Kontinuummechanikai alapfogalmak

Modell: a vizsgált jelenséghez hasonlóan viselkedő, annak egyszerűsített mása.

Szilárdságtani problémák megoldásához szükségünk van:

– geometriai, – anyag-,

– kapcsolati (terhelés, kényszer) modellekre.

A geometriai modellek dimenzió szerint lehetnek:

– 0 dimenziós: pontszerű test, ha elhanyagoljuk az összes geometriai méretét,

– 1 dimenziós: ha egyik mérete a másik két kiterjedéséhez képest elhanyagolható. A klasszikus rudak, tartók, rácsos szerkezetek, és a végeselem-módszerben használt vonalelemek.

– 2 dimenziós: egy mérete elhanyagolható a másik két méretéhez képest. Lemezek, héjak.

– 3 dimenziós: testmodell, egyik méretét sem hanyagoljuk el. Azonban ez legtöbbször nem jelenti a teljes geometriát, mert a mechanikai szempontból elhanyagolható, de a számítási igény növelő részeit fölösleges a modellben megjeleníteni.

Kontinuum (test) modell: folytonos (folytonosan deriválható) függvényekkel leírható, tetszőleges számú (végtelen) részre felosztható modell. A kontinuum testek pontjait adott koordinátarendszerben

k z j y i x

r    (2.1)

vektorral írjuk le.

dx y

z

dy dz

x

kontinuum test elemi térfogat

r j i

k

2.1. ábra: Kontinuum test és elemi hasáb

Elemi test: egy kontinuum test elemi (tetszőlegesen kis méretű) része, modelltől függően elemi tömeg vagy elemi térfogat.

Merev test: olyan test, amely bármely két pontjának távolsága állandó. Függetlenül a terhelés nagyságától.

Rugalmas test: alakváltozásra képes test. Terhelés hatására pontjainak távolsága változik.

Lineárisan rugalmas anyagmodell: a terhelés és alakváltozás közt lineáris függvény-kapcsolat van.

Nemlineárisan rugalmas anyagmodell: a terhelés és alakváltozás közt nemlineáris függ-vénykapcsolat van.

Képlékeny anyagmodell: az anyag a terhelés megszűnése után nem nyeri vissza eredeti alakját. Számos képlékeny anyagmodell létezik a lineáris és nemlineáris ill. rugalmas és kép-lékeny tulajdonságok dominanciájától függően.













lineárisan rugalmas nemlineárisan rugalmas képlékeny

2.2. ábra: Anyagmodellek

Izotróp anyag: az anyag viselkedése iránytól független, bármelyik irányban azonos tulaj-donságokat mutat.

Elmozdulásvektor: a test egy pontjának elmozdulásvektora a test adott pontjának terhe-lés előtti P és utáni P' helyzetének (helyvektorának) különbsége.

k w j v i u

u_P  _P  _P  _P (2.2)

Elmozdulásmező: a test összes pontjának elmozdulásvektora a (2.1) helyvektor függ-vényében.

k r w j r v i r u r

u( ) ( )  ( )  ( ) (2.3)

Kis elmozdulás: a test pontjainak elmozdulása elhanyagolhatóan kicsi a test geometriai méreteihez képest.

Kinematikai peremfeltételek: a test ismert (vagy előírt) elmozdulásai.

Dinamikai peremfeltételek: a test ismert (vagy előírt) terhelései.

Alakváltozás: a test egyes pontjainak egymáshoz képest történő fajlagos (egységnyi hosszra vonatkozó) elmozdulása.

– fajlagos nyúlás:  a vektor hosszának megváltozása,

– szögtorzulás:  az egymásra merőleges tengelyek szögváltozása (2.4.b. ábra), a szög-torzulás szimmetrikus.

– A merevtest-szerű mozgást (2.4.a. ábra) nem vesszük figyelembe.

y

z x

rP

P

P’

uP

terhelés előtt

terhelés után r_P’

2.3. ábra: Elmozdulásvektor

Alakváltozási vektor: adott irányú egységvektor eltolódását leíró vektor. i,j,k egységvektorokkal (triéder) értelmezve:

k j

i

a_x _x _xy _xz 2 1 2

1 



 , (2.4)

k j

i

a_y _yx _y _yz 2 1 2

1  

 , (2.5)

k j i

a_z  _zx  _zy _z 2

1 2

1 , (2.6)

ahol

zx xz zy yz yx

xy     

  ,  ,  .

