Az emberek különféle adottságokkal születnek: bizonyos területeken másoknál sokkal, de sokkal eredményesebbek. Az átlagember csodálattal, ámulattal nézi a rendkívül erős, ügyes, gyors sportolókat, a képzeletünkre, érzelmeinkre hatni tudó irodalmárokat, képző – és zeneművészeket, a természet törvényeit feltáró tudósokat és az életünk minőségét meghatározó műszaki alkotókat.
A tudományos tevékenység csúcsát a matematika művelése jelenti. A mate-matika személyiségformáló szerepét hangsúlyozza az orosz származású ameri-kai matematikus, Szemjon Grigorjevics Gingyikin ’Történetek fizikusokról és matematikusokról’ c. könyvében.119
Az elvont és fegyelmezett gondolkodás képessége kihat a matematikus alkat minden egyéb tudományos és műszaki tevékenységére is. Segner műszaki alko-tásainak eredményessége, sőt még orvosi gondolkodásának hatékonysága is ma-tematikai műveltségének köszönhető.
Ugyanígy Euler jelentős mérnöki eredményeit is számon tartják: a kötél-súrlódásra felírt alapegyenletétől kezdve az evolvens fogaskerék profilját meg-adó gondolatain át a Segner-kerék tökéletesítéséig.120
Segner természettudományos és matematikai érdeklődésének kialakulására bizonyára nagy hatással volt Pozsonyban az iskolatárs Mikoviny Sámuel, Deb-recenben Piskárosi Szilágyi Márton, Jénában pedig Georg Erhard Hamberger.
Matematikai gondolkodásának kiteljesedése az Eulerral folytatott eszmecserék-nek köszönhető.
Euler így dicsérte őt 1754 szeptember 9-én II. Frigyes királyhoz írt levelé-ben, a Hallei Egyetemre történő kinevezésének előkészítésekor: „Der Profesz-szor Segner ist beynahe der einzige, welcher in Teuschland in der Physic und Mathematic vorzüglich hervorgethan...”
119 Typotex, 2003
120 Nagyon szépen összefoglalja Euler műszaki tevékenységét Laczik Bálint: Euler örök érvényű munkálkodásai a mérnöki tudományokban. = Természet Világa 2007. szeptember – Melléklet:
300 éve született Leonhard Euler
A hallei egyetem főépülete. Építkezés: 1832–34
Prorektor-váltás a hallei egyetemen az „Auditorium maximum”-ban a 18. században
„Segner professzor szinte az egyetlen Németországban, aki a fizikában és a ma-tematikában kiválóan kiemelkedik...” Euler itt arra utalhatott, hogy a 18. szá-zadban Németországban visszaesett a matematikai és fizikai kutatás. Leibniz 1716. évi halála után Gauss-ig a matematika és a fizika fejlődésében a vezető szerepet a svájci és a francia tudósok vették át (többek közt Euler, a Bernoulliak, Lagrange, d’Alembert). Az igaz, hogy annak a kornak a fő kutatási területén, az
analízisben nem voltak Segnernek lényeges eredményei. Az ő érdeme az, hogy harcolt a matematika szerepének és jelentőségének elismertetéséért. Rendsze-rezte elődei és a kortársak eredményeit, és ezzel megalapozta utódai munkáját.
Ő volt az alapítója annak a göttingeni matematikai iskolának, amelynek legje-lentősebb képviselői Gauss, Dirichlet, Riemann, Clebsch és Klein. Matematika-tanárként viszont utolérhetetlen volt. Tankönyvírói tevékenysége a németorszá-gi matematikai kultúra fejlődése szempontjából igen fontos.
A matematikatörténet-írás számon tartja néhány figyelemreméltó, saját ered-ményét. Ezeket a továbbiakban a neves matematikatörténész, Szénássy Barna munkái alapján ismertetjük.121
GRAFIKUS ELJÁRÁS VALÓS EGYÜTTHATÓS ALGEBRAI POLINOM ÉRTÉKEINEK MEGHATÁROZÁSÁRA Segner grafikus eljárásáról
szó-ló tanulmánya mind az egyete-mes, mind pedig a magyar ma-tematikában nagy visszhangot váltott ki. Az általa néhány szükségtelen megszorítással kö-zölt grafikus eljárás igazolását 1969-ben a Középiskolai Mate-matikai Lapok feladatként tűzte ki. A válaszul beérkezett 96 dol-gozat azt mutatja, hogy a diá-kok érdeklődtek a probléma iránt, nagyon sok jó ötletük volt. Szénássy Barna mintájára szó szerint átvesszük a feladatot a Lapokból. Ide másoljuk az egyik legszebb megoldást, Kál-mán Miklós, a budapesti Faze-kas Mihály Gyakorló Gimnázi-um tanulójának munkáját.
