A valószín ˝uségi változó várható értéke
7. A várható érték és a szórás
7.2. Folytonos valószín˝ uségi változó várható értéke
Legyen X folytonos eloszlású valószín˝uségi változó, a s˝ur˝uségfüggvénye legyen f(x). Legyen (a, b) az az intervallum, ahol f(x) nem nulla. Osszuk fel ezt az intervallumot m részre, az i-edik részintervallum végpontjai legyenek ti−1 és ti. Ekkor annak valószín˝usége, hogy az X valószín˝uségi változó értéke az i-edik részintervallumba esik részintervallumokba hányszor esik az eredmény. Jelöljeki azi-edik részintervallumba es˝o elemek számát. Az átlagot közelítsük úgy, hogy minden egyes részintervallumból választunk egy-egy számot, amivel helyettesítünk minden olyan értéket, ami az adott intervallumba esik (például, ha a (3,4) intervallumot tekintjük, akkor vehetjük a3,5-et). Legyen azi-edik intervallumból választott értékτi. Ekkor az átlag közelítése:
1 Sok kísérletsorozat esetén a ki
nrelatív gyakoriság azi-edik részintervallumba esés valószín˝usége körül ingadozik, ezért Ezt felhasználva az átlag közelítése:
1
A fenti eljárás alapján definiálhatjuk a folytonos eloszlású valószín˝uségi változó várható értékét:
7.2. definíció: LegyenX folytonos eloszlású valószín˝uségi változó, a s˝ur˝uségfüggvénye legyenf(x). Ekkor X várható értékén az E(X) =
Z ∞
−∞
x·f(x) dx integrált értjük, amennyiben az Z ∞
−∞
|x| ·f(x) dx integrál véges. Egyéb esetben azt mondjuk, hogy a várható érték nem létezik.
7.5. feladat. Legyen azXvalószín˝uségi változó s˝ur˝uségfüggvénye f(x) =
( c
x2, ha2< x <4;
0, különben.
Mennyi acértéke? Mennyi azX valószín˝uségi változó várható értéke?
Megoldás: Azf függvény akkor lesz s˝ur˝uségfüggvény, ha egyrészt csak nemnegatív értékeket vesz fel, másrészt a mínusz végtelent˝ol végtelenig vett integrálja eggyel egyenl˝o. Az els˝o feltételb˝ol azt kapjuk, hogy0≤c,míg a második feltétel szerint
A várható érték definíciója szerint E(X) =
8. lecke 7. oldal
7.6. feladat. AzXvalószín˝uségi változó eloszlásfüggvénye az alábbi függvény:
F(x) =
Határozzuk megX várható értékét!
Megoldás: A várható érték kiszámításához el˝oször a s˝ur˝uségfüggvényt kell meghatároznunk. Mivel a s˝ur˝uségfüggvény az eloszlásfüggvény deriváltja, ahol pedig az eloszlásfüggvény nem deriválható, ott a definíció szerint0, ezért
f(x) =F0(x) = ( 2x
8 , ha1< x <3;
0, különben.
Most már kiszámolhatjuk a várható értéket:
E(X) = tetsz˝oleges valós számok. Ekkor azY valószín˝uségi változó várható értéke
E(Y) =a·E(X2) +b·E(X) +c amennyibenXésX2 várható értéke létezik.
7.7. feladat. Feldobunk egy szabályos dobókockát. Az Y valószín˝uségi változó legyen a dobott szám háromszorosánál eggyel kisebb szám. Határozzuk megY várható értékét.
Megoldás: 1. módszerHatározzuk megY eloszlását. Világos, hogyY a3·1−1,3·2−1, . . . 3·6−1értékeket veheti fel, ráadásul mindegyiket egyforma valószín˝uséggel. ÍgyY eloszlása
Y :
amib˝ol a várható értékre
E(Y) = 2·1
2. módszer A 7.1. tétel segítségével Y eloszlásának kiszámítása nélkül is megkaphatjuk a várható értéket.
