DR. SZÉNÁSSY BARNA*
Segner önálló matematikai eredményeivel több írásban is foglalkoztunk [1]. Ezekre a közleményekre való tekintettel ezúttal kizárólag néhány olyan tételére szorítkozunk, melyek valamilyen formában hatottak a későbbi magyar matematikusokra. Összeállításunkban nyil-vánvalóan támaszkodunk régebbi tanulmányainkra is.
* * *
Descartes 1637-ben bizonyítás nélkül közölte az alábbi – sokhelyt alkalmazható - al-gebrai tételt:
Egy valós együtthatós algebrai egyenlet pozitív gyökeinek a száma legfeljebb annyi, mint az együtthatók sorozatában fellépő előjelváltások száma.
A tétel bizonyításával a későbbiekben többen (Prestet 1675, Stübner 1730, De Gua 1741, és mások) foglalkoztak, a bizonyításhoz más és más kiinduló pontot választva. Legis-mertebbé azonban a Segner-től származó bizonyítás vált. Éppen a bizonyítás révén egy időben róla nevezték a Descartes-féle tételt, még Bolyai Farkas is vele kapcsolatban említi a Tentamenben [2].
Segner első matematikai értekezésében [3], ami egyben doktori disszertációja volt, adta a Descartes-tétel igazolását, módszerét azonban nem ismerjük, mert ez a dolgozata elveszett.
Egy későbbi értekezésében [4] újólag visszatért a kérdésre, ekkor azonban már csak a bizo-nyítás ötletét közölte. Ez a következő segédtételen alapult:
Ha a
𝑔𝑔𝑔𝑔(𝑥𝑥𝑥𝑥) =𝑎𝑎𝑎𝑎0𝑥𝑥𝑥𝑥𝑛𝑛𝑛𝑛+𝑎𝑎𝑎𝑎1𝑥𝑥𝑥𝑥𝑛𝑛𝑛𝑛−1+⋯+𝑎𝑎𝑎𝑎𝑛𝑛𝑛𝑛 (𝑎𝑎𝑎𝑎0> 0)
valós együtthatós polinomban a jelváltások száma r, akkor a 𝐺𝐺𝐺𝐺(𝑥𝑥𝑥𝑥) =𝑔𝑔𝑔𝑔(𝑥𝑥𝑥𝑥)(𝑥𝑥𝑥𝑥 − 𝑎𝑎𝑎𝑎)(𝑎𝑎𝑎𝑎> 0) szorzat-polinomban a jelváltások száma legalább r + 1.
Ennek a segédtételnek az alábbi igazolását találjuk Kőnig Gyula egyik könyvében [5]:
Legyen a
𝑔𝑔𝑔𝑔(𝑥𝑥𝑥𝑥) =𝑎𝑎𝑎𝑎0𝑥𝑥𝑥𝑥𝑛𝑛𝑛𝑛+⋯+𝑎𝑎𝑎𝑎𝑛𝑛𝑛𝑛−𝑘𝑘𝑘𝑘−1𝑥𝑥𝑥𝑥𝑘𝑘𝑘𝑘+1+𝑎𝑎𝑎𝑎𝑛𝑛𝑛𝑛−𝑘𝑘𝑘𝑘𝑥𝑥𝑥𝑥𝑘𝑘𝑘𝑘+⋯+𝑎𝑎𝑎𝑎𝑛𝑛𝑛𝑛
polinomban az első jelváltás a k-adfokú tagnál, másszóval ennek a tagnak az előjele negatív, akkor a G(x) szorzat-polinom (k+1)-edfokú tagja szintén negatív előjelű. Ez azonnal belátha-tó, hisz részletesebben kiírva
𝐺𝐺𝐺𝐺(𝑥𝑥𝑥𝑥) =𝑎𝑎𝑎𝑎0𝑥𝑥𝑥𝑥𝑛𝑛𝑛𝑛+1+⋯+ (𝑎𝑎𝑎𝑎𝑛𝑛𝑛𝑛−𝑘𝑘𝑘𝑘− 𝑎𝑎𝑎𝑎 ∙ 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑛𝑛𝑛𝑛−𝑘𝑘𝑘𝑘−1)𝑥𝑥𝑥𝑥𝑘𝑘𝑘𝑘+1+⋯ − 𝑎𝑎𝑎𝑎 ∙ 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑛𝑛𝑛𝑛 ,
márpedig a feltételek miatt 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑛𝑛𝑛𝑛−𝑘𝑘𝑘𝑘 , továbbá 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑛𝑛𝑛𝑛−𝑘𝑘𝑘𝑘− 𝑎𝑎𝑎𝑎 ∙ 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑛𝑛𝑛𝑛−𝑘𝑘𝑘𝑘−1 egyenlő előjelű, mindkettő ne-gatív.
A g(x) polinomban az r számú jelváltás legyen mármost az 𝑠𝑠𝑠𝑠1,𝑠𝑠𝑠𝑠2, … ,𝑠𝑠𝑠𝑠𝑘𝑘𝑘𝑘, … ,𝑠𝑠𝑠𝑠𝑟𝑟𝑟𝑟
*Dr. Szénássy Barna a Kossuth Lajos Tudományegyetem docense
valós együtthatós polinomban a jelváltások száma r, akkor a
Megjegyzések Segner matematikai eredményeihez
DR. SZÉNÁSSY BARNA*
Segner önálló matematikai eredményeivel több írásban is foglalkoztunk [1]. Ezekre a közleményekre való tekintettel ezúttal kizárólag néhány olyan tételére szorítkozunk, melyek valamilyen formában hatottak a későbbi magyar matematikusokra. Összeállításunkban nyil-vánvalóan támaszkodunk régebbi tanulmányainkra is.
* * *
Descartes 1637-ben bizonyítás nélkül közölte az alábbi – sokhelyt alkalmazható - al-gebrai tételt:
Egy valós együtthatós algebrai egyenlet pozitív gyökeinek a száma legfeljebb annyi, mint az együtthatók sorozatában fellépő előjelváltások száma.
A tétel bizonyításával a későbbiekben többen (Prestet 1675, Stübner 1730, De Gua 1741, és mások) foglalkoztak, a bizonyításhoz más és más kiinduló pontot választva. Legis-mertebbé azonban a Segner-től származó bizonyítás vált. Éppen a bizonyítás révén egy időben róla nevezték a Descartes-féle tételt, még Bolyai Farkas is vele kapcsolatban említi a Tentamenben [2].
Segner első matematikai értekezésében [3], ami egyben doktori disszertációja volt, adta a Descartes-tétel igazolását, módszerét azonban nem ismerjük, mert ez a dolgozata elveszett.
