A klasszikus valószín ˝uségi mez ˝o
3.1.2. Visszatevéses és visszatevés nélküli mintavétel
A különböz˝o mintavételi eljárások számos területen játszanak fontos szerepet. Tegyük fel például, hogy min˝oségellen˝orzés során egy cég meg akarja vizsgálni, hogy az aznap gyártott termékek hány százaléka hibás. A legtöbb esetben nincs lehet˝oség az összes termék megvizsgálására, mert az túl sok pénzbe és id˝obe kerülne. Ezért egy szokásos eljárás az, hogy véletlenszer˝uen kiválasztanak néhány terméket (mintát vesznek), és a bennük található hibás termékek számából „következtetnek” az összesben található hibások számára. A közvéleménykutatások hasonlóképpen m˝uködnek: egy párt támogatottságának megállapításához nem kérdezik meg az ország összes lakosát, hanem csak néhány kiválasztott embert (egy reprezentatív mintát), és az ˝o válaszaikból vonnak le az ország teljes lakosságára vonatkozó következtetést.
Aktivitás: Nézzen utána az interneten, hogy Magyarországon a közvéleménykutatásokkor körülbelül hány embert szoktak megkérdezni!
Visszatevéses mintavétel
Visszatevéses mintavétel esetén a minta elemeit egyesével választjuk ki, majd a vizsgálat után visszatesszük
˝
oket, és ezután vesszük a következ˝ot, stb.
3.9. feladat. 100 termék között 20 selejtes van. Visszatevéses mintavétellel kiválasztunk 6 terméket. Mi a valószín˝usége, hogy
a) az els˝o 4 termék selejtes, a többi jó;
2. lecke 8. oldal
b) az els˝o 2 termék jó, a többi selejtes;
c) pontosan 4 selejtes van a kiválasztott termékek közt?
Megoldás:
a) Mivel minden egyes húzásnál 100 termék közül választhatunk, így az összes eset száma1006.A jó eseteknél az els˝o 4 húzásnál 20, az utolsó 2 húzásnál 80 termék közül választhatunk, így a jó esetek száma204·802. Így a kérdezett valószín˝uség:
P(els˝o 4 selejt, utolsó 2 jó) = jó esetek száma
c) A kihúzottak között pontosan 4 selejtes esemény felbontható egymást kizáró események összegére: (az els˝o négy termék selejtes, a többi jó)+(az 1.,2.,3.,5. termék selejtes, a többi jó)+. . .. Az el˝oz˝o két rész alapján világos, hogy a felbontásban szerepl˝o mindegyik esemény valószín˝usége
80 az a kérdés, hogy hány esemény van a felbontásban? Éppen annyi, ahányféleképpen kiválaszthatjuk annak a 4 húzásnak a sorszámát, amikor selejteset akarunk húzni; ezek száma 64
. Felhasználva, hogy egymást kizáró események összegének a valószín˝usége a valószín˝uségek összege, azt kapjuk, hogy
P(pontosan 4 selejtes van) = 6
A3.9. feladat eredményét könnyen általánosíthatjuk: Legyen adottN termék, melyek között a selejtesek száma s. Visszatevéses mintavétellel veszünk egynelem˝u mintát. Az egyszer˝uség kedvéért a selejtesek arányát jelöljük p-vel (azazp= Ns). Ekkor a megoldás során használt módon belátható, hogy
P(a mintábankselejtes van) = n
k
·pk·(1−p)n−k.
Jó tanács: A képlet „bemagolása” helyett próbáljuk inkább azt megérteni és megjegyezni, hogy hogyan „jön ki”. Ha ez sikerül, akkor mindig fel tudjuk majd idézni a formulát.
Visszatevés nélküli mintavétel
A visszatevés nélküli mintavételnél az elemeket kiválaszthatjuk egyszerre (nem számít a sorrend), vagy egyesével is, ügyelve arra, hogy a már kiválasztott elemeket ne tegyük vissza (ebben az esetben számít a sorrend). Oldjuk most meg a3.9. feladatot visszatevés nélküli mintavétellel.
