Nevezetes folytonos eloszlások
10. Nevezetes folytonos eloszlások 1. Egyenletes eloszlás
10.3. Normális eloszlás
10.3.1. Standard normális eloszlás
A normális eloszlások között kitüntetett szerep jut annak, amelynek várható értéke0, szórása pedig1, azazm= 0 ésσ = 1. Tetsz˝oleges normális eloszlással kapcsolatos valószín˝uség meghatározását vissza lehet vezetni egy ilyen típusú normális eloszlással kapcsolatos kérdésre. Ezt standard normális eloszlásnak hívják, és fontossága miatt külön jelölése is van.
A s˝ur˝uségfüggvénye:
ϕ(x) = 1
√ 2πe−x
2 2 . Az eloszlásfüggvénye:
Φ(x) = 1
√2π Z x
−∞
e−t
2 2 dt.
A standard normális eloszlás eloszlásfüggvényének (Φ(x)) értékeit táblázatokban szokás közölni. Az 1. és 2.
táblázatok a 0 és 4 közötti, két tizedesjegy˝u számokhoz tartozó Φ értékeket tartalmazzák. Mint látható, a táblázatok csak pozitívx-ekre tartalmazzákΦ(x)értékeit. Ennek oka a következ˝o:
10.4. tétel: LegyenΦ(x)a standard normális eloszlás eloszlásfüggvénye. Ekkor:
Φ(−x) = 1−Φ(x).
Az el˝oz˝o tétel alapján ha X egy standard normális eloszlású valószín˝uségi változó, akkor tetsz˝olegesa érték esetén a P(X < a)valószín˝uség értéke, amiΦ(a)-val egyenl˝o, a táblázatból kiolvasható. Mi a helyzet azonban olyankor, amikorX nem standard normális eloszlású? A következ˝o tétel azt mutatja meg, hogy egy tetsz˝oleges normális eloszlású valószín˝uségi változóból hogyan lehet standard normális eloszlásút „gyártani”.
13. lecke 11. oldal
10.5. tétel: LegyenXnormális eloszlású valószín˝uségi változó, a várható értékem, a szórásaσ. Ekkor az X∗ = X−m
σ valószín˝uségi változó standard normális eloszlású.
A tétel szerint tehát ha X egy (m,σ) paraméter˝u normális eloszlású valószín˝uségi változó, akkor a tételben leírt X∗ valószín˝uségi változó standard normális eloszlású. X∗-ot azX standardizáltjának nevezzük. Nézzük most meg példákon keresztül, hogy ezen ismeret birtokában hogyan lehet például aP(X < a)valószín˝uséget kiszámítani.
10.4. feladat. Egy gyárban az egyik gép által gyártott alkatrészek tömege normális eloszlású valószín˝uségi változónak tekinthet˝o, melynekm várható értéke 30 dkg,σ szórása pedig 4 g. Mennyi a valószín˝usége, hogy egy, a gép által gyártott alkatrész tömege
a) legfeljebb 302 g;
b) legalább 209 g;
c) pontosan 300 g;
d) legalább 208, de legfeljebb 303 g?
Megoldás:
a) JelöljeXa gép által gyártott alkatrészek grammban mért tömegét. EkkorXegym= 300várható érték˝u és σ = 4szórású normális eloszlású valószín˝uségi változó. A10.5. tétel szerint azX∗ = X−3004 valószín˝uségi változó standard normális eloszlású. Ezt felhasználva a kérdezett valószín˝uség
P(X≤302) =P
X−300
4 ≤ 302−300 4
=P(X∗ ≤0,5) = Φ(0,5).
Az1. táblázatbólΦ(0,5)értékét a következ˝oképpen kereshetjük ki: 0,5 = 0,5 + 0,00, s ekkorΦ(0,5)éppen a táblázat0,5-es sorának és0,00-os oszlopának a „metszéspontjában” található érték. Így:
P(X≤302) = Φ(0,5)≈0,6915.
b)
P(209≤X) = 1−P(X <209) = 1−P
X−300
4 < 209−300 4
= 1−P(X∗ <−0,25) =
= 1−Φ(−0,25) = 1−(1−Φ(0,25)) = Φ(0,25).
