2.1. tétel: AzAesemény komplementerének valószín˝usége1−P(A).
Bizonyítás: Tudjuk azt, hogy Ω = A+A, továbbá azt is, hogy A és A egymást kizárják (A·A = ∅), tehát alkalmazhatjuk a 3. axiómát:
1 =P(Ω) =P(A+A) =P(A) +P(A).
Az els˝o egyenl˝oségnél azt használtuk, hogy a biztos esemény valószín˝usége 1 (2. axióma). Kifejezve a komplementer esemény valószín˝uségét azt kapjuk, hogyP(A) = 1−P(A).
2.2. definíció: Az A1,A2, . . . ,An események teljes eseményrendszert alkotnak, ha egymást páronként kizárják és összegük a biztos esemény, azaz haAi·Aj =∅(hai6=j), ésA1+A2+. . .+An= Ω.
A teljes eseményrendszer tulajdonképpen az eseménytér felbontása olyan diszjunkt részhalmazokra, melyek együttesen lefedik a teljes eseményteret. Az ábrán a B1, B2. . . ,B8 események teljes eseményrendszet alkotnak.
B1
B4
B2
B3
B7 B5
B8 B6
Ω
Példa: Felírjuk egy-egy cédulára 1-t˝ol 8-ig az egész számokat, és a cédulákat beletesszük egy dobozba. Ezután kihúzunk a dobozból egy cédulát. A következ˝o események teljes eseményrendszert alkotnak:
1. A1: a kihúzott szám az egyes; A2: a kihúzott szám nem az egyes. EkkorA1 ésA2 teljes eseményrendszert alkot, mert egyrészt kizárják egymást, hiszen egyszerre nem következhetnek be, másrészt a kett˝o közül az egyik biztosan bekövetkezik, így összegük a biztos esemény.
2. A1: a kihúzott szám négynél kisebb; A2: a kihúzott szám a négyes A3: a kihúzott szám négynél nagyobb.
Az A1, A2 és A3 események most is teljes eseményrendszert alkotnak, hiszen egyszerre nem következhet be bel˝olük kett˝o (bármelyik kett˝o kizárja egymást), másrészt viszont valamelyik biztosan be fog közülük következni (összegük a biztos esemény).
Aktivitás:A fenti példában adjon meg legalább 2 további teljes eseményrendszert!
2.2. tétel: Ha az A1,A2, . . . ,An események teljes eseményrendszert alkotnak, akkor valószín˝uségeik összege1, azazP(A1) +P(A2) +. . .+P(An) = 1.
Bizonyítás: Mivel a teljes eseményrendszer tagjai egymást páronként kizárják, ezért a 3. axióma miatt az összegük valószín˝usége megegyezik a valószín˝uségeik összegével. Másrészt a teljes eseményrendszer tagjainak összege a biztos esemény, melynek a valószín˝usége a 2. axióma miatt 1. Ebb˝ol már követezik az állítás.
Formálisan:
P(Ω) =P(A1+A2+. . .+An) =P(A1) +P(A2) +. . .+P(An) 1 =P(A1) +P(A2) +. . .+P(An)
2.3. tétel: AzAésB eseményekA−B különbségének valószín˝usége
P(A−B) =P(A)−P(A·B).
1. lecke 15. oldal
Bizonyítás: Mivel az A−B ésA·B események összege A, továbbá az A−B és A·B események kizárják egymást, ezért alkalmazhatjuk a 3. axiómát.
P(A) =P((A−B) + (A·B)) =P(A−B) +P(A·B),
amib˝ol átrendezéssel azt kapjuk, hogyP(A−B) =P(A)−P(A·B).
Aktivitás: Venn-diagram segítségével gy˝oz˝odjön meg róla, hogy az A−B és A·B események egyrészt kizárják egymást, másrészt összegükA-val egyenl˝o!
A fenti tétel speciális esete a következ˝o:
2.4. tétel: HaA⊂B, akkorP(B−A) =P(B)−P(A).
2.5. tétel: AzAésB események összegének valószín˝usége
P(A+B) =P(A) +P(B)−P(A·B).
Bizonyítás: AzAésB−Aegymást kizáró események (A·(B−A) =∅), másrészt összegük azA+Besemény.
A 3. axióma alkalmazásával azt kapjuk, hogy
P(A+B) =P(A+ (B−A)) =P(A) +P(B−A).
AP(B−A)tagra alkalmazva a2.3. tételt kapjuk, hogy
P(A+B) =P(A+ (B−A)) =P(A) +P(B−A) =P(A) +P(B)−P(A·B).
Aktivitás: Venn-diagram segítségével gy˝oz˝odjön meg róla, hogy azAésB−Aesemények egyrészt kizárják egymást, másrészt összegükA+B-vel egyenl˝o!
2.4. feladat. Legyen azAesemény valószín˝usége0,4, aBesemény valószín˝usége0,8, az együttes bekövetkezés valószín˝usége pedig0,3. Határozzuk meg az alábbi valószín˝uségeket:
a)P(A+B) b)P(A−B) c)P(B−A) d)P(A)
e)P(B) f)P(A·B) g)P(B−A) h)P(A+B).
Megoldás:
a)
P(A+B) =P(A) +P(B)−P(A·B) = 0,4 + 0,8−0.3 = 0,9. b)
P(A−B) =P(A)−P(A·B) = 0,4−0,3 = 0,1. c)
P(B−A) =P(B)−P(A·B) = 0,8−0,3 = 0,5. d)
P(A) = 1−P(A) = 1−0,4 = 0,6. e)
P(B) = 1−P(B) = 1−0,8 = 0,2.
f) Vegyük észre, hogy a De-Morgan azonosság szerintA·B =A+B. Ezt felhasználva P(A·B) =P(A+B) = 1−P(A+B) = 1−0,9 = 0,1.
