Érdekesség kedvéért megemlítem, hogy a π értékének megközelítéséhez W. Snell 1621-ben igénybe vett olyan egyenlőtlenséget, mely a fentihez hasonló trigonometrikus relációhoz vezet. Huyghens pedig 1654-ben pontosan (A)-t alkalmazta.
1 Az eredeti értekezést nem tudtam megkeríteni, azonban részletes ismertetése megtalálható Cantor III2
esetén egyenlőség lép fel, vagyis
ner-eljárásnak még akkor is, ha gyökmeghatározáshoz talán valamivel előnyösebb, ha az egyenlet „vázát” Lill szerint rajzoljuk fel.
Segner algebrai eredményei közül jól ismert még a Descartes-féle előjelszabály általa adott bizonyítása. A szabály jó ideig elválaszthatatlan volt Segner nevétől, még Bolyai Farkas is vele kapcsolatban említi a Tentamenben (2. kiadás, I. k. 404-405). Segner első – e kérdéssel kapcsolatos – dolgozata címének [1] megértéséhez tudnunk kell, hogy az említett előjelsza-bályt – főleg az angol J. Wallis (1616-1703) egyik könyvének célzatosan ferdítő adata, továb-bá Leibniz tévedése folytán – jó ideig Thomas Harriot (1560-1621) angol matematikusról nevezték el. Németországban a XVIII. sz. közepéig általánosan elfogadott volt ez a megjelö-lés. A szabályt valójában Descartes közölte először 1637-ben, azonban bizonyítás nélkül. Az idők folyamán többen (Prestet 1675, Stübner 1730, de Gua 1741) is kísérleteztek a bizonyí-tással, más és más úton elindulva; ismeretes, hogy a jóval későbbi keletű Budan-Fourier tétel igénybevételével az igazolás néhány sorban elintézhető. Segner legelső értekezésében, a volt professzorához, Georg Erhard Hambergerhez (1697-1755) benyújtott disszertációjában ugyancsak a jelszabály igazolásával foglalkozott, hogy azonban a feladatot miként sikerült megoldania, ma már nem dönthető el, mert a dolgozat elveszett. Később egy másik értekezé-sében [4] ismételten foglalkozott a bizonyítással, ekkor már helyesen Descartes-ról nevezve a szabályt. Ebben a tanulmányban viszont ugyanazt a fogást alkalmazta a bizonyításban, mint de Gua valamivel elébb (1741): mindketten megszorozzák az algebrai polinomot az 𝑥𝑥𝑥𝑥±𝑝𝑝𝑝𝑝) binommal, és az így nyert eggyel magasabbfokú polinom előjeleit összevetve az eredeti elője-leivel, következtet az előbbi gyökeinek jelére.
Segner első dolgozatának hiányában a közte és a de Gua közötti prioritás kérdése ma már nem dönthető el. Azonban az a tény, hogy Kästner (1719-1800) nemsokára (1745) a jel-szabály két bizonyítását is adta, és az egyiknél Segnerre, a másiknál pedig Stübnerre hivatko-zott, azt a benyomást kelti, hogy Segner első bizonyítása is helyes volt.
A π értékének kiszámítására már a görög Antiphon, Bryson, és főleg Archimedesz óta alkalmazott eljárás a körbe, illetve a kör köré írott szabályos sokszögek kerületével vagy terü-letével való approximálás. Segner András könyvei útján nagy népszerűségre tett szert a mód-szer alábbi finomítása ([5/a] 281 [6] 2. kiadás 661):
Tekintsük az egység sugarú körben a 2 h hosszúságú húr és a hozzá tartozó AD ív által határolt AHD körszegmentumot (2. ábra). Igazolható, hogy a körszegmentum területe (𝑡𝑡𝑡𝑡1) nem kisebb az ABCD téglalap területének (𝑡𝑡𝑡𝑡2) kétharmadánál, és ℎ →0 esetén egyenlőség lép fel, vagyis 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡1
2=231
ℎ→0lim .