121 Szénássy Barna: Segner András matematikai tevékenysége. = A Debreceni Kossuth Lajos Tu-dományegyetem Matematikai Intézetének Közleményei, 1960. pp. 37–42.; Szénássy Barna:
Megjegyzések Segner matematikai eredményeihez. = Energia és Atomtechnika 25 (1972) No.
12. pp. 558–561. – Szénássy Barna (1913–1995) matematikus, tudománytörténész, egyetemi tanár, akadémiai doktor (Kossuth Lajos Tudományegyetem, Debrecen).
1. ábra Szénássy Barna dolgozatában
84
Az A, E és B pontokból húzzunk az AB-re merőleges félegyeneseket, továbbá az A-ból kiindu-ló merőlegesre mérjük rá rendre, egymás végpontjaihoz fűzve a d, c, b és a koefficienseket.
Ilyen módon nyerjük a K, L, M és C pontokat. Az F és D pontokhoz pedig úgy jutunk, hogy a C pontból az AB szakasszal párhuzamost húzunk. Megvonva mármost a DM egyenest, az az FE-t a G’ pontban metszi. A G’ ponton át az AB-vel párhuzamost rajzolva, kapjuk a G pontot.
Ugyanígy járva el a GL, majd a HK egyenessel, végül is az EJ távolság adja 𝑓𝑓𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑥𝑥0).
Kiterjeszthető-e az eljárás érvényessége a mondott korlátozások csökkentésével?
Megoldás. Hosszabbítsuk meg a GG’-t és HH’-t az AC egyenessel való G*, ill. H* met-széspontig, továbbá húzzunk párhuzamost AB-vel J-n át és jelöljük ennek AC-vel való met-széspontját J*-gal. A keletkezett alábbi hasonló derékszögű háromszögpárok alapján rendre
𝑀𝑀𝑀𝑀𝐺𝐺𝐺𝐺∗𝐺𝐺𝐺𝐺′∆~𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀∆, 𝑀𝑀𝑀𝑀𝐺𝐺𝐺𝐺∗= 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 ∙𝐺𝐺𝐺𝐺∗𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺
Ha az együtthatókat, valamint az 𝑥𝑥𝑥𝑥0 értékét ábrázoló AK, KL, LM, MC, AE szakaszokat –esetleges negatív előjelük esetén – az eredetivel ellentétes irányban mérjük fel, 0 együttható esetén pedig a K, L, M, ill. C pontot azonosnak vesszük rendre A-val, K-val, L-lel, ill. M-mel, továbbá a felhasznált egyeneseket mindig meghosszabbítjuk a kívánt metszésig, akkor – mint hasonlóan belátható – az eljárás bármely (valós együtthatós) legfeljebb harmadfokú polinom-nak bármely (valós) 𝑥𝑥𝑥𝑥0 helyen felvett értékét előállítja, sőt további együtthatók megfelelő sorrendű felmérése után bármely magasabb fokú polinomét is. Az eredmény (EJ, ill. megfele-lője) ugyancsak előjelével együtt értendő: amennyiben J az AB egyenesnek C-t nem tartalma-zó oldalán adódik, 𝑓𝑓𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑥𝑥0) < 0. 𝑥𝑥𝑥𝑥0= 1 esetén – amikor ugyan az eredmény nyilvánvaló – E a B-be esik, F, G’, H’ és J pedig D-be. EJ-ként 𝐴𝐴𝐴𝐴𝑀𝑀𝑀𝑀 = 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏𝑏𝑏 + 𝑐𝑐𝑐𝑐 + 𝑑𝑑𝑑𝑑 adódik.
A bizonyításban a hasonló háromszögekből a szakaszok abszolút értékét kapjuk, elője-lüket esetenként kellő meggondolással kell megállapítani”.
