Feladatmegoldás végeselem-módszerrel

Vegyük az 5.2 ábrán látható, síkbeli rúdszerkezetet. A szerkezetet két, a tartó síkjába eső, koncentrált erő terheli. Az ábrából is látható, hogy a szerkezet 1 rúdjában nyomó és hajlító, míg a 2 rúdban csak hajlító igénybevétel keletkezik, így a 3. fejezetben bemutatott elemekkel a feladat nem megoldható.

5.2 ábra A vizsgált síkbeli rúdszerkezet

A szerkezetet alkotó mindkét rúd NSz60x40x4 négyszögszelvény. A szelvény keresztmetszeti tulajdonságait szabvány tartalmazza:

A=8,69 cm² I_z=44,8 cm⁴

A szerkezetet terhelő két erő pedig egyenként 200 N.

A feladat megoldásához a Bernoulli elméletnek megfelelő hajlított rúdelemet használjuk fel.

A korábbiakban láttuk, hogy a végeselemes megoldás a F

u

K  , (5.11)

egyenletrendszer megoldását jelenti.

Ehhez először elő kell állítani az elem, majd a teljes szerkezet merevségi mátrixát.

5.2.1. Az elem merevségi mátrixa

Az előző egyenletrendszert egyetlen elemre felírva:



A merevségi mátrix egyes oszlopainak fizikai jelentése szerint az oszlop egyes elemeinek értéke az egységnyi elmozduláshoz, illetve a peremfeltételek biztosításához szükséges erők és nyomatékok értéke. Ennek felhasználásával a rúdelemek esetében a merevségi mátrixot köny-nyen előállíthatjuk úgy, hogy az elmozdulásvektor 1-1 elemét rendre egységnyire választjuk, a többi elemet pedig 0-nak tekintjük. E szerint a merevségi mátrix k₁₁ eleme az u₁=1 elmozdu-láshoz tartozik és az általános eljárás szerint:



Az egyenletrendszer megoldása:

F1x=k11 (5.14)

Ennek az esetnek a fizikai tartalmát az 5.3 ábra mutatja.

5.3 ábra A merevségi mátrix első oszlopának fizikai értelmezése

Az ábra alapján ez a rúd (rúdelem) tiszta nyomásának felel meg, így felhasználva a Hook-törvényt:

L

A peremfeltételek kielégítéséhez természetesen szükséges még, hogy:

x

A merevségi mátrix első oszlopának többi tagja pedig rendre zérus értékű.

Hasonlóan járhatunk el a merevségi mátrix második oszlopával is. Ebben az esetben az egyenletrendszer:



Az egyenletrendszer megoldása pedig:

F1x=k12 (5.20)

Ennek az esetnek a fizikai tartalmát az 5.4 a ábra mutatja. Az ábrán bemutatott elmozdulás egy, a végpontján koncentrált erővel (5.4 b ábra) és egy a végpontján hajlító nyomatékkal (5.4 c ábra) terhelt terhelt konzolos tartó elmozdulásainak szuperpozíciójával állítható elő.

5.4 ábra A merevségi mátrix második oszlopának fizikai értelmezése

Ezeket az eseteket jól ismerjük a szilárdságtanból, így a hajlított tartók rugalmas szál diffe-renciál egyenletének megoldása során kapott járulékképletek segítségével felírhatjuk:

IE L M IE

L

v F^y

2 1 3

2 1 3 1 2 1

1      (5.21)

valamint a szögelfordulásra:

IE L M IE

L F_1y ² ₁

2

1 2

0   



   (5.22)

A kétismeretlenes egyenletrendszer megoldása:

3 22 1

12 k

L

F_y  IE  (5.23)

2 32 1

6 k

L

M  IE  (5.24)

Továbbá az egyensúly feltételeit biztosítva:

52 1 2

2

0 F1 F F F k

F_y   _y _y  _y  _y 

 , (5.25)

és a nyomatékok a 2 pontra felírva:

2 62 3 2

2 2 y

1 1

2 K

L IE M 6

L L IE 12 L

IE M 6

L F M M 0

M         

 (5.26)

A merevségi mátrix második oszlopának első és negyedik eleme pedig 0.

A merevségi mátrix harmadik oszlopának elemeit ehhez hasonlóan határozzuk meg, úgy, hogy az elmozdulásvektor ₁ tagját egynek, a többit pedig 0-nak választva:



Az egyenletrendszer megoldása pedig:

F_1x=k₁₃ (5.28)

Ennek az esetnek a fizikai tartalmát az 5.5 ábra mutatja.