Ennek megfelelően a kör területét a körbe írt szabályos n oldalú sokszög területénél jobban megközelíti az alábbi formula:
𝑇𝑇𝑇𝑇=𝑛𝑛𝑛𝑛 �𝑣𝑣𝑣𝑣ℎ+4
3𝑚𝑚𝑚𝑚ℎ�=𝑛𝑛𝑛𝑛ℎ �𝑣𝑣𝑣𝑣+4
3𝑚𝑚𝑚𝑚�=𝑛𝑛𝑛𝑛ℎ �1 +𝑚𝑚𝑚𝑚 3�
Segner n = 96 esetére számította ki h, valamint m értékét, és ebből π-t 6 tizedesnyi pontossá-gig nyerte.
Tudomásunk van Segner ama geometriai tárgyú dolgozatáról is, melyben egy Euler által felvetett elemi feladat megoldását közölte (Novi Commentarii Academiae Petropolitanae, 7.
k. 1758-59. 283-310)1 Euler 1751-ben Goldbachhoz írott levelében felvetette azt a kérdést,
Érdekesség kedvéért megemlítem, hogy a π értékének megközelítéséhez W. Snell 1621-ben igénybe vett olyan egyenlőtlenséget, mely a fentihez hasonló trigonometrikus relációhoz vezet. Huyghens pedig 1654-ben pontosan (A)-t alkalmazta.
1 Az eredeti értekezést nem tudtam megkeríteni, azonban részletes ismertetése megtalálható Cantor III2
köteté-Az ábra jelöléseinek felhasználásával ugyanis:
hogy az n oldalú (síkbeli) konvex sokszög hányféleként bontható fel egymást nem metsző átlók segítségével háromszögekre.
A kérdésre csakhamar megadta a választ Euler, teljes indukcióval igazolva, hogy a ke-resett szám:
A 2. ábra jelöléseinek felhasználásával:
𝑡𝑡𝑡𝑡1
Igazolható mármost pl. sorfejtéssel, hogy véges α esetén
𝛼𝛼𝛼𝛼−sin 𝛼𝛼𝛼𝛼
Említett értekezésében ezt a problémát oldotta meg Segner is, lényegében a következő gondolatmenet alapján adva egy rekurzív formulát: válasszuk ki az n oldalú sokszög valame-lyik oldalát – mondjuk 1 n-t – és tekintsük ezt egy valamilyen felbontáshoz tartozó háromszög alapjának. E háromszög harmadik csúcsa legyen a sokszög r-edik csúcsa. Így az r1n három-szög két sokhárom-szöget hasít le az eredeti sokhárom-szögből, melyek közül az egyik r, a másik 𝑛𝑛𝑛𝑛+ 1− 𝑟𝑟𝑟𝑟=𝑠𝑠𝑠𝑠 csúccsal rendelkezik. Ezek lehetséges felbontásainak számát jelölje 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑟𝑟𝑟𝑟 és 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑠𝑠𝑠𝑠. Mivel az egyik sokszög bármelyik felbontásához a másik bármelyik felbontása tartozhat, azért az r-edik csúcs és az alap rögzítése esetén 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑟𝑟𝑟𝑟∙ 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑠𝑠𝑠𝑠 felbontás lehetséges. Azonban az r sorra felveheti a 2, 3, ..., n-1 értékeket, és közben mindig más és más felbontást nyerünk. Ezért az összes becsúszott néhány hibát még a kiadvány ugyanazon kötetében Goldbach korrigálta.
Itt említem meg, hogy Segner több tankönyvében (pl. [5/a] 235-236) a térmértani részt – név említése nélkül – az idők folyamán feledésbe ment Cavalieri-féle elv (1626) ismertetésé-vel kezdi. A Cavalieri elv éppen Segner könyvei útján jó ideig tévesen az ő nevét viselte.