Egy későbbi értekezésében [4] újólag visszatért a kérdésre, ekkor azonban már csak a bizo-nyítás ötletét közölte. Ez a következő segédtételen alapult:
Ha a
𝑔𝑔𝑔𝑔(𝑥𝑥𝑥𝑥) =𝑎𝑎𝑎𝑎0𝑥𝑥𝑥𝑥𝑛𝑛𝑛𝑛+𝑎𝑎𝑎𝑎1𝑥𝑥𝑥𝑥𝑛𝑛𝑛𝑛−1+⋯+𝑎𝑎𝑎𝑎𝑛𝑛𝑛𝑛 (𝑎𝑎𝑎𝑎0 > 0)
valós együtthatós polinomban a jelváltások száma r, akkor a 𝐺𝐺𝐺𝐺(𝑥𝑥𝑥𝑥) =𝑔𝑔𝑔𝑔(𝑥𝑥𝑥𝑥)(𝑥𝑥𝑥𝑥 − 𝑎𝑎𝑎𝑎)(𝑎𝑎𝑎𝑎 > 0) szorzat-polinomban a jelváltások száma legalább r + 1.
Ennek a segédtételnek az alábbi igazolását találjuk Kőnig Gyula egyik könyvében [5]:
Legyen a
𝑔𝑔𝑔𝑔(𝑥𝑥𝑥𝑥) =𝑎𝑎𝑎𝑎0𝑥𝑥𝑥𝑥𝑛𝑛𝑛𝑛+⋯+𝑎𝑎𝑎𝑎𝑛𝑛𝑛𝑛−𝑘𝑘𝑘𝑘−1𝑥𝑥𝑥𝑥𝑘𝑘𝑘𝑘+1+𝑎𝑎𝑎𝑎𝑛𝑛𝑛𝑛−𝑘𝑘𝑘𝑘𝑥𝑥𝑥𝑥𝑘𝑘𝑘𝑘+⋯+𝑎𝑎𝑎𝑎𝑛𝑛𝑛𝑛
polinomban az első jelváltás a k-adfokú tagnál, másszóval ennek a tagnak az előjele negatív, akkor a G(x) szorzat-polinom (k+1)-edfokú tagja szintén negatív előjelű. Ez azonnal belátha-tó, hisz részletesebben kiírva
𝐺𝐺𝐺𝐺(𝑥𝑥𝑥𝑥) =𝑎𝑎𝑎𝑎0𝑥𝑥𝑥𝑥𝑛𝑛𝑛𝑛+1+⋯+ (𝑎𝑎𝑎𝑎𝑛𝑛𝑛𝑛−𝑘𝑘𝑘𝑘− 𝑎𝑎𝑎𝑎 ∙ 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑛𝑛𝑛𝑛−𝑘𝑘𝑘𝑘−1)𝑥𝑥𝑥𝑥𝑘𝑘𝑘𝑘+1+⋯ − 𝑎𝑎𝑎𝑎 ∙ 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑛𝑛𝑛𝑛 ,
márpedig a feltételek miatt 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑛𝑛𝑛𝑛−𝑘𝑘𝑘𝑘 , továbbá 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑛𝑛𝑛𝑛−𝑘𝑘𝑘𝑘− 𝑎𝑎𝑎𝑎 ∙ 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑛𝑛𝑛𝑛−𝑘𝑘𝑘𝑘−1 egyenlő előjelű, mindkettő ne-gatív.
A g(x) polinomban az r számú jelváltás legyen mármost az 𝑠𝑠𝑠𝑠1,𝑠𝑠𝑠𝑠2, … ,𝑠𝑠𝑠𝑠𝑘𝑘𝑘𝑘, … ,𝑠𝑠𝑠𝑠𝑟𝑟𝑟𝑟
Megjegyzések Segner matematikai eredményeihez
DR. SZÉNÁSSY BARNA*
Segner önálló matematikai eredményeivel több írásban is foglalkoztunk [1]. Ezekre a közleményekre való tekintettel ezúttal kizárólag néhány olyan tételére szorítkozunk, melyek valamilyen formában hatottak a későbbi magyar matematikusokra. Összeállításunkban nyil-vánvalóan támaszkodunk régebbi tanulmányainkra is.
* * *
Descartes 1637-ben bizonyítás nélkül közölte az alábbi – sokhelyt alkalmazható - al-gebrai tételt:
Egy valós együtthatós algebrai egyenlet pozitív gyökeinek a száma legfeljebb annyi, mint az együtthatók sorozatában fellépő előjelváltások száma.
A tétel bizonyításával a későbbiekben többen (Prestet 1675, Stübner 1730, De Gua 1741, és mások) foglalkoztak, a bizonyításhoz más és más kiinduló pontot választva. Legis-mertebbé azonban a Segner-től származó bizonyítás vált. Éppen a bizonyítás révén egy időben róla nevezték a Descartes-féle tételt, még Bolyai Farkas is vele kapcsolatban említi a Tentamenben [2].
Segner első matematikai értekezésében [3], ami egyben doktori disszertációja volt, adta a Descartes-tétel igazolását, módszerét azonban nem ismerjük, mert ez a dolgozata elveszett.
Egy későbbi értekezésében [4] újólag visszatért a kérdésre, ekkor azonban már csak a bizo-nyítás ötletét közölte. Ez a következő segédtételen alapult:
Ha a
𝑔𝑔𝑔𝑔(𝑥𝑥𝑥𝑥) =𝑎𝑎𝑎𝑎0𝑥𝑥𝑥𝑥𝑛𝑛𝑛𝑛+𝑎𝑎𝑎𝑎1𝑥𝑥𝑥𝑥𝑛𝑛𝑛𝑛−1+⋯+𝑎𝑎𝑎𝑎𝑛𝑛𝑛𝑛 (𝑎𝑎𝑎𝑎0 > 0)
valós együtthatós polinomban a jelváltások száma r, akkor a 𝐺𝐺𝐺𝐺(𝑥𝑥𝑥𝑥) =𝑔𝑔𝑔𝑔(𝑥𝑥𝑥𝑥)(𝑥𝑥𝑥𝑥 − 𝑎𝑎𝑎𝑎)(𝑎𝑎𝑎𝑎 > 0) szorzat-polinomban a jelváltások száma legalább r + 1.
Ennek a segédtételnek az alábbi igazolását találjuk Kőnig Gyula egyik könyvében [5]:
Legyen a
𝑔𝑔𝑔𝑔(𝑥𝑥𝑥𝑥) =𝑎𝑎𝑎𝑎0𝑥𝑥𝑥𝑥𝑛𝑛𝑛𝑛+⋯+𝑎𝑎𝑎𝑎𝑛𝑛𝑛𝑛−𝑘𝑘𝑘𝑘−1𝑥𝑥𝑥𝑥𝑘𝑘𝑘𝑘+1+𝑎𝑎𝑎𝑎𝑛𝑛𝑛𝑛−𝑘𝑘𝑘𝑘𝑥𝑥𝑥𝑥𝑘𝑘𝑘𝑘+⋯+𝑎𝑎𝑎𝑎𝑛𝑛𝑛𝑛
polinomban az első jelváltás a k-adfokú tagnál, másszóval ennek a tagnak az előjele negatív, akkor a G(x) szorzat-polinom (k+1)-edfokú tagja szintén negatív előjelű. Ez azonnal belátha-tó, hisz részletesebben kiírva
𝐺𝐺𝐺𝐺(𝑥𝑥𝑥𝑥) =𝑎𝑎𝑎𝑎0𝑥𝑥𝑥𝑥𝑛𝑛𝑛𝑛+1+⋯+ (𝑎𝑎𝑎𝑎𝑛𝑛𝑛𝑛−𝑘𝑘𝑘𝑘 − 𝑎𝑎𝑎𝑎 ∙ 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑛𝑛𝑛𝑛−𝑘𝑘𝑘𝑘−1)𝑥𝑥𝑥𝑥𝑘𝑘𝑘𝑘+1+⋯ − 𝑎𝑎𝑎𝑎 ∙ 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑛𝑛𝑛𝑛 ,
márpedig a feltételek miatt 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑛𝑛𝑛𝑛−𝑘𝑘𝑘𝑘 , továbbá 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑛𝑛𝑛𝑛−𝑘𝑘𝑘𝑘− 𝑎𝑎𝑎𝑎 ∙ 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑛𝑛𝑛𝑛−𝑘𝑘𝑘𝑘−1 egyenlő előjelű, mindkettő ne-gatív.
