Bioelektromos források és térfogati vezetők

A szívnek (mint bioelektromos forrásnak) és a testnek (mint térfogati vezetőnek) különböző aspektusából megadható a források és a potenciál-eloszlások kapcsolata. Források esetén megkülönböztetünk sejt (miokardiális sejt), vagy szervszintű (szív) forrásokat, vagyis pontszerű vagy kiterjedt forrásokkal számolhatunk. Térfogati vezető esetén – ami nem más, mint a forrást magában foglaló vezető tér- megkülönböztetünk homogén és inhomogén, végtelen és véges, vagyis határfelülettel zárt vezető közegeket. Ennek függvényében egy adott mérési pontban a forrás által gerjesztett potenciál értéke eltérő. A szív elektromos tevékenységének matematikai leírásához szükséges tudni, hogy a szív a torzóban, mint térfogati vezetőben bioelektromos forrásként viselkedik.

A bioelektromos áramok a térfogati vezetőben keletkeznek, és bár ismerjük az egyes szívsejtek elektromos potenciál karakterisztikáját egészséges és bizonyos patológiás állapotokban [10, 184, 215, 201], általában ezek közvetlen méréssel intracellulárisan (invazív módon) nem, vagy nehezen mérhetők. Az AP karakterisztikák időfüggvényét extracellulárisan, vagy egy távoli pontban unipoláris vagy bipoláris elektródák segítségével lehet mérni, illetve becsülni.

A bioelektromos források és térfogatok matematikai közelítései

Az elektromágneses hullámokra és az elektrosztatikára vonatkozó fizikai összefüggések alapján bioelektromos források jelenléte esetén az extracelluláris térben mérhető potenciálok értéke

kiszámítható. Mivel a szívműködés is elektromos (bioelektromos) tevékenység, az ennek következtében kialakuló jelenségek leírhatók Maxwell törvényeivel [108], mely szerint egyrészt az elektromos áram, valamint az időben változó elektromos mező örvényes mágneses mezőt kelt, másrészt az időben változó mágneses mező örvényes elektromos mezőt kelt. Gauss törvénye pedig kimondja, hogy az elektromos mező forrásos és forrásai az elektromos töltések, a mágneses mező (indukciói) pedig forrásmentesek. A bioelektromos forrás tulajdonságain kívül a térfogati vezető leírásához szükséges meghatározni annak anyagtulajdonságait is (dielektromos, mágneses áteresztő képesség és vezetőképesség), melyekkel a közeg jellemezhető. Ezekkel a törvényszerűségekkel a szív, mint bioelektromos forrás és a test, mint vezető közeg jellemezhető, annak függvényében, hogy milyen egyszerűsítéseket alkalmazunk: pontszerű vagy elosztott forrást, homogén vagy inhomogén, illetve véges vagy végtelen közeget.

Az alaptörvények szerint az adott forrást körülvevő tér végtelen és az anyag folytonos és homogén.

Amennyiben ez a felvetés nem áll fenn, akkor valamilyen feltételeket kell tenni a közeg, vagy a forrás határfelületére. Ez azt jelenti, hogy úgynevezett határfelületi feltételeket (boundary conditions) szükséges definiálni, hiszen ismert, hogy az elektromos és mágneses tér tangensirányú komponensei folytonosak a határfelületen. A jellemzőnek tekintett anyagtulajdonsági adatok Schwan, Kay és munkatársai, valamint Rush és Abildskov tanulmányai alapján ismerhetjük meg, ezzel a térfogati vezető matematikai leírásának alapjait teremtették meg. Az emberi test kapacitív, konduktív és rezisztív tulajdonságait mérték, majd 1957-re több kísérletes vizsgálattal bebizonyították, hogy az emberei test, mint térfogati vezető leírásánál elhanyagolható az egyes szövetek impedanciája, továbbá azt, hogy a térfogati vezető áramait alapvetően a szövetek fajlagos ellenállása határozza meg [103-107]. Ha az emberi test valós felépítését vesszük figyelembe, mely jellemzően inhomogénnak és anizotrópnak tekinthető, beláthatjuk, hogy az közelítőleg homogén és izotróp részekre bontható. A potenciál-eloszlást befolyásoló tulajdonságok az emberi szervek esetében is mérhetők, pár példát mutat be az 1. táblázat.