Segner hangsúlyozta először a tankönyvirodalomban, hogy a kongruenciának a síkhá-romszögekre vonatkozó kritériumai nem vihetők át a szférikus háromszögekre. Két,
ben 605-607. A feladattal kapcsolatban megemlítem még Rodriques (Journal de Mathémetiques, 3.k. 1838) ötletét, aki a fenti feladatot összekapcsolta Catalan következő problémájának megoldásával): n különböző té-nyező szorzatát hányféleképpen lehet (az eredeti tété-nyezőkből nyerhető) kéttété-nyezős szorzatok összegeként előál-lítani? L. részletesebben: H. Dörrie Triumph der Mathematik, Breslau, 1933. 20-25. Vö. még ezzel kapcsolatban az 1956. évi Schweitzer Miklós matematikai verseny 3. feladatát.
Igazolható mármost pl. sorfejtéssel, hogy véges α esetén
hogy az n oldalú (síkbeli) konvex sokszög hányféleként bontható fel egymást nem metsző átlók segítségével háromszögekre.
A kérdésre csakhamar megadta a választ Euler, teljes indukcióval igazolva, hogy a ke-resett szám:
A 2. ábra jelöléseinek felhasználásával:
𝑡𝑡𝑡𝑡
1Igazolható mármost pl. sorfejtéssel, hogy véges α esetén
𝛼𝛼𝛼𝛼−sin 𝛼𝛼𝛼𝛼
Említett értekezésében ezt a problémát oldotta meg Segner is, lényegében a következő gondolatmenet alapján adva egy rekurzív formulát: válasszuk ki az n oldalú sokszög valame-lyik oldalát – mondjuk 1 n-t – és tekintsük ezt egy valamilyen felbontáshoz tartozó háromszög alapjának. E háromszög harmadik csúcsa legyen a sokszög r-edik csúcsa. Így az r1n három-szög két sokhárom-szöget hasít le az eredeti sokhárom-szögből, melyek közül az egyik r, a másik 𝑛𝑛𝑛𝑛 + 1 − 𝑟𝑟𝑟𝑟 = 𝑠𝑠𝑠𝑠 csúccsal rendelkezik. Ezek lehetséges felbontásainak számát jelölje 𝑃𝑃𝑃𝑃
𝑟𝑟𝑟𝑟és 𝑃𝑃𝑃𝑃
𝑠𝑠𝑠𝑠. Mivel az egyik sokszög bármelyik felbontásához a másik bármelyik felbontása tartozhat, azért az r-edik csúcs és az alap rögzítése esetén 𝑃𝑃𝑃𝑃
𝑟𝑟𝑟𝑟∙ 𝑃𝑃𝑃𝑃
𝑠𝑠𝑠𝑠felbontás lehetséges. Azonban az r sorra felveheti a 2, 3, ..., n-1 értékeket, és közben mindig más és más felbontást nyerünk. Ezért az összes becsúszott néhány hibát még a kiadvány ugyanazon kötetében Goldbach korrigálta.
Itt említem meg, hogy Segner több tankönyvében (pl. [5/a] 235-236) a térmértani részt – név említése nélkül – az idők folyamán feledésbe ment Cavalieri-féle elv (1626) ismertetésé-vel kezdi. A Cavalieri elv éppen Segner könyvei útján jó ideig tévesen az ő nevét viselte.
Segner hangsúlyozta először a tankönyvirodalomban, hogy a kongruenciának a síkhá-romszögekre vonatkozó kritériumai nem vihetők át a szférikus háromszögekre. Két,
ben 605-607. A feladattal kapcsolatban megemlítem még Rodriques (Journal de Mathémetiques, 3.k. 1838) ötletét, aki a fenti feladatot összekapcsolta Catalan következő problémájának megoldásával): n különböző té-nyező szorzatát hányféleképpen lehet (az eredeti tété-nyezőkből nyerhető) kéttété-nyezős szorzatok összegeként előál-lítani? L. részletesebben: H. Dörrie Triumph der Mathematik, Breslau, 1933. 20-25. Vö. még ezzel kapcsolatban az 1956. évi Schweitzer Miklós matematikai verseny 3. feladatát.
másrészt
hogy az n oldalú (síkbeli) konvex sokszög hányféleként bontható fel egymást nem metsző átlók segítségével háromszögekre.
