ALKALMAZÁSA TÉRBELI HAJLÍTOTT RÚDELEMRE, RITZ- RITZ-MÓDSZER ÉS VÉGESELEM RITZ-MÓDSZER ALKALMAZÁSA
7.1. Térbeli rúdelem variációs feladata
A tananyag 5. fejezetében síkbeli húzott-hajlított rúdelemek vizsgálatával foglalkoztunk. Ezen elemek csomópontjainak három-három szabadságfoka volt, a síkban történő kétirányú elmoz-dulás és a síkban történő szögelforelmoz-dulás.
Ebben a fejezetben az ott leírtakat kibővítve háromdimenziós rúdelemeket vizsgálunk. Az elem elhelyezkedését a lokális koordináta-rendszerben, valamint az alkalmazott jelöléseket a 7.1 ábra mutatja.
7.1 ábra Az elem elhelyezkedése a lokális koordináta-rendszerben
Az ábrán is látható, hogy a csomópontok szabadságfoka kibővül az x-z síkban történő elmoz-dulással, az x-z síkban történő szögelfordulással és új elemként az x tengely körüli szögelfor-dulással, azaz elcsavarodással.
A korábbiakat kiegészítve, a rúd elcsavarodása és a csavaró nyomaték között lineáris a kapcsolat, így a csavaró nyomaték munkája:
Mt 2
W 1 (7.1)
G I
L M
p
t
(7.2)
így:
p 2 t
I L M G 2
W 1 (7.3)
Az előző fejezetben láttuk, hogy a végeselem módszer alapegyenlete a következő lineáris egyenletrendszer:
F u
K (7.4)
amely jelen esetben a két csomópontú, 12 szabadságfokú elemre:
A tananyag 3. fejezetében látottakhoz hasonlóan az elem deformációját interpolációs függvényekkel írjuk le. Egy pont elmozdulásának koordinátái ily módon:
k érté-kük 1, x=L esetén pedig 0), továbbá x szerint deriválhatók. A Bernoulli hipotézisnek megfele-lő rúdelem esetében a rúd x tengely irányú elmozdulásait (megnyúlás) és x tengelye körüli elcsavarodását lineáris interpolációs függvényekkel közelíthetjük:
L
12 0
Az elem x-y és x-z síkban történő hajlításának közelítésére pedig harmadfokú interpoláci-ós függvényeket alkalmazunk:
3
Ezek a függvények előállíthatók egy Bernoulli hipotézisnek megfelelő, végpontjain kon-centrált erővel és konkon-centrált nyomatékkal terhelt rúd elmozdulásainak analitikus megoldásá-val. A teljes potenciális energia (az alakváltozási energia és a külső erők munkájának különb-sége) a szilárd test egyensúlyi helyzetében minimális, vagyis első variációja zérus:
. Ebből következik, hogy e tétel alkalmazása az alakváltozási energia vál-tozásának vizsgálatán alapul, következésképpen az egyes terhelési esetekhez tartozó alakvál-tozási energia kifejezések felírása indokolt.