A g(x) polinomban az r számú jelváltás legyen mármost az 𝑠𝑠𝑠𝑠1,𝑠𝑠𝑠𝑠2, … ,𝑠𝑠𝑠𝑠𝑘𝑘𝑘𝑘, … ,𝑠𝑠𝑠𝑠𝑟𝑟𝑟𝑟
szorzat-polinomban a jelváltások száma legalább r + 1.
130 Szénássy Barna: A reáliák tanítása a Debreceni Református Kollégiumban, különös tekintettel a matematikára. = Fizikai Szemle 39 (1989) No. 3. pp. 105–113
131 W. Jentsch: Die Bedeutung Johann Andreas Segners in der Geschichte der Matematik, in J A S und seine....pp. 153–158.
132 M. Cantor: Vorlesungen über Geschichte der Mathematik. III. Band. Leipzig, 1898.
133 Manfred Stern volt 2016 nyarán a házigazdánk és kalauzolónk Halléban, amikor Segner-em-lékeket kerestünk.
89 Ennk a segédtételnek az alábbi igazolását találjuk Kőnig Gyula egyik köny-vében.134
Legyen a
Megjegyzések Segner matematikai eredményeihez DR. SZÉNÁSSY BARNA*
Segner önálló matematikai eredményeivel több írásban is foglalkoztunk [1]. Ezekre a közleményekre való tekintettel ezúttal kizárólag néhány olyan tételére szorítkozunk, melyek valamilyen formában hatottak a későbbi magyar matematikusokra. Összeállításunkban nyil-vánvalóan támaszkodunk régebbi tanulmányainkra is.
* * *
Descartes 1637-ben bizonyítás nélkül közölte az alábbi – sokhelyt alkalmazható - al-gebrai tételt:
Egy valós együtthatós algebrai egyenlet pozitív gyökeinek a száma legfeljebb annyi, mint az együtthatók sorozatában fellépő előjelváltások száma.
A tétel bizonyításával a későbbiekben többen (Prestet 1675, Stübner 1730, De Gua 1741, és mások) foglalkoztak, a bizonyításhoz más és más kiinduló pontot választva. Legis-mertebbé azonban a Segner-től származó bizonyítás vált. Éppen a bizonyítás révén egy időben róla nevezték a Descartes-féle tételt, még Bolyai Farkas is vele kapcsolatban említi a Tentamenben [2].
Segner első matematikai értekezésében [3], ami egyben doktori disszertációja volt, adta a Descartes-tétel igazolását, módszerét azonban nem ismerjük, mert ez a dolgozata elveszett.
Egy későbbi értekezésében [4] újólag visszatért a kérdésre, ekkor azonban már csak a bizo-nyítás ötletét közölte. Ez a következő segédtételen alapult:
Ha a
𝑔𝑔𝑔𝑔(𝑥𝑥𝑥𝑥) =𝑎𝑎𝑎𝑎0𝑥𝑥𝑥𝑥𝑛𝑛𝑛𝑛+𝑎𝑎𝑎𝑎1𝑥𝑥𝑥𝑥𝑛𝑛𝑛𝑛−1+⋯+𝑎𝑎𝑎𝑎𝑛𝑛𝑛𝑛 (𝑎𝑎𝑎𝑎0> 0)
valós együtthatós polinomban a jelváltások száma r, akkor a 𝐺𝐺𝐺𝐺(𝑥𝑥𝑥𝑥) =𝑔𝑔𝑔𝑔(𝑥𝑥𝑥𝑥)(𝑥𝑥𝑥𝑥 − 𝑎𝑎𝑎𝑎)(𝑎𝑎𝑎𝑎> 0) szorzat-polinomban a jelváltások száma legalább r + 1.
Ennek a segédtételnek az alábbi igazolását találjuk Kőnig Gyula egyik könyvében [5]:
Legyen a
𝑔𝑔𝑔𝑔(𝑥𝑥𝑥𝑥) =𝑎𝑎𝑎𝑎0𝑥𝑥𝑥𝑥𝑛𝑛𝑛𝑛+⋯+𝑎𝑎𝑎𝑎𝑛𝑛𝑛𝑛−𝑘𝑘𝑘𝑘−1𝑥𝑥𝑥𝑥𝑘𝑘𝑘𝑘+1+𝑎𝑎𝑎𝑎𝑛𝑛𝑛𝑛−𝑘𝑘𝑘𝑘𝑥𝑥𝑥𝑥𝑘𝑘𝑘𝑘+⋯+𝑎𝑎𝑎𝑎𝑛𝑛𝑛𝑛
polinomban az első jelváltás a k-adfokú tagnál, másszóval ennek a tagnak az előjele negatív, akkor a G(x) szorzat-polinom (k+1)-edfokú tagja szintén negatív előjelű. Ez azonnal belátha-tó, hisz részletesebben kiírva
𝐺𝐺𝐺𝐺(𝑥𝑥𝑥𝑥) =𝑎𝑎𝑎𝑎0𝑥𝑥𝑥𝑥𝑛𝑛𝑛𝑛+1+⋯+ (𝑎𝑎𝑎𝑎𝑛𝑛𝑛𝑛−𝑘𝑘𝑘𝑘− 𝑎𝑎𝑎𝑎 ∙ 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑛𝑛𝑛𝑛−𝑘𝑘𝑘𝑘−1)𝑥𝑥𝑥𝑥𝑘𝑘𝑘𝑘+1+⋯ − 𝑎𝑎𝑎𝑎 ∙ 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑛𝑛𝑛𝑛 ,
márpedig a feltételek miatt 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑛𝑛𝑛𝑛−𝑘𝑘𝑘𝑘 , továbbá 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑛𝑛𝑛𝑛−𝑘𝑘𝑘𝑘− 𝑎𝑎𝑎𝑎 ∙ 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑛𝑛𝑛𝑛−𝑘𝑘𝑘𝑘−1 egyenlő előjelű, mindkettő ne-gatív.