Adott tehát 100 termék ,melyek közül 20 selejtes. Visszatevés nélküli mintavétellel kiválasztunk 6 terméket. Azt akarjuk meghatározni, hogy mennyi annak a valószín˝usége, hogy 4 selejtes van a kiválasztott termékek közt.
Tegyük fel el˝oször, hogy a termékeket egyszerre választjuk ki (a sorrend nem számít). Ekkor az összes eset száma 1006
, hiszen ennyiféleképpen lehet 100 termékb˝ol 6-ot kiválasztani. Most nézzük a jó esetek számát: a kiválasztott termékek közt akkor lesz 4 selejtes, ha a selejtesekb˝ol 4-et, a jó termékekb˝ol pedig 2-t választunk ki, így a jó esetek száma 204
· 802
. Ebb˝ol azt kapjuk, hogy
P(4selejtes termék) = 20
Gondoljuk meg, hogy mi változik, ha az elemeket egyesével választjuk ki (vagyis a sorrend is számít). Tegyük fel például, hogy a mintavételnél az 1,2,3,4,5,6 termékeket választottuk ki. Ha a kiválasztás sorrendje nem
2. lecke 10. oldal
számít, akkor ez egy esetnek felel meg, míg ha sorrend is számít, akkor6!-féleképpen választhattuk ki ezt a hat terméket. Általában is elmondható, hogy minden egyes, a kiválasztás sorrendjét nem számító esetnek 6!eset felel meg, ha a sorrendet is figyelembe vesszük. Ez azt jelenti, hogy a sorrendet figyelembe vévé a jó esetek száma6!-szorosa lesz a sorrendet nem számoló esetek jó esetek számának, míg a sorrendet figyelembe véve az összes eset száma6!-szorosa lesz a sorrendet nem számoló összes eset számának. Vagyis mind a jó esetek, mind az összes eset száma a 6!-szorosára n˝o, így a hányadosuk nem változik, vagyis a kérdéses valószín˝uség marad ugyanaz.
Fogalmazzuk most meg az eredményeinket általánosan is: Ha N számú termékb˝ol s számú selejtes, akkor visszatevés nélküli mintavétellel kiválasztva a termékek közül n darabot, annak a valószín˝usége, hogy a kiválasztott termékek köztkselejtes van
P(kselejtes) =
és a valószín˝uség nem függ attól, hogy a termékeket egyszerre, vagy pedig egyesével választjuk ki.
Természetesen a képlet bemagolása helyett inkább a képlet „logikájának” a megértése javallott!
3.10. feladat. Egy színházi el˝oadás szünetében a jelenlev˝o 420 néz˝o között kisorsolnak 10 darab színházbérletet a következ˝o évadra. Mennyi a valószín˝usége, hogy egy négytagú családnak legalább az egyik tagja nyer bérletet? (1 ember csak 1 bérletet nyerhet).
Megoldás: Az, hogy legalább az egyikük nyer, azt jelenti, hogy 1,2,3 vagy 4 családtag nyer. Egyszer˝ubb lesz a dolgunk, ha a komplementer esemény, azaz annak a valószín˝uségét számoljuk ki, hogy egyikük sem nyer bérletet. Mivel 420 ember közül sorsolnak ki 10-et, így az összes eset száma 42010
. Az, hogy egyikük sem nyer semmit, azt jelenti, hogy mind a 10 nyertest a többi 416 ember közül sorsolják ki. Ezen esetek száma 41610
.
Így azt kapjuk, hogy
P(valamelyikük nyer) = 1−P(egyikük sem nyer) = 1− 416
10 420
10
≈1−0,9078 = 0,0923.
⇐3.10. feladat
3.11. feladat. Oldjuk most meg az el˝oz˝o feladatot abban az esetben, ha egy ember több bérletet is nyerhet!
Megoldás: Miként el˝obb, itt is a komplementer esemény valószín˝uségéb˝ol fogjuk meghatározni annak valószín˝uségét, hogy a család legalább egy tagja nyer valamit. Mivel most 420 ember közül úgy sorsolnak ki 10-et, hogy egy ember akár többször is nyerhet, ezért az összes eset száma42010. Azon esetek száma, amikor egyikük sem nyer semmit (vagyis amikor a nyertesek a többi 416 ember közül kerülnek ki)41610. Így azt kapjuk, hogy
P(valamelyikük nyer) = 1−P(egyikük sem nyer) = 1−41610 42010 = 1−
416 420
10
≈1−0,9087 = 0,0913.