A kérdésre csakhamar megadta a választ Euler, teljes indukcióval igazolva, hogy a ke-resett szám:
A 2. ábra jelöléseinek felhasználásával:
𝑡𝑡𝑡𝑡1
Igazolható mármost pl. sorfejtéssel, hogy véges α esetén
𝛼𝛼𝛼𝛼−sin 𝛼𝛼𝛼𝛼
Említett értekezésében ezt a problémát oldotta meg Segner is, lényegében a következő gondolatmenet alapján adva egy rekurzív formulát: válasszuk ki az n oldalú sokszög valame-lyik oldalát – mondjuk 1 n-t – és tekintsük ezt egy valamilyen felbontáshoz tartozó háromszög alapjának. E háromszög harmadik csúcsa legyen a sokszög r-edik csúcsa. Így az r1n három-szög két sokhárom-szöget hasít le az eredeti sokhárom-szögből, melyek közül az egyik r, a másik 𝑛𝑛𝑛𝑛+ 1−
𝑟𝑟𝑟𝑟=𝑠𝑠𝑠𝑠 csúccsal rendelkezik. Ezek lehetséges felbontásainak számát jelölje 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑟𝑟𝑟𝑟 és 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑠𝑠𝑠𝑠. Mivel az
egyik sokszög bármelyik felbontásához a másik bármelyik felbontása tartozhat, azért az r-edik csúcs és az alap rögzítése esetén 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑟𝑟𝑟𝑟∙ 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑠𝑠𝑠𝑠 felbontás lehetséges. Azonban az r sorra felveheti a 2, 3, ..., n-1 értékeket, és közben mindig más és más felbontást nyerünk. Ezért az összes lehetséges felbontások száma: becsúszott néhány hibát még a kiadvány ugyanazon kötetében Goldbach korrigálta.
Itt említem meg, hogy Segner több tankönyvében (pl. [5/a] 235-236) a térmértani részt – név említése nélkül – az idők folyamán feledésbe ment Cavalieri-féle elv (1626) ismertetésé-vel kezdi. A Cavalieri elv éppen Segner könyvei útján jó ideig tévesen az ő nevét viselte.
Segner hangsúlyozta először a tankönyvirodalomban, hogy a kongruenciának a síkhá-romszögekre vonatkozó kritériumai nem vihetők át a szférikus háromszögekre. Két,
ben 605-607. A feladattal kapcsolatban megemlítem még Rodriques (Journal de Mathémetiques, 3.k. 1838) ötletét, aki a fenti feladatot összekapcsolta Catalan következő problémájának megoldásával): n különböző té-nyező szorzatát hányféleképpen lehet (az eredeti tété-nyezőkből nyerhető) kéttété-nyezős szorzatok összegeként előál-lítani? L. részletesebben: H. Dörrie Triumph der Mathematik, Breslau, 1933. 20-25. Vö. még ezzel kapcsolatban az 1956. évi Schweitzer Miklós matematikai verseny 3. feladatát.
hogy az n oldalú (síkbeli) konvex sokszög hányféleként bontható fel egymást nem metsző átlók segítségével háromszögekre.
A kérdésre csakhamar megadta a választ Euler, teljes indukcióval igazolva, hogy a ke-resett szám:
A 2. ábra jelöléseinek felhasználásával:
𝑡𝑡𝑡𝑡1
Igazolható mármost pl. sorfejtéssel, hogy véges α esetén
𝛼𝛼𝛼𝛼−sin 𝛼𝛼𝛼𝛼
Említett értekezésében ezt a problémát oldotta meg Segner is, lényegében a következő gondolatmenet alapján adva egy rekurzív formulát: válasszuk ki az n oldalú sokszög valame-lyik oldalát – mondjuk 1 n-t – és tekintsük ezt egy valamilyen felbontáshoz tartozó háromszög alapjának. E háromszög harmadik csúcsa legyen a sokszög r-edik csúcsa. Így az r1n három-szög két sokhárom-szöget hasít le az eredeti sokhárom-szögből, melyek közül az egyik r, a másik 𝑛𝑛𝑛𝑛+ 1−
𝑟𝑟𝑟𝑟=𝑠𝑠𝑠𝑠 csúccsal rendelkezik. Ezek lehetséges felbontásainak számát jelölje 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑟𝑟𝑟𝑟 és 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑠𝑠𝑠𝑠. Mivel az
egyik sokszög bármelyik felbontásához a másik bármelyik felbontása tartozhat, azért az r-edik csúcs és az alap rögzítése esetén 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑟𝑟𝑟𝑟∙ 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑠𝑠𝑠𝑠 felbontás lehetséges. Azonban az r sorra felveheti a 2, 3, ..., n-1 értékeket, és közben mindig más és más felbontást nyerünk. Ezért az összes lehetséges felbontások száma: becsúszott néhány hibát még a kiadvány ugyanazon kötetében Goldbach korrigálta.