1. Táblázat Egyes emberi szövetek ellenállása és vezetőképessége Szerv, szövet Ellenállás ρ [Ωm] Vezetőképesség [S/cm]

Vér 1,6 0,006

miokardium 2,5-5,6 0,02

Tüdő 11,2-21,7 0,0005

Csont 15-215 0,00125

zsír 25 0,0004

A Maxwell egyenletek megoldásához skalár (φ) és vektorpotenciált (A) szokás bevezetni, melyekből meghatározhatók térfogati vezetőben és a felületeken mérhető potenciálok. A skarlárpotenciál megoldása értelemszerűen a veszteséges közegben terjedő hullámterjedést jellemzi. A térfogati vezetőben terjedő potenciál másik megközelítési iránya a Coulomb törvény felől történhet. Mivel az elektromos mező térerősségének tetszőleges zárt görbére vett integrálja 0, a feszültség pedig a távolság növekedésével egyidejűleg csökken, vagyis a töltés potenciálja végtelen távoli pontban nullává

változik. A bioelektromos források tulajdonságai első leírásának a kábelegyenlet tekinthetjük, ami lényegében egyirányú ingerületterjedést ír le egy kör keresztmetszetű idegroston, annak végességét elhanyagolva. Ennek első megoldását és a források matematikai modellezése alapját először a Hodkin-Huxley megközelítés adta, ami kimondta, hogy az axonon az ingerület egyenletesen gyengítés nélkül terjed a hullámforma megtartásával (uniform propagation) Később FitzHugh egy egyszerűsítő - gyorsabb feszültségszámítást lehetővé tevő közelítést adott, de matematikai megoldást – Kirchoff huroktörvényét és parciális differenciálegyenleteket használva - csak 1966-ban Cooley és Dodge adott [109]. Az elmúlt évtizedekben Luo és Rudy valamint munkatársaik is pontosították a kamrai sejtek aktiváció terjedésének pontosabb leírását és egy jobb modell közelítést kaptak [110-113]. Ma már közel 20 féle sejtszintű leírás használatos az elektrokardiológiai modellezésben, melyek vagy magukra a sejtstruktúrákra, vagy a kapcsolatukra, illetve a metabolikus folyamatokra helyezik a hangsúlyt.

Több miokardiális sejtből – akár több millió sejtből is- a szív szövet, vagy akár a teljes szív is modellezhető [114, 115].

A transzmembrán potenciál az intra- és extracelluláris potenciálok különbségéből adódik, tehát az ionkoncentrációk változásának hatására a membránon áram folyik át. A membrán potenciál nem egyszerre, hanem egyenletes sebességgel változik, különböző pontokban generál elektromos töltéseket. Két ellentétes előjelű és azonos nagyságú töltést dipólusnak nevezünk. Egyetlen aktív sejt által létrehozott, P pontban mérhető transzmembrán potenciált nem csak az ionáramokkal, hanem Green tételének alkalmazásával is meg lehet adni. Végtelen homogén térfogati vezetőt feltételezve

∫

^{− Ω} terének,

γ

_k

ϕ

_k pedig a sejt extracelluláris terének vezetőképességét jellemző konduktivitás és potenciál-eloszlás függvények. Ha a sejttől kellően távoli pontban akarjuk megadni a mérhető potenciálok értékét, akkor a Poisson egyenlet egy speciális esetét tekintve megadható ismert források esetén egy adott pontban (P) a mérhető potenciálok (φ) értéke.