A vektorok koordinátáinak tulajdonságai:

– fajlagos nyúlások: _x,_y,_z mértékegység nélküli jellemzők,

0

 , a hossz növekszik,

0

 , a hossz csökken.

– szögtorzulások: _xy,_yz,_xz mértékegységük radián

0

 , a szög csökken,

0

 , a szög növekszik.

P

x y

x

P’ P’

y

1 

y

yx

_xy = _xy +_yx

a) b)

2.4. ábra: Merevtest-szerű mozgás és alakváltozás x-y síkban

Alakváltozási állapot: adott pontban az összes irányhoz tartozó alakváltozási vektorok összessége. Leírása lehetséges: egységkocka triéderének alakváltozási vektoraival, alak-változási tenzorral, Mohr-körön.

Tenzor: lineáris, homogén vektor-vektor függvény. Leírása diadikus formában vagy adott koordinátarendszerben definiált mátrixszal.

Alakváltozási tenzor: rugalmas test adott pontjának alakváltozási állapotát írja le úgy, hogy tetszőleges irányhoz hozzárendeli az adott irány alakváltozási vektorát. Adott koordinátarendszerben leírt vektorhármassal definiálható diadikus vagy mátrixos formában.

– Diadikus formában:

k a j a i

a_x  _y   _z 

  . (2.7)

– Mátrixos formában:























z yz xz

zy y

xy

zx yx

x





















2 1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

1

, (2.8)

amely oszlopaiban x, y, z irányhoz tartozó alakváltozási vektorok koordinátái szerepelnek.

n egységvektorral definiált irányhoz tartozó a_n alakváltozási vektor:

n

a_n  . (2.9)

y

z

x

x

i j

k

y

z

xy

2 1

xz

2 1

yx

2 1

yz

2 1

zx

2 1

zy

2 1

2.5. ábra: Alakváltozási állapot alakváltozási vektorkoordinátákkal

Alakváltozási tenzormező: a test összes pontjának alakváltozási tenzora a helyvektor függvényében.

 

     

     

     

_^





















r r

r

r r

r

r r

r r

z yz

xz

zy y

xy

zx yx

x





















2 1 2

1

2 1 2

1

2 1 2

1

(2.10)

Feszültség: a test belső felületén megoszló erőrendszer sűrűségvektora (intezitása).

Mértékegysége: Pa

m

N 1

1 ₂  .

Feszültségvektor: a feszültséget feszültségvektorral adjuk meg. Adott pontban, n irányhoz, dA felületelemhez rendelt

n feszültségvektor:

dA F d

n 

 . (2.11)

– Adott felületen a feszültségvektor felületre merőleges koordinátáját normál feszültségnek nevezzük, jele:  .

0

 , húzás esetén,

0

 , nyomás esetén.

– A feszültségvektor felülettel párhuzamos koordinátáit csúsztató feszültségeknek nevezzük, jele:  .

k j

i, , vektorokkal definiált felületeken a feszültségvektorok:

k j

i _{xy xz}

x x  

    , (2.12)

k j

i _{y yz}

y yx  

    , (2.13)

k j i _{zy z}

z zx  

    , (2.14)

ahol _xy _yx,_yz _zy,_xz _zx.

Feszültségállapot: adott pontban az összes irányhoz tartozó feszültségvektorok összes-sége. Leírása lehetséges: elemi hasábon feszültségvektorok koordinátáival, feszültségi ten-zorral, Mohr-körön.

Feszültségi tenzor: rugalmas test adott pontjának feszültségállapotát írja le úgy, hogy tetszőleges irányhoz hozzárendeli az adott irány feszültségi vektorát. Adott koordináta-rendszerben leírt vektorhármassal definiálható diadikus vagy mátrixos formában.

– Diadikus formában:

k j

i y z

x     



    . (2.15)

– Mátrixos formában:



















z yz xz

zy y xy

zx yx x



















 . (2.16)

n egységvektorral definiált irányhoz tartozó

n feszültségvektor:

n  n

 . (2.17)

Feszültségi tenzormező: a test összes pontjának feszültségtenzora a helyvektor függvényében.