Itt említem meg, hogy Segner több tankönyvében (pl. [5/a] 235-236) a térmértani részt – név említése nélkül – az idők folyamán feledésbe ment Cavalieri-féle elv (1626) ismertetésé-vel kezdi. A Cavalieri elv éppen Segner könyvei útján jó ideig tévesen az ő nevét viselte.
Segner hangsúlyozta először a tankönyvirodalomban, hogy a kongruenciának a síkhá-romszögekre vonatkozó kritériumai nem vihetők át a szférikus háromszögekre. Két,
ben 605-607. A feladattal kapcsolatban megemlítem még Rodriques (Journal de Mathémetiques, 3.k. 1838) ötletét, aki a fenti feladatot összekapcsolta Catalan következő problémájának megoldásával): n különböző té-nyező szorzatát hányféleképpen lehet (az eredeti tété-nyezőkből nyerhető) kéttété-nyezős szorzatok összegeként előál-lítani? L. részletesebben: H. Dörrie Triumph der Mathematik, Breslau, 1933. 20-25. Vö. még ezzel kapcsolatban az 1956. évi Schweitzer Miklós matematikai verseny 3. feladatát.
hogy az n oldalú (síkbeli) konvex sokszög hányféleként bontható fel egymást nem metsző átlók segítségével háromszögekre.
A kérdésre csakhamar megadta a választ Euler, teljes indukcióval igazolva, hogy a ke-resett szám:
A 2. ábra jelöléseinek felhasználásával:
𝑡𝑡𝑡𝑡1
Igazolható mármost pl. sorfejtéssel, hogy véges α esetén
𝛼𝛼𝛼𝛼−sin 𝛼𝛼𝛼𝛼
Említett értekezésében ezt a problémát oldotta meg Segner is, lényegében a következő gondolatmenet alapján adva egy rekurzív formulát: válasszuk ki az n oldalú sokszög valame-lyik oldalát – mondjuk 1 n-t – és tekintsük ezt egy valamilyen felbontáshoz tartozó háromszög alapjának. E háromszög harmadik csúcsa legyen a sokszög r-edik csúcsa. Így az r1n három-szög két sokhárom-szöget hasít le az eredeti sokhárom-szögből, melyek közül az egyik r, a másik 𝑛𝑛𝑛𝑛+ 1−
𝑟𝑟𝑟𝑟=𝑠𝑠𝑠𝑠 csúccsal rendelkezik. Ezek lehetséges felbontásainak számát jelölje 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑟𝑟𝑟𝑟 és 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑠𝑠𝑠𝑠. Mivel az
egyik sokszög bármelyik felbontásához a másik bármelyik felbontása tartozhat, azért az r-edik csúcs és az alap rögzítése esetén 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑟𝑟𝑟𝑟∙ 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑠𝑠𝑠𝑠 felbontás lehetséges. Azonban az r sorra felveheti a 2, 3, ..., n-1 értékeket, és közben mindig más és más felbontást nyerünk. Ezért az összes lehetséges felbontások száma: becsúszott néhány hibát még a kiadvány ugyanazon kötetében Goldbach korrigálta.
Itt említem meg, hogy Segner több tankönyvében (pl. [5/a] 235-236) a térmértani részt – név említése nélkül – az idők folyamán feledésbe ment Cavalieri-féle elv (1626) ismertetésé-vel kezdi. A Cavalieri elv éppen Segner könyvei útján jó ideig tévesen az ő nevét viselte.