A g(x) polinomban az r számú jelváltás legyen mármost az 𝑠𝑠𝑠𝑠1,𝑠𝑠𝑠𝑠2, … ,𝑠𝑠𝑠𝑠𝑘𝑘𝑘𝑘, … ,𝑠𝑠𝑠𝑠𝑟𝑟𝑟𝑟
*Dr. Szénássy Barna a Kossuth Lajos Tudományegyetem docense
polinomban az első jelváltás a k-adfokú tagnál, másszóval ennek a tagnak az előjele negatív, akkor a G(x) szorzat-polinom (k+1)-edfokú tagja szintén negatív előjelű. Ez azonnal belátható, hisz részletesebben kiírva
Megjegyzések Segner matematikai eredményeihez DR. SZÉNÁSSY BARNA*
Segner önálló matematikai eredményeivel több írásban is foglalkoztunk [1]. Ezekre a közleményekre való tekintettel ezúttal kizárólag néhány olyan tételére szorítkozunk, melyek valamilyen formában hatottak a későbbi magyar matematikusokra. Összeállításunkban nyil-vánvalóan támaszkodunk régebbi tanulmányainkra is.
* * *
Descartes 1637-ben bizonyítás nélkül közölte az alábbi – sokhelyt alkalmazható - al-gebrai tételt:
Egy valós együtthatós algebrai egyenlet pozitív gyökeinek a száma legfeljebb annyi, mint az együtthatók sorozatában fellépő előjelváltások száma.
A tétel bizonyításával a későbbiekben többen (Prestet 1675, Stübner 1730, De Gua 1741, és mások) foglalkoztak, a bizonyításhoz más és más kiinduló pontot választva. Legis-mertebbé azonban a Segner-től származó bizonyítás vált. Éppen a bizonyítás révén egy időben róla nevezték a Descartes-féle tételt, még Bolyai Farkas is vele kapcsolatban említi a Tentamenben [2].
Segner első matematikai értekezésében [3], ami egyben doktori disszertációja volt, adta a Descartes-tétel igazolását, módszerét azonban nem ismerjük, mert ez a dolgozata elveszett.
Egy későbbi értekezésében [4] újólag visszatért a kérdésre, ekkor azonban már csak a bizo-nyítás ötletét közölte. Ez a következő segédtételen alapult:
Ha a
𝑔𝑔𝑔𝑔(𝑥𝑥𝑥𝑥) =𝑎𝑎𝑎𝑎0𝑥𝑥𝑥𝑥𝑛𝑛𝑛𝑛+𝑎𝑎𝑎𝑎1𝑥𝑥𝑥𝑥𝑛𝑛𝑛𝑛−1+⋯+𝑎𝑎𝑎𝑎𝑛𝑛𝑛𝑛 (𝑎𝑎𝑎𝑎0> 0)
valós együtthatós polinomban a jelváltások száma r, akkor a 𝐺𝐺𝐺𝐺(𝑥𝑥𝑥𝑥) =𝑔𝑔𝑔𝑔(𝑥𝑥𝑥𝑥)(𝑥𝑥𝑥𝑥 − 𝑎𝑎𝑎𝑎)(𝑎𝑎𝑎𝑎> 0) szorzat-polinomban a jelváltások száma legalább r + 1.
Ennek a segédtételnek az alábbi igazolását találjuk Kőnig Gyula egyik könyvében [5]:
Legyen a
𝑔𝑔𝑔𝑔(𝑥𝑥𝑥𝑥) =𝑎𝑎𝑎𝑎0𝑥𝑥𝑥𝑥𝑛𝑛𝑛𝑛+⋯+𝑎𝑎𝑎𝑎𝑛𝑛𝑛𝑛−𝑘𝑘𝑘𝑘−1𝑥𝑥𝑥𝑥𝑘𝑘𝑘𝑘+1+𝑎𝑎𝑎𝑎𝑛𝑛𝑛𝑛−𝑘𝑘𝑘𝑘𝑥𝑥𝑥𝑥𝑘𝑘𝑘𝑘+⋯+𝑎𝑎𝑎𝑎𝑛𝑛𝑛𝑛
polinomban az első jelváltás a k-adfokú tagnál, másszóval ennek a tagnak az előjele negatív, akkor a G(x) szorzat-polinom (k+1)-edfokú tagja szintén negatív előjelű. Ez azonnal belátha-tó, hisz részletesebben kiírva
𝐺𝐺𝐺𝐺(𝑥𝑥𝑥𝑥) =𝑎𝑎𝑎𝑎0𝑥𝑥𝑥𝑥𝑛𝑛𝑛𝑛+1+⋯+ (𝑎𝑎𝑎𝑎𝑛𝑛𝑛𝑛−𝑘𝑘𝑘𝑘− 𝑎𝑎𝑎𝑎 ∙ 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑛𝑛𝑛𝑛−𝑘𝑘𝑘𝑘−1)𝑥𝑥𝑥𝑥𝑘𝑘𝑘𝑘+1+⋯ − 𝑎𝑎𝑎𝑎 ∙ 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑛𝑛𝑛𝑛 ,
márpedig a feltételek miatt 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑛𝑛𝑛𝑛−𝑘𝑘𝑘𝑘 , továbbá 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑛𝑛𝑛𝑛−𝑘𝑘𝑘𝑘− 𝑎𝑎𝑎𝑎 ∙ 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑛𝑛𝑛𝑛−𝑘𝑘𝑘𝑘−1 egyenlő előjelű, mindkettő ne-gatív.
A g(x) polinomban az r számú jelváltás legyen mármost az 𝑠𝑠𝑠𝑠1,𝑠𝑠𝑠𝑠2, … ,𝑠𝑠𝑠𝑠𝑘𝑘𝑘𝑘, … ,𝑠𝑠𝑠𝑠𝑟𝑟𝑟𝑟
*Dr. Szénássy Barna a Kossuth Lajos Tudományegyetem docense
márpedig a feltételek miatt an – k, továbbá an – k – a ∙ a n – k – 1 egyenlő elő-jelű, mindkettő negatív.
A g(x) polinomban az r számú jelváltás legyen mármost az Megjegyzések Segner matematikai eredményeihez DR. SZÉNÁSSY BARNA*
Segner önálló matematikai eredményeivel több írásban is foglalkoztunk [1]. Ezekre a közleményekre való tekintettel ezúttal kizárólag néhány olyan tételére szorítkozunk, melyek valamilyen formában hatottak a későbbi magyar matematikusokra. Összeállításunkban nyil-vánvalóan támaszkodunk régebbi tanulmányainkra is.
* * *
Descartes 1637-ben bizonyítás nélkül közölte az alábbi – sokhelyt alkalmazható - al-gebrai tételt:
Egy valós együtthatós algebrai egyenlet pozitív gyökeinek a száma legfeljebb annyi, mint az együtthatók sorozatában fellépő előjelváltások száma.
A tétel bizonyításával a későbbiekben többen (Prestet 1675, Stübner 1730, De Gua 1741, és mások) foglalkoztak, a bizonyításhoz más és más kiinduló pontot választva. Legis-mertebbé azonban a Segner-től származó bizonyítás vált. Éppen a bizonyítás révén egy időben róla nevezték a Descartes-féle tételt, még Bolyai Farkas is vele kapcsolatban említi a Tentamenben [2].
Segner első matematikai értekezésében [3], ami egyben doktori disszertációja volt, adta a Descartes-tétel igazolását, módszerét azonban nem ismerjük, mert ez a dolgozata elveszett.