Nyilvánvaló, hogy a J pontok összessége x folytonos változása esetén az 𝑓𝑓𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑥𝑥) görbét adja, ennek az AB egyenessel való metszéspontjai a polinomnak – mint egyenletnek – valós gyökeit szolgáltatják. Segner gondolt egy olyasféle csuklós szerkezet konstruálására is, amely
valós együtthatós polinom; grafikus úton keresendő f (x0 ), ahol 0 < x0 < 1. Ve-gyük fel az AB = 1 szakaszt (1. ábra), és erre az A pontból kiindulva mérjük fel x0 = AE adott értékét. Az A, E és B pontokból húzzunk az AB-re merőleges fél-egyeneseket, továbbá az A-ból kiinduló merőlegesre mérjük rá rendre, egymás végpontjaihoz fűzve a d, c, b és a koefficienseket. Ilyen módon nyerjük a K, L, M és C pontokat. Az F és D pontokhoz pedig úgy jutunk, hogy a C pontból az AB szakasszal párhuzamost húzunk. Megvonva mármost a DM egyenest, az az FE-t a G’ pontban metszi. A G’ ponton át az AB-vel párhuzamost rajzolva, kap-juk a G pontot. Ugyanígy járva el a GL, majd a HK egyenessel, végül is az EJ távolság adja f (x0 ).
Kiterjeszthető-e az eljárás érvényessége a mondott korlátozások csökkenté-sével?
Megoldás. Hosszabbítsuk meg a GG’-t és HH’-t az AC egyenessel való G*, ill. H* metszéspontig, továbbá húzzunk párhuzamost AB-vel J-n át és jelöljük ennek AC-vel való metszéspontját J*-gal. A keletkezett alábbi hasonló derékszö-gű háromszögpárok alapján rendre
„Legyen adott az
𝑓𝑓𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑥𝑥) = 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑥𝑥𝑥𝑥3+ 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑥𝑥𝑥𝑥2+ 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑑𝑑𝑑𝑑 (𝑎𝑎𝑎𝑎, 𝑏𝑏𝑏𝑏, 𝑐𝑐𝑐𝑐, 𝑑𝑑𝑑𝑑 > 0)
valós együtthatós polinom; grafikus úton keresendő 𝑓𝑓𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑥𝑥0), ahol 0 < 𝑥𝑥𝑥𝑥0< 1. Vegyük fel az 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = 1 szakaszt (1. ábra), és erre az A pontból kiindulva mérjük fel 𝑥𝑥𝑥𝑥0= 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 adott értékét.
Az A, E és B pontokból húzzunk az AB-re merőleges félegyeneseket, továbbá az A-ból kiindu-ló merőlegesre mérjük rá rendre, egymás végpontjaihoz fűzve a d, c, b és a koefficienseket.
Ilyen módon nyerjük a K, L, M és C pontokat. Az F és D pontokhoz pedig úgy jutunk, hogy a C pontból az AB szakasszal párhuzamost húzunk. Megvonva mármost a DM egyenest, az az FE-t a G’ pontban metszi. A G’ ponton át az AB-vel párhuzamost rajzolva, kapjuk a G pontot.
Ugyanígy járva el a GL, majd a HK egyenessel, végül is az EJ távolság adja 𝑓𝑓𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑥𝑥0).
Kiterjeszthető-e az eljárás érvényessége a mondott korlátozások csökkentésével?