LegyenX a dobás során kapott érték, ekkorY = 3X −1. A7.1. tétel alapján Y várható értéke kiszámítható X várható értékének segítségével. MivelX az 1,2,3,4,5,6 értékeket veheti fel, továbbá mindegyik értéket1/6 valószín˝uséggel veszi fel, ezért
E(X) = 1·1
Ebb˝ol a tétel alapján
E(Y) =E(3X−1) = 3·E(X)−1 = 3·21
6 −1 = 57 6 = 9,5.
⇐7.7. feladat
8. lecke 9. oldal
Önellen ˝orzés
1.AzXvalószín˝uségi változó eloszlása:
X:
−4 −1 3 6 0,1 0,3 0,4 0,2 . MennyiXvárható értéke?
2.Feldobunk három szabályos pénzérmét. Mennyi a fej dobások számának várható értéke?
3.Feldobunk két szabályos dobókockát. Mennyi a dobott számok összegének a várható értéke?
4.AzXvalószín˝uségi változó s˝ur˝uségfüggvénye:
f(x) =
MennyiXvárható értéke?
5.AzXvalószín˝uségi változó eloszlásfüggvénye:
F(x) =
MennyiXvárható értéke?
Megold.
Megold.
Megold.
Megold.
Megold.
9. LECKE
A szórás
9. lecke 1. oldal
7.3. A szórás
Az el˝oz˝o leckében láttuk, hogy a várható érték gyakorlatilag a valószín˝uségi változó átlagos értékét adja meg.
Sokszor azonban az is lényeges, hogy a valószín˝uségi változó értékei mennyire ingadoznak a várható érték körül.
Tegyük fel például, hogy a megspórolt pénzünket be akarjuk fektetni. Két lehet˝oség közül választhatunk: az els˝onél úgy gondoljuk, hogy 1 éven belül 0,7 valószín˝uséggel nyerünk egymillió Ft-ot és 0,3 valószín˝uséggel vesztünk hatszázezer Ft-ot, a másodiknál pedig a becslésünk szerint 0,5 valószín˝uséggel nyerünk hatszázezer Ft-ot, és0,5valószín˝uséggel nyerünk négyszázezer Ft-ot egy éven belül. Melyik befektetést válasszuk?
Jelölje X az els˝o befektetés, Y pedig a második befektetés által elért nyereséget. Ekkor az X valószín˝uségi változó várható értékeE(X) = 0,7·1000000−0,3·600000 = 500000, míg az Y valószín˝uségi változó várható értékeE(Y) = 0,5·600000 + 0,5·400000 = 500000Ft. Azt kaptuk tehát, hogy mindkét befektetéssel várhatóan ugyanannyit nyerünk, mégis mindenki számára világos, hogy a két valószín˝uségi változó jelent˝osen eltér egymástól. Az els˝o valószín˝uségi változó lehetséges értékei a várható értékhez képest nagy, míg a másodiké csak kis ingadozást mutatnak. Arra, hogy melyiket érdemes választani, most nem lehet egyértelm˝u választ adni (ez függ attól, hogy mennyi pénzt fektetünk be, és attól is, hogy milyen a kockázatt˝ur˝o képességünk). Ha a nagyobb nyereség reményében nem félünk kockáztatni azt, hogy sokat is veszíthetünk, akkor választhatjuk az els˝o lehet˝oséget, de ha a célunk a kockázat nélküli biztos nyereség, akkor inkább a második lehet˝oséget célszer˝u választani.
A fentiek alapján célszer˝u lenne olyan mér˝oszámot keresnünk, amellyel jellemezhetjük a várható érték körül ingadozást, vagyis a valószín˝uségi változónak (X) és a várható értéknek (E(X)) az eltérését szeretnénk egyetlen számmal leírni. Gondolhatnánk arra, hogy a várható értékt˝ol való eltérés átlaga megfelel˝o lenne erre a célra;
ez éppen azX−E(X)valószín˝uségi változó várható értékét jelentené, de E[X−E(X)] =E(X)−E(X) = 0,
így ez egyáltalán nem jellemzi az ingadozást. Tekintsük ezért inkább azX−E(X)különbség négyzetét. Ennek a valószín˝uségi változónak a várható értéke már megfelel˝o lesz az ingadozás jellemzésére. Pontosabban:
7.3. definíció: AzXvalószín˝uségi változó szórásán az(X−E(X))2valószín˝uségi változó várható értékének négyzetgyökét értjük, amitD(X)-szel (vagyσ-val) jelölünk. AzazXszórása
D(X) = r
Eh
(X−E(X))2i . amennyibenXés(X−E(X))2 várható értéke létezik.
