ALKALMAZÁSA TÉRBELI HAJLÍTOTT RÚDELEMRE, RITZ- RITZ-MÓDSZER ÉS VÉGESELEM RITZ-MÓDSZER ALKALMAZÁSA
8. TÉRBELI HAJLÍTOTT RUDAK VIZSGÁLATA VÉGESELEM MÓD- MÓD-SZEREN ALAPULÓ PROGRAMRENDSZEREK SEGÍTSÉGÉVEL MÓD-SZEREN ALAPULÓ PROGRAMRENDSZEREK SEGÍTSÉGÉVEL
8.1. Térbeli rúdszerkezetek
A 6. fejezetben tárgyalt síkbeli, hajlított rudakból álló tartószerkezetek elemeinek alakváltozá-sai csak a tartó síkjában jöhetnek létre. A gyakorlati életben sok olyan esettel találkozhatunk, ahol e feltételek teljesülésével alkotott síkbeli modell nem ad megfelelő pontosságot, a feladat térbeli modell megfogalmazását igényli.
Ilyen esetek lehetnek:
– a síkbeli, de aszimmetrikus szelvényekből álló rúdszerkezetek, – a síkbeli, de a tartó síkjára merőlegesen terhelt rúdszerkezetek, – térbeli kiterjedésű, tetszőlegesen terhelt rúdszerkezetek.
A tananyag e fejezete ezekkel a tartószerkezetekkel foglalkozik. A nyomott rudak stabili-tásvesztésével a 9-10. fejezetekben foglalkozunk. A rúdszerkezetek nyomott övében végbe-menő horpadás, illetve a gerincek nyírási horpadása külön vizsgálatot, illetve számítást igé-nyel, amivel e tananyag terjedelmi okokból nem foglalkozhat.
A korábbi rúdszerkezetekkel foglalkozó fejezetekben feltett kérdéseket tovább bővítve választ keresünk:
– a kényszerekben keletkező reakcióerők nagyságára és irányára,
– az egyes rudakban keletkező húzó-nyomó és nyíróerők, valamint a hajlító és a csavaró nyomaték és ezek komponenseinek nagyságára és irányára,
– az erők hatására a rudak egyes pontjaiban keletkező feszültségi állapotot jellemző és τ feszültségek komponenseinek nagyságára,
– a szerkezet egyes pontjaiban keletkező elmozdulásokra, illetve az egyes rudak defor-mációjára.
A korábbi fejezetben leírtakhoz hasonlóan jelen esetben is további vizsgálatok tárgyát képezheti a szerkezet stabilitása és dinamikai viselkedése is: sajátfrekvencia meghatározása és a nyomott rudak kihajlásának elemzése, amivel a későbbiekben foglalkozunk.
Az előző fejezetekben foglalkoztunk a rácsos tartók külső és belső statikai határozatlansá-gával. Látni fogjuk, hogy az ott leírtakhoz hasonlóan a térbeli hajlított rúdszerkezetekre vo-natkozó feladatok végeselem-módszeren alapuló megoldása során is lényegtelen, hogy a szer-kezet statikailag határozatlan, ez a megoldás menetét nem befolyásolja.
8.2. A modellezés során alkalmazott végeselemek
A 4. fejezetben tisztáztuk, hogy a rúdszerkezetek modellezésére a végeselem programrendsze-rekben általában kétféle elemtípus áll rendelkezésünkre, a csak húzó-nyomó igénybevételek vizsgálatára alkalmas TRUSS elemek és a nyíró, hajlító, illetve csavaró igénybevételek vizs-gálatára is alkalmas BEAM elemek, amelyek mindkét típusából a kettő-, illetve háromdimen-ziós feladatok megoldásához külön-külön elemtípus tartozik.
A végeselem mind a négy esetben kétdimenziós kiterjedésű, azaz egyetlen vonallal jelle-mezhető.
A TRUSS és a BEAM2D elemek tulajdonságait a korábbi fejezetekben már tárgyaltuk.
8.2.1. A BEAM3D elemek tulajdonságai
A BEAM2D elemek tulajdonságaival a 6 fejezetben már foglalkoztunk.
