A teljes valószín˝ uség tétele és a Bayes-tétel

Gyakran találkozunk olyan feladattal, amelyben ismerjük egy teljes eseményrendszerhez tartozó események valószín˝uségét, továbbá egy másik A eseménynek, a teljes eseményrendszer egyes eseményeire vonatkozó feltételes valószín˝uségeit. A következ˝o tétel azt mutatja, hogy ezen adatok birtokában az A esemény valószín˝usége is kiszámítható.

4.1. tétel: (A teljes valószín˝uség tétele) Ha aB₁,B₂, . . . ,B_n események teljes eseményrendszert alkotnak, és P(Bi)>0mindeni= 1,2, . . . ,nesetén, valamintAegy tetsz˝oleges esemény, akkor

P(A) =

n

X

i=1

P(A|B_i)·P(Bi).

Bizonyítás: Mivel a B1,B2, . . . ,Bn események teljes eseményrendszert alkotnak, ezért Bi ·Bj = ∅ (i 6= j), továbbáB₁+B₂+. . .+B_n= Ω. Ezt felhasználva átírhatjukA-t más alakba:

A=A·Ω =A·(B₁+B₂+. . .+B_n) =A·B₁+A·B₂+. . .+A·B_n.

A kapott események páronként kizárják egymást, mivel

(A·B_i)·(A·B_j) =A·(B_i·B_j) =A· ∅=∅. A 3. axióma alapján ezért

P(A) =P(A·B1+A·B2+. . .+A·Bn) =P(A·B1) +P(A·B2) +. . .+P(A·Bn). A szorzási szabály miatt azonbanP(A·Bi) =P(A|B_i)·P(Bi), így

P(A) =P(A·B₁+A·B₂+. . .+A·B_n) =P(A·B₁) +P(A·B₂) +. . .+P(A·B_n) =

=P(A|B₁)·P(B₁) +P(A|B₂)·P(B₂) +. . .+P(A|B_n)·P(B_n) =

=

n

X

i=1

P(A|B_i)·P(B_i).

4.1. ábra. A teljes valószín˝uségtétele szerint az A esemény valószín˝usége kiszámítható az egymást kizáró A·Bi

események valószín˝uségeinek összegeként.

4. lecke 7. oldal

4.5. feladat. Egy üzemben három gép gyártja ugyanazt a terméket. Az els˝o gép a teljes termelés 50%-át, a második gép a 30%-át, a harmadik pedig a 20%-át adja. Tapasztalataink szerint az els˝o gép által gyártott termékek 5%-a, a második gép által gyártott termékek 3%-a, míg a harmadik gép által gyártott termékek 2%-a selejtes. A nap végén a termékeket beviszik a raktárba (itt már nem állapítható meg, hogy melyik gép gyártotta a terméket). Mi a valószín˝usége, hogy a raktárból véletlenszer˝uen választott termék selejtes?

Megoldás: Jelölje A azt az eseményt, hogy a kiválasztott termék selejtes, B₁,B₂, illetve B₃ pedig azt, hogy a terméket az els˝o, második, illetve a harmadik gép gyártotta. A feladat szövege alapján ismerjük aB_iesemények valószín˝uségét: P(B1) = 0,5, P(B2) = 0,3ésP(B3) = 0,2. Ismerjük továbbá az Aeseménynek aBi feltételek

4.6. feladat. Visszatevés nélkül kihúzunk a 32 lapos magyarkártya-csomagból 2 lapot. Mi a valószín˝usége, hogy másodikra pirosat húzunk?

Megoldás: LegyenAaz az esemény, hogy másodikra pirosat húzunk. Legyen a teljes eseményrendszer az, hogy els˝ore milyen szín˝u lapot húzunk: B₁ jelentse, hogy pirosat,B₂, hogy zöldet,B₃, hogy makkot,B₄, hogy tököt.