5.5 ábra A merevségi mátrix harmadik oszlopának fizikai értelmezése

Az ábrán bemutatott elmozdulásokat most is két elmozdulás szuperpozíciójával állítjuk elő, így:

valamint a szögelfordulásra:

IE

A kétismeretlenes egyenletrendszer megoldása:

2 23 1

6 k

L

F_y  IE  (5.31)

33 1

4 k

L

M  IE  (5.32)

Továbbá az egyensúly feltételeit biztosítva:

53

és a nyomatékok a 2 pontra felírva:

63

A merevségi mátrix harmadik oszlopának első és negyedik eleme pedig 0.

A merevségi mátrix 4-6 oszlopának tagjait teljesen hasonlóan határozhatjuk meg, így vé-gül az elem teljes merevségi mátrixa:



Meg kell jegyezni, hogy az elem merevségi mátrixának előállítását általában a



bemutatott megoldás bonyolultabb elemek esetén nehézkesen lenne kivitelezhető, itt is csak a merevségi mátrix fogalmának megértését szolgálja.

Az elem merevségi tulajdonságait csak a hozzá kötött, lokális koordináta-rendszerben ha-tároztuk meg. A globális koordináta-rendszerben az egyes elemek elhelyezkedésétől függően ezek a merevségi értékek megváltoznak. Az elemek globális koordináta-rendszerben értelme-zett tulajdonságainak előállításához a 3. fejezetben (3.35 összefüggés) bemutatott

transzfor-mációs mátrixot használjuk, azzal a megjegyzéssel, hogy azt kiegészítjük, így az elem szabad-ságfokainak megfelelően a következő 6x6-os mátrixit kapjuk.















































1 0 0

0 0 0

0 cos sin

0 0 0

0 sin cos

0 0 0

0 0 0

1 0 0

0 0 0

0 cos sin

0 0 0

0 sin cos

T (5.37)

A transzformációs mátrix elemei az elem csomóponti koordinátáinak ismeretében köny-nyen számíthatók:

i i i

i L

x x_{2 1}

cos 

  (5.38)

i i i

i L

y

y_{2 1}

sin   (5.39)

  

2 1



²

2 1

2 i i i

i

i x x y y

L     (5.40)

Ezzel az 1. elem merevségi mátrixa a globális koordináta rendszerben:

5.2.2. A szerkezet teljes merevségi mátrixa

A szerkezet teljes merevségi mátrixának mérete megegyezik a teljes szerkezet szabadságfo-kának számával. Így most a teljes rendszer merevségét egy 9x9-es mátrix írja le, mivel a rend-szert két elem alkotja, 3 csomóponttal, egyenként 3 szabadságfokkal. A teljes merevségi mát-rix létrehozásakor az elemek közös csomópontjaihoz tartozó elemi merevségek összeadódnak, így:



5.2.3. A teljes egyenletrendszer és megoldása



Az egyenletrendszer megoldása során a megfogás 0 elmozdulási helyeit kihagyhatjuk, azaz a merevségi mátrix e helyekhez tartozó sorait és oszlopait törölhetjük. Esetünkben ez az első három sor és oszlop. Így kapjuk az un. kondenzált merevségi mátrixot és ezzel a megol-dandó egyenletrendszer:



Az adatokat behelyettesítve, az egyenletrendszert megoldva kapjuk az elmozdulásvektort:

rad m m rad

m m

01701 , 0

03827 , 0

01227 , 0

01276 , 0

00709 , 0

01227 , 0

v u v u

U

3 3 3 2 2 2





























































  (5.45)

Az eredmények ismeretében a reakcióerők számíthatók a teljes rendszer egyenletrend-szerének a reakcióerőkhöz tartozó egyenleteiből, ami jelen esetben az első három sor:

N 0 k

v k u k

F_Rx  ¹₁₄ ₂ ¹₁₅ ₂ ¹₁₆₂  (5.46)

N 400 k

v k u k

F_Ry  ¹₂₄ ₂ ¹₂₅ ₂ ¹₂₆₂ 

Nm 800 k

v k u k

M_R  ¹₃₄ ₂ ¹₃₅ ₂ ¹₃₆₂  5.3. Megjegyzések

A végeselem alapú programrendszerek nem csak a Bernoulli elméletnek megfelelő rudakat, hanem hajlított tartók nyírásból származó alakváltozásait is képesek kezelni. A szilárdságtan-ban tanultaknak megfelelően ilyen esetben meg kell határozni a rúd keresztmetszetének nyírá-si alaktényezőjét. Meg kell jegyezni azt is, hogy ez az alaktényező csak lineáris statikai vizs-gálatok esetén használható megbízhatóan, ugyanis egyes kutatások bizonyították, hogy nemli-neáris hatások esetén e tényező módosításra szorul.

6. SÍKBELI HAJLÍTOTT RUDAK VIZSGÁLATA VÉGESELEM

In document Végeselem-módszer (Pldal 79-88)