7.4. definíció: A gyökvonás nélküli D2(X) = E h
(X−E(X))2 i
értéket az X valószín˝uségi változó szórásnégyzetének nevezzük. Általában el˝oször a szórásnégyzetet tudjuk meghatározni, és abból gyökvonással a szórást.
7.2. tétel: Ha azX valószín˝uségi változónak és annak a négyzetének is létezik a várható értéke, akkor létezik X szórása is, és
D(X) =p
E(X2)−E2(X).
Bizonyítás: A kifejezés szórásnégyzetre vonatkozó alakját fogjuk igazolni, abból pedig gyökvonással következik az állítás.
D2(X) =Eh
(X−E(X))2i
=E
X2−2·X·E(X) +E2(X)
=
=E(X2)−2·E(X)·E(X) +E2(X) =E(X2)−E2(X).
Az el˝oz˝o tétel alapján tehát egy X valószín˝uségi változó szórásának kiszámításához elegend˝o X, illetve X2 várható értékét kiszámítani.
9. lecke 3. oldal
7.8. feladat. Adott azXvalószín˝uségi változó eloszlása:
X :
−2 −1 1 2 0,1 0,3 0,4 0,2 . Számoljuk kiXszórását!
Megoldás: Az el˝oz˝o tétel alapján a szórás kiszámításához el˝oször meghatározzukXvárható értékét, utána pedig X2 várható értékét. A definíció alapjánX várható értéke
E(X) =−2·0,1−1·0,3 + 1·0,4 + 2·0,2 = 0,3.
AzX2valószín˝uségi változó az1és4értékeket veheti fel. MivelX2akkor veszi fel az1értéket, haXa−1vagy 1értékeket veszi fel, ezértX2az1értéket0,3 + 0,4 = 0,7valószín˝uséggel veszi fel. Hasonlóan látható, hogyX2 a4értéket0,3valószín˝uséggel veszi fel, ígyX2 eloszlása
X2 :
1 4 0,7 0,3 . Ebb˝ol a definíció szerintX2 várható értéke
E(X2) = 1·0,7 + 4·0,3 = 1,5.
A7.2. tétel szerintXszórására
D(X) =p
E(X2)−E2(X) =p
1,5−0,32 ≈1,187
adódik. ⇐7.8. feladat
7.9. feladat. Ötször feldobunk egy szabályos pénzérmét. Számoljuk ki a fej dobások számának várható értékét és szórását!
Megoldás: JelöljeX a fej dobások számát. Határozzuk meg el˝oször X eloszlását! Mivel mindegyik dobásnak két kimenetele van (F,I), ezért az összes eset száma 25 = 32. Az öt dobás során pontosank fejet 5k
esetben dobhatunk, ígyP(X=k) = 52
·1/32. A fej dobások száma nullától ötig terjedhet, amib˝ol aP(X=k)képletben khelyére a lehetséges értékeket behelyettesítve kapjukXeloszlását:
X:
A várható érték definíciója alapján:
E(X) = 0· 1
A szórás kiszámolásához szükségünk vanX2 eloszlására:
X2 :
A7.2. tétel szerintXszórása
D(X) =p
E(X2)−E2(X) =p
7,5−2,52 =p
1,25≈1,118.
⇐7.9. feladat
9. lecke 5. oldal
A kés˝obbiekben majd igazoljuk, hogy ha X folytonos eloszlású valószín˝uségi változó, melynek f(x) a s˝ur˝uségfüggvénye, akkorX2 várható értéke
E(X2) =
7.10. feladat. A folytonos eloszlásúXvalószín˝uségi változó s˝ur˝uségfüggvénye:
f(x) =
( 2−x
2 , ha0< x <2;
0, különben.