Az extracelluláris potenciálok megadására számos egyszerűsítő közelítést dolgoztak ki. Bizonyították, hogy a matematikai közelítés a veszteséges hullámterjedés egyenleteinek megoldására vezethető vissza Fourier komponensek bevezetésével, másrészt pedig hogy elhanyagolható a kapacitív és a mágneses tér hatása [104, 106]. A bioelektromos források mérése esetén azonban nem csak egy, hanem jellemzően több dipólus, nem végtelen és homogén, hanem véges és inhomogén térfogati vezető szerepel, valamint több mérési, megfigyelési pont.

A forrás leírásának jobb közelítése érdekében bevezetett szimpla (elemei egy geometriai felületen helyezkednek el) és kettősréteg (elemei valamilyen irányítottságú áramdipólus vektorok) alapján bizonyítható, hogy a hullám terjedése egy hullámfront mentén történik, melynek iránya megegyezik a kettősréteg esetén a felület normális irányába mutató, állandó nyomatékú áramdipólusok összegével és

egy dipólus-momentum vektorral (m) helyettesíthető. Green I. tételének alkalmazásával bizonyították, hogy - egy forráseloszlás által létrehozott potenciál matematikai leírása - homogén térfogati vezetőben- egy szimpla és egy kettősréteg együttes hatását jelenti. A dipólus-eloszlás a hullámfronton nem egyenletes, ugyanis azok a hullámok, amelyek rostirányban terjednek területre/térfogatra vonatkoztatva több áramot generálnak, mint amelyek rostokon keresztül (azokra merőlegesen) terjednek [117]. Amennyiben a forrás véges (véges térfogati vezetőben található) és a térfogati vezető is véges és homogén, akkor egyrészt a felületi integráloknál a határoló felület normálvektora a megfigyelési pontot tartalmazó térrészből kifele mutat, másrészt pedig peremfeltételeket kell alkalmaznunk. A megoldáshoz használt peremfeltételeknek (boundary conditions) számos típusa ismeretes, így Dirichlet, Neumann vagy vegyes peremfeltételek alkalmazásával a fenti egyenlet megoldható. Alapvető peremfeltétel: a homogén térfogati forrást is tartalmazó térfogati vezetőt kívülről szigetelő réteg veszi körbe – ez megfelel az emberi test torzója esetére a test, mint vezető és a levegő – mint szigetelő közeg fizikai megközelítésnek. A térfogati vezetők határfelületén a potenciál és az áram normális irányú komponense folytonosan megy át.

Jó közelítéssel állítható, hogy a test belsejében végbemenő, a diagnosztikai szempontból megismerni kívánt biofizikai folyamatok által generált idő- és helyfüggő forráseloszlás hatása késleltetés nélkül tükröződik a megfigyelési pontban, ami a forrás (szív) depolarizációs és repolarizációs folyamatainak test felszíni potenciáltérképezését teszi lehetővé.

A modellekre jellemző, hogy a térfogati vezető (a torzó) leírása jól közelíthető az anyagtulajdonságoknak megfelelően szeparált – vagyis több tartományra bontott térfogati részekkel, eltérő konduktivitás mellett (a torzó és egyéb belső szervek térfogatai, mint tüdő, máj stb.). Mivel egyes szervek és szövetek anyagtulajdonságai viszonylag jól ismertek, ezek átlagértékével számítva tartományonként homogén testmodellt alkothatunk. A megfigyelés pontban az alábbi összefüggéssel számított potenciál mérhető, ahol az első tag a szívizomban eredő források, a 2. a szervek, a 3. pedig a test végességéből adódó komponens:

∑∫∫ ∫∫

b a résztartományok száma,

k pedig a testmodell külső határoló közege (test, torzó) Ji a térbeli áramdipólus

a

a '

"

γ

γ

− egy térrész belső és külső konduktivitásának különbségét jelenti.

dΩa pedig az a térszög, mely alatt a P megfigyelési pontból ad adott tartomány határoló felülete látszik

In document A szívizom regionális bioelektromos tevékenységeinek vizsgálata testfelszíni potenciáltérképezéssel (Pldal 30-34)