       

     

     

^

















r r

r

r r

r

r r

r r

z yz

xz

zy y

xy

zx yx

x



















 (2.18)

y

z

x

_x

xz

_xy

yx

zy

_yz

zx

_y

_z

2.6. ábra: Feszültségállapot elemi hasábon

A feszültségi és alakváltozási tenzor elemeinek indexelésére a bemutatotthoz képest fordított sorrend is használatos.

Erő munkája: egy erő dr elmozdulása során Fdr elemi munkát végez (a 2.7 ábrán látható a skalár szorzat geometriai értelmezése, az erőt az erő irányú elmozdulás kompo-nenssel szorozzuk). Véges elmozdulás során a végzett munka az elemi munkák összege:

r d r F W

r

r



 ²

1

)

( (2.19)

Belső energia: (alakváltozási energia) a belső erők munkája

 

^dV

U

V

xz xz yz yz xy xy z z y y x



x ^{    }

            

2

1 (lineáris eset) (2.20)

Előállítható a feszültség és alakváltozási tenzor kettős skalár szorzataként:

dV U

V



^

  

2

1 (2.21)

Hamilton-féle operátor: (nabla operátorvektor) olyan vektor, amelynek minden koordi-nátája az adott koordináta szerinti parciális deriválási utasítás. Derékszögű descartes-i koor-dinátarendszerben:

zk y j

xi 

 



 



 

 . (2.22)

Henger (polár) koordinátarendszerben:

r1

x y

z

r

r2

r+dr F

F

dr dr^F

dW= d =Frcos =FdrF r  F

2.7. ábra: Erő munkája

z

R e

e z e R

R 

 



 



 

 _



1 . (2.23)

2.2. Rugalmasságtan differenciálegyenlet-rendszere és peremérték problémája 2.2.1. Egyensúlyi egyenletek

Az egyensúlyi egyenletek a testre ható q(r) térfogati terhelésmező és a 

 

r feszültségi tenzormező közti kapcsolatot írják le.

Ha egy test belsejében kiválasztott elemi test nyugalomban van, akkor külső (2.8.a ábra) és belső (2.8.b ábra) terhelései egyensúlyban vannak. Az x irányú terheléseket megvizsgálva (2.9.a ábra) láthatjuk, hogy ha nincs külső terhelés, akkor a belső erők (feszültségek) a test megfelelő oldalain egyforma nagyságúak és ellentétes értelműek. A változást a testre ható külső térfogati terhelés okozza. A feszültség felületen megoszló belső erő, ezért át kell számítani az elemi térfogatra. A _x a dydz felületen ébred, térfogati terhelés akkor lesz, ha dx élhosszal elosztjuk. Ehhez hasonlóan a _zx feszültséget dz, a _yx feszültséget dy él-hosszal kell osztani. Ekkor az elemi testre ható összes x irányú térfogati erő egyensúlyban van:

0



 

 

 

 

 



x yx yx zx yx

zx zx

x x

x q

dy dy

dz dz

dx dx





 









 . (2.24)

y

z

dV

x r j i

k

q(r)

a)

y

z

x

_x

_xz

_xy

_yx

_zy

_yz

_zx

_y

_z

b) 2.8. ábra: Elemi test terhelései

A feszültségek változásai az adott irányú parciális deriválttal írhatóak le: dx x

x

x 

 

  ,

z dz

zx

zx 

 

  , dy

y

yx

yx 

 

 

 , amelyeket (2.24)-be helyettesítve kapjuk:

0

 











x yx zx

x q

z y

x

 

 . (2.25)

Ennek analógiájára a másik két irányban:

0

 











y zy y

xy q

z y x





 , (2.26)

0

 











z yz z

xz q

z y x

 

 . (2.27)

A (2.25)-(2.27) egyenletek a descartes-i derékszögű koordinátarendszerben felírt egyensúlyi egyenletek.

Az egyensúlyi egyenletek általános megfogalmazásához vegyünk egy testen belüli V térfogatrészt a 2.10. ábrának megfelelően.

a) b)

y

z

x

x

_yx

zx

zx

_yx

_x

y

z

x

 _x+ _x

 _yx+ _yx

 _zx+ _zx

zx

_yx

_x

q_x

dx dz

dy

2.9. ábra: Elemi test x irányú terhelései

A dV térfogatú elemi testre ható térfogati terhelésből származó elemi erő:

dV q F

d  .

