A geometriai valószín ˝uségi mez ˝o
3.2. A geometriai valószín˝ uségi mez˝ o
A klasszikus valószín˝uségi mez˝o csak olyan esetekben használható, amikor véges sok elemi eseményünk van, és ezek valószín˝usége megegyezik. El˝ofordulhat azonban, hogy egy kísérletben a szóba jöhet˝o elemi események száma nem véges, de még csak nem is megszámlálhatóan végtelen. Ilyenkor a klasszikus értelmezés természetesen nem alkalmazható. Ennek ellenére bizonyos esetekben számolhatunk a jó esetek száma
összes eset száma formulával analóg módon.
3.2. definíció: Ha egy kísérlettel kapcsolatos események egy geometriai alakzat részhalmazainak feleltethet˝ok meg úgy, hogy az egyes események valószín˝usége az eseményekhez rendelt részhalmaz geometriai mértékével (hosszúság, terület, térfogat) arányos, akkor az események és valószín˝uségeik geometriai valószín˝uségi mez˝ot alkotnak. LegyenA egy ilyen kísérlettel kapcsolatos esemény. A kísérlettel kapcsolatban szóba jöv˝o teljes alakzat mértéke legyenM, azAeseménynek megfelel˝o részalakzaté pedigm . AzAesemény valószín˝usége ekkor a következ˝o módon számolható:
P(A) = m M.
A definíció szerint tehát akkor beszélünk geometriai valószín˝uségi mez˝or˝ol, ha a teljes eseménytérnek egy geometriai alakzat feleltethet˝o meg, továbbá minden eseménynek ennek az alakzatnak egy részhalmaza feleltethet˝o meg oly módon, hogy az esemény valószín˝usége csak az alakzat mértékét˝ol (hossz/terület/térfogat) függ, míg az alakzat elhelyezkedését˝ol és alakjától független.
3. lecke 2. oldal
Példa: Két települést két kilométer hosszú egyenes f˝oút köt össze. A rend˝orség az egyik nap sebesség ellen˝orzést tart ezen az úton. Tegyük fel, hogy a traffipaxot az út mellett véletlenszer˝uen helyezik el, azaz annak a valószín˝usége, hogy egy adott útszakaszon van traffipax, az útszakasz helyzetét˝ol nem, csak az útszakasz hosszától függ. Ekkor annak a valószín˝usége, hogy egy d kilométer hosszú (0 ≤ d ≤ 2) útszakaszon van traffipax, az útszakasz és a teljes út hosszának arányával egyezik meg, azaz
P(dhosszú úton van traffipax) = d 2.
3.13. feladat. Egy kör alakú asztallap sugara 1 méter, az asztallap szélén egy 20 cm széles körgy˝ur˝u fából van, míg az asztal közepe üvegb˝ol. Egy pingponglabdát ejtünk le véletlenszer˝uen az asztallapra mer˝olegesen.
Mennyi a valószín˝usége, hogy a labda a fából készült részen pattan?
Megoldás: ⇐3.13. feladat
A véletlenszer˝uség azt jelenti, hogy annak a valószín˝usége, hogy a labda egy kijelölt részre esik, az adott rész területével arányos. Így dolgozhatunk a geometriai valószín˝uségi mez˝ovel.
Az eseménytérnek a nagy kör felel meg, míg a jó eseményeknek a körgy˝ur˝u, a kérdezett valószín˝uség pedig a két alakzat területének hányadosával lesz egyenl˝o. A körgy˝ur˝u területét egyszer˝uen megkaphatjuk, ha a kör területéb˝ol kivonjuk a bels˝o kisebb kör területét, ígyP(a labda a fa részre pattan) = 12·π−0,812·π2·π = 0,36.
x
20 cm
100 cm üveg fa
3-1. önálló feladat: Egy gyalogos-átkel˝ohelynél a lámpa 3 percig mutat pirosat és 20 másodpercig zöldet. A zebrán való átkelés 6 másodpercet vesz igénybe. Mi a valószín˝usége, hogy az átkel˝ohöz érve a lámpa éppen zöldet mutat, és az átkelés végéig nem is vált pirosra?
3.14. feladat. Véletlenszer˝uen kiválasztjuk egy egységnyi oldalhosszúságú négyzet egy pontját. Mi a valószín˝usége, hogy a választott pont a négyzet egy adott csúcsától 1 egységnél kisebb távolságra lesz?
Megoldás: Helyezzük el a négyzetet a koordináta-rendszerben úgy, hogy az adott csúcsa legyen az origó, továbbá egyik oldala azxtengely pozitív felére, egy másik oldala pedig azytengely pozitív felére essen.