Egy későbbi értekezésében [4] újólag visszatért a kérdésre, ekkor azonban már csak a bizo-nyítás ötletét közölte. Ez a következő segédtételen alapult:
Ha a
𝑔𝑔𝑔𝑔(𝑥𝑥𝑥𝑥) =𝑎𝑎𝑎𝑎0𝑥𝑥𝑥𝑥𝑛𝑛𝑛𝑛+𝑎𝑎𝑎𝑎1𝑥𝑥𝑥𝑥𝑛𝑛𝑛𝑛−1+⋯+𝑎𝑎𝑎𝑎𝑛𝑛𝑛𝑛 (𝑎𝑎𝑎𝑎0> 0)
valós együtthatós polinomban a jelváltások száma r, akkor a 𝐺𝐺𝐺𝐺(𝑥𝑥𝑥𝑥) =𝑔𝑔𝑔𝑔(𝑥𝑥𝑥𝑥)(𝑥𝑥𝑥𝑥 − 𝑎𝑎𝑎𝑎)(𝑎𝑎𝑎𝑎> 0) szorzat-polinomban a jelváltások száma legalább r + 1.
Ennek a segédtételnek az alábbi igazolását találjuk Kőnig Gyula egyik könyvében [5]:
Legyen a
𝑔𝑔𝑔𝑔(𝑥𝑥𝑥𝑥) =𝑎𝑎𝑎𝑎0𝑥𝑥𝑥𝑥𝑛𝑛𝑛𝑛+⋯+𝑎𝑎𝑎𝑎𝑛𝑛𝑛𝑛−𝑘𝑘𝑘𝑘−1𝑥𝑥𝑥𝑥𝑘𝑘𝑘𝑘+1+𝑎𝑎𝑎𝑎𝑛𝑛𝑛𝑛−𝑘𝑘𝑘𝑘𝑥𝑥𝑥𝑥𝑘𝑘𝑘𝑘+⋯+𝑎𝑎𝑎𝑎𝑛𝑛𝑛𝑛
polinomban az első jelváltás a k-adfokú tagnál, másszóval ennek a tagnak az előjele negatív, akkor a G(x) szorzat-polinom (k+1)-edfokú tagja szintén negatív előjelű. Ez azonnal belátha-tó, hisz részletesebben kiírva
𝐺𝐺𝐺𝐺(𝑥𝑥𝑥𝑥) =𝑎𝑎𝑎𝑎0𝑥𝑥𝑥𝑥𝑛𝑛𝑛𝑛+1+⋯+ (𝑎𝑎𝑎𝑎𝑛𝑛𝑛𝑛−𝑘𝑘𝑘𝑘− 𝑎𝑎𝑎𝑎 ∙ 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑛𝑛𝑛𝑛−𝑘𝑘𝑘𝑘−1)𝑥𝑥𝑥𝑥𝑘𝑘𝑘𝑘+1+⋯ − 𝑎𝑎𝑎𝑎 ∙ 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑛𝑛𝑛𝑛 ,
márpedig a feltételek miatt 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑛𝑛𝑛𝑛−𝑘𝑘𝑘𝑘 , továbbá 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑛𝑛𝑛𝑛−𝑘𝑘𝑘𝑘− 𝑎𝑎𝑎𝑎 ∙ 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑛𝑛𝑛𝑛−𝑘𝑘𝑘𝑘−1 egyenlő előjelű, mindkettő ne-gatív.
A g(x) polinomban az r számú jelváltás legyen mármost az 𝑠𝑠𝑠𝑠1,𝑠𝑠𝑠𝑠2, … ,𝑠𝑠𝑠𝑠𝑘𝑘𝑘𝑘, … ,𝑠𝑠𝑠𝑠𝑟𝑟𝑟𝑟
*Dr. Szénássy Barna a Kossuth Lajos Tudományegyetem docense fokú tagoknál, és e tagok előjeleit jelöljük a következőként:
fokú tagoknál, és e tagok előjeleit jelöljük a következőként:
(−1)1, (−1)2, … , (−1)𝑘𝑘𝑘𝑘, … , (−1)𝑟𝑟𝑟𝑟 , akkor a (Gx) polinom
𝑠𝑠𝑠𝑠1+ 1,𝑠𝑠𝑠𝑠2+ 1, … ,𝑠𝑠𝑠𝑠𝑘𝑘𝑘𝑘+ 1, … ,𝑠𝑠𝑠𝑠𝑟𝑟𝑟𝑟+ 1 fokú tagjainak az előjelei ugyancsak
(−1)1, (−1)2, … , (−1)𝑘𝑘𝑘𝑘, … , (−1)𝑟𝑟𝑟𝑟 . Vagyis a G(x) polinom 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑟𝑟𝑟𝑟+ 1 fokú tagjáig legalább r jelváltás van.
De a G(x) polinomban ezeken kívül van még legalább egy jelváltás. Feltevéseink szerint ugyanis a g(x) polinomban az 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑠𝑠𝑠𝑠𝑟𝑟𝑟𝑟-nél szorzott tag után már nincs jelváltás, vagyis 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑛𝑛𝑛𝑛 előjele is (−1)𝑟𝑟𝑟𝑟, ugyanakkor a G(x) utolsó tagja −𝑎𝑎𝑎𝑎 ∙ 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑛𝑛𝑛𝑛, vagyis ennek előjele (−1)𝑟𝑟𝑟𝑟+1 .
A most igazolt segédtételnek azonban már közvetlen következménye a Descartes-féle tétel. Legyenek ugyanis az 𝑓𝑓𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑥𝑥) = 0 valós együtthatós algebrai egyenlet pozitív gyökei 𝑥𝑥𝑥𝑥1,𝑥𝑥𝑥𝑥2, … ,𝑥𝑥𝑥𝑥𝑘𝑘𝑘𝑘, akkor a
𝑔𝑔𝑔𝑔(𝑥𝑥𝑥𝑥) = 𝑓𝑓𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑥𝑥)
(𝑥𝑥𝑥𝑥 − 𝑥𝑥𝑥𝑥1) (𝑥𝑥𝑥𝑥 − 𝑥𝑥𝑥𝑥2) … (𝑥𝑥𝑥𝑥 − 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑘𝑘𝑘𝑘)
maga is valós együtthatós polinom, melyben a jelváltások száma 𝑟𝑟𝑟𝑟 ≧0. Ebből azonban az előbbi lemma ismételt alkalmazásával máris következik, hogy az
𝑓𝑓𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑥𝑥) =𝑔𝑔𝑔𝑔(𝑥𝑥𝑥𝑥)(𝑥𝑥𝑥𝑥 − 𝑥𝑥𝑥𝑥1)(𝑥𝑥𝑥𝑥 − 𝑥𝑥𝑥𝑥2) … (𝑥𝑥𝑥𝑥 − 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑘𝑘𝑘𝑘)
polinomban a jelváltások száma legalább 𝑟𝑟𝑟𝑟+𝑘𝑘𝑘𝑘; más szóval a pozitív gyökök száma nem na-gyobb a jelváltások számánál.