Segner hangsúlyozta először a tankönyvirodalomban, hogy a kongruenciának a síkhá-romszögekre vonatkozó kritériumai nem vihetők át a szférikus háromszögekre. Két,
ben 605-607. A feladattal kapcsolatban megemlítem még Rodriques (Journal de Mathémetiques, 3.k. 1838) ötletét, aki a fenti feladatot összekapcsolta Catalan következő problémájának megoldásával): n különböző té-nyező szorzatát hányféleképpen lehet (az eredeti tété-nyezőkből nyerhető) kéttété-nyezős szorzatok összegeként előál-lítani? L. részletesebben: H. Dörrie Triumph der Mathematik, Breslau, 1933. 20-25. Vö. még ezzel kapcsolatban az 1956. évi Schweitzer Miklós matematikai verseny 3. feladatát.
Ennek megfelelően a kör területét a körbe írt szabályos n oldalú sokszög terüle-ténél jobban megközelíti az alábbi formula:
ner-eljárásnak még akkor is, ha gyökmeghatározáshoz talán valamivel előnyösebb, ha az egyenlet „vázát” Lill szerint rajzoljuk fel.
Segner algebrai eredményei közül jól ismert még a Descartes-féle előjelszabály általa adott bizonyítása. A szabály jó ideig elválaszthatatlan volt Segner nevétől, még Bolyai Farkas is vele kapcsolatban említi a Tentamenben (2. kiadás, I. k. 404-405). Segner első – e kérdéssel kapcsolatos – dolgozata címének [1] megértéséhez tudnunk kell, hogy az említett előjelsza-bályt – főleg az angol J. Wallis (1616-1703) egyik könyvének célzatosan ferdítő adata, továb-bá Leibniz tévedése folytán – jó ideig Thomas Harriot (1560-1621) angol matematikusról nevezték el. Németországban a XVIII. sz. közepéig általánosan elfogadott volt ez a megjelö-lés. A szabályt valójában Descartes közölte először 1637-ben, azonban bizonyítás nélkül. Az idők folyamán többen (Prestet 1675, Stübner 1730, de Gua 1741) is kísérleteztek a bizonyí-tással, más és más úton elindulva; ismeretes, hogy a jóval későbbi keletű Budan-Fourier tétel igénybevételével az igazolás néhány sorban elintézhető. Segner legelső értekezésében, a volt professzorához, Georg Erhard Hambergerhez (1697-1755) benyújtott disszertációjában ugyancsak a jelszabály igazolásával foglalkozott, hogy azonban a feladatot miként sikerült megoldania, ma már nem dönthető el, mert a dolgozat elveszett. Később egy másik értekezé-sében [4] ismételten foglalkozott a bizonyítással, ekkor már helyesen Descartes-ról nevezve a szabályt. Ebben a tanulmányban viszont ugyanazt a fogást alkalmazta a bizonyításban, mint de Gua valamivel elébb (1741): mindketten megszorozzák az algebrai polinomot az 𝑥𝑥𝑥𝑥±𝑝𝑝𝑝𝑝) binommal, és az így nyert eggyel magasabbfokú polinom előjeleit összevetve az eredeti elője-leivel, következtet az előbbi gyökeinek jelére.
Segner első dolgozatának hiányában a közte és a de Gua közötti prioritás kérdése ma már nem dönthető el. Azonban az a tény, hogy Kästner (1719-1800) nemsokára (1745) a jel-szabály két bizonyítását is adta, és az egyiknél Segnerre, a másiknál pedig Stübnerre hivatko-zott, azt a benyomást kelti, hogy Segner első bizonyítása is helyes volt.