Megoldás. Hosszabbítsuk meg a GG’-t és HH’-t az AC egyenessel való G*, ill. H* met-széspontig, továbbá húzzunk párhuzamost AB-vel J-n át és jelöljük ennek AC-vel való met-széspontját J*-gal. A keletkezett alábbi hasonló derékszögű háromszögpárok alapján rendre
𝑀𝑀𝑀𝑀𝐺𝐺𝐺𝐺∗𝐺𝐺𝐺𝐺′∆~𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀∆, 𝑀𝑀𝑀𝑀𝐺𝐺𝐺𝐺∗= 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 ∙𝐺𝐺𝐺𝐺∗𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺
Ha az együtthatókat, valamint az 𝑥𝑥𝑥𝑥0 értékét ábrázoló AK, KL, LM, MC, AE szakaszokat –esetleges negatív előjelük esetén – az eredetivel ellentétes irányban mérjük fel, 0 együttható esetén pedig a K, L, M, ill. C pontot azonosnak vesszük rendre A-val, K-val, L-lel, ill. M-mel, továbbá a felhasznált egyeneseket mindig meghosszabbítjuk a kívánt metszésig, akkor – mint hasonlóan belátható – az eljárás bármely (valós együtthatós) legfeljebb harmadfokú polinom-nak bármely (valós) 𝑥𝑥𝑥𝑥0 helyen felvett értékét előállítja, sőt további együtthatók megfelelő sorrendű felmérése után bármely magasabb fokú polinomét is. Az eredmény (EJ, ill. megfele-lője) ugyancsak előjelével együtt értendő: amennyiben J az AB egyenesnek C-t nem tartalma-zó oldalán adódik, 𝑓𝑓𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑥𝑥0) < 0.𝑥𝑥𝑥𝑥0= 1 esetén – amikor ugyan az eredmény nyilvánvaló – E a B-be esik, F, G’, H’ és J pedig D-be. EJ-ként 𝐴𝐴𝐴𝐴𝑀𝑀𝑀𝑀 = 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏𝑏𝑏 + 𝑐𝑐𝑐𝑐 + 𝑑𝑑𝑑𝑑 adódik.
A bizonyításban a hasonló háromszögekből a szakaszok abszolút értékét kapjuk, elője-lüket esetenként kellő meggondolással kell megállapítani”.
Nyilvánvaló, hogy a J pontok összessége x folytonos változása esetén az 𝑓𝑓𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑥𝑥) görbét adja, ennek az AB egyenessel való metszéspontjai a polinomnak – mint egyenletnek – valós gyökeit szolgáltatják. Segner gondolt egy olyasféle csuklós szerkezet konstruálására is, amely
„Legyen adott az
𝑓𝑓𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑥𝑥) = 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑥𝑥𝑥𝑥3+ 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑥𝑥𝑥𝑥2+ 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑑𝑑𝑑𝑑 (𝑎𝑎𝑎𝑎, 𝑏𝑏𝑏𝑏, 𝑐𝑐𝑐𝑐, 𝑑𝑑𝑑𝑑 > 0)
valós együtthatós polinom; grafikus úton keresendő 𝑓𝑓𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑥𝑥0), ahol 0 < 𝑥𝑥𝑥𝑥0< 1. Vegyük fel az 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = 1 szakaszt (1. ábra), és erre az A pontból kiindulva mérjük fel 𝑥𝑥𝑥𝑥0= 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 adott értékét.
Az A, E és B pontokból húzzunk az AB-re merőleges félegyeneseket, továbbá az A-ból kiindu-ló merőlegesre mérjük rá rendre, egymás végpontjaihoz fűzve a d, c, b és a koefficienseket.
Ilyen módon nyerjük a K, L, M és C pontokat. Az F és D pontokhoz pedig úgy jutunk, hogy a C pontból az AB szakasszal párhuzamost húzunk. Megvonva mármost a DM egyenest, az az FE-t a G’ pontban metszi. A G’ ponton át az AB-vel párhuzamost rajzolva, kapjuk a G pontot.
Ugyanígy járva el a GL, majd a HK egyenessel, végül is az EJ távolság adja 𝑓𝑓𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑥𝑥0).
Kiterjeszthető-e az eljárás érvényessége a mondott korlátozások csökkentésével?
