : Advances in the biology of human popula- tions. Szerk.: Törő Imre. Szabady Egon. Akadémiai Kiadó. Budapest, 1972, 508 old,

( 25 ) Valkovics Emil: Gazdaságdemográtiai módszerek. Tankönyvkiadó. Budapest. 1973. 482 old.

( 26 ) Valkovícs E. : Utilisation des principes et des méthodes de l'analyse démographigue dans Panalyse économigue. Megje- lent: L'analyse démographigue et ses applications. Editions du CNRS. Paris. 1977. 375—39l. old.

( 27 ) Valkovics E. : De l'analyse des effets économigues de l'évolution démographignei Megjelent: Dossiers et recherches.

INED. 1976. évi 1. sz. 2— 53. old.

2 Az itt nem közölt további elemzések metodikája és eredményei közzétételükig a Központi Statisztikai Hivatal Népességtudo- mányi Kutató Intézetében tanulmányozhatók.