Segner előbbi eredményével rokon tárgykörbe tartozik egy másik értekezése [6], mely később mind az egyetemes, mind a magyar matematikában komoly visszhangot váltott ki. Az általa néhány szükségtelen megszorítással közölt grafikus eljárás igazolását nemrégiben a Középiskolai Matematikai Lapok feladatként tűzte ki. A válaszul beérkezett 96 dolgozat azt mutatja, hogy diákjaink érdeklődéssel fogadták a problémát, kifogyhatatlanok az ötletekből. A következőkben szó szerint vesszük át a feladatot a Középiskolai Matematikai Lapokból, to-vábbá idézzük az egyik legtetszetősebb megoldást [7].
1. ábra (A felső bal sarokban lévő jel helyesen: C) akkor a (Gx) polinom
fokú tagoknál, és e tagok előjeleit jelöljük a következőként:
(−1)1, (−1)2, … , (−1)𝑘𝑘𝑘𝑘, … , (−1)𝑟𝑟𝑟𝑟 , akkor a (Gx) polinom
𝑠𝑠𝑠𝑠1+ 1,𝑠𝑠𝑠𝑠2+ 1, … ,𝑠𝑠𝑠𝑠𝑘𝑘𝑘𝑘+ 1, … ,𝑠𝑠𝑠𝑠𝑟𝑟𝑟𝑟+ 1 fokú tagjainak az előjelei ugyancsak
(−1)1, (−1)2, … , (−1)𝑘𝑘𝑘𝑘, … , (−1)𝑟𝑟𝑟𝑟 . Vagyis a G(x) polinom 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑟𝑟𝑟𝑟+ 1 fokú tagjáig legalább r jelváltás van.
De a G(x) polinomban ezeken kívül van még legalább egy jelváltás. Feltevéseink szerint ugyanis a g(x) polinomban az 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑠𝑠𝑠𝑠𝑟𝑟𝑟𝑟-nél szorzott tag után már nincs jelváltás, vagyis 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑛𝑛𝑛𝑛 előjele is (−1)𝑟𝑟𝑟𝑟, ugyanakkor a G(x) utolsó tagja −𝑎𝑎𝑎𝑎 ∙ 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑛𝑛𝑛𝑛, vagyis ennek előjele (−1)𝑟𝑟𝑟𝑟+1 .
A most igazolt segédtételnek azonban már közvetlen következménye a Descartes-féle tétel. Legyenek ugyanis az 𝑓𝑓𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑥𝑥) = 0 valós együtthatós algebrai egyenlet pozitív gyökei 𝑥𝑥𝑥𝑥1,𝑥𝑥𝑥𝑥2, … ,𝑥𝑥𝑥𝑥𝑘𝑘𝑘𝑘, akkor a
𝑔𝑔𝑔𝑔(𝑥𝑥𝑥𝑥) = 𝑓𝑓𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑥𝑥)
(𝑥𝑥𝑥𝑥 − 𝑥𝑥𝑥𝑥1) (𝑥𝑥𝑥𝑥 − 𝑥𝑥𝑥𝑥2) … (𝑥𝑥𝑥𝑥 − 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑘𝑘𝑘𝑘)
maga is valós együtthatós polinom, melyben a jelváltások száma 𝑟𝑟𝑟𝑟 ≧0. Ebből azonban az előbbi lemma ismételt alkalmazásával máris következik, hogy az
𝑓𝑓𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑥𝑥) =𝑔𝑔𝑔𝑔(𝑥𝑥𝑥𝑥)(𝑥𝑥𝑥𝑥 − 𝑥𝑥𝑥𝑥1)(𝑥𝑥𝑥𝑥 − 𝑥𝑥𝑥𝑥2) … (𝑥𝑥𝑥𝑥 − 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑘𝑘𝑘𝑘)
polinomban a jelváltások száma legalább 𝑟𝑟𝑟𝑟+𝑘𝑘𝑘𝑘; más szóval a pozitív gyökök száma nem na-gyobb a jelváltások számánál.
Segner előbbi eredményével rokon tárgykörbe tartozik egy másik értekezése [6], mely később mind az egyetemes, mind a magyar matematikában komoly visszhangot váltott ki. Az általa néhány szükségtelen megszorítással közölt grafikus eljárás igazolását nemrégiben a Középiskolai Matematikai Lapok feladatként tűzte ki. A válaszul beérkezett 96 dolgozat azt mutatja, hogy diákjaink érdeklődéssel fogadták a problémát, kifogyhatatlanok az ötletekből. A következőkben szó szerint vesszük át a feladatot a Középiskolai Matematikai Lapokból, to-vábbá idézzük az egyik legtetszetősebb megoldást [7].
1. ábra (A felső bal sarokban lévő jel helyesen: C) fokú tagjainak az előjelei ugyancsak
fokú tagoknál, és e tagok előjeleit jelöljük a következőként:
(−1)1, (−1)2, … , (−1)𝑘𝑘𝑘𝑘, … , (−1)𝑟𝑟𝑟𝑟 , akkor a (Gx) polinom
𝑠𝑠𝑠𝑠1+ 1,𝑠𝑠𝑠𝑠2+ 1, … ,𝑠𝑠𝑠𝑠𝑘𝑘𝑘𝑘+ 1, … ,𝑠𝑠𝑠𝑠𝑟𝑟𝑟𝑟+ 1 fokú tagjainak az előjelei ugyancsak
(−1)1, (−1)2, … , (−1)𝑘𝑘𝑘𝑘, … , (−1)𝑟𝑟𝑟𝑟 . Vagyis a G(x) polinom 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑟𝑟𝑟𝑟+ 1 fokú tagjáig legalább r jelváltás van.
De a G(x) polinomban ezeken kívül van még legalább egy jelváltás. Feltevéseink szerint ugyanis a g(x) polinomban az 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑠𝑠𝑠𝑠𝑟𝑟𝑟𝑟-nél szorzott tag után már nincs jelváltás, vagyis 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑛𝑛𝑛𝑛 előjele is (−1)𝑟𝑟𝑟𝑟, ugyanakkor a G(x) utolsó tagja −𝑎𝑎𝑎𝑎 ∙ 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑛𝑛𝑛𝑛, vagyis ennek előjele (−1)𝑟𝑟𝑟𝑟+1 .
A most igazolt segédtételnek azonban már közvetlen következménye a Descartes-féle tétel. Legyenek ugyanis az 𝑓𝑓𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑥𝑥) = 0 valós együtthatós algebrai egyenlet pozitív gyökei 𝑥𝑥𝑥𝑥1,𝑥𝑥𝑥𝑥2, … ,𝑥𝑥𝑥𝑥𝑘𝑘𝑘𝑘, akkor a
𝑔𝑔𝑔𝑔(𝑥𝑥𝑥𝑥) = 𝑓𝑓𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑥𝑥)
(𝑥𝑥𝑥𝑥 − 𝑥𝑥𝑥𝑥1) (𝑥𝑥𝑥𝑥 − 𝑥𝑥𝑥𝑥2) … (𝑥𝑥𝑥𝑥 − 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑘𝑘𝑘𝑘)
maga is valós együtthatós polinom, melyben a jelváltások száma 𝑟𝑟𝑟𝑟 ≧0. Ebből azonban az előbbi lemma ismételt alkalmazásával máris következik, hogy az
𝑓𝑓𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑥𝑥) =𝑔𝑔𝑔𝑔(𝑥𝑥𝑥𝑥)(𝑥𝑥𝑥𝑥 − 𝑥𝑥𝑥𝑥1)(𝑥𝑥𝑥𝑥 − 𝑥𝑥𝑥𝑥2) … (𝑥𝑥𝑥𝑥 − 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑘𝑘𝑘𝑘)
polinomban a jelváltások száma legalább 𝑟𝑟𝑟𝑟+𝑘𝑘𝑘𝑘; más szóval a pozitív gyökök száma nem na-gyobb a jelváltások számánál.