Megoldás. Hosszabbítsuk meg a GG’-t és HH’-t az AC egyenessel való G*, ill. H* met-széspontig, továbbá húzzunk párhuzamost AB-vel J-n át és jelöljük ennek AC-vel való met-széspontját J*-gal. A keletkezett alábbi hasonló derékszögű háromszögpárok alapján rendre
𝑀𝑀𝑀𝑀𝐺𝐺𝐺𝐺∗𝐺𝐺𝐺𝐺′∆~𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀∆, 𝑀𝑀𝑀𝑀𝐺𝐺𝐺𝐺∗= 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 ∙𝐺𝐺𝐺𝐺∗𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺
Ha az együtthatókat, valamint az 𝑥𝑥𝑥𝑥0 értékét ábrázoló AK, KL, LM, MC, AE szakaszokat –esetleges negatív előjelük esetén – az eredetivel ellentétes irányban mérjük fel, 0 együttható esetén pedig a K, L, M, ill. C pontot azonosnak vesszük rendre A-val, K-val, L-lel, ill. M-mel, továbbá a felhasznált egyeneseket mindig meghosszabbítjuk a kívánt metszésig, akkor – mint hasonlóan belátható – az eljárás bármely (valós együtthatós) legfeljebb harmadfokú polinom-nak bármely (valós) 𝑥𝑥𝑥𝑥0 helyen felvett értékét előállítja, sőt további együtthatók megfelelő sorrendű felmérése után bármely magasabb fokú polinomét is. Az eredmény (EJ, ill. megfele-lője) ugyancsak előjelével együtt értendő: amennyiben J az AB egyenesnek C-t nem tartalma-zó oldalán adódik, 𝑓𝑓𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑥𝑥0) < 0. 𝑥𝑥𝑥𝑥0= 1 esetén – amikor ugyan az eredmény nyilvánvaló – E a B-be esik, F, G’, H’ és J pedig D-be. EJ-ként 𝐴𝐴𝐴𝐴𝑀𝑀𝑀𝑀 = 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏𝑏𝑏 + 𝑐𝑐𝑐𝑐 + 𝑑𝑑𝑑𝑑 adódik.
A bizonyításban a hasonló háromszögekből a szakaszok abszolút értékét kapjuk, elője-lüket esetenként kellő meggondolással kell megállapítani”.
Nyilvánvaló, hogy a J pontok összessége x folytonos változása esetén az 𝑓𝑓𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑥𝑥) görbét adja, ennek az AB egyenessel való metszéspontjai a polinomnak – mint egyenletnek – valós gyökeit szolgáltatják. Segner gondolt egy olyasféle csuklós szerkezet konstruálására is, amely
„Legyen adott az
𝑓𝑓𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑥𝑥) = 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑥𝑥𝑥𝑥3+ 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑥𝑥𝑥𝑥2+ 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑑𝑑𝑑𝑑 (𝑎𝑎𝑎𝑎, 𝑏𝑏𝑏𝑏, 𝑐𝑐𝑐𝑐, 𝑑𝑑𝑑𝑑 > 0)
valós együtthatós polinom; grafikus úton keresendő 𝑓𝑓𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑥𝑥0), ahol 0 < 𝑥𝑥𝑥𝑥0< 1. Vegyük fel az 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = 1 szakaszt (1. ábra), és erre az A pontból kiindulva mérjük fel 𝑥𝑥𝑥𝑥0= 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 adott értékét.
Az A, E és B pontokból húzzunk az AB-re merőleges félegyeneseket, továbbá az A-ból kiindu-ló merőlegesre mérjük rá rendre, egymás végpontjaihoz fűzve a d, c, b és a koefficienseket.
Ilyen módon nyerjük a K, L, M és C pontokat. Az F és D pontokhoz pedig úgy jutunk, hogy a C pontból az AB szakasszal párhuzamost húzunk. Megvonva mármost a DM egyenest, az az FE-t a G’ pontban metszi. A G’ ponton át az AB-vel párhuzamost rajzolva, kapjuk a G pontot.
Ugyanígy járva el a GL, majd a HK egyenessel, végül is az EJ távolság adja 𝑓𝑓𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑥𝑥0).
Kiterjeszthető-e az eljárás érvényessége a mondott korlátozások csökkentésével?
