13. Valószín˝uségi változó függvényének eloszlása
El˝ofordulhatnak olyan esetek, amikor egy véletlen eseményhez tartozó olyan X valószín˝uségi változót szeretnénk vizsgálni, mely egy másik, Y valószín˝uségi változó segítségével adható meg. Ekkor általában az Y eloszlása adott, vagy könnyen meghatározható. Az Y valószín˝uségi változó jellemz˝oi segítségével az X eloszlása is meghatározható. Ebben a részben választ kaphatunk arra, hogyan.
Írjuk felX-etY függvényeként: X=h(Y). Ez azt jelenti, hogy amikor azY azy0 értéket veszi fel, akkor azX értékeh(y0)lesz. AzXvalószín˝uségi változótY függvényének, vagy transzformáltjának mondjuk.
13.1. definíció: Valószín˝uségi változó transzformáltja
Legyenek X és Y valószín˝uségi változók. Tegyük fel, hogy létezik egy olyan h : R → R függvény, melyre Y = y0 esetén X = h(y0) bármilyen y0 esetén. Ekkor X-et azY valószín˝uségi változó transzformáltjának hívjuk, s ezt az összefüggést azX =h(Y)jelöléssel írjuk fel.
Figyeljük meg, hogy a h(x) függvényt elég azoknál az értékeknél definiálni, melyeket a transzformálandó valószín˝uségi változó (a definícióbanY) felvesz. Nézzünk két példát arra, miképp jelenik meg egy valószín˝uségi változó függvénye:
1. A lottósorsolásnál a köznyelvben gyakran beszélünk arról, mennyi a valószín˝usége annak, hogy kettesünk, hármasunk, netán ötösünk lesz. Természetes módon adódik az azY valószín˝uségi változó, mely megadja, hogy egy adott szelvénnyel hány találatunk lesz a következ˝o húzásnál. A nyeremény nagysága azonban jobban érdekelhet minket. Egyes helyeken el˝ore kiadják, hogy hány találattal mennyi pénzt lehet nyerni:
ezzel kaphatjuk meg a h(x) transzformációs függvényt. Így az X = h(Y) valószín˝uségi változó azt fogja megadni, mennyit fogunk nyerni az adott szelvénnyel a következ˝o húzásnál.
Aktivitás: Keressen az internet segítségével olyan szerencsejátékot, ahol el˝ore tudhatjuk, hogy adott tét mellett mekkora nyereményre számíthatunk!
16. lecke 2. oldal
2. Egy hosszú európai autós út alkalmával jó eséllyel ki fog fogyni a benzin vagy a gázolaj a járm˝ub˝ol. Hogy hol, el˝ore nem tudni, hiszen a fogyasztás sok tényez˝ot˝ol függ. Jelölje az Y valószín˝uségi változó azt, hogy a tankolásra figyelmeztet˝o jelz˝o hány kilométer után gyullad ki. Az viszont jobban érdekel minket, hogy ezután hány kilométer múlva találjuk az els˝o benzinkutat: ezt a távolságot jelölje azXvalószín˝uségi változó, mely egyértelm˝u, hogy azY-tól függ. Amennyiben biztosra tudjuk a benzinkutak helyzetét, azok éjjel-nappal nyitva tartanak, és útlezárással sem kell számolnunk, akkor az X és Y közötti összefüggés meghatározott: utunk minden egyes pontjához meg tudjuk adni, pontosan hány kilométer múlva lesz a következ˝o benzinkút. Ez lesz a h(x)függvény. Ilyenkor azX és az Y közötti összefüggés meghatározott, determinisztikus. El˝ofordulhat, hogy el˝ore nem ismert útlezárás, a térkép bizonytalansága, illetve más véletlen tényez˝ok miatt (betegség miatt zárva) azXésY közötti összefüggést nem tudjuk függvényszer˝uen leírni. Erre az esetre a kés˝obbiekben más eszközöket fogunk használni.
Aktivitás: Az M1 autópályán utazunk Budapestr˝ol Hegyeshalomba. Rajzolja fel erre az esetre a példában szerepl˝oh(x)függvényt!
13.1. Diszkrét valószín˝uségi változó függvényének eloszlása
Diszkrét valószín˝uségi változó transzformálása esetén az új valószín˝uségi változó is diszkrét lesz, hisz haY az y1,y2, . . .értékeket veheti fel, akkor azX=h(Y)értékeih(y1),h(y2), . . ., ami számosságra nem lehet több, mint az Y által felvett értékek számossága. Kevesebb viszont lehet. Ilyenkor az eredeti yi értékek valószín˝uségei összeadódnak:
13.1. tétel: Legyenek az Y diszkrét eloszlású valószín˝uségi változó lehetséges értékei y1,y2, . . . és ezek bekövetkezési valószín˝uségei pedig p1,p2, . . .. AzX = h(Y) valószín˝uségi változó lehetséges értékei ekkor az x1=h(y1),x2 =h(y2), . . .számok, melyek között megegyez˝ok is lehetnek. Ezek bekövetkezési valószín˝uségei a
P(X=xk) = X
h(yi)=xk
P(Y =yi) = X
h(yi)=xk
pi.