A π értékének kiszámítására már a görög Antiphon, Bryson, és főleg Archimedesz óta alkalmazott eljárás a körbe, illetve a kör köré írott szabályos sokszögek kerületével vagy terü-letével való approximálás. Segner András könyvei útján nagy népszerűségre tett szert a mód-szer alábbi finomítása ([5/a] 281 [6] 2. kiadás 661):
Tekintsük az egység sugarú körben a 2 h hosszúságú húr és a hozzá tartozó AD ív által határolt AHD körszegmentumot (2. ábra). Igazolható, hogy a körszegmentum területe (𝑡𝑡𝑡𝑡1) nem kisebb az ABCD téglalap területének (𝑡𝑡𝑡𝑡2) kétharmadánál, és ℎ →0 esetén egyenlőség lép fel, vagyis ℎ→0lim𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡12=231 .
Ennek megfelelően a kör területét a körbe írt szabályos n oldalú sokszög területénél jobban megközelíti az alábbi formula:
𝑇𝑇𝑇𝑇=𝑛𝑛𝑛𝑛 �𝑣𝑣𝑣𝑣ℎ+4
3𝑚𝑚𝑚𝑚ℎ�=𝑛𝑛𝑛𝑛ℎ �𝑣𝑣𝑣𝑣+4
3𝑚𝑚𝑚𝑚�=𝑛𝑛𝑛𝑛ℎ �1 +𝑚𝑚𝑚𝑚 3�
Segner n = 96 esetére számította ki h, valamint m értékét, és ebből π-t 6 tizedesnyi pontossá-gig nyerte.
Tudomásunk van Segner ama geometriai tárgyú dolgozatáról is, melyben egy Euler által felvetett elemi feladat megoldását közölte (Novi Commentarii Academiae Petropolitanae, 7.
k. 1758-59. 283-310)1 Euler 1751-ben Goldbachhoz írott levelében felvetette azt a kérdést,
Érdekesség kedvéért megemlítem, hogy a π értékének megközelítéséhez W. Snell 1621-ben igénybe vett olyan egyenlőtlenséget, mely a fentihez hasonló trigonometrikus relációhoz vezet. Huyghens pedig 1654-ben pontosan (A)-t alkalmazta.
1 Az eredeti értekezést nem tudtam megkeríteni, azonban részletes ismertetése megtalálható Cantor III2
köteté-Ha a Segner-féle közelítő képlettel kiszámítjuk a beírt n oldalú sokszög területét az említett n = 96 és a hozzátartozó α = 1,8750 értékekkel, akkor – egységsuga-rú körről lévén szó – h = sin 1,875 és m = 1 – cos 1,875 helyettesítéssel 3,14159253.. értéket kapunk a területre. Ez hat tizedesjegyre pontosan a kör területének mértékszáma, az egységnyi sugár miatt π értéke. A hetedik tizedes-jegy pontos értéke 6, tehát valóban a π -nél kisebb számot ad a képlet. Nem véletlen az n = 96 szerepeltetése. Ugyanis Archimedes, a neves görög tudós, a beírt és körülírt szabályos 96-szögek segítségével bebizonyította, hogy π értéke 3 10/71 > 3,1408 és 3 10/70 < 3,14290 között van. Történelmietlen a görögök-kel kapcsolatban a tizedestört alkalmazása, hisz akkor még nem ismerték a tize-destörteket. Nekünk azonban már egyszerűbb a tizedes-alak segítségével össze-hasonlítani az értékeket, Megemlítjük, hogy a 35 jegyre pontos értéket Ludolf
van Ceulen (1540–1610) holland mérnök, a Leideni Egyetemen mérnöki karának első professzo-ra számította ki, ezért nevezzük a π -t Ludolf-féle számnak. Ezt a 35 jegyet meg is nézhetjük 2000.
július 5. óta Leydenben a Pie-terskerkben (a Péter-templom-ban), ugyanis rekonstruálták a matematikus-mérnöknek a 19.
század elején eltűnt sírkövét, amelyre rávésték ezt a nevezetes értéket.
Archimedest legtöbben, mint a folyadékokban ható felhajtó erő nagyságának meghatározóját ismerik. Sokkal jelentősebb azonban az imént említett bizo-nyítási eljárása: a kétoldalú kö-zelítés módszere.