Megoldás. Hosszabbítsuk meg a GG’-t és HH’-t az AC egyenessel való G*, ill. H* széspontig, továbbá húzzunk párhuzamost AB-vel J-n át és jelöljük ennek AC-vel való met-széspontját J*-gal. A keletkezett alábbi hasonló derékszögű háromszögpárok alapján rendre
𝑀𝑀𝑀𝑀𝐺𝐺𝐺𝐺∗𝐺𝐺𝐺𝐺′∆~𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀∆, 𝑀𝑀𝑀𝑀𝐺𝐺𝐺𝐺∗= 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 ∙𝐺𝐺𝐺𝐺∗𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺
Ha az együtthatókat, valamint az 𝑥𝑥𝑥𝑥0 értékét ábrázoló AK, KL, LM, MC, AE szakaszokat –esetleges negatív előjelük esetén – az eredetivel ellentétes irányban mérjük fel, 0 együttható esetén pedig a K, L, M, ill. C pontot azonosnak vesszük rendre A-val, K-val, L-lel, ill. M-mel, továbbá a felhasznált egyeneseket mindig meghosszabbítjuk a kívánt metszésig, akkor – mint hasonlóan belátható – az eljárás bármely (valós együtthatós) legfeljebb harmadfokú polinom-nak bármely (valós) 𝑥𝑥𝑥𝑥0 helyen felvett értékét előállítja, sőt további együtthatók megfelelő sorrendű felmérése után bármely magasabb fokú polinomét is. Az eredmény (EJ, ill. megfele-lője) ugyancsak előjelével együtt értendő: amennyiben J az AB egyenesnek C-t nem tartalma-zó oldalán adódik, 𝑓𝑓𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑥𝑥0) < 0. 𝑥𝑥𝑥𝑥0= 1 esetén – amikor ugyan az eredmény nyilvánvaló – E a B-be esik, F, G’, H’ és J pedig D-be. EJ-ként 𝐴𝐴𝐴𝐴𝑀𝑀𝑀𝑀 = 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏𝑏𝑏 + 𝑐𝑐𝑐𝑐 + 𝑑𝑑𝑑𝑑 adódik.
A bizonyításban a hasonló háromszögekből a szakaszok abszolút értékét kapjuk, elője-lüket esetenként kellő meggondolással kell megállapítani”.
Nyilvánvaló, hogy a J pontok összessége x folytonos változása esetén az 𝑓𝑓𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑥𝑥) görbét adja, ennek az AB egyenessel való metszéspontjai a polinomnak – mint egyenletnek – valós gyökeit szolgáltatják. Segner gondolt egy olyasféle csuklós szerkezet konstruálására is, amely ezért fokozatos behelyettesítéssel
„Legyen adott az
𝑓𝑓𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑥𝑥) = 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑥𝑥𝑥𝑥3+ 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑥𝑥𝑥𝑥2+ 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑑𝑑𝑑𝑑 (𝑎𝑎𝑎𝑎, 𝑏𝑏𝑏𝑏, 𝑐𝑐𝑐𝑐, 𝑑𝑑𝑑𝑑 > 0)
valós együtthatós polinom; grafikus úton keresendő 𝑓𝑓𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑥𝑥0), ahol 0 < 𝑥𝑥𝑥𝑥0< 1. Vegyük fel az 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = 1 szakaszt (1. ábra), és erre az A pontból kiindulva mérjük fel 𝑥𝑥𝑥𝑥0= 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 adott értékét.
Az A, E és B pontokból húzzunk az AB-re merőleges félegyeneseket, továbbá az A-ból kiindu-ló merőlegesre mérjük rá rendre, egymás végpontjaihoz fűzve a d, c, b és a koefficienseket.
Ilyen módon nyerjük a K, L, M és C pontokat. Az F és D pontokhoz pedig úgy jutunk, hogy a C pontból az AB szakasszal párhuzamost húzunk. Megvonva mármost a DM egyenest, az az FE-t a G’ pontban metszi. A G’ ponton át az AB-vel párhuzamost rajzolva, kapjuk a G pontot.
Ugyanígy járva el a GL, majd a HK egyenessel, végül is az EJ távolság adja 𝑓𝑓𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑥𝑥0).
Kiterjeszthető-e az eljárás érvényessége a mondott korlátozások csökkentésével?