értékek, ahol az összegzés mindazonyi-re vonatkozik, amelyreh(yi) =xkfennáll.
Tehát az X transzformált egy adott xk értékének valószín˝uségét úgy kaphatjuk meg, hogy összeadjuk Y azon yi értékeinek valószín˝uségét, melyekre xk = h(yi). Megjegyzend˝o, hogy amennyiben a h(x) függvény szigorúan monoton, akkor azXvalószín˝uségi változóxk=h(yk), (k= 1,2, . . .) értékeihez tartozó valószín˝uség eloszlás megegyezik azY valószín˝uségi változó eloszlásával: a konkrét valószín˝uség értékek megegyeznek, bár a lehetséges értékek eltérhetnek.
13.1. feladat. Dobókockával dobunk. LegyenXa dobott szám néggyel vett maradéka.
a) Határozzuk megXeloszlását!
b) Mi a valószín˝usége annak, hogyX kett˝onél kevesebb?
13.1. ábra. Az ötös dobáshoz, mint elemi eseményhez az Y = 5 dobott érték tartozik, melynek1a maradéka néggyel osztva.
Megoldás:
a) AzX eloszlásának meghatározásához gondoljuk végig a következ˝ot. Ha a kérdezett valószín˝uségi változó a dobókocka által dobott szám lenne, akkor annak eloszlását könnyen meg tudnánk határozni. Írjuk fel X-et valamilyen transzformációs függvény segítségével: Legyen az Y valószín˝uségi változó a kockával dobott szám értéke. Ekkor X = Y mod4 és h(x) = xmod4 a transzformáció függvénye. X, majd Y lehetséges értékeit felsorolva az alábbi táblázat alapján számolhatjuk X értékeinek valószín˝uségét:
16. lecke 4. oldal
a maradék le- a dobás lehet- a dobások a maradékok hetséges értékei séges értékei valószín˝usége valószín˝usége
(xk) (yi) (pyi) (pxk)
0 4 1/6 1/6
1 1és5 1/6 + 1/6 1/3
2 2és6 1/6 + 1/6 1/3
3 3 1/6 1/6
ÍgyXeloszlását az alábbi formában adhatjuk meg:
X:
0 1 2 3 1/6 1/3 1/3 1/6 .
Ezzel az X valószín˝uségi változó eloszlását meghatároztuk, azaz minden lehetséges értékére megállapítottuk, mekkora valószín˝uséggel veszi fel azt.
b) A valószín˝uség kiszámításához figyeljük meg, hogy mígY az1,2,3,4,5,6, addigXcsak a0,1,2,3értékeket veheti fel. Ha azt szeretnénk, hogy X 2-nél kisebb legyen, akkor értéke csak 0 és 1 lehet. Így annak a valószín˝usége, hogy X < 2, megegyezik azon valószín˝uségek összegével, melyekkel a nullát és az egyet felveszi:
P(X <2) =P(X= 0) +P(X = 1) = 1/6 + 1/3 = 1/2.
Tehát annak a valószín˝usége, hogy X értéke kett˝onél kisebb lesz, épp 1/2. Ha megfigyeljük, X eloszlása szimmetrikus, és a feltételt épp az eloszlás egyik fele teljesíti.
⇐13.1. feladat
13-1. önálló feladat: Oldja meg az el˝oz˝o feladatot úgy is, hogy nem használunk transzformációt!
13.2. feladat.
Két dobókockával dobunk egyszerre. LegyenX a dobott számok összegének hattal vett maradéka.
a) Adjuk megXeloszlását.
b) Mekkora valószín˝uséggel leszXértéke páratlan?
Megoldás:
a) Az X eloszlását közvetlenül kiszámolni nem egyszer˝u. A dobott számok összegének eloszlásának felírása azonban már megoldható. Vegyünk egy új valószín˝uségi változót, Y-t. Legyen Y a kockákkal dobott számok összege, ígyX=Y mod6. Ha meghatározzukY eloszlását,Xeloszlását megadni már egyszer˝ubb lesz. Mivel a kockákon az értékek 1 és6 között vannak, így Y lehetséges értékei a2 és12 közötti egész számok.
Az Y valószín˝uségi változó P(Y = k) eloszlását úgy határozzuk meg, hogy mindegyik k értékhez kiszámoljuk, hányféleképpen lehet két kockadobás összegeként felírni. Adott k esetén ez lesz a jó esetek száma, míg az összes lehetséges dobás száma 6·6 = 36. Figyeljünk arra, hogy ilyenkor a kockadobások sorrendje számít, hiszen ekkor lesz klasszikus valószín˝uségi mez˝onk!
2 = 1 + 1
3 = 1 + 2 = 2 + 1
4 = 1 + 3 = 2 + 2 = 3 + 1
5 = 1 + 4 = 2 + 3 = 3 + 2 = 4 + 1
6 = 1 + 5 = 2 + 4 = 3 + 3 = 4 + 2 = 5 + 1