Egy (x,y) koordinátájú pontnak az origótól való távolsága p
x2+y2, így a kiválasztott pont akkor lesz 1 egységnél kisebb távolságra az adott csúcstól (azaz az origótól, ha koordinátáira teljesül az p
x2+y2 < 1 egyenl˝otlenség, ami viszont ekvivalens azzal, hogy x2+y2 < 1. Azonban a koordinátasíkon azon pontok halmaza, melyek koordinátáira x2 +y2 < 1, éppen az origó közep˝u, 1 sugarú körlap. Ezért a jó eseteknek megfelel˝o pontok halmaza az origó közep˝u, 1 sugarú körlap négyzetbe es˝o részével egyezik meg. Ismét használhatjuk a geometriai valószín˝uségi mez˝ot.
0 1
1 x2+y2<1
A kérdéses valószín˝uség a negyedkör és a négyzet területének a hányadosával lesz egyenl˝o, azaz P(a kiválasztott pont távolsága a négyzet adott csúcsától 1-nél kisebb) =
π 4
1 = π 4 .
⇐3.14. feladat
3. lecke 4. oldal
Érdekesség: Tudjuk, hogy egy kísérletet sokszor elvégezve, egy esemény relatív gyakorisága az esemény valószín˝usége körül ingadozik. Így a 3.14. feladat szerint π4 közelítését megkaphatjuk az alábbi módon: generáljunk véletlenszer˝uen „sok” pontot a négyzetben, számoljuk meg, hogy hány esik közülük a negyedkörbe, majd ezeknek a számát osszuk el az összes pont számával , így π4 közelítését kapjuk.
Ezzel a módszerrel tehát valószín˝uség-számítási megfontolások alapján kapjuk megπ egy közelít˝o értékét!
Informatikusoknak érdemes egy kis programot írni, és elvégezni a kísérletet!
Az el˝oz˝o feladatoknál világos volt, hogy milyen alakzat felel meg az eseménytérnek, illetve a jó eseményeknek.
Számos feladatnál azonban nem ez a helyzet, ilyenkor nekünk kell a megfelel˝o alakzatokat megtalálnunk.
3.15. feladat. Egy áruházba az egyik nap két kamion érkezik 8 és 12 óra között véletlenszer˝uen. Mindkét kamion kirakodása 20 percet vesz igénybe, azonban egyszerre csak az egyik kamionról lehet lerakodni az árukat, vagyis a kés˝obb érkez˝o kamionnak várnia kell, ha a korábbival még nem végeztek. Mi a valószín˝usége, hogy a kés˝obb érkez˝o kamionnak várnia kell a pakolással?
Megoldás: JelöljeA azt az eseményt, hogy a kés˝obb érkez˝o kamionnak várakoznia kell. Jelölje továbbáxazt, hogy az egyik kamion 8 óra után hány perccel érkezik, és y azt, hogy a másik kamion hány perccel érkezik 8 után. Ekkor 0 ≤ x ≤ 240 és 0 ≤ y ≤ 240, az eseménytér pedig az összes ilyen(x,y) párból áll. Vegyük észre, hogy az ilyen párok éppen egy négyzetet határoznak meg, vagyis ez fog megfelelni az eseménytérnek.
Határozzuk most meg a jó események halmazát. Két eset lehetséges:
1. Ha az els˝o kamion érkezik el˝obb, azazx ≤y, akkor a második kamionnak pontosan akkor kell várakoznia, hax≤y≤x+ 20.
2. Ha a második kamion érkezik el˝obb, azaz y ≤ x, akkor a kés˝obb érkez˝o kamionnak pontosan akkor kell várakoznia, hay≤x≤y+ 20teljesül.
A két esetnek a3.1. ábrán a sötétebb rész felel meg. Ezek alapján azAesemény valószín˝usége P(A) = Tsötétebb
Tnégyzet = 2402−2·220·2202
2402 ≈0,1597.
A sötétebb rész területét úgy kaptuk meg, hogy a négyzet területéb˝ol levontuk a kimaradó két kis háromszög területét.
20 20
220 220
0 240
240 y=x-20
y=x+20
3.1. ábra.A3.15. („kamionos”) feladat jó eseményeinek halmaza egy hatszög.
⇐3.15. feladat
Érdekesség: Számoljuk ki annak a valószín˝uségét, hogy az el˝oz˝o feladatban a két kamion egyszerre érkezik!