Segner eljárása pontosabb értéket szolgáltat, ő azonban nem foglalkozott a körülírt sok-szögek területével. Ha nem te-szünk mást, mint megnézzük az egységnyi sugarú kör köré írt 96-szög területét, a 96tg1,8750 értékét, amely 3,1427.. – Archimedes eredmé-nyével csaknem egyezően – akkor lát-hatjuk, hogy már ez is két tizedes pon-tossággal szolgáltatja a π -t, és felső korlátot ad arra. (A kis eltérés oka az, hogy Achimedes más tipusú számoló-gépet használt, mint én.)
Egészítsük ki Segner ábráját úgy, hogy megrajzoljuk a körülírt sokszög-nek a 2 α középponti szöghöz tartozó részét! A sokszög oldalának felét jelöl-jük e-vel! A többi jelölést megtartjuk.
Eltekintünk a sorfejtéstől, a határát-menet végrehajtásától, és feltételez-zük, hogy most is a jelenlegi – a beírt
Ludolf van Ceylen rekonstruált sírköve Leydenben
96
körhöz tartozó téglalapnál kicsit nagyobb – téglalapnak a kétharmada lesz a körszegmentum területe. Ekkor a sokszög területére a következő összefüggést írhatjuk fel:
T = n (tg α – 2/3 me).
Behelyettesítve az aktuális értékeket, π felső közelítésére az alábbi össze-függést kapjuk:
T = 96 tg 1,875 [1 – 2/3 (1-cos 1,875)]. Ennek értéke 3,14159282.... A két-harmados területi arány feltételezésével a ténylegesnél egy kicsivel többet von-tunk le az új téglalap területéből, de így is hat tizedesjegyre pontos felső közelí-tést kaptunk. Ez igazolja lustaságunkat, hogy nem végeztük el a trigonometriai átalakításokat, a sorfejtést és a határátmenetet.
A módszer fontosságának, jelentőségének kiemelése céljából megemlítjük Bay Zoltán (1900-1992) jeles fizikus 1946. évi Hold-radar-kísérletét. Az ameri-kai kutatók – a budapesti Egyesült Izzóban végrehajtott kísérletnél egy kicsit korábban – egyetlen radarjel Holdról történő visszaverődését észlelték. Bay ku-tatócsoportjának – a fejletlenebb technikai feltételek miatt – 1000 radarimpul-zust kellett a Holdra küldeni és a visszavert jeleket coulométerekkel (Volta-mé-terekkel) összegezni, tárolni. A radarcsillagászatban a mai napig használják a jelösszegezés- és tárolás módszerét. Önkéntelenül eszünkbe jut még egy igen neves magyar kísérletező tanár, Jedlik Ányos, aki akadémiai székfoglaló elő-adását 1859. november 14-én „A villanytelepek egész működésének meghatáro-zása” címmel tartotta. Ő a telepek áramának mérését, az áramerősségek nagysá-gának tárolását végezte ugyancsak a vízbontáson alapuló coulométerekkel.
„Segner-számok”142
Eulertől származó elemi feladat megoldása
Euler 1751-ben Goldbachhoz írott levelében felvetette azt a kérdést, hogy az n oldalú (síkbeli) konvex sokszög hányféleként bontható fel egymást nem metsző átlók segítségével háromszögekre.
A kérdésre megadta a választ maga Euler. Teljes indukcióval igazolta, hogy a keresett szám
hogy az n oldalú (síkbeli) konvex sokszög hányféleként bontható fel egymást nem metsző átlók segítségével háromszögekre.
A kérdésre csakhamar megadta a választ Euler, teljes indukcióval igazolva, hogy a ke-resett szám:
A 2. ábra jelöléseinek felhasználásával:
𝑡𝑡𝑡𝑡1
Igazolható mármost pl. sorfejtéssel, hogy véges α esetén
𝛼𝛼𝛼𝛼−sin 𝛼𝛼𝛼𝛼
Említett értekezésében ezt a problémát oldotta meg Segner is, lényegében a következő
Említett értekezésében ezt a problémát oldotta meg Segner is, lényegében a következő