Hosszirányú alakváltozások (megnyúlás) esetén az alakváltozás:
k
Így állandó keresztmetszetű rúd esetén a potenciális energia:
Az elem merevségi mátrixának ij-edik kij eleme a k=1 és k=7 esetre:
dx
Az x tengely körüli csavarás esetén az alakváltozás:
Így állandó keresztmetszetű rúd esetén a potenciális energia:
Az elem merevségi mátrixának ij-edik kij eleme a k=4 és k=10 esetre:
dx
A rúdelem hajlítása esetén a potenciális energia a szögelfordulás függvénye (a nyírás által okozott alakváltozást a Bernoulli elmélet alapján elhanyagoljuk) Az x-y síkban történő hajlí-tás esetén:
Így állandó keresztmetszetű rúd esetén a potenciális energia:
Az elem merevségi mátrixának ij-edik kij eleme a k=2, k=6, k=8, és k=12 esetre:
dx
Könnyű belátni, hogy a rúdelem x-z síkban történő hajlítása a fentiektől csak abban kü-lönbözik, hogy a rúdelem keresztmetszetének z tengelyre számított másodrendű nyomatéka (Iz) helyett az y tengelyre számított Iy-nal kell számolni. Így az elem merevségi mátrixának i-dik, j-dik kij eleme a k=3, k=5, k=9 és k=11 esetre:
Ezzel az elem merevségi mátrixa:
Az elem merevségét a globális koordináta-rendszerben a 5. fejezetben leírtakhoz hasonló-an egy trhasonló-anszponálási mátrix segítségével állítjuk elő. A trhasonló-anszponálási mátrix jelen esetben 12x12 méretű, a 7.2 ábra szerinti jelölésekkel:
Ezzel az elem merevségi mátrixa a globális koordináta rendszerben:
T K T
Ke T e (7.27)
7.2 ábra Az elem elhelyezkedése a globális koordináta-rendszerben 7.2. Feladatmegoldás végeselem módszerrel
Egy szabadtéri közlekedési út felett elhelyezett információs táblát a 7.3 ábrán bemutatott tar-tóra helyezünk. A tábla tömege 50 kg. A környezeti hatásokból (szél) a tartó síkjára merőle-ges 300 N-os erőhatás keletkezik.
x y
z
30°
F=500 N
F=300 N
7.3 ábra A vizsgálandó tartó
A végeselem modellt a kisebb számítási igény miatt a 7.4 ábra szerint az x-y síkban hozzuk létre, így a fent leírtak szerint csak a 2. rúd transzformált merevségi mátrixát kell előállíta-nunk.
x y
z
F=500 N F=300 N
60°
L
L
7.4 ábra A vizsgálandó tartó elhelyezése a globális koordináta-rendszerben A 2. elem merevségi mátrixára bevezetve a következő jelöléseket:
az elem merevségi mátrixa a globális koordináta-rendszerben:
A két elem merevségi mátrixát kombinálva, a közös csomópontban a merevségétékek ösz-szeadódnak. Így a rendszert leíró, megoldandó egyenletrendszer:
Az egyenletrendszer megoldása során a megfogás 0 elmozdulási helyeit kihagyhatjuk, azaz a merevségi mátrix e helyekhez tartozó sorait és oszlopait törölhetjük. Esetünkben ez az első hat sor és oszlop. Így kapjuk az un. kondenzált merevségi mátrixot, és a megoldandó egyenletrendszert. Az adatokat behelyettesítve, az egyenletrendszert megoldva kapjuk az elmozdulásvektort:
m
Az eredmények ismeretében a reakcióerők számíthatók a teljes rendszer egyenletrendszer-ének a reakcióerőkhöz tartozó egyenleteiből, ami jelen esetben az első hat sor:
N
7.3. Megjegyzések
Nem foglalkoztunk a fejezetben a nem kör vagy körgyűrű szelvényekkel. Az ilyen szelvények bizonyos keresztmetszeti tulajdonságai csak közelítő eljárásokkal határozhatók meg. A poláris másodrendű nyomaték meghatározására ilyen módszer a vékonyfalu, zárt szelvények esetében a Bredt formula, nyitott, vékonyfalú szelvények esetében pedig a Weber közelítő eljárás.
Szintén nem foglalkoztunk aszimmetrikus szelvényekkel, amilyen pl: a hajlított és henge-relt U szelvény. Ezen szelvények esetében a nyírási középpont és a súlypont nem esik egybe, a súlyvonal fölötti terhelés esetén a szelvények járulékos csavarásnak is ki vannak téve.
Elhanyagoltuk továbbá a hajlított tartókban a nyírásból származó alakváltozásokat is az-zal, hogy feltételeztük a Bernoulli elméletnek megfelelő rudat.
A végeselem alapú programrendszerek mindhárom problémát képesek kezelni a szelvény geometriai tulajdonságainak pontosabb vagy egyszerűsített megadása révén.
8. TÉRBELI HAJLÍTOTT RUDAK VIZSGÁLATA VÉGESELEM