Mozgásmódszeren alapuló végeselem-módszer



3.3. ábra: Potenciális energia kinetikai szemléltetése

A potenciális energia variációi kinetikai probléma esetében szemléltetik az állapot stabilitását a 3.3. ábrán.

3.5. Mozgásmódszeren alapuló végeselem-módszer

A mozgásmódszeren alapuló módszer jelenleg a legelterjedtebb, a végeselem-programok döntő többsége ezen az elven alapszik. A módszer lényege, hogy elemekre bont-juk a testet. Elemenként kinematikailag lehetséges elmozdulásmezőt feltételezünk általunk felvett függvényekkel. Majd a geometriai és anyagegyenletek, valamint a peremfeltételek felhasználásával lineáris algebrai egyenletrendszert írunk fel. Ennek megoldása egy közelítő elmozdulásmező. Az ebből számított feszültségmezőre az egyensúlyi egyenletek közelítőleg fognak teljesülni. A módszerben a tenzorok helyett az egyszerűbb formalizmus érdekében vektorokat (oszlopmátrixokat) alkalmazunk.

3.5.1. Vektormezők bevezetése

Feszültségkomponensek vektora (oszlopmátrixa): a feszültségtenzor elemeit tartalmazó

vek-tor, térben:

 

Alakváltozási jellemzők vektora (oszlopmátrixa): az alakváltozási tenzor elemeit

A mozgásmódszer esetében szükségünk van a geometriai és anyagegyenletekre. Ezeket át kell írni vektoros formára. Helyettesítsük be a geometriai egyenlet 



uu



2

 1

derék-szögű descartes-i koordinátarendszerben felírt skalár egyenleteit

x

az alakváltozási vektorba, majd alakítsuk szorzattá:

u utasításokat tartalmazó)  differenciáloperátor mátrix szorzataként.

Az anyagegyenletet 

 feszültség-vektorba a megfelelő elemeket:



x y z



x y z



x y z



x y z majd alakítsuk szorzattá:

 mátrixa szorzataként.

Bevezetve a vektormezőket, egyszerű szorzatként előállítottuk a geometriai egyenletet:

u

  (3.18)

és az anyagegyenletet:



 C . (3.19)

Az anyagegyenletbe helyettesítve:  Cu, így az elmozdulásmező az ismeretlen, az alakváltozások és feszültségek belőle közvetlenül számíthatóak.

3.5.2. Rugalmasságtani probléma és megoldási módszere

A végeselem-módszert rugalmasságtani probléma megoldására mutatjuk be, az általános ru-galmasságtani probléma a következő:

p₀

q

u₀ V

A_u

x y

z

Ap

r P

3.4. ábra: Rugalmasságtani probléma Adott (3.4) ábra szerint:

– a test geometriája, – a test anyagjellemzői, – terhelések,

– kényszerek.

Meghatározandó: ^u

 

^{r ,} 

 

^r , 

 

^r . A megoldás menete:

– A testet véges számú résztartományra, ún. véges elemre bontjuk, és az elemeken kitün-tetett pontokat, ún. csomópontokat veszünk fel. Az elemek a test teljes térfogatát lefe-dik, geometriailag megjelenítve hálót alkotnak. Az egyes elemek közös csomópont-okon keresztül illeszkednek egymáshoz.

– Az elmozdulásmezőt elemenként közelítjük, általában polinommal, amelyeket a cso-mópontokra illesztünk. A szomszédos elemek elmozdulásmezői a csomópontokon ke-resztül illeszkednek és lesznek az egész testre folytonos függvények.

– A közelítő elmozdulásmezőből a geometriai és anyagegyenletek segítségével előállít-ható a közelítő alakváltozási és feszültségmező, amelyekből a Lagrange-féle variációs elv felhasználásával egy lineáris algebrai egyenletrendszert kapunk a csomópontokra, ún. merevségi egyenlet. Az algebrai egyenletrendszer akkor lesz megoldható, ha az összes felületi csomópont esetében megadunk egy terhelési vagy elmozdulási paramé-tert, a kinematikai és dinamikai peremfeltételekből. Így a csomópontok elmozdulásai az ismeretlenek.

– Az egyenletrendszert megoldva megkapjuk a közelítő csomóponti elmozdulásokat, amiből előállítható a közelítő elmozdulásmező, alakváltozási és feszültségmező.

3.5.3. Végeselem, közelítő elmozdulásmező

A testet felosztjuk tetszőleges alakú és méretű résztartományra, véges elemre. Természetesen figyelembe véve azt, hogy az adott elemre közelítő függvényt kell felírnunk.

p₀

q u₀

V

x y

z

e

e

i j k

n

e: elem sorszáma

i, j, k, ..., n: csomópontok sorszáma V_e

3.5. ábra: Felosztás, véges elem

Az e elem elmozdulásmezőjét folytonosan differenciálható függvénnyel közelítjük. A vény típusát előre meghatározzuk és a definiálásához szükséges számú pontot (lineáris függ-vénynél két pont, másodfokúnál három pont élenként, stb.), csomópontot veszünk fel az elem határán. Majd az elmozdulásmezőt a csomópontok elmozdulásaival felírjuk. Az e elem i -edik csomópontjának elmozdulása:



















ei ei ei ei

w v u

u ,

az e elem elmozdulásvektora i,j,k,,n csomópontok elmozdulásaiból:

















































en ej ei

en en en ei ei ei

e

u u u

w v u w v u

u   ,

n

3 számú ismeretlent tartalmaz. Az e elem ^ue

 

^r elmozdulásvektorát (elmozdulásmező) a ue csomóponti elmozdulásvektorból interpolációval állítjuk elő:

 

e

 

e

e r N r u

u   , (3.20)

ahol N_e

 

r approximációs mátrix (interpolációs függvények mátrixa). (3x3)-as blokkokból áll, minden blokk egy-egy csomópont interpolációs függvényeit tartalmazza.

Az e elem i csomópontjának elmozdulásából az elem elmozdulása:

         

     

     

^







































ei ei ei

eizz eizy

eizx

eiyz eiyy

eiyx

eixz eixy

eixx ei ei

ei

w v u r N r N r N

r N r N r N

r N r N r N u r N r

u ,

ahol ^N_ei

 

^r elemei interpolációs függvények. Az indexek értelmezése: ^Neixz

 

^r függvény az i csomópont z irányú elmozdulásának hatására az e elem bármely r pontjához annak x irá-nyú elmozdulását rendeli hozzá, miközben az e elem csomóponti elmozdulás vektorának többi eleme zérus. A függvényeket úgy kell megadni, hogy teljesüljön:

– a függvények deriválhatóak legyenek, – N

 

r_i E

ei  , a függvény i csomópontban adja vissza a csomóponti elmozdulás értékét, – Nei

 

rj  Nei

 

rn ⁰, a függvény a többi csomópontban tűnjön el.

Az N

 

r

e mátrix n számú, az elem összes csomópontjához tartozó N

 

r

ei , N_ej

 

r , …,

 

r

N_en blokkból áll, mérete (3x3n):

 

^r



^N

 

^{r N}

 

^{r N}

 

^r



N_e  _{ei ej}  _en .

Az elem elmozdulásmezőjének közelítése felhasználásával (3.20)-at (3.18)-ba helyettesít-ve előállítható az alakváltozási mező közelítése is:

 

e

 

e

 

e

e r u r N r u

 ,

bevezetve a differenciáloperátorok és az approximációs mátrix szorzatára ^B_e

 

^r alakváltozás-csomóponti elmozdulás mátrixot:

 

_e

 

_e

e r B r u

 . (3.21)

Az elem feszültségmezője:

 

e

 

e

 

e

e r C r CB r u

 . (3.22)

Az elem (3.6) szerinti potenciális energiája:

   

r r dV u

 

r qdV u

 

r pdA

ep e

e A

e V

e V

e

e ^



e ^{ }



^{ }



^

  

2

1 .

Átírva az összefüggést a skalár és kettős skalár szorzatokat mátrixszorzattá alakítva (a bel-ső energia tényezői felcserélve), tenzorok helyett a bevezetett vektorokat használva:

  

r

  

r dV



u

 

r



qdV



u

 

r



pdA

ep e

e A

T e V

T e V

e T e

e^



^



^



  

2

1 .

Helyettesítve (3.20), (3.21), (3.22)-t és a konstansokat az integrálból kiemelve:

 

^u



^B

 

^r



^CB

 

^{r dVu}

 

^u



^N

 

^r



^qdV

 

^u



^N

 

^r



^pdA

ep e

e A

T e T e V

T e T e e V

e T e T e

e ^



^



^



 2

1 .

Bevezetjük az elem merevségi mátrixát:



B

 

r



CB

 

r dV K

Ve

e T

e ^



e ^{, (3.23)}

és a térfogati és felületi terhelésből származó csomóponti terhelésvektorokat:



^N

 

^r



^qdV

F

Ve

T

qe^



e ^{, (3.24)}



^N

 

^r



^pdA

F

Aep

T

pe^



e ^{, (3.25)}

pe qe

e F F

F :  .

Így az elem potenciális energiája:

   

e

T e e e

T

e ue K u  u F

 2

1 .

Az energiaelveket csak az egész testre alkalmazhatjuk, mert elemenként nem érvényesek.

A test potenciális energiáját a test Q számú eleme potenciális energiáinak összege adja meg.

 

^{U TKU}

 

^{U TF}

Q

e

e 









 2

1

1

.

A Lagrange-féle variációs elv szerint a potenciális energia elmozdulás szerinti első variá-ciója zérus:

 

^{U TKU}

 

^{U TF}^{KU F}



 



 





 2

0  1

 .

Átrendezve a merevségi egyenlethez jutunk:

F U

K  , (3.26)

ahol: K: a test merevségi mátrixa,

U: a test csomóponti elmozdulásvektora, F: a test csomóponti terhelésvektora.

A (3.26) kifejezés egy lineáris egyenletrendszer, amelyet megoldva megkapjuk a rugal-masságtani feladat megoldását. (Az egyenletben szereplő tagokat egyszerű statikai probléma esetére írtuk fel, hőfeszültség, rugalmas támasz esetén a merevségi mátrix és a terhelésvektor bővül, illetve dinamikai probléma esetében a merevségi egyenletnek lesznek plusz tagjai.) 3.6. Merevségi egyenlet meghatározása és megoldása síkbeli, húzott rúdelemre 3.6.1. Merevségi egyenlet 2D húzott rúdelemre

A húzott-nyomott rudakból álló szerkezetek (rácsos tartók) jellemzője, hogy az egyes rudakat csak tengelyirányú terhelés éri. A rúd tengelyéhez lokális koordinátarendszert veszünk fel. A 3.6. ábrán látható L hosszúságú e rúdelem terhelései a csomópontokban lévő Fi 

 

Fi^,0 ,

 

j^,0

j F

F  terhelés.

x y

L

i j

F

i

F

j

u

i

u

j

e

3.6. ábra: Két csomópontú, síkbeli rúdelem

Az i csomópontban ui 

 

ui^,0 , a j csomópontban uj 

 

uj^,0 az elmozdulás. A rúdelem

 



,0



) ,

(x y u x

u_e  _e (3.27)

elmozdulásmezőjét lineáris függvénnyel közelítjük:

 

x a a x

u_e  _e0 _e1 , (3.28)

az elmozdulásmező az elem csomópontjaiban az ottani elmozdulásokat adja vissza:



⁰



i e0 e1⁰

e x u a a

u     ,



x L



u a a L u_e   _j  _e0 _e1 .

Ebből az együtthatókat kifejezve és helyettesítve (3.28)-ba:

 

x

Ezt a (3.27) összefüggésbe helyettesítve:



szorzattá alakítva, mátrix alakban:

   

e

 

e

Az approximációs mátrix két blokkból áll, az i és a j csomóponti vektorokhoz tartozó inter-polációs függvényekkel:

 

 megfe-lelnek (folytonos, saját csomópontban egységnyi, a többi csomópontban eltűnik), a 3.7. ábrán láthatóak.

x

3.7. ábra: Interpolációs függvények

Rúdelem esetében csak tengelyirányú nyúlások vannak, így a geometriai egyenlet:

A ^B_e

 

^x,y elmozdulás-alakváltozás mátrixnak állandó elemei vannak, tehát a rúd fajlagos nyúlása állandó. Egytengelyű feszültségállapotban az egyszerű Hooke-törvény alkalmazható a feszültség számítására:

 

e

 

e

 

e

e x,y C x,y CB x,y u

 .

Ekkor az anyagjellemzők mátrixa:



Az elem merevségi mátrixa:

 

^

      

^



^L



^e

  

^{T e}

 

^

Ekkor az elem merevségi egyenlete:

e e

F  az elem csomóponti terhelésvektora.

A rácsos tartók rúdjaihoz kötött lokális koordinátarendszerek általános esetben különböz-nek, így a merevségi egyenletet át kell transzformálni egy közös, úgynevezett globális (abszo-lút) koordinátarendszerbe azért, hogy a merevségi mátrixok összegezhetők legyenek a teljes testre.

x y

v

u

x’

y’

u u= ’ v’

 u’

3.8. ábra: Vektor elforgatott koordinátarendszerben

Egy a 3.8. ábrán látható vektor koordinátáit  szöggel elforgatott koordinátarendszerben a következőképpen számítjuk:

) sin(

) cos(

'u  v 

u , v'usin()vcos(). Mátrix alakban:

u v T u v

u u 



 







 





 



 





) cos(

) sin(

) sin(

) cos(

' ' '







 , (3.31)

ahol T: transzformációs mátrix. A mátrix a két vektorból álló u_e és F_e vektorokra két blokkban írható fel, ahol egy blokk egy vektorra vonatkozik:



















 

) cos(

) sin(

0 0

) sin(

) cos(

0 0

0 0

) cos(

) sin(

0 0

) sin(

) cos(

















T . (3.32)

Állítsuk elő az elem merevségi mátrixát egy  szöggel elforgatott koordinátarendszerben!

Ehhez a (3.30) egyenlet elforgatott alakját kell előállítanunk:

e e

eu F

K' '  ' . (3.33)

(3.31) szerint:

e

Számítsuk ki a (3.35) kifejezéssel értelmezett, globális koordinátarendszerbeli merevségi mátrixot síkbeli rúdelemre a (3.29) összefüggéssel megadott, lokális koordinátarendszerbeli merevségi mátrix felhasználásával:



Egy szerkezet esetében az összes rúd merevségi mátrixát azonos koordinátarendszerbe transzformáljuk, és összegezzük. Ezután felírható a szerkezetre a merevségi egyenlet, amely megoldása az összes csomóponti erő és elmozdulás.

3.6.2. Példa

x y

 1

3 2

1 2

3 F3

L1

3.9. ábra: Rácsos szerkezet

A 3.9. ábrán látható három rúdból álló rácsos szerkezet ismert adatai:

N F_3x 1200

N F_3y 1000

m L₁ 1,2

50o



2 3

2

1 A A A 100mm

A    

GPa E210

Számítsuk ki az erőket és az elmozdulásokat!

Rúdhosszak:

mm tg

L

L₂  ₁ ()1430,1 L mm

L 1866,87

) cos(

1

3  



Az 1 rúd merevségi mátrixa a lokális (amely azonos az abszolúttal) koordinátarendszeré-ben (3.29) szerint:

mm N L

K AE













































0 0 0 0

0 17500 0

17500

0 0 0 0

0 17500 0

17500

0 0 0 0

0 1 0 1

0 0 0 0

0 1 0 1

1

1 .

A csomópontok szerinti 2x2-es blokkok (felső index az elem száma, alsó index a két csomópont száma, amelyek közt a blokk a kapcsolatot leírja):



A 2 rúd merevségi mátrixa a lokális koordinátarendszerében:

mm

A 2 rúd az abszolút koordinátarendszerre merőleges, így át kell számítani abszolút koor-dinátarendszerbe (3.36) szerint:



A csomópontok szerinti 2x2-es blokkok:



A 3 rúd merevségi mátrixa a lokális koordinátarendszerében:

mm

A 3 rúd az abszolút koordinátarendszerrel  szöget zár be, így át kell számítani abszolút koordinátarendszerbe:



A csomópontok szerinti 2x2-es blokkok:



A merevségi mátrixokat összeadjuk, úgy, hogy az azonos csomópontok közti kapcsolatot leíró blokkokat összeadjuk, így a szerkezet merevségi mátrixa:



A szerkezet merevségi egyenlete:

F U K 



helyettesítve az ismert erő és elmozdulás peremfeltételeket:



A szorzat egy hat ismeretlenes lineáris egyenletrendszer, megoldása:

mm

Bibliográfia

[1] Páczelt István, Végeselem-módszer a mérnöki gyakorlatban, I. kötet. Miskolci Egye-temi Kiadó, Miskolc, 1999.

[2] Égert János, Keppler István: A végeselemmódszer mechanikai alapjai, Universitas-Győr Kft., Universitas-Győr, 2007.

In document Végeselem-módszer (Pldal 48-64)