A dA elemi felületen a

n feszültségvektorból számított elemi erő:

dA n dA F

d  n  .

A V belső test egyensúlyban van, tehát a rá ható felületi és térfogati terhelésekből származó erők összege zérus:





^{ }





A V

dA n dV

q

F 0  . (2.28)

A Gauss-Osztrogradszkij-féle integrálátalakítási tétel szerint:

dV dA

n

V

A





^{    .}

Ezt helyettesítve (2.28)-ba:

dV dV

q

V

V





^{ }

 

0 ,

a tagonkénti integrált összeg integráljává alakítva:

dV

y

z

dA

x

belső térfogatrész

r

V A

y

z x

r

q r( ) n

n

a) b)

2.10. ábra: Testen belüli V térfogatrész felületi és térfogati terhelései



^q



^dV

V



^{ }

 

0 (2.29)

Mivel a V térfogat tetszőleges lehet, ezért (2.29) csak az integrandusz zérus értéke mellett igaz, amely összefüggés a rugalmasságtan egyensúlyi egyenlete.

0





 q

 . (2.30)

2.2.2. Geometriai egyenletek

A geometriai (kinematikai) egyenletek az u(r) elmozdulási vektormező és az 

 

r alak-változási tenzormező kapcsolatát írják le. Descartes-i derékszögű koordinátarendszerben,

y

x síkban egy elemi kocka deformációját látjuk a 2.11. ábrán.

Tekintsünk el a merevtest-szerű mozgástól, és csak a P és Q pontok egymáshoz képesti elmozdulását vizsgáljuk. Egymásra vetítve a P és a P' pontokat, a PQ szakasz hosszának változása a QQ' vektor, amelyet duduidv jdwk elemi elmozdulásvektorral jelölünk. Síkban ennek két koordinátája du és dv. Mindkét koordináta két részre bontható

y

x du

du

du  , dvdv_y dv_x.

dux: a dx él nyúlásából (x függvénye),

duy: a dy él torzulásából (y függvénye), ezért

P x

y

xy = xy +yx

dx du dv

dy yx

xy

 ^ _xy

dux duy

duy

dvx

dvy

dvx

Q’

P’

Q du

2.11. ábra: Alakváltozások geometriai interpretációja

0

Felhasználva az elmozdulásvektorra felírt parciális deriváltakat:

x

Ez mindhárom síkban elvégezhető, aminek eredményeként megkapjuk descartes-i derékszögű koordinátarendszerben a geometriai egyenleteket:

x

A geometriai egyenleteket általános formában is meg tudjuk fogalmazni. Ehhez vizsgáljuk meg egy szilárd test két – egymástól kezdetben dr dxidyjdzk elemi távolságra lévő – pontjának helyzetét terheletlen és terhelt állapotban. Az alakváltozás definíciója szerint ezen két pont egymáshoz képesti helyzetének megváltozását kell leírnunk.

A P és Q pontok relatív elmozdulása a két pont elmozdulásának különbsége:

P P

Q u u u

u

u    

 .

Ebből Q elmozdulása:

u u

u _P  . (2.33)

A P pont környezetében az ^u



^x,y,z



elmozdulásfüggvényt közelítsük P-re írt Taylor-sor segítségével:

y

z x

rP

P

uP P’

terheletlen állapot

terhelt állapot rP’

Q

Q’

uQ

dr

d ’r

2.12. ábra: Elmozdulás és alakváltozás

P P’

uP

Q

Q’

uQ= u

dr

d ’r uP

u

dr

2.13. ábra: Elmozdulás és alakváltozási vektorok

 

^{dx u du} differenciája és differenciáltja közelítőleg megegyezik. Kis elmozdulások esetén a magasabb rendű tagokat elhanyagolva:

z dz elemi megváltozása:

    ^{ }

^{k dr}

Felhasználva a Hamilton-féle operátort:



^u



^dr

u

d    . (2.35)

Ahol T 



u



az elmozdulásmező derivált tenzora, amely felbontható szimmetrikus és antimetrikus (ferdeszimmetrikus) tenzor összegére.



^{T T}

 

^{T T}

 ^

^{u u}

^{ }

^{u u}

^

^{ T}_

A szimmetrikus rész az elemi test alakváltozását írja le, az antimetrikus rész pedig az ele-mi test szögelfordulását. Az alakváltozási tenzor elmozdulásmezőből történő származtatását leíró egyenletet



uu



 2

 1 (2.36)

geometriai egyenletnek nevezzük.

A tenzoregyenletnek megfelelő skaláris egyenletek a descartes-i derékszögű koordináta-rendszerben, a már korábban felírt (2.31) és (2.32) egyenletek.

A geometriai egyenletek egy másik alakja a Saint-Venant-féle kompatibilitási egyenlet:

0







  . A kompatibilitás vonatkozik a szomszédos elemi részekre is, mert az anyag folytonossága mellett a szomszédos elmozdulásoknak meg kell egyezniük.

2.2.3. Anyagegyenletek

Az anyagegyenletek a feszültségi és alakváltozási állapot közti kapcsolatot írják le. A 2.2.

ábrán látható lineárisan rugalmas anyagra a Hooke-törvény érvényes. Egytengelyű feszültség-állapot esetén az egyszerű Hooke-törvény  E, ahol E (Young-modulus, rugalmassági modulus) az arányossági tényező a fajlagos nyúlás és a feszültség között. Tiszta húzás esetében, ahol csak egy irányban van feszültség, a nyúlás nemcsak egy irányban történik 2.14.

ábra. A húzás irányában az anyag megnyúlik, rá merőlegesen hossza csökken. A köztük lévő arányosságot a dimenzió nélküli Poisson-tényezővel írjuk le: _y _z _x.

Többtengelyű feszültségállapot esetében a különböző feszültségek és nyúlások közti összefüggést egy tenzoregyenlettel, az általános Hooke-törvénnyel írjuk le. Két alakja izotróp, lineárisan rugalmas anyagokra:



 





 

 G ₁E

2

2 1 



 

 , (2.37)



 





 

 E

G 1 ¹

2

1 



 

 . (2.38)

Ahol, G: csúsztató rugalmassági modulus, amelyre igaz: E2G



1



, E: egységmátrix,

1 1,

 : a megfelelő tenzorok első skalár invariánsa, (a főátló összege).

A (2.37) anyagegyenletnek megfelelő skalár egyenletek:

 





 



  

 

 _{x x y z}

x G   



 

 2 1 2 ,

x y

1 1

2.14. ábra: Nyúlások, Poisson-tényező

 





 



  

 

 _{y x y z}

y G   



 

 2 1 2 ,

 





 



  

 

 _{z x y z}

z G   



 

 2 1 2 ,

xy

xy G

  , _yz G_yz, _xz G_xz.

2.2.4. Peremfeltételek

Rugalmasságtani probléma esetében kétféle peremfeltételt kell definiálnunk:

Kinematikai peremfeltételek: az előírt u₀ elmozdulások (kényszerek) az A_u felületen. A megoldásra fennáll: uu₀.

Dinamikai peremfeltételek: az előírt

p0 terhelések az A_p felületen (a terheletlen felületek is ide tartoznak, mert azoknak ismert zérus terhelése van). A megoldásra fennáll:

p0

p , azaz

p0

n

 .

Egyéb peremfeltételek is előfordulnak, de a leggyakrabban a fent említett két típus fordul elő.

2.2.5. Peremérték probléma

A rugalmasságtan peremérték problémája a rugalmasságtan differenciálegyenleteiből és a peremfeltételekből áll:

p0

u0

Ap

Au

x y

z

2.15. ábra: Peremfeltételek

– q0, egyensúlyi egyenletek, – 



^u^u



2

 1 , geometriai egyenletek,

– 



 





 

 G ₁E

2

2 1 



 

 , anyagegyenletek,

– u u₀

Au  , kinematikai peremfeltételek,

– n p0

Ap 

 , dinamikai peremfeltételek.

Az így definiált peremérték problémának bizonyíthatóan létezik megoldása (egzisztencia) és csak egy megoldása létezik (unicitás).

Bibliográfia

[1] Csizmadia Béla, Nándori Ernő, Mechanika mérnököknek, Szilárdságtan, Tankönyv-kiadó, Budapest, 1999.

[2] Égert János, Keppler István, A végeselemmódszer mechanikai alapjai, Universitas-Győr Kft., Universitas-Győr, 2007.

3. A RUGALMASSÁGTAN ENERGIAELVEI, VARIÁCIÓS ELVEI,

In document Végeselem-módszer (Pldal 25-43)