Számoljuk kiXszórását!
Megoldás: A szórás kiszámításához az el˝oz˝o megjegyzés alapján el˝oször X várható értékét, majd X2 várható értékét számoljuk ki. Most kiszámoljukX2 várható értékét.
E(X2) =
Most már meg tudjuk határozni a szórást:
7.11. feladat. A folytonos eloszlásúXvalószín˝uségi változó eloszlásfüggvénye:
F(x) =
( 0, ha x≤3;
1−81
x4, ha 3< x.
Számoljuk kiXszórását!
Megoldás: Most is ugyanúgy járunk el, mint az el˝oz˝o feladatban, csak el˝oször ki kell számolnunk X s˝ur˝uségfüggvényét. Tudjuk, hogy a s˝ur˝uségfüggvény az eloszlásfüggvény deriváltjával egyezik meg. Mivel konstans deriváltja 0, ezértx <3eseténf(x) =F0(x) = 0. Ha3< x, akkor
Azt kaptuk tehát, hogyXs˝ur˝uségfüggvénye f(x) =
( 0, ha x≤3;
324
x5 , ha 3< x.
Számoljuk most kiX várható értékét!
9. lecke 7. oldal
Ezután kiszámoljukX2várható értékét:
E(X2) =
Most már meg tudjuk határozniXszórását:
D(X) =
amennyibenXszórása létezik.
A tétel alapjánXszórásának ismeretében azY =a·X+bvalószín˝uségi változó szórásaY eloszlásának ismerete nélkül is kiszámolható.
7.12. feladat. Ötször feldobunk egy szabályos pénzérmét. Az Y valószín˝uségi változó értéke legyen a dobott fejek számának kétszeresénél néggyel kisebb szám. Számoljuk kiY szórását!
Megoldás: Jelölje X a fej dobások számát. EkkorY = 2X−4. Korábban a7.9. feladatban már kiszámoltuk, hogyD(X) =√
1,25. A7.3. tétel szerint
D(Y) =D(2X−4) =|2| ·p
1,25≈2,236.
⇐7.12. feladat
7.13. feladat. A folytonosXvalószín˝uségi változó s˝ur˝uségfüggvénye f(x) =
Megoldás: El˝oször kiszámoljukXszórását, amib˝ol a7.3. tétel alapján megkapjukY szórását (azazY eloszlását nem kell felírnunk). Most számoljuk kiX2várható értékét.
E(X2) =
9. lecke 9. oldal
Ebb˝olXszórása:
D(X) =p
E(X2)−(E(X))2 = s
93 35 −
45 28
2
≈0,272.
A7.3. tétel szerintY szórása:
D(Y) =D(−2X+ 1) =| −2| ·0,272 = 0,545.
⇐7.13. feladat
Önellen ˝orzés
1.Fogalmazza meg saját szavaival, hogy mit értünk egy valószín˝uségi változó szórásán!
2.AzXvalószín˝uségi változó eloszlása:
X:
−3 1 3 4 0,1 0,3 0,4 0,2 . MennyiXszórásnégyzete?
3.Feldobunk két dobókockát. Mennyi a hatos dobások számának a szórása?
0,913 0,527 0,758 0,651
4.AzXvalószín˝uségi változó s˝ur˝uségfüggvénye:
f(x) = ( 2x
81, ha0< x <9;
0 különben.
MennyiXszórásnégyzete?
5.AzXvalószín˝uségi változó eloszlásfüggvénye:
F(x) =
0, ha x≤ −1;
x+ 1
13 , ha −1< x≤12;
1, ha 12< x.
MennyiXszórása?
13 5,387 3,753 10
Megold.
Megold.
9. lecke 11. oldal
6.AzXvalószín˝uségi változó eloszlása:
X:
−2 −1 1 2 0,2 0,3 0,3 0,2 . LegyenY =−3·X+ 5. MennyiY szórása?
6,600 −4,450 9,450 4,450