Természetesen P(Bi) = ¹₄ mindegyiki-re. Ha els˝ore nem pirosat húzunk, akkor annak a valószín˝usége, hogy másodikra pirosat húzunk ₃₁⁸, hiszen 31 lap közül 8 piros; ígyP(A|B₂) =P(A|B₃) =P(A|B₄) = ₃₁⁸. Ha els˝ore pirosat húzunk, akkor annak a valószín˝usége, hogy másodikra is pirosat húzunk ₃₁⁷ , hiszen a 31 lap között 7 piros marad; ígyP(A|B₁) = ₃₁⁷ .A teljes valószín˝uség tételét alkalmazva

P(A) =

A feladatot teljes valószín˝uség tételének felhasználása nélkül „józan paraszti ésszel” is megoldhattuk volna:

nyilvánvaló, hogy a feladatban a piros színnek semmilyen jelent˝osége nincs, így annak a valószín˝usége, hogy másodikra pirosat húzunk, ugyanannyi, mint annak a valószín˝usége, hogy másodikra zöldet/tököt/makkot húzunk. Mivel ezek egymást kizáró események és összegük a biztos esemény (azaz a 4 esemény egy teljes eseményrendszert alkot), ezért

P(másodikra piros) +P(másodikra zöld) +P(másodikra makk) +P(másodikra tök) = 1.

Mivel mind a négy valószín˝uség ugyanakkora, ezért annak a valószín˝usége, hogy másodikra pirosat húzunk 0,25. Ugyanennyi a valószín˝usége, hogy másodikra zöldet (makkot, tököt) húzunk. ⇐4.6. feladat

4.2. tétel: (Bayes-tétel) Ha aB1,B2, . . . ,Bnesemények teljes eseményrendszert alkotnak és P(Bi)>0minden i= 1,2, . . . ,nesetén, valamintAegy tetsz˝oleges pozitív valószín˝uség˝u esemény, azazP(A)>0, akkor

P(B_k|A) = P(A|B_k)·P(B_k)

n

X

i=1

P(A|B_i)·P(Bi) .

Bizonyítás: Alakítsuk át a P(Bk|A) valószín˝uséget a feltételes valószín˝uség definíciója szerint, majd a számlálóban alkalmazzuk a szorzási szabályt, a nevez˝oben pedig a teljes valószín˝uség tételét:

P(B_k|A) = P(Bk·A)

P(A) = P(A·Bk)

P(A) = P(A|B_k)·P(Bk))

P(A) = P(A|B_k)·P(Bk)

n

X

i=1

P(A|B_i)·P(B_i) .

A Bayes-tétel segítségével meghatározhatjuk, hogy azAesemény bekövetkezése esetén milyen valószín˝uséggel következik be a teljes eseményrendszernek valamely eseménye.

4. lecke 9. oldal

4.7. feladat. Tapasztalatok szerint az egyik gyárban az elkészült termékek 0,1%-ának a felületén található valamilyen hiba (pl. apró karcolás). Az elkészült termékek felületét egy munkás ellen˝orzi. A munkás egy olyan terméket, amelynek a felülete hibátlan, 2% valószín˝uséggel min˝osít tévesen hibásnak; míg egy hibás terméket 1% valószín˝uséggel min˝osít (szintén tévesen) hibátlannak.

a) Mennyi a valószín˝usége, hogy a munkás hibásnak min˝osít egy terméket?

b) Egy terméket a munkás hibásnak min˝osít. Mennyi a valószín˝usége, hogy a termék valóban hibás?

Megoldás:

a) Jelölje A azt az eseményt, hogy egy terméket a munkás hibásnak min˝osít. Jelölje továbbá B₁ azt az eseményt, hogy egy termék hibás, míg B2 azt, hogy hibátlan. Ekkor B1 és B2 teljes eseményrendszert alkotnak. A feladat szövege alapján tudjuk, hogy P(B1) = 0,001, amib˝ol P(B2) = 1−0,001 = 0,999.