A térbeli feszültségi állapottal jellemezhető BEAM3D elemek általában a térbeli kezetek, a saját síkjukra merőlegesen terhelt síkbeli rúdszerkezetek és azok a síkbeli rúdszer-kezetek, amelyek esetében a terhelés ugyan saját síkjukban keletkezik, de a keresztmetszet tulajdonságai, aszimetriája vagy antiszimmetriája miatt elmozdulásaik térbeliek.
A BEAM3D elemek két- vagy három csomópontos egytengelyű elemek, mindkét csomó-pontjukban hat-hat –három elmozdulási és három elfordulási– szabadságfokkal. Az elem harmadik csomópontja az elemhez kötött koordináta-rendszer y tengelyének irányát jelöli ki.
Ezen harmadik csomópont megadása helyett elemtulajdonságként definiálható egy orientációs szög is, aminek funkciója megegyezik a harmadik csomópont megadásával. Mi a feladat megoldása során a három csomópontos megadást választjuk, mivel ez közelebb áll a mérnöki gondolkodáshoz és modellalkotáshoz.
Az elemhez kötött koordináta-rendszert a 8.1 ábra mutatja. A koordináta-rendszer x tenge-lye az elsőtől a második csomópont irányába mutat, az y tengely pedig az elem centrális fő-tengelyére merőlegesen, a keresztmetszet első (nagyobb értékű) főmásodrendű-nyomatékának irányába mutat, a z tengely pedig az x-y síkra merőlegesen, ezekkel a tengelyekkel jobbsodrá-sú koordináta-rendszert alkot.
Y
X
y x
1
2
y z
Szelvény magasság
Z
z
3
Szélesség
8.1. ábra. BEAMD3D elemhez kötött koordináta-rendszer
A lineáris statikai vizsgálatokhoz szükség van az egydimenziós elem és a valóságos, három-dimenziós kiterjedésű rúd között kapcsolatot teremtő állandók megadására, ami a BEAM3D elemek esetében általában a 8.2 ábra szerint:
– a keresztmetszeti terület,
– a keresztmetszet y tengelyére számított másodrendű nyomaték, – a keresztmetszet z tengelyére számított másodrendű nyomaték, – a keresztmetszet legnagyobb magassága,
– a keresztmetszet legnagyobb szélessége,
– a kapcsolódó elemek csomópontjainak szabadságfokai (összesen két adat), – a keresztmetszet poláris másodrendű nyomatéka, (lásd még 8.2.2),
– a nyírás okozta deformációt figyelembe vevő állandó az y tengelyre, (lásd még 8.2.2), – a nyírás okozta deformációt figyelembe vevő állandó az z tengelyre, (lásd még 8.2.2), – a keresztmetszet orientációs szöge (csak ha nem az elem harmadik csomópontjával
definiáljuk,
– alaktényező a keresztmetszetben a csavarásból keletkező legnagyobb nyírófeszültség számításához, (lásd még 8.2.2),
– a keresztmetszet súlypontjának és a végeselem csomópontjának x-y-z irányú előjeles távolsága mindkét végponton (összesen hat adat),
– a keresztmetszet súlypontjának és a keresztmetszet nyírási középpontjának y-z irányú előjeles távolsága mindkét végponton (összesen négy adat),
– a keresztmetszet súlypontjának és a feszültségszámítás szempontjából mértékadó pontnak az y-z irányú előjeles távolsága (összesen két adat),
– a keresztmetszet centrifugális másodrendű nyomatéka.
Továbbá, a végeselem programrendszerekben általában lehetőség van a hossz mentén vál-tozó keresztmetszetű (szűkülő-tapered), és hőtechnikai számításokhoz használt elemek tulaj-donságainak megadására is. Ezekkel a tulajdonságokkal e fejezetben nem foglalkozunk.
A programrendszerekben általában megadhatók a mérnöki gyakorlatban gyakran használt keresztmetszetek, mint: –tömör négyszög (pl. laposvas), lyukas négyszög (pl. hidegen hajlított négyszögszelvény), tömör kör (pl. gömbvas), lyukas kör (pl. cső), I, L, T szelvények, trapéz keresztmetszet, stb.– természetes méreteikkel.