⇐3.11. feladat
A 3.10. és a3.11. feladatokban kapott eredmények láthatólag igen közel vannak egymáshoz. Tudjuk azt, hogy ha visszatevéses modellel számolunk (3.11.), akkor a sorsolás folyamán végig állandó annak a valószín˝usége, hogy nem a családhoz tartozó néz˝o nyer. Mivel a kisorsolt bérletek száma (10) viszonylag kevés az összes néz˝o számához (420) és a nem a családhoz tartozó néz˝ok számához (416) képest, ezért ha visszatevés nélküli modellel számolunk (mint a 3.10. feladatban), a sorsolás folyamán akkor is csak kis mértékben változik meg ez a valószín˝uség, így a kapott végeredmény is igen közel lesz a visszatevéses modellel számított értékhez. Ezt részletesebben fogjuk majd tárgyalni a14. leckében.
2. lecke 12. oldal
3.12. feladat. Egy kaparós sorsjegyen azt olvassuk, hogy minden negyedik sorsjegy nyer. Veszünk 3 sorsjegyet.
Mennyi a valószín˝usége, hogy pontoson két nyertes lesz köztük?
Megoldás: Mivel egy kiválasztott sorsjegyet nem adhatunk vissza, ezért itt visszatevés nélküli mintavételr˝ol van szó. Azonban visszatevés nélküli mintavételnél a kérdezett valószín˝uség kiszámításához ismernünk kellene az összes sorsjegy számát is! Mit lehet ilyenkor tenni? El˝oször is feltételezhetjük, hogy az összes sorsjegy száma elég nagy, bizonyára milliós nagyságrend˝u. Mivel a kihúzott sorsjegyek száma mind a nyertes, mind a nyeretlen sorsjegyek számához képest kicsi, ezért akármilyen sorsjegyet húzunk els˝ore, a nyertes szelvények aránya gyakorlatilag nem változik; ugyanez mondható el a többi húzás esetén is. Vagyis dolgozhatunk úgy, mintha a nyertes szelvények aránya minden egyes húzás során1/4lenne. Ez pedig azt jelenti, hogy visszatevés nélküli mintavétel helyett visszatevésessel számolunk, természetesen így a kérdéses valószín˝uség egy közelít˝o értékét kapjuk.
A feladat szövege szerint minden negyedik sorsjegy nyer, ami azt jelenti, hogy a nyertes szelvények aránya 14, azazp= 14. Így a kérdéses valószín˝uség közelít˝o értéke
P(2 nyertes sorsjegy)≈ 3
2
·1 4
2
·3 4
1
= 0,140625.
Arra, hogy mikor alkalmazható ez módszer, a14. leckében még visszatérünk. ⇐3.12. feladat
Önellen ˝orzés
1.A0,1,2,3,4,5számjegyekb˝ol hány valódi hatjegy˝u, 5-re végz˝od˝o szám készíthet˝o, ha minden számjegyet csak egyszer használhatunk fel?
2.Kitöltünk egy ötöslottó szelvényt. Mennyi a valószín˝usége, hogy legalább két találatunk lesz?
0,0233 0,225 0,0314 0,0195
3.Nyolcan moziba mennek. Egy nyolc székes sorba ülnek le, a jegyeket véletlenszer˝uen osztják el egymás közt. Mennyi a valószín˝usége, hogy András és Viki egymás mellett fog ülni?
4.A 32 lapos magyar kártya csomagból visszatevéses mintavétellel kiválasztunk 3 lapot. Mennyi a valószín˝usége, hogy pontosan egy piros lesz a kiválasztott lapok között? Az eredményt három tizedesjegy pontossággal adja meg!
5.Feldobunk egy dobókockát háromszor egymás után. Mi a valószín˝usége, hogy a dobott számok közt lesz páros is?
Megold.
Megold.
Megold.
Megold.