1. lecke 17. oldal
g) Használjuk fel a két esemény különbségére vonatkozó összefüggést!
P(B−A) =P(B·A) =P(B·A) = 0,3. h) A De-Morgan azonosság szerintA+B =A·B. Ezt felhasználva
P(A+B) =P(A·B) = 1−P(A·B) = 1−0,3 = 0,7.
⇐2.4. feladat
Megjegyzés: Az ilyen típusú feladatoknál hasznos lehet, ha Venn-diagrammal ábrázoljuk magunknak az eseményeket. Például azfrészben rajzoljuk fel el˝oször azAesemény komplementerét (ami azA-nak megfelel˝o halmaz komplementere), utána rajzoljuk fel a B esemény komplementerét, majd vegyük a két esemény összegét, ami a két felrajzolt rész uniójának felel meg. Észrevehetjük, hogy pontosan az A·B rész maradt ki, vagyis azt kaptuk, hogy A+B = A·B. Így a feladatot akkor is meg tudjuk oldani, ha nem jut eszünkbe valamelyik azonosság!
2.5. feladat. AzAesemény bekövetkezése maga után vonja aBesemény bekövetkezését. Fejezzük ki az : a)P(A+B) b)P(A·B) c)P(B−A) d)P(A−B)
e)P(A·B) f)P(A·B) g)P(B−A) h)P(A−B).
valószín˝uségeket aP(A)ésP(B)valószín˝uségek segítségével.
Megoldás: Az, hogy azAesemény bekövetkezése maga után vonja aB esemény bekövetkezését, pontosan azt jelenti, hogyA⊂B.
a) MivelA⊂B, ezértA+B =B, ígyP(A+B) =P(B).
b) MivelA⊂B, ezértA·B =A, ígyP(A·B) =P(A).
c) P(B−A) =P(B)−P(A·B) =P(B)−P(A).
d) AzA−B esemény azt jelenti, hogyA bekövetkezik, B viszont nem. Mivel jelen esetbenA ⊂B, ezért ez sosem fordulhat el˝o, ígyA−B =∅, ígyP(A−B) =P(∅) = 0.
e) MivelA⊂B, ezért haAbekövetkezik, akkorB is bekövetkezik, ígyP(A·B) =P(∅) = 0.
f) MivelA⊂B, ezértB⊂A, ígyP(A·B) =P(B) = 1−P(B). g) P(B−A) =P(B·A) =P(B·A) =P(A).
h) P(A−B) =P(A·B) =P(A·B) =P(A).
⇐2.5. feladat
2.6. feladat. Egy üzemben az elkészült termékek a min˝oség szempontjából els˝o-, másod-, illetve harmadosztályúak lehetnek. Jelentse Aazt az eseményt, hogy a raktárból véletlenszer˝uen kiválasztott termék els˝oosztályú, B azt, hogy másodosztályú, C pedig azt, hogy harmadosztályú. Tudjuk,hogy P(A) = 0,3, míg P(B) = 0,5. Számoljuk ki a következ˝o valószín˝uségek értékét!
a)P(C) b)P(A+B) c)P(A+B) Megoldás:
a) Mivel min˝oség szempontjából minden termék pontosan az egyik osztályba esik bele, így a három esemény teljes eseményrendszert alkot, ezért P(A) +P(B) +P(C) = 1. Ebb˝ol aC esemény valószín˝uségére 1− 0,3−0,5 = 0,2adódik.
b) Az A ésB egymást kizáró események, ezért P(A·B) = P(∅) = 0. Ebb˝ol azt kapjuk, hogy P(A+B) = P(A) +P(B)−P(A·B) = 0,3 + 0,5−0 = 0,8.
c) AzA+B esemény azt jelenti, hogy egy termék vagy nem els˝oosztályú, vagy nem másodosztályú. Vegyük észre, hogy ez minden termékre igaz, vagyis azA és aB események összege a biztos esemény. Ebb˝ol azt kapjuk, hogyP(A+B) =P(Ω) = 1.
1. lecke 19. oldal
Másik módon is megkaphattuk volna az eredményt. A De Morgan azonosság szerintA+B =A·B, amib˝ol P(A +B) = P(A·B) = 1−P(A ·B) adódik. Mivel egy termék nem lehet egyszerre els˝oosztályú és másodosztályú is, ezértA·B=∅. ÍgyP(A+B) = 1−P(∅) = 1−0 = 1.
⇐2.6. feladat
Önellen ˝orzés
1.LegyenA, BésC három esemény. Mit jelent azA·(B+C)esemény?
Mindhárom esemény bekövetkezik.
Pontosan két esemény következik be.
AzAesemény bekövetkezik, és aB ésC közül is bekövetkezik legalább az egyik.
Legalább az egyik esemény bekövetkezik.
2.Az alábbi események közül melyik fejezi ki azt, hogy az A és B események közül pontosan az egyik következik be?
A+B A+B A·B A·B+A·B
3.Az alábbi események közül melyik fejezi ki azt, hogy azA, B, Cesemények közül egyik sem következik be?
A+B+C A+B+C A·B·C A+B·C
4.HaP(A) = 0,7, P(B) = 0,5ésP(A·B) = 0,4, akkor mennyiP(A+B)?
5.Tudjuk, hogy aB esemény maga után vonja azAeseményt, ésP(A) = 0,8, P(B) = 0,5. MennyiP(A·B) valószín˝uség értéke?
6.Az A, B és C események teljes eseményrendszert alkotnak. Tudjuk, hogy P(A) = 0,1 és P(B) = 0,5.
Mennyi aP(A+B)valószín˝uség értéke?
Megold.
Megold.
Megold.