A korszerű, parametrikus tervező rendszerek a modellek egyszerűsítésére gyakran kínálják lehetőségként, hogy a modellben kihúzással vagy keretgenerátorral előállított, objektumokat BEAM3D elemekké alakítják, ezzel erőforrásokat takarítva meg a modellezéshez. Ebben az esetben a keresztmetszeti adatok megadására nincs szükség, mivel azokat a program a valódi 3D modell méretei alapján generálja.
8.2. ábra. BEAM3D elemek tulajdonságai
A modellalkotáshoz szükségünk lesz még a rúd anyagának jellemzőire. Ebben az esetben is elegendő megadni az anyag rugalmassági modulusát és a Poison tényezőt, illetve ha a számí-tások során a szerkezet saját súlyát is figyelembe kell venni, mint terhelést, akkor az anyag sűrűségét is.
A BEAM3D elemek a lineáris statikai vizsgálatokon kívül alkalmasak az egyes rudak ki-hajlásának vizsgálatára, valamint végezhetők velük hőtani számítások is hasonlóan a TRUSS, illetve a BEAM2D elemekhez, ehhez azonban további állandók, illetve anyagjellemzők meg-adása szükséges.
A BEAM3D elemek esetében a kapott eredmények is magyarázatra szorulnak. A nyíró-erők és hajlítónyomatékok értelmezéséhez nyújt segítséget a 8.3. ábra.
y
x
1
2
z
Vs1 Ms1
Tr1 Fr1
Vt1
Mt1
Vs2 Ms2
Tr2 Fr2
Vt2
Mt2
8.3. ábra. Erők és nyomatékok a BEAM3D elemeken 8.2.2. A BEAM3D elem speciális tulajdonságai
Nagyságrendi okok miatt a deformációk számításánál a hajlítással párosult nyírás esetében a nyírást általában elhanyagoljuk. A tananyag 6. fejezetének 6.2.2 pontjában bemutattuk, hogy a végeselem modellezés során hogyan lehet ezt figyelembe venni. Szintén abban a fejezetben megadtuk néhány gyakran használt keresztmetszet ezzel összefüggő tulajdonságait.
Foglalkoztunk a nyírási alakváltozást figyelembe vevő tényező egyszerűsített meghatáro-zásával a 8.4 ábrán megadott összefüggéssel. Ezt az elvet ebben a fejezetben is fel fogjuk használni.
A keresztmetszet fs Az általunk használt Shear
factor
Öv
Gerinc
A/Agerinc Agerinc/A8.4. ábra. Az Sf tényező egyszerűsített meghatározása
Mivel a csavarásból származó feszültségek sem egyenletesen oszlanak meg a keresztmetszet-ben, ezért számításainkhoz szükség lesz még a csavarásból származó legnagyobb τ feszültség meghatározásához egy alaktényező (Ctor) megadására.
Kör, illetve vékonyfalú körgyűrű keresztmetszet esetén a legnagyobb τ feszültség a kerület mentén keletkezik, így:
I r T
P max
Nem kör keresztmetszetű rudak csavarásakor a síkok nem maradnak síkok (vetemednek), az egyenes oldalélek is deformálódnak. A rúd deformációja és a keletkező legnagyobb τ fe-szültség nagysága és elhelyezkedése alapvetően a keresztmetszet alakjától függ. A rugalmas-ságtanban megismert egzakt számítási eljárások ezekre az esetekre nem állnak rendelkezésre, így csak közelítő összefüggéseket használhatunk. Ilyen például Constantin Weber közelítő módszere, ahol:
W tor W
max K
C T I
T
ahol: IW: a Weber-féle poláris másodrendű nyomaték, KW: a Weber-féle poláris keresztmetszeti tényező, Ctor: az alaktényező.
Kör keresztmetszet esetén természetesen IW=IP, KW=KP és Ctor=r.
Olyan nyitott keresztmetszeteknél (8.5 ábra) ahol h>>v, alkalmazhatjuk a részekre bontást és így:
3 ) h v (
I i
i 3 i W
,
max W
W v
K I
max
tor v
C
h1
h2
v2v1
h3
v3
8.5. ábra. Nyitott keresztmetszetek részekre bontása
Az η a részekre bontás hibáját korrigáló tényező, értékét néhány keresztmetszetre a 8.6. ábra tartalmazza.
8.6. ábra. Az η tényező értéke néhány keresztmetszetre