Mivel a munkás a hibás terméket 1% valószín˝uséggel jónak min˝osít, ezért 99% valószín˝uséggel a hibás teméket hibásnak min˝osíti, azazP(A|B₁) = 0,99. A szövegb˝ol szintén kiolvasható, hogyP(A|B₂) = 0,02.

Használjuk a teljes valószín˝uség tételét:

P(A) =P(A|B₁)·P(B₁) +P(A|B₂)·P(B₂) = 0,99·0,001 + 0,02·0,999 = 0,02097, vagyis a munkás körülbelül 2 százalékos valószín˝uséggel min˝osít egy terméket hibásnak.

b) A kérdés az, hogy mennyi a valószín˝usége annak, hogy egy termék hibás, feltéve, hogy a munkás hibásnak min˝osíti, vagyis aP(B₁|A) valószín˝uséget kell kiszámolnunk. Írjuk fel a Bayes-tételt a kérdéses valószín˝uségre:

P(B1|A) = P(A|B₁)·P(B1)

P(A|B₁)·P(B₁) +P(A|B₂)·P(B₂) = 0,99·0,001

0,99·0,001 + 0,02·0,999 ≈0,047,

azaz körülbelül 4,7 százalék annak a valószín˝usége, hogy egy, a munkás által hibásnak talált termék tényleg hibás.

⇐4.7. feladat

Azt kaptuk tehát, hogy ha egy terméket a munkás hibásnak min˝osít, akkor kicsi annak a valószín˝usége (mindössze 4,7 százalék), hogy a termék tényleg hibás. Vajon mi értelme lenne akkor egy ilyen munkatársat alkalmazni?! A válaszhoz el˝oször gondoljuk meg a következ˝ot:

Aktivitás: Számítsa ki annak a valószín˝uségét, hogy egy, a munkás által hibátlannak min˝osített termék valóban hibátlan!

Lassan körvonalazódik a munkatárs haszna. Képzeljük el, hogy létezik egy drága berendezés, amellyel pontosan meg lehet állapítani egy termékr˝ol, hogy van-e a felszínén hiba. Azonban a vizsgálat sokkal tovább tart, mint a munkás általi szemrevételezés, ezért az összes termék megvizsgálása gyakorlatilag lehetetlen. Ehelyett a következ˝oképpen járunk el: a munkás megvizsgálja a terméket, és ha jónak találja, akkor szinte biztosak lehetünk benne, hogy a termék hibátlan (lásd az el˝oz˝o aktivitásbeli feladatot). Ha a munkás hibásnak találja a terméket, akkor megvizsgáljuk a berendezéssel is, így döntjük el, hogy valóban hibás-e a termék. Mivel egy terméket a munkás 0,02 valószín˝uséggel min˝osít hibásnak, így átlagosan csak minden 50. terméket kell a berendezéssel megvizsgálni, és így rengeteg id˝ot (és vele pénzt) takarítunk meg.

Érdekesség: Az egészségügyben hasonló elven m˝uködik számos sz˝ur˝ovizsgálatra szolgáló teszt. A Down-szindrómát például a magzat kromoszómavizsgálatával ki lehet mutatni, ez azonban egy rendkívül kockázatos beavatkozást igényel, amely növeli a vetélés esélyét. Ezért ehelyett a Down-szindróma sz˝urésére különféle, kockázatmentes teszteket fejlesztettek ki (jelenleg az ún. kombinált teszt a legjobb). Ha a teszt negatív eredményt ad, akkor a születend˝o gyerek „szinte biztosan” nem lesz Down-szindrómás (közel 1 a valószín˝usége). Ha a teszt pozitív eredményt ad, még akkor is kicsi a valószín˝usége, hogy a születend˝o gyerek Down-szindrómás lesz (vagyis nem kell egyb˝ol megijedni!). Ilyen esetekben azonban a kismamáknak felajánlják, hogy elvégzik a magzati kromoszómavizsgálatot.

4. lecke 11. oldal