A Φ(0,25) értéket ismét az 1. táblázatból kereshetjük ki: 0,25 = 0,2 + 0,05, és ekkor a Φ(0,25)éppen a táblázat0,2-es sorának és0,05-ös oszlopának a „metszéspontjában" található érték. Ebb˝ol
P(209≤X) = Φ(0,25)≈0,5987.
c) Korábban a s˝ur˝uségfüggvénnyel foglalkozó leckében megtanultuk, hogy ha X folytonos eloszlású valószín˝uségi változó (azaz van s˝ur˝uségfüggvénye), akkor tetsz˝olegesaérték eseténP(X =a) = 0. Mivel az alkatrészek tömege normális eloszlású (azaz folytonos) valószín˝uségi változónak tekinthet˝o, ezért nulla annak a valószín˝usége, hogy egy alkatrész tömege pontosan 30 dkg.
d)
P(208≤X≤303) =P
208−300
4 ≤ X−300
4 ≤ 303−300 4
=P(−0,5≤X∗ ≤0,75) =
= Φ(0,75)−Φ(−0,5) = Φ(0,75)−(1−Φ(0,5))≈0,4649.
⇐10.4. feladat
13. lecke 13. oldal
10.5. feladat. Egy faüzemben készített deszkák hossza normális eloszlást követ 400 cm várható értékkel és 2 cm szórással. Egy deszka selejtesnek számít, ha a hossza legalább 5 cm-rel eltér 4 m-t˝ol.
a) Milyen selejtszázalékkal dolgozik az üzem?
b) Hogyan kellene változtatni a t˝uréshatárokat, hogy a selejtszázalék0,5% legyen?
Megoldás:
a) A kérdés megválaszolásához azt kell kiszámítani, hogy mi a valószín˝usége annak, hogy egy véletlenszer˝uen válaszott deszka selejtes. Legyen X a deszka hosszát jelent˝o normális eloszlású valószín˝uségi változó, m= 400,σ = 2. Egy deszka akkor nem selejtes, ha a hossza 395 és 405 cm közé esik, azaz
Ezek szerint egy termék 0,9876 valószín˝uséggel nem selejt, így 0,0124 valószín˝uséggel selejt, tehát a selejtszázalék1,24%.
b) Nyilván adott szórás mellett akkor lesz kisebb a selejtszázalék, ha a várható értékt˝ol nagyobb eltérés is megengedett. Legyen ez a keresett eltérés d. Ekkor annak valószín˝usége, hogy egy termék nem selejtes 99,5%, azaz0,995(hiszen most csak0,5% selejt):
P(nem selejt) =P(400−d < X <400 +d) =P
Ebb˝oldmár meghatározható: Tehát a selejt százalék akkor lesz0,5%, ha t˝uréshatár±5cm helyett±5,62cm.
⇐10.5. feladat
10.6. feladat. Egy üdít˝ot gyártó üzemben gép végzi az üdít˝ok üvegekbe töltését. Az üvegbe kerül˝o mennyiség normális eloszlású valószín˝uségi változónak tekinthet˝o. Egy üvegbe átlagosan 1 liter üdít˝o kerül, továbbá0,8413 annak a valószín˝usége, hogy egy véletlenszer˝uen választott üvegben legfeljebb1,05liter folyadék van.
a) Mennyi a gép által az üvegekbe töltött folyadék szórása?
b) Az üvegek hány százalékában lesz legalább0,99liter üdít˝o?
c) Az egyik üvegb˝ol kiöntünk 1 liter üdít˝ot egy pohárba. Mennyi a valószín˝usége, hogy az üvegben marad még legalább0,1liter üdít˝o?
Megoldás:
a) Jelölje X az üvegbe töltött üdít˝o literben mért mennyiségét. Az adatok alapján X normális eloszlású, a várható értéke m = 1. Ismert továbbá, hogy P(X ≤ 1,05) = 0,8413. A σ szórás értékét ebb˝ol az egyenl˝oségb˝ol ki tudjuk számítani.
0,8413 =P(X≤1,05) =P
13. lecke 15. oldal
A táblázatból visszakeresve azt kapjuk, hogy 0,05
σ = 1, amib˝ol σ = 0,05, azaz az üvegbe töltött üdít˝o mennyiségének a szórása0,05liter.
b)
azaz körülbelül az üvegek57,93százaléka tartalmaz legalább0,99liter üdít˝ot.
