Szelvény alakja
SAJÁTFREKVENCIA MEGHATÁROZÁSA VÉGESELEM- VÉGESELEM-MÓDSZEREN ALAPULÓ PROGRAMRENDSZEREK
10.4. A feladat végeselemes megoldása
2 m1 m
1
, (10.1)
ahol: α – a körfrekvencia
η – a tengely elhajlása a tárcsa helyén felvett egységnyi radiális teher hatására (e rugóállandó meghatározására a lengéstan tankönyvekben található bővebb magyarázat).
A modellt jellemző járulékképletek alapján:
IE a 18 m 8 IE a 18 m 8 α
1 3
2 3
2 1 (10.2)
Ennek alapján a tengely saját körfrekvenciája:
α=276,76 1/s, ami n=2642,86 ford/min fordulatszámnak felel meg.
A csavaró lengésekre a többszabadságfokú lengő rendszereket leíró karakterisztikus egyenlet alapján:
0 2 1
2 1
0 c
(10.3)
ahol: Θ – a tárcsák tehetetlenségi nyomatéka az Y tengelyre c0 – a csavaró-rúgóállandó:
G I c a
p
0 (10.4)
ahol: Ip – a keresztmetszet poláris másodrendű nyomatéka G - az anyag csúsztató rugalmassági modulusa.
Ennek alapján a tengely csavaró lengésének saját körfrekvenciája:
α0=1503,87 1/s ami n=14360,9 ford/min fordulatszámnak felel meg.
10.4. A feladat végeselemes megoldása
A 10.1 ábrán vázolt szerkezet geometriai modellje nagyon egyszerű, a tengelyt egyetlen vonal jellemzi, amit a végeselem háló létrehozása céljából célszerű három külön szakaszként szer-keszteni. Ezzel biztosítható, hogy a MASS (tehetetlenségi) elemeket a szakaszok végén, geo-metriai pontokon hozhatjuk létre. A szakaszok rajzolására mutat példát a 10.2 ábra.
10.2. ábra Szakaszok létrehozása a geometriai szerkesztőben
A geometriai modell létrehozása után következhet a tengelyt leíró végeselem-háló tulajdonsá-gainak megadása. Elsőként kiválasztjuk a feladat megoldásához szüksége elemtípust (10.3 ábra), mely esetünkben a BEAM3D elem.
10.3. ábra. Az elemtípus kiválasztása
Következő lépésben meg kell adni a szükséges anyagtulajdonságokat, a rugalmassági modu-lust, és a csúsztató rugalmassági modulust (10.4 ábra).
10.4. ábra. Az anyagtulajdonságok megadása
Végül meg kell adni azokat a fizikai tulajdonságokat, melyek az egydimenziós geometriai modell és a háromdimenziós valós kiterjedés között teremtenek kapcsolatot. Az előző fejezet-ben már említettük, hogy a végeselemes modellezők a műszaki gyakorlatban leggyakrabban használt keresztmetszetek (ilyen a feladatban a tömör tengely kör keresztmetszete) tulajdon-ságainak megadására egyszerűsített eljárásokat kínálnak. Erre mutat példát a 10.5 ábra, ahol a
"2" jelű keresztmetszet jelöli az alkalmazni kívánt kör keresztmetszetet.
10.5. ábra. A tengely keresztmetszeti jellemzőinek megadása
Ha tengely végeselem hálójának összes tulajdonságát megadtuk, akkor az elkészült geometria felhasználásával következhet a végeselem háló létrehozása a 10.6 ábra alapján. Az egyes ten-gelyszakaszokon 10-10 elemet hozunk létre egyenletes osztásban (Spacing ratio = 1). A BEAM3D elem jelen esetben kétcsomópontos, mivel a tengely körszimmetrikus, így a har-madik csomópontot definiáló geometriai pont megadására nincs szükség.
10.6. ábra. A tengely végeselem hálójának létrehozása
Szükséges még a két tárcsa tulajdonságainak megadása. Ebből a célból létre kell hozni egy új elemtípust, a már előzőekben leírt MASS (tehetetlenségi) elemet (10.7 ábra).
10.7. ábra. A MASS elemtípus létrehozása
Ehhez az elemtípushoz értelemszerűen nem tartozik anyagtulajdonság, így elegendő a pont-szerű, nulla dimenziós elemnek a tárcsa valóságos háromdimenziós kiterjedését leíró tulaj-donságok meghatározása. Ezen tulajtulaj-donságokat az első tárcsára vonatkozóan a 10.8. ábra mu-tatja. A tárcsa X és Z tengelyre számított tehetetlenségi nyomatéka a feladat megoldása szem-pontjából figyelmen kívül hagyható, így ezek értéke 0.
10.8. ábra. Az 1. tárcsa fizikai tulajdonságainak megadása
A tárcsa a végeselem hálóban egyetlen ponthoz kötött elemként és a hozzá tartozó egyetlen csomópontként jelenik meg. Ennek a létrehozására mutat példát a 10.9 ábra.
10.9. ábra. Az 1. tárcsa mint végeselem létrehozása
A második tárcsa a végeselem típusában megegyezik az előzővel, így új elemtípust nem kell definiálnunk, csak a tárcsa fizikai tulajdonságait kell megadnunk (10.10 ábra).
10.10. ábra. Az 2. tárcsa fizikai tulajdonságainak megadása
A 2. tárcsa, mint végeselem létrehozása az előzőhöz hasonlóan történik, csak a geometriai modell másik pontján.
Az eddig elkészült végeselem háló öt (a három tengely szakasz és a két tömegpont), egy-mástól független végeselem modellt takar. Ahhoz, hogy ezt egyetlen modellé egyesítsük, a háló csomópontjait össze kell kapcsolnunk. Ezt a korábbi fejezetekben már ismertettet módon tehetjük meg (10.11 ábra).
10.11. ábra. A végeselem hálók egyesítése
A végeselem programrendszer által a háttérben felépített matematikai modell megoldhatósága érdekében most is szükség van a peremfeltételek meghatározására, azaz a 10.1 ábrán jelölt csapágyak modellezésére. Ezt a korábbi példákhoz hasonlóan a tengely két végén létrehozott, mindhárom elmozdulási kényszer rögzítésével adhatjuk meg. Ennek létrehozására mutat pél-dát a 10.12 ábra.
10.12. ábra. A tengely csapágyazásának megadása mint elmozdulási kényszer Ezzel létrehoztuk a teljes végeselem modellt (10.13 ábra).
10.13. ábra. A kész végeselem modell a csomópontok számozásával
A végeselem modell megoldása előtt lehetőség van a megoldás menetének szabályozására, például a számítandó sajátfrekvenciák számának megadására (10.14 ábra). Célszerű több harmonikus kiszámítását célul kitűzni, hiszen a modell alapján a kétirányú hajlító és a csavaró lengések eredményei külön-külön értékeket eredményezhetnek. A feladatban az első 10 har-monikus meghatározását tűzzük ki célul.
10.14. ábra. A sajátfrekvencia elemzés beállításai A paraméterek beállítása után következhet a modell megoldása (10.15 ábra)
10.15. ábra. A számítás futtatása
A sikeres futtatás után megjeleníthetjük az eredményeket. Elsőként a kiszámított első nyolc harmonikus körfrekvenciáját táblázatos formában a 10.16 ábra mutatja.
10.16. ábra. A kiszámított sajátlengések körfrekvenciája
A listában megfigyelhetjük, hogy az első önlengésszám körfrekvenciája 10-5 1/s nagyságren-dű, ami a műszaki gyakorlatban elhanyagolhatóan kicsi. Ez megfelel a lengéstanban tanult megállapításnak, miszerint a több-szabadságfokú lengő rendszerek első sajátfrekvenciája nul-la. Megfigyelhetjük, hogy a 2-3. és 4-5. sajátfrekvenciák megegyeznek. Később látni fogjuk, hogy ez a két sajátlengés a körszimmetrikus kialakítás miatt az X és Z tengely irányában jön létre. A 6. sajátfrekvenciának nincs az előzőhöz hasonló párja. Ez lesz a két tárcsa közötti tengelyszakasz csavarólengésének körfrekvenciája.
A végeselem programok a lengésképeket grafikusan is meg tudják jeleníteni. A megjelení-tések, mint a tengely deformált alakja értelmezettek (10.17 ábra).
10.17. ábra. A lengésképek megjelenítése mint deformált alak
A deformált alak megjelenítéséhez a végeselem programok egy nagyítási tényezőt ajánlanak, hogy a változások érzékelhetőek legyenek, de ne legyenek zavaróan eltúlzottak. Érdemes azonban ezt a nagyítási tényezőt néha felülírni és a vizsgált lengésképeken azonos értéket használni. Ezt tesszük a 10.18 ábrán, ahol a 2., 4., és 6. önlengéshez tartozó lengésképeket egységesen 0,5-es nagyítási tényezővel jelenítjük meg.
10.18. ábra. A 2. 4. és 6. sajátlengéshez tartozó lengésképek
Az ábrán megfigyelhetjük, hogy a tengely első harmonikus hajlítólengéséhez a lengéstanban tanultaknak megfelelően egy csomópont tartozik. Megfigyelhetjük, hogy ennél a lengésképnél
kisebb a tengely deformációja, mint a hajlító önlengésnél, azaz szilárdsági szempontból ke-vésbé veszélyes. Ez megfelel a lengéstanban, illetve a gépelemek tárgyban tanultaknak. Meg-figyelhető továbbá, hogy a 6. sajátfrekvenciához tartozó lengésképen ilyen nagyítás mellett nincs "elmozdulása" a tengelynek. Pontosítva, csak a megjelenítésen látható elmozdulása nin-csen, mivel az Y tengely körüli elcsavarodás ebben az ábrázolásban nem látszik.
További számszerű eredményekhez juthatunk, ha az egyes lengésképekhez tartozó elmoz-dulásokat is megvizsgáljuk. A 10.19 ábrán a 2. és 3. lengésképhez tartozó elmozdulások látha-tók.
10.19. ábra. A 2. és 3. sajátlengéshez tartozó értékek
A táblázatokban megfigyelhető, hogy az X Y Z tengely irányú elmozdulások közül csak egy tartalmaz értelmezhető értéket, a többi elmozdulás ~10-20 nagyságrendű. Ezek a végeselem modell megoldása során keletkező számítási hibák. Ugyanez igaz a tengelyek körüli elfordu-lásokra is azzal a kiegészítéssel, hogy értelemszerűen csak az elmozdulás síkjára merőleges tengely körül jönnek létre valódi elfordulások.
Nézzük meg a 6. sajátlengés lengésképéhez tartozó elmozdulásokat is (10.20 ábra).
10.20. ábra. A 6. sajátlengéshez tartozó értékek
A táblázatból megállapítható, hogy az elmozdulások a 10.18 ábra kapcsán tett feltételezésnek megfelelően nulla értékűek, és csak az Y tengely körüli elfordulások mutatnak értékelhető eredményeket. Az is látható, hogy a csavaró lengés csak a két tárcsa között jön létre, a tárcsák és a csapágyak közötti tengelyszakaszon az elcsavarodás értékei nem változnak. Természete-sen ez is megfelel várakozásainknak és a lengéstanban tanultaknak.
10.5. Megjegyzések
A mérnöki gyakorlatban csavaró lengések elemzésére általában csak hosszú, rugalmas tenge-lyek, illetve rugalmas tengelykapcsolók alkalmazása esetén van szükség.
A forgó tengelyek hajlító lengése vizsgálható BEAM2D elemek alkalmazásával is, azzal a kikötéssel, hogy a tengely körszimmetrikus keresztmetszetű.