Segner előbbi eredményével rokon tárgykörbe tartozik egy másik értekezése [6], mely később mind az egyetemes, mind a magyar matematikában komoly visszhangot váltott ki. Az általa néhány szükségtelen megszorítással közölt grafikus eljárás igazolását nemrégiben a Középiskolai Matematikai Lapok feladatként tűzte ki. A válaszul beérkezett 96 dolgozat azt mutatja, hogy diákjaink érdeklődéssel fogadták a problémát, kifogyhatatlanok az ötletekből. A következőkben szó szerint vesszük át a feladatot a Középiskolai Matematikai Lapokból, to-vábbá idézzük az egyik legtetszetősebb megoldást [7].
1. ábra (A felső bal sarokban lévő jel helyesen: C) Vagyis a G(x) polinom sr + 1 fokú tagjáig legalább r jelváltás van.
De a G(x) polinomban ezeken kívül van még legalább egy jelváltás. Feltevése-ink szerint ugyanis a g(x) polinomban az
fokú tagoknál, és e tagok előjeleit jelöljük a következőként:
(−1)1, (−1)2, … , (−1)𝑘𝑘𝑘𝑘, … , (−1)𝑟𝑟𝑟𝑟 , akkor a (Gx) polinom
𝑠𝑠𝑠𝑠1+ 1,𝑠𝑠𝑠𝑠2+ 1, … ,𝑠𝑠𝑠𝑠𝑘𝑘𝑘𝑘+ 1, … ,𝑠𝑠𝑠𝑠𝑟𝑟𝑟𝑟+ 1 fokú tagjainak az előjelei ugyancsak
(−1)1, (−1)2, … , (−1)𝑘𝑘𝑘𝑘, … , (−1)𝑟𝑟𝑟𝑟 . Vagyis a G(x) polinom 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑟𝑟𝑟𝑟+ 1 fokú tagjáig legalább r jelváltás van.
De a G(x) polinomban ezeken kívül van még legalább egy jelváltás. Feltevéseink szerint ugyanis a g(x) polinomban az 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑠𝑠𝑠𝑠𝑟𝑟𝑟𝑟-nél szorzott tag után már nincs jelváltás, vagyis 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑛𝑛𝑛𝑛 előjele is (−1)𝑟𝑟𝑟𝑟, ugyanakkor a G(x) utolsó tagja −𝑎𝑎𝑎𝑎 ∙ 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑛𝑛𝑛𝑛, vagyis ennek előjele (−1)𝑟𝑟𝑟𝑟+1 .
A most igazolt segédtételnek azonban már közvetlen következménye a Descartes-féle tétel. Legyenek ugyanis az 𝑓𝑓𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑥𝑥) = 0 valós együtthatós algebrai egyenlet pozitív gyökei 𝑥𝑥𝑥𝑥1,𝑥𝑥𝑥𝑥2, … ,𝑥𝑥𝑥𝑥𝑘𝑘𝑘𝑘, akkor a
𝑔𝑔𝑔𝑔(𝑥𝑥𝑥𝑥) = 𝑓𝑓𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑥𝑥)
(𝑥𝑥𝑥𝑥 − 𝑥𝑥𝑥𝑥1) (𝑥𝑥𝑥𝑥 − 𝑥𝑥𝑥𝑥2) … (𝑥𝑥𝑥𝑥 − 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑘𝑘𝑘𝑘)
maga is valós együtthatós polinom, melyben a jelváltások száma 𝑟𝑟𝑟𝑟 ≧0. Ebből azonban az előbbi lemma ismételt alkalmazásával máris következik, hogy az
𝑓𝑓𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑥𝑥) =𝑔𝑔𝑔𝑔(𝑥𝑥𝑥𝑥)(𝑥𝑥𝑥𝑥 − 𝑥𝑥𝑥𝑥1)(𝑥𝑥𝑥𝑥 − 𝑥𝑥𝑥𝑥2) … (𝑥𝑥𝑥𝑥 − 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑘𝑘𝑘𝑘)
polinomban a jelváltások száma legalább 𝑟𝑟𝑟𝑟+𝑘𝑘𝑘𝑘; más szóval a pozitív gyökök száma nem na-gyobb a jelváltások számánál.
Segner előbbi eredményével rokon tárgykörbe tartozik egy másik értekezése [6], mely később mind az egyetemes, mind a magyar matematikában komoly visszhangot váltott ki. Az általa néhány szükségtelen megszorítással közölt grafikus eljárás igazolását nemrégiben a Középiskolai Matematikai Lapok feladatként tűzte ki. A válaszul beérkezett 96 dolgozat azt mutatja, hogy diákjaink érdeklődéssel fogadták a problémát, kifogyhatatlanok az ötletekből. A következőkben szó szerint vesszük át a feladatot a Középiskolai Matematikai Lapokból, to-vábbá idézzük az egyik legtetszetősebb megoldást [7].
1. ábra (A felső bal sarokban lévő jel helyesen: C) -nél szorzott tag után már nincs jelváltás, vagyis an előjele is (–1)r, ugyanakkor a G(x) utolsó tagja – a ∙ an , vagyis ennek előjele (–1)r +1.
A most igazolt segédtételnek azonban már közvetlen következménye a Des-cartes-féle tétel. Legyenek ugyanis az f (x) = 0 valós együtthatós algebrai egyen-let pozitív gyökei x1, x2, ..., xk , akkor a
fokú tagoknál, és e tagok előjeleit jelöljük a következőként:
(−1)1, (−1)2, … , (−1)𝑘𝑘𝑘𝑘, … , (−1)𝑟𝑟𝑟𝑟 , akkor a (Gx) polinom
𝑠𝑠𝑠𝑠1+ 1,𝑠𝑠𝑠𝑠2+ 1, … ,𝑠𝑠𝑠𝑠𝑘𝑘𝑘𝑘+ 1, … ,𝑠𝑠𝑠𝑠𝑟𝑟𝑟𝑟+ 1 fokú tagjainak az előjelei ugyancsak
(−1)1, (−1)2, … , (−1)𝑘𝑘𝑘𝑘, … , (−1)𝑟𝑟𝑟𝑟 . Vagyis a G(x) polinom 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑟𝑟𝑟𝑟+ 1 fokú tagjáig legalább r jelváltás van.
De a G(x) polinomban ezeken kívül van még legalább egy jelváltás. Feltevéseink szerint ugyanis a g(x) polinomban az 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑠𝑠𝑠𝑠𝑟𝑟𝑟𝑟-nél szorzott tag után már nincs jelváltás, vagyis 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑛𝑛𝑛𝑛 előjele is (−1)𝑟𝑟𝑟𝑟, ugyanakkor a G(x) utolsó tagja −𝑎𝑎𝑎𝑎 ∙ 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑛𝑛𝑛𝑛, vagyis ennek előjele (−1)𝑟𝑟𝑟𝑟+1 .
A most igazolt segédtételnek azonban már közvetlen következménye a Descartes-féle tétel. Legyenek ugyanis az 𝑓𝑓𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑥𝑥) = 0 valós együtthatós algebrai egyenlet pozitív gyökei 𝑥𝑥𝑥𝑥1,𝑥𝑥𝑥𝑥2, … ,𝑥𝑥𝑥𝑥𝑘𝑘𝑘𝑘, akkor a
𝑔𝑔𝑔𝑔(𝑥𝑥𝑥𝑥) = 𝑓𝑓𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑥𝑥)
(𝑥𝑥𝑥𝑥 − 𝑥𝑥𝑥𝑥1) (𝑥𝑥𝑥𝑥 − 𝑥𝑥𝑥𝑥2) … (𝑥𝑥𝑥𝑥 − 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑘𝑘𝑘𝑘)
maga is valós együtthatós polinom, melyben a jelváltások száma 𝑟𝑟𝑟𝑟 ≧0. Ebből azonban az előbbi lemma ismételt alkalmazásával máris következik, hogy az
𝑓𝑓𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑥𝑥) =𝑔𝑔𝑔𝑔(𝑥𝑥𝑥𝑥)(𝑥𝑥𝑥𝑥 − 𝑥𝑥𝑥𝑥1)(𝑥𝑥𝑥𝑥 − 𝑥𝑥𝑥𝑥2) … (𝑥𝑥𝑥𝑥 − 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑘𝑘𝑘𝑘)
polinomban a jelváltások száma legalább 𝑟𝑟𝑟𝑟+𝑘𝑘𝑘𝑘; más szóval a pozitív gyökök száma nem na-gyobb a jelváltások számánál.
Segner előbbi eredményével rokon tárgykörbe tartozik egy másik értekezése [6], mely később mind az egyetemes, mind a magyar matematikában komoly visszhangot váltott ki. Az általa néhány szükségtelen megszorítással közölt grafikus eljárás igazolását nemrégiben a Középiskolai Matematikai Lapok feladatként tűzte ki. A válaszul beérkezett 96 dolgozat azt mutatja, hogy diákjaink érdeklődéssel fogadták a problémát, kifogyhatatlanok az ötletekből. A következőkben szó szerint vesszük át a feladatot a Középiskolai Matematikai Lapokból, to-vábbá idézzük az egyik legtetszetősebb megoldást [7].
134 Kőnig Gyula: Analízis. Bp., 1887. Eggenberger. pp. 610–611.
maga is valós együtthatós polinom, melyben a jelváltások száma fokú tagoknál, és e tagok előjeleit jelöljük a következőként:
(−1)1, (−1)2, … , (−1)𝑘𝑘𝑘𝑘, … , (−1)𝑟𝑟𝑟𝑟 , akkor a (Gx) polinom
𝑠𝑠𝑠𝑠1+ 1,𝑠𝑠𝑠𝑠2+ 1, … ,𝑠𝑠𝑠𝑠𝑘𝑘𝑘𝑘+ 1, … ,𝑠𝑠𝑠𝑠𝑟𝑟𝑟𝑟+ 1 fokú tagjainak az előjelei ugyancsak
(−1)1, (−1)2, … , (−1)𝑘𝑘𝑘𝑘, … , (−1)𝑟𝑟𝑟𝑟 . Vagyis a G(x) polinom 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑟𝑟𝑟𝑟+ 1 fokú tagjáig legalább r jelváltás van.
De a G(x) polinomban ezeken kívül van még legalább egy jelváltás. Feltevéseink szerint ugyanis a g(x) polinomban az 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑠𝑠𝑠𝑠𝑟𝑟𝑟𝑟-nél szorzott tag után már nincs jelváltás, vagyis 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑛𝑛𝑛𝑛 előjele is (−1)𝑟𝑟𝑟𝑟, ugyanakkor a G(x) utolsó tagja −𝑎𝑎𝑎𝑎 ∙ 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑛𝑛𝑛𝑛, vagyis ennek előjele (−1)𝑟𝑟𝑟𝑟+1 .
A most igazolt segédtételnek azonban már közvetlen következménye a Descartes-féle tétel. Legyenek ugyanis az 𝑓𝑓𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑥𝑥) = 0 valós együtthatós algebrai egyenlet pozitív gyökei 𝑥𝑥𝑥𝑥1,𝑥𝑥𝑥𝑥2, … ,𝑥𝑥𝑥𝑥𝑘𝑘𝑘𝑘, akkor a
𝑔𝑔𝑔𝑔(𝑥𝑥𝑥𝑥) = 𝑓𝑓𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑥𝑥)
(𝑥𝑥𝑥𝑥 − 𝑥𝑥𝑥𝑥1) (𝑥𝑥𝑥𝑥 − 𝑥𝑥𝑥𝑥2) … (𝑥𝑥𝑥𝑥 − 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑘𝑘𝑘𝑘)
maga is valós együtthatós polinom, melyben a jelváltások száma 𝑟𝑟𝑟𝑟 ≧0. Ebből azonban az előbbi lemma ismételt alkalmazásával máris következik, hogy az
𝑓𝑓𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑥𝑥) =𝑔𝑔𝑔𝑔(𝑥𝑥𝑥𝑥)(𝑥𝑥𝑥𝑥 − 𝑥𝑥𝑥𝑥1)(𝑥𝑥𝑥𝑥 − 𝑥𝑥𝑥𝑥2) … (𝑥𝑥𝑥𝑥 − 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑘𝑘𝑘𝑘)
polinomban a jelváltások száma legalább 𝑟𝑟𝑟𝑟+𝑘𝑘𝑘𝑘; más szóval a pozitív gyökök száma nem na-gyobb a jelváltások számánál.
Segner előbbi eredményével rokon tárgykörbe tartozik egy másik értekezése [6], mely később mind az egyetemes, mind a magyar matematikában komoly visszhangot váltott ki. Az általa néhány szükségtelen megszorítással közölt grafikus eljárás igazolását nemrégiben a Középiskolai Matematikai Lapok feladatként tűzte ki. A válaszul beérkezett 96 dolgozat azt mutatja, hogy diákjaink érdeklődéssel fogadták a problémát, kifogyhatatlanok az ötletekből. A következőkben szó szerint vesszük át a feladatot a Középiskolai Matematikai Lapokból, to-vábbá idézzük az egyik legtetszetősebb megoldást [7].
1. ábra (A felső bal sarokban lévő jel helyesen: C)
. Ebből azonban az előbbi lemma ismételt alkalmazásával máris következik, hogy az
. Ebből azonban az előbbi lemma ismételt alkalmazásával máris következik, hogy az