Ekkor a kedvez˝o eseteknek a négyzet azon pontjai felelnek meg, melyek x ésy koordinátái megegyeznek, ez pedig éppen a négyzet origóból induló átlójának pontjaira teljesül. Mivel az átló (egy szakasz) területe0, ezért annak a valószín˝usége, hogy a két kamion egyszerre érkezik, 24002 = 0. A két kamion egyszerre érkezik esemény természetesen nem lehetetlen esemény, a valószín˝usége azonban mégis0!
3. lecke 6. oldal
3.16. feladat. Egy két méteres rúd alkotója mentén véletlenszer˝uen kiválasztunk két pontot, és a rudat ezen a két helyen elf˝urészeljük. Mennyi a valószín˝usége, hogy a keletkezett 3 kis rúd mindegyike legalább 40 cm hosszú?
Megoldás: Legyen a két kiválasztott helynek a rúd bal oldali végpontjától vett távolságax, illetveycentiméter.
Ekkor az eseménytér az olyan (x,y)párokból áll, melyekre 0 ≤x ≤ 200és0 ≤ y ≤ 200teljesül. Ezen pontok összessége a síkban egy olyan négyzetnek felel meg, melynek az oldalának a hosszúsága 200 egység.
JelöljeAazt az eseményt, hogy mindhárom keletkez˝o rúd hosszúsága legalább 40 cm. Két eset lehetséges:
1. x < y. Ekkor a kis rudak hossza rendrex, y−x és200−y, vagyis ebben az esetben a jó eseményekhez a négyzet azon pontjai tartoznak, melyek(x,y)koordinátáira az
x≥40 y−x≥40 200−y ≥40 egyenl˝otlenségek mindegyike teljesül.
2. y < x. Ekkor a kis rudak hossza rendrey, x−y és200−x, vagyis ebben az esetben a jó eseményekhez a négyzet azon pontjai tartoznak, melyek(x,y)koordinátáira az
y≥40 x−y≥40 200−x≥40 egyenl˝otlenségek mindegyike teljesül.
A 3.2. ábrán a sötétebb rész mutatja a jó eseményeknek megfelel˝o halmazt. Látható, hogy a sötétebb rész két egybevágó, egyenl˝o szárú derékszög˝u háromszögb˝ol áll, ezért elegend˝o az egyik területét kiszámolni. A bal fels˝o derékszög˝u háromszög derékszögnél lév˝o csúcsa azx= 40ésy = 160egyenesek metszéspontja, így ennek a koordinátái (40,160). Ugyanennek a háromszögnek egy másik pontja az x = 40 és y = x+ 40 egyenesek metszéspontja, így koordinátáit ennek a két egyenletb˝ol álló egyenletrendszernek a megoldásaként kapjuk:
(40; 80). A derékszög˝u háromszög befogójának a hossza ennek a két pontnak a távolságával egyezik meg, ami 160−80 = 80cm. Így egy háromszög területe 80·802 = 3200cm2. Ebb˝ol azAesemény valószín˝usége:
P(A) = Tsötétebb
Tnégyzet = 2·3200
40000 = 0,08.
0 40 160 200 40
160
200 x=40 x=160
y=160
y=40
y=x+40
y=x-40
3.2. ábra. A3.16. („rudas”) feladat jó eseményeinek halmaza két háromszög.
⇐3.16. feladat
3. lecke 8. oldal
Önellen ˝orzés
1.Fogalmazza meg a saját szavaival, hogy mikor beszélhetünk geometriai valószín˝uségi mez˝or˝ol!
2.Egy 4cm×5cm-es téglalapnak véletlenszer˝uen kiválasztjuk egy pontját. Mi a valószín˝usége, hogy a kiválasztott pont mindegyik oldaltól legalább 1cm távolságra van?
0,3 0,4 0,5 0,6
3.Egy 5 cm sugarú, kör alakú céltáblát véletlenszer˝uen eltalál egy lövés. Mi a valószín˝usége, hogy a találat helye a kör középpontjától legalább 2, de legfeljebb 3 cm-re van?
0,16 0,2 0,25 0,3
4.Véletlenszer˝uen kiválasztunk a [0,1] intervallumon 2 számot. Mennyi a valószín˝usége, hogy a két szám összege legalább 1,2?
5.Egy 2 cm oldalhosszúságú négyzetben véletlenszer˝uen kiválasztunk egy pontot. Mi a valószín˝usége, hogy a kiválasztott pont az átlók metszéspontjától kevesebb, mint0,2cm-re van?
0,031 0,068 0,185 0,263
Megold.