Megoldás. Hosszabbítsuk meg a GG’-t és HH’-t az AC egyenessel való G*, ill. H* met-széspontig, továbbá húzzunk párhuzamost AB-vel J-n át és jelöljük ennek AC-vel való met-széspontját J*-gal. A keletkezett alábbi hasonló derékszögű háromszögpárok alapján rendre
𝑀𝑀𝑀𝑀𝐺𝐺𝐺𝐺∗𝐺𝐺𝐺𝐺′∆~𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀∆, 𝑀𝑀𝑀𝑀𝐺𝐺𝐺𝐺∗= 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 ∙𝐺𝐺𝐺𝐺∗𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺
Ha az együtthatókat, valamint az 𝑥𝑥𝑥𝑥0 értékét ábrázoló AK, KL, LM, MC, AE szakaszokat –esetleges negatív előjelük esetén – az eredetivel ellentétes irányban mérjük fel, 0 együttható esetén pedig a K, L, M, ill. C pontot azonosnak vesszük rendre A-val, K-val, L-lel, ill. M-mel, továbbá a felhasznált egyeneseket mindig meghosszabbítjuk a kívánt metszésig, akkor – mint hasonlóan belátható – az eljárás bármely (valós együtthatós) legfeljebb harmadfokú polinom-nak bármely (valós) 𝑥𝑥𝑥𝑥0 helyen felvett értékét előállítja, sőt további együtthatók megfelelő sorrendű felmérése után bármely magasabb fokú polinomét is. Az eredmény (EJ, ill. megfele-lője) ugyancsak előjelével együtt értendő: amennyiben J az AB egyenesnek C-t nem tartalma-zó oldalán adódik, 𝑓𝑓𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑥𝑥0) < 0.𝑥𝑥𝑥𝑥0= 1 esetén – amikor ugyan az eredmény nyilvánvaló – E a B-be esik, F, G’, H’ és J pedig D-be. EJ-ként 𝐴𝐴𝐴𝐴𝑀𝑀𝑀𝑀 = 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏𝑏𝑏 + 𝑐𝑐𝑐𝑐 + 𝑑𝑑𝑑𝑑 adódik.
A bizonyításban a hasonló háromszögekből a szakaszok abszolút értékét kapjuk, elője-lüket esetenként kellő meggondolással kell megállapítani”.
Nyilvánvaló, hogy a J pontok összessége x folytonos változása esetén az 𝑓𝑓𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑥𝑥) görbét adja, ennek az AB egyenessel való metszéspontjai a polinomnak – mint egyenletnek – valós
amit bizonyítanunk kellett.
Ha az együtthatókat, valamint az x0 értékét ábrázoló AK, KL, LM, MC, AE szakaszokat – esetleges negatív előjelük esetén – az eredetivel ellentétes irány-ban mérjük fel, 0 együttható esetén pedig a K, L, M, ill. C pontot azonosnak vesszük rendre A-val, K-val, L-lel, ill. M-mel, továbbá a felhasznált egyeneseket
mindig meghosszabbítjuk a kívánt metszésig, akkor – mint hasonlóan belátható – az eljárás bármely (valós együtthatós) legfeljebb harmadfokú polinomnak bár-mely (valós) x0 helyen felvett értékét előállítja, sőt további együtthatók megfe-lelő sorrendű felmérése után bármely magasabb fokú polinomét is. Az ered-mény (EJ, ill. megfelelője) ugyancsak előjelével együtt értendő: amennyiben J az AB egyenesnek C-t nem tartalmazó oldalán adódik, f (x0 ) < 0. x0 = 1 esetén – amikor ugyan az eredmény nyilvánvaló – E a B-be esik, F, G’, H’ és J pedig D-be. EJ-ként BD = a +b + c +d adódik.
A bizonyításban a hasonló háromszögekből a szakaszok abszolút értékét kapjuk, előjelüket esetenként kellő meggondolással kell megállapítani”.
A J pontok összessége x folytonos változása esetén az f (x) görbét adja, amelynek az AB egyenessel való metszéspontjai a polinomnak megfelelő egyen-let valós gyökeit szolgáltatják. Segner felvetette olyan csuklós szerkezet készí-tését, amely megrajzolná az f (x) görbét, tervét azonban nem hajtotta végre, mert a megvalósítást túl bonyolultnak vélte.
Ezt írta a Pétervári Tudományos Akadémia közleményeiben megjelent ta-nulmányában:122
„Quod ad descriptionem attinet, motum excogitare, quo tales accurate desig-nari possunt omnes [huiusmodi curvae] admodum difficile iudico, quare id ne-que tentavi.”
„Ami a leírást illeti, nagyon nehéznek találok kigondolni egy olyan moz-gást, mellyel mindezek [az ilyesféle görbék] pontosan ábrázolhatóak lennének, ennélfogva tehát meg sem kíséreltem ezt.”
Ez azért érdekes megjegyzés, mert már 1742-ben is foglalkozott ezzel a gondolattal, július 30-i levelében kérte Euler véleményét a harmadfokú görbe mechanikus megrajzolásával kapcsolatban. A rajzolással a tetszőleges harmad-fokú egyenlet gyökeinek nehézség nélküli megtalálását szerette volna elérni.