c) Gyakorlatilag az a kérdés, hogy ha tudjuk, hogy egy üvegben legalább 1 liter üdít˝o van, akkor mennyi a valószín˝usége, hogy legalább 1,1 liter üdít˝o van az üvegben. Vagyis egy feltételes valószín˝uséggel van dolgunk, melyben1≤Xa feltétel. A feltételes valószín˝uség definícióját használva
P(X ≥1,1|X ≥1) = P(X ≥1,1ésX≥1)
Az el˝oz˝o feladatban definiált X valószín˝uségi változó, az üvegekbe töltött üdít˝o mennyisége, nyilván nem vehet fel negatív értékeket, s˝ot (az üvegek mérete miatt) akármilyen nagy értéket sem vehet fel. Ezzel szemben egy normális eloszlású valószín˝uségi változó bármekkora értéket felvehet. Vajon ez nem mond ellent annak, hogy feltettük, hogy az üvegbe töltött folyadék mennyisége normális eloszlású valószín˝uségi változóval modellezhet˝o? A kérdés megválaszolásában segítségünkre lesz a következ˝o feladat.
10.7. feladat. Legyen X egy normális eloszlású valószín˝uségi változó m várható értékkel és σ szórással.
Számoljuk ki a következ˝o két valószín˝uség értékét!
a)P(|X−m|<2·σ) b)P(|X−m|<4·σ) Megoldás:
a) Az abszolútérték definíciója szerint az|X−m|<2·σfeltétel azt jelenti, hogy
−2·σ < X −m <2·σ, amib˝ol átrendezés után a vele ekvivalens
m−2·σ < X < m+ 2·σ egyenl˝otlenségrendszert kapjuk. Ezt felhasználva
P(|X−m|<2·σ) =P(m−2·σ < X < m+ 2·σ) =P
m−2·σ−m
σ < X−m
σ < m+ 2·σ−m σ
=
=P(X∗<2)−P(X∗ <−2) = Φ(2)−Φ(−2) = Φ(2)−(1−Φ(2))≈0,9544.
b) Az el˝oz˝o gondolatmenetet alkalmazva
P(|X−m|<4·σ) =P(X∗ <4)−P(X∗ <−4) = Φ(4)−Φ(−4) = Φ(4)−(1−Φ(4))≈0,999936.
Mivel a legtöbb táblázatbanΦ(4)értéke már 1-re van kerekítve, ezért mostΦ(4)értékét az EXCEL beépített STNORMELOSZL függvényének a segítségével határoztuk meg.
⇐10.7. feladat
Azt kaptuk tehát, hogy egy normális eloszlású valószín˝uségi változó értéke0,9544valószín˝uséggel az
(m−2·σ,m+ 2·σ) intervallumba esik, míg0,999936valószín˝uséggel az (m−4·σ,m+ 4·σ) intervallumba esik. A 10.6. feladat esetében (melynél m = 1 ésσ = 0,05) ez azt jelenti, hogy az üvegekbe töltött folyadék mennyisége0,999936valószín˝uséggel legalább 8, de legfeljebb 12 deciliter. Vagyis gyakorlatilag nem kell amiatt aggódnunk, hogy normális eloszlást feltételezve az üvegekbe például negatív mennyiség˝u üdít˝o kerül.
13. lecke 17. oldal
Önellen ˝orzés
Önellen˝orz˝o kérdések
1.Legyen X egyenletes eloszlású valószín˝uségi változó az (5; 15) intervallumon. Mennyi a P(8 ≤ X) valószín˝uség értéke ?
2.Az el˝oz˝o feladatban mennnyi aP(3≤X ≤10)valószín˝uség értéke?
3.Egy berendezés átlagosan 6 évig m˝uködik; az élettartama exponenciális eloszlású valószín˝uségi változónak tekinthet˝o. Mennyi a valószín˝usége, hogy a berendezés legalább 8 évig m˝uködik?
0,264 0,736 0,472 0,528
4.Az el˝oz˝o feladatban mennyi a valószín˝usége, hogy a berendezés legalább 3, de legfeljebb 8 évig m˝uködik?
0,524 0,264 0,606 0,343
5.X egy normális eloszlású valószín˝uségi változó, melynek a várható értéke 10, szórása pedig 0,8. Mennyi a P(X≤9,76)valószín˝uség értéke?
0,6179 0,3821 0,7881 0,2119
6.Az el˝oz˝o feldatban mennyi aP(10,2< X ≤10,4)valószín˝uség értéke?
0,6915 0,5987 0,0928 0,7881
7.AzXnormális eloszlású valószín˝uségi változó várható értéke50, szórása4. Határozzuk meg azt adértéket, melyre teljesül, hogyXértéke0,95valószín˝uséggel50−dés50 +dközé esik!
0,975 7,84 1,96 6,58
Megold.
Megold.