Úgy tűnik, hogy Euler jóvá is hagyta a Segner-féle mechanikus eljárást, ugyan-is szeptember 2-i levelében Segner megelégedéssel nyugtázza ezt.
A londoni Royal Society tagja, John Bevis felhivta a neves matematikus szerzetes, Rev. John Rowning figyelmét Segnernek a fent említett pétervári mű-vére. Rowning nem riadt meg a nehézségektől, megalkotta a rajzoló szerkezetet, és annak elkészítéséről és használatáról beszámolt Bevisnek 1768. márcus 24-én. Tanulmányát 1770. május 3-án olvasták fel az akadémia ülésén, és természe-tesen nyomtatásban is megjelentették.123
A portugál João Nuno Tavares a számítástechnika és az internet mai
lehető-122 J. A. Segner: Methodus simplex et universalis, omnes omnium aequationum radices detegendi.
= Novi Comentararii Academiae Petropolitanie, Vol. 7. (1758–1759) pp. 211–216.
123 XXIV. Directions for making a Mashine for finding the Roots of Equations universally, with the Manner of using it by the Rev. Mr. Rowning to John Bevis, M.D. F. R. S. = Philos. Trans.
London Math. Soc. 60 (1770) pp. 240–256.
ségeit kihasználva nagyon szépen kiszínezte Segnernek a valós együtthatós al-gebrai polinom értékeinek meghatározására szolgáló fenti grafikus eljárásának az ábráját. Ha a szöveges rész végén a kiemelt, színes szavakra kattintunk, ak-kor el is olvashatjuk a hivatkozott Rowling-tanulmányt.124 Tavares beemelte le-írásába a függvény-görbét megrajzoló szerkezet ábráját is.125 Ezt a képet mi is közreadjuk.
Függvény-görbét megrajzoló szerkezet Szénássy Barna így folytatta írását:
„Könnyű észrevennünk, hogy az (1) alak – jobbról balfelé, egyszersmind a legbelső zárójelből kifelé olvasva – az f (x0 ) kiszámítására ma Horner-féle el-rendezés néven ismert eljárás, ez azonban csak 1819-ben született.
A polinomértékek és gyökök meghatározására adott grafikus módszerek kö-zött ma egyik legismertebb Lill francia matematikus 1867-ben – tehát a Segne-rénél több, mint egy évszázaddal később – közölt ún. „derékszöges” eljárása.126 Összevetve a Segner és a Lill módszert, észrevesszük, hogy mindkettő ugyan-azon matematikai elveken nyugszik, és bizonyításuk lépésről lépésre egyeztet-hető. Polinomérték kiszámításához a Segner-eljárás még előnyösebb, mert ked-vezőbb vázelhelyezést tesz lehetővé, tömörebb, inkább a „rajzlapon marad”, a polinomértéket pedig közvetlenül, mint valamely abszcisszához tartozó ordiná-tát tünteti fel. Éppen ezért elsőbbséget kell biztosítanunk a Segner-eljárásnak még akkor is, ha gyökmeghatározáshoz talán valamivel előnyösebb, ha az egyenlet „vázát” Lill szerint rajzoljuk fel.”
A Segner-féle eljárást Cantor matematikatörténetében J. Cajori is
tárgyal-124 Uo.
125 J. N. Tavares: Resolução gráfica de equações algébricas. http://cmup.fc.up.pt/cmup/cmec1/
Segner/IndexSegner.html
126 Ez megtalálható pl. Szőkefalvi-Nagy Gyula: A geometriai szerkesztések elmélete. Kolozsvár, 1943. Magánkiadás. c. könyvében (pp. 57–59), vagy Stachó Tibor: Felsőbb mennyiségtan.
Bp., 1942. Franklin. (pp. 343–345).
ja127, interpolációs problémák szerkesztéssel történő megoldására Zemplén Győző alkalmazta.128
„Segner-tétel”
Descartes 1637-ben bizonyítás nélkül közölte azt az algebrai tételt, amelynek legismertebb egykori bizonyítása Segnertől származik,129 így e bizonyítás miatt
Descartes 1637-ben bizonyítás nélkül közölte azt az algebrai tételt, amelynek legismertebb egykori bizonyítása Segnertől